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2020年4月山东省高考数学模拟试卷(含答案解析)

1、2020 年山东省高考数学(年山东省高考数学(4 月份)模拟试卷月份)模拟试卷 一、选择题. 1复数 (i 为虚数单位)等于( ) A1 B1 Ci Di 2若集合 , , ,则 AB( ) A,1 B1,1 C D1 3若 0xy1,则下列不等式成立的是( ) A B C D 4 在ABC 中, M 是 BC 的中点, AM1, 点 P 满足 ,则 ( ) A2 B2 C D 5设函数 , ,则函数 f(x)是( ) A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数 6过点(2,0)且倾斜角为 的直线 l 与圆 x 2+y25 相交于 M

2、、N 两点,则线段 MN 的长 为( ) A B3 C D6 7 一个各面都涂满红色的 444 (长、 宽、 高均为 4) 正方体, 被锯成同样大小的单位 (长 宽高均为 1)小正方体,将这些小正方体放在一个不透明的袋子中,充分混合后,从中任 取一个小正方体,则取出仅有一面涂有色彩的小正方体的概率为( ) A B C D 8设 F1,F2是双曲线 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|4|PF2|,则 PF1F2的面积等于( ) A B C24 D48 二、多项选择题:(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求全部选对的得 5 分,优题速

3、享部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分) 9如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“互为生成”函数则下 列函数可以构成互生函数是( ) Af(x)sinx+cosx B Cf(x)sinx D 10平面 外有两条直线 m 和 n,从下面的条件中可以推出 mn 的是( ) Am,n Bm,n Cm,n Dm,n 11设 yf(x)是定义在 R 上的偶函数,满足 f(x+1)f(x),且在1,0上是增函 数,给出下列关于函数 yf(x)的判断正确的是( ) Ayf(x)是周期为 2 的函数 Byf(x)的图象关于直线 x1 对称 Cyf(x)在0,1上是增函数 D 12已知函数

4、 f(x)x3+ax2+bx+c,在定义域 x 2,2上表示的曲线过原点,且在 x 1 处的切线斜率均为1下列说法正确的是( ) Af(x)是奇函数 B若 f(x)在s,t内递减,则|ts|的最大值为 4 C若 f(x)的最大值为 M,则最小值为M D若对x 2,2,kf(x)恒成立,则 k 的最大值为 2 三、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13 点 M (5, 3) 到抛物线 x2ay (a0) 的准线的距离为 6, 那么抛物线的方程是 14若 展开式中第 2 项与第 6 项的系数相同,则 n ,那么展开式的常数项 为 15已知函数 ,且关于 x 的方程 f(x)+xa0 有且只有

5、一个实根,则实数 a 的范围是 16为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班 50 名学生进行了问卷调查,得到 了如表的 22 列联表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 则至少有的把握认为喜爱打篮球与性别有关? (请用百分数表示) 附: P(K2k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 四、解答题(本题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17在ABC 中,a,b,c 分别是角

6、 A、B、C 的对边,若 tanA3,cosC (1)求角 B 的大小; (2)若 c4,求ABC 面积 18已知数列 满足 ,且 (I)求证:数列 是等差数列,并求 an; (II)令 ,求数列bn的前 n 项和 Tn 19一个袋中装有黑球,白球和红球共 n(n N*)个,这些球除颜色外完全相同已知从袋 中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是 现从袋中任意摸出 2 个球 (1)若 n15,且摸出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率是 ,设 表示摸出的 2 个球中 红球的个数,求随机变量 的概率分布及数学期望 E; (2)当 n 取何值时,摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的概率最大,最大

7、概率为多少? 20如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为菱形,BAD60,Q 为 AD 的中点 ()若 PAPD,求证:平面 PQB平面 PAD; ()点 M 在线段 PC 上,PMtPC,试确定实数 t 的值,使 PA平面 MQB; ()在()的条件下,若平面 PAD平面 ABCD,且 PAPDAD2,求二面角 M BQC 的大小 21已知函数 f(x) lnx ()当 a1 时,求 f(x)在 ,2上最大值及最小值; ()当 1x2 时,求证(x+1)lnx2(x1) 22已知椭圆两焦点 F1、F2在 y 轴上,短轴长为 ,离心率为 ,P 是椭圆在第一象限弧 上一点, 且 ,

8、过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、 PB 分别交椭圆于 A、 B 两点 (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值 参考答案 一、选择题:(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1复数 (i 为虚数单位)等于( ) A1 B1 Ci Di 【分析】先把 等价转化为 ,由此能求出结果 解: i 故选:C 2若集合 , , ,则 AB( ) A,1 B1,1 C D1 【分析】集合 A 表示的是函数的值域,求出幂函数的值域即集合 A,集合 B 表示的函数 的定义域,令被开方数大于等于 0 求出解集即集合 B

9、;利用交集的定义求出 AB 解: , y|1y1 集合 x|x1 ABx|1x1 故选:B 3若 0xy1,则下列不等式成立的是( ) A B C D 【分析】由题意利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性,得出结论 解:0xy1,根据指数函数的单调性可得 ,故 A 错误; 再根据幂函数的单调性可得 ,故 B 错误; 再根据对数函数的单调性可得 ,故 C 正确; 由 x3y3,函数 y 在(0,+)上是减函数,可得 ,故 D 错误, 故选:C 4 在ABC 中, M 是 BC 的中点, AM1, 点 P 满足 ,则 ( ) A2 B2 C D 【分析】由题设条件 2 ,故可得 ( ) 2,由 于

10、线段 AM 长度可以求出,故可解出 ( )的值 解: , M 为 PA 的中点,又 AM1,M 是 BC 的中点, 2 2, 故选:B 5设函数 , ,则函数 f(x)是( ) A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数 【分析】 首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为yAsinx的形式, 然后由yAsinx 的性质得出相应的结论 解:f(x) sin2x 所以 T,且为奇函数 故选:A 6过点(2,0)且倾斜角为 的直线 l 与圆 x 2+y25 相交于 M、N 两点,则线段 MN 的长 为( ) A B3 C D6 【分析】用点斜

11、式求出直线 l 的方程,再求出圆心到直线的距离,利用弦长公式求出线 段 MN 的长 解:过点(2,0)且倾斜角为 的直线 l 的斜率为 1,方程为 y0(x+2),xy+2 0, 圆 x2+y25 的圆心到直线 xy+20 的距离等于 , 由弦长公式得 MN2 2 , 故选:C 7 一个各面都涂满红色的 444 (长、 宽、 高均为 4) 正方体, 被锯成同样大小的单位 (长 宽高均为 1)小正方体,将这些小正方体放在一个不透明的袋子中,充分混合后,从中任 取一个小正方体,则取出仅有一面涂有色彩的小正方体的概率为( ) A B C D 【分析】 本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件是把一个

12、各面都涂满红色的 444 正方体,锯成同样大小的单位小正方体,共有 444 种结果,满足条件的事件是仅有 一面涂有色彩的小正方体,共有 46 种结果,得到概率 解:由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件是把一个各面都涂满红色的 444 正方体, 锯成同样大小的单位小正方体,共有 44464 种结果, 满足条件的事件是仅有一面涂有色彩的小正方体,共有 4624 种结果, 根据古典概型概率公式得到 P , 故选:D 8设 F1,F2是双曲线 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|4|PF2|,则 PF1F2的面积等于( ) A B C24 D48 【分析】 先由双曲线的方程求

13、出|F1F2|10, 再由 3|PF1|4|PF2|, 求出|PF1|8, |PF2|6, 由此能求出PF1F2的面积 解:F1(5,0),F2(5,0),|F1F2|10, 3|PF1|4|PF2|,设|PF2|x,则 , 由双曲线的性质知 ,解得 x6 |PF1|8,|PF2|6, F1PF290, PF1F2的面积 故选:C 二、多项选择题:(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求全部选对的得 5 分,优题速享部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分) 9如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“互为生成”函数则下 列函数可以构

14、成互生函数是( ) Af(x)sinx+cosx B Cf(x)sinx D 【分析】根据新定义和利用三角函数的图象的性质可得答案 解:f(x)sinx+cosx sin(x ), 将函数的图象向右平移 个单位,在向上平移 个单位可得函数 , 根据题意如果若干个函数的图象经过平移后能够重合, 则称这些函数为“互为生成”函数 则函数可以构成互生函数是 A、D, 故选:AD 10平面 外有两条直线 m 和 n,从下面的条件中可以推出 mn 的是( ) Am,n Bm,n Cm,n Dm,n 【分析】在 A 中,则由线面垂直的性质定理得 mn;在 B 中,m,n 平行;在 C 中,由 线面垂直的性质

15、定理得 mn;在 D 中,m,n 相交、平行或异面 解:由平面 外有两条直线 m 和 n,知: 在 A 中,若 m,n,则由线面垂直的性质定理得 mn,故 A 正确; 在 B 中,若 m,n,则 m,n 平行,故 B 错误; 在 C 中,若 m,n,则由线面垂直的性质定理得 mn,故 C 正确; 在 D 中,若 m,n,则 m,n 相交、平行或异面,故 D 错误 故选:AC 11设 yf(x)是定义在 R 上的偶函数,满足 f(x+1)f(x),且在1,0上是增函 数,给出下列关于函数 yf(x)的判断正确的是( ) Ayf(x)是周期为 2 的函数 Byf(x)的图象关于直线 x1 对称 C

16、yf(x)在0,1上是增函数 D 【分析】由 yf(x)是定义在 R 上的偶函数,满足 f(x+1)f(x),且在1,0 上是增函数,可得 f(x)f(x+2),求出周期,因为 f(x)f(x),所以 f(x) f(x+2),可得 x1 是对称轴及在0,1上单调递减,因为 f(x+1)f(x),令 x 可得 f( )f( )可得 f( )f( ),所以 f( )0,故选出答案 解:因为 yf(x)是定义在 R 上的偶函数,满足 f(x+1)f(x),所以 f(x) f(x+1),而 f(x)f(x1), 所以 f(x1)f(x+1),即 f(x)f(x+2),所以可得函数的周期 T2,所以 A

17、 正 确, 因为 f(x)f(x),所以 f(x)f(x+2),所以对称轴 x 1,即关于 x1 对称,所以 B 正确; 由函数 f(x)为偶函数关于 y 轴对称,又在1,0上是增函数,所以在0,1上单调递 减,故 C 不正确; 因为 f(x+1)f(x),令 x 可得 f( )f( )可得 f( )f( ),所 以 f( )0,所以 D 正确, 故选:ABD 12已知函数 f(x)x3+ax2+bx+c,在定义域 x 2,2上表示的曲线过原点,且在 x 1 处的切线斜率均为1下列说法正确的是( ) Af(x)是奇函数 B若 f(x)在s,t内递减,则|ts|的最大值为 4 C若 f(x)的最

18、大值为 M,则最小值为M D若对x 2,2,kf(x)恒成立,则 k 的最大值为 2 【分析】利用过原点求出 c 的值为 0,再根据在 x1 或 1 处的导数为1,列方程组求 出 a,b 解:由题意 f(0)0,得 c0 f(x)3x2+2ax+b, ,解得 a0,b4 f(x)x34x,f(x)3x24 对于 A,C,显然 f(x)f(x),f(x)是奇函数,故 A,C 正确; 对于 B,令 f(x)0 解得 ,所以 ,故 B 错误; 对于 D,当 x 2,2时,3x244,故 k 的最大值为4故 D 错误 故选:AC 三、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13点 M(5,3)到抛物线

19、x2ay(a0)的准线的距离为 6,那么抛物线的方程是 x2 12y 【分析】 先根据抛物线的方程表示出抛物线的准线方程, 然后表示出点 M到准线的距离, 根据结果为 6 求得 a,则抛物线的方程可得 解:根据抛物线方程可知抛物线的准线为 y 则点 M 到准线的距离为|3 |6,求得 a12 或 a36, 故抛物线方程为 x212y, 故答案为:x212y 14若 展开式中第 2 项与第 6 项的系数相同,则 n 6 ,那么展开式的常数项为 20 【分析】利用二项式系数的性质可知 ,从而得 n6,于是利用二项展开式的通 项公式即可求得常数项 解:由题可得 ,从而得 n6; (x ) 6 的展开

20、式的通项公式为: x6r x62r; 令 62r0 可得 r3; 展开式的常数项为: 20; 故答案为:6,20 15已知函数 ,且关于 x 的方程 f(x)+xa0 有且只有 一个实根,则实数 a 的范围是 (1,+) 【分析】关于 x 的方程 f(x)+xa0 有且只有一个实根yf(x)与 yx+a 的图 象只有一个交点,结合图象可求观察 解:关于 x 的方程 f(x)+xa0 有且只有一个实根yf(x)与 yx+a 的图象只 有一个交点,画出函数的图象如下图, 观察函数的图象可知当 a1 时,yf(x)与 yx+a 的图象只有一个交点 故答案为:(1,+) 16为了解某班学生喜爱打篮球是

21、否与性别有关,对该班 50 名学生进行了问卷调查,得到 了如表的 22 列联表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 则至少有的把握认为喜爱打篮球与性别有关? 99.5% (请用百分数表示) 附: P(K2k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】由独立性检验公式: 求出 K 2,结合表格数据判断 出 即可 解:由独立性检验公式: 7.879, 故至少有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关, 故答案为:

22、99.5% 四、解答题(本题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17在ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,若 tanA3,cosC (1)求角 B 的大小; (2)若 c4,求ABC 面积 【分析】(1)求出 C 的正切函数值,利用两角和的正切函数求解即可 (2)利用正弦定理求出 b,然后求解 A 的正弦函数值,然后求解三角形的面积 解:(1)cosC ,sinC ,tanC2 tanBtan(A+C) 1, 又 0B,B (2)由正弦定理,得 ,b B ,A CsinAsin( C)sin cosCcos sinC ( ) SABC bcsi

23、nA 4 6 18已知数列 满足 ,且 (I)求证:数列 是等差数列,并求 an; (II)令 ,求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】(I)对 两边同时减去 1,整理得到 , 然后两边同时取倒数得到 ,即 ,进而可证 数列 是等差数列,结合等差数列的定义可得到 ,整理即可得到 an的表达式 (II)先根据(I)中的 an的表达式表示出 bn,然后根据数列求和的裂项法求得答案 解:(I) 故 数列 是公差为 的等差数列 而 , (II)由(I)知 故 Tnb1+b2+bn 19一个袋中装有黑球,白球和红球共 n(n N*)个,这些球除颜色外完全相同已知从袋 中任意摸出 1 个球,得到黑球的概

24、率是 现从袋中任意摸出 2 个球 (1)若 n15,且摸出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率是 ,设 表示摸出的 2 个球中 红球的个数,求随机变量 的概率分布及数学期望 E; (2)当 n 取何值时,摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的概率最大,最大概率为多少? 【分析】(1)根据题意设出黑球和白球的个数,列出关于概率的方程,解出两种球的个 数,由题意知变量取值,根据对应的事件做出分布列,求出期望 (2)设袋中有黑球个数,设从袋中任意摸出两个球,至少得到一个黑球为事件 C,用摸 出的 2 个球中至少有 1 个黑球的对立事件摸两个球没有黑球,表示出概率,得到结果 解:(1)设袋中黑球的个

25、数为 x(个), 记“从袋中任意摸出一个球,得到黑球”为事件 A, 则 x6 设袋中白球的个数为 y(个), 记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 B, 则 , y229y+1200,y5 或 y24(舍) 红球的个数为 15654(个) 随机变量 的取值为 0,1,2,分布列是 的数学期望 ; (2)设袋中有黑球 z 个,则 , , ,) 设“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个黑球”为事件 C, 用摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的对立事件求出 则 , 当 n5 时,P(C)最大,最大值为 20如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为菱形,BAD60,Q 为 AD

26、 的中点 ()若 PAPD,求证:平面 PQB平面 PAD; ()点 M 在线段 PC 上,PMtPC,试确定实数 t 的值,使 PA平面 MQB; ()在()的条件下,若平面 PAD平面 ABCD,且 PAPDAD2,求二面角 M BQC 的大小 【分析】 (1)证明平面 PAD 内的直线 AD,垂直平面 PQB 内的两条相交直线 BQ,PQ, 即可证明平面 PQB平面 PAD; (2)连 AC 交 BQ 于 N,交 BD 于 O,说明 PA平面 MQB,利用 PAMN,根据三角形 相似,即可得到结论; (3)建立空间直角坐标系,先求出平面 MQB 的法向量,平面 ABCD 的法向量,利用向

27、 量的夹角公式即可求解 【解答】(1)证明:连 BD, 四边形 ABCD 菱形,BAD60,ABD 为正三角形, Q 为 AD 中点,ADBQ PAPD,Q 为 AD 的中点,ADPQ 又 BQPQQ,AD平面 PQB,AD平面 PAD 平面 PQB平面 PAD; (2)当 t 时,使得 PA平面 MQB, 连 AC 交 BQ 于 N,交 BD 于 O,连接 MN,则 O 为 BD 的中点, 又BQ 为ABD 边 AD 上中线,N 为正三角形 ABD 的中心, 令菱形 ABCD 的边长为 a,则 AN a,AC a PA平面 MQB,PA平面 PAC,平面 PAC平面 MQBMN PAMN 即

28、:PM PC,t ; (3)由 PAPDAD2,Q 为 AD 的中点,则 PQAD,又平面 PAD平面 ABCD, 所以 PQ平面 ABCD, 以 Q 为坐标原点,分别以 QA、QB、QP 所在的直线为 x,y,z 轴,建立如图所示的坐标 系,则各点坐标为 A(1,0,0),B(0, ,0),Q(0,0,0),P(0,0, ) 设平面 MQB 的法向量为 , , ,可得 , 而 PAMN, ,y0,x , , 取平面 ABCD 的法向量 , , cos , 二面角 MBQC 的大小为 60 21已知函数 f(x) lnx ()当 a1 时,求 f(x)在 ,2上最大值及最小值; ()当 1x2

29、 时,求证(x+1)lnx2(x1) 【分析】()求出 f(x),求 f(x),根据导数符号判断函数 f(x)在 , 上的 极值情况,再求端点值,即可得到函数 f(x)的最值 ()为便于求导数,因为 x+10,所以要证明原不等式成立,只要证明 即 可构造函数 F(x) ,求导数 F(x)判断函数 F(x)在(1,2)上的 单调性,经判断得到 F(x)在(1,2)上单调递增,所以 F(x)F(1)0,这样即 证出 lnx ,所以证出原不等式 解:()f(x) ,f(x) ; x , 时,f(x)0;x (1,2时,f(x)0; f(1)0 是函数 f (x) 的极小值, 即 f(x) 的最小值;

30、又 f ( )1ln2,f(2) ln2 ; f(x)的最大值是 1ln2; 函数 f(x)在 , 上的最小值是 0,最大值是 1ln2; ()x+10,要证明原不等式成立,只要证明 ; 设 F(x) ,则 F(x) ; 函数 F(x)在(1,2)上是增函数,F(x)F(1)0; ; 原不等式成立 22已知椭圆两焦点 F1、F2在 y 轴上,短轴长为 ,离心率为 ,P 是椭圆在第一象限弧 上一点, 且 , 过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、 PB 分别交椭圆于 A、 B 两点 (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值 【分析】(1)设出椭圆的标准方程,根据题意

31、可知 b,进而根据离心率和 a,b 和 c 的关 系求得 a 和 c,则椭圆的方程可得进而求得焦点的坐标,设出点 P 的坐标,分别表示 出 和 ,进而根据 求得 x0和 y0的关系式,把点 P 的坐标代入椭圆 方程求和另一个关系式,联立方程求得 x0和 y0即 P 的坐标 (2)根据(1)可知 PF1x 轴,设 PB 的斜率为 k,根据点斜式表示出直线的方程,与 椭圆的方程联立消去 y,设出 B 的坐标,根据题意可求得 xB的表达式,同理求得 xA的表 达式,进而可知 xAxB的表达式,根据直线方程求得 yAyB,进而根据斜率公式求得直 线 AB 的斜率,结果为定值 解:(1)设椭圆的方程为

32、1,由题意可得 b , ,即 a c, a2c22 c ,a2 椭圆方程为 1 焦点坐标为(0, ),(0, ),设 p(x0,y0)(x00,y00) 则 (x0, y0), (x0, y0), x0 2(2y 0 2)1 点 P 在曲线上,则 1 x02 , 从而 (2y0 2)1,得 y 0 ,则点 P 的坐标为(1, ) (2)由(1)知 PF1x 轴,直线 PA,PB 斜率互为相反数,设 PB 的斜率为 k(k0), 则 PB 的直线方程为 y k(x1),由 得 (2+k2)x2+2k( k)x+( k2)40 设 B(xB,yB),则 xB 1 , 同理可得 ,则 , yAyBk(xA1)k(xB1) 所以 AB 的斜率 kAB 为定值