1、2020 年山东省高考数学（年山东省高考数学（4 月份）模拟试卷月份）模拟试卷 一、选择题. 1复数 （i 为虚数单位）等于（ ） A1 B1 Ci Di 2若集合 ， ， ，则 AB（ ） A，1 B1，1 C D1 3若 0xy1，则下列不等式成立的是（ ） A B C D 4 在ABC 中， M 是 BC 的中点， AM1， 点 P 满足 ，则 （ ） A2 B2 C D 5设函数 ， ，则函数 f（x）是（ ） A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数 6过点（2，0）且倾斜角为 的直线 l 与圆 x 2+y25 相交于 M
2、、N 两点，则线段 MN 的长 为（ ） A B3 C D6 7 一个各面都涂满红色的 444 （长、 宽、 高均为 4） 正方体， 被锯成同样大小的单位 （长 宽高均为 1）小正方体，将这些小正方体放在一个不透明的袋子中，充分混合后，从中任 取一个小正方体，则取出仅有一面涂有色彩的小正方体的概率为（ ） A B C D 8设 F1，F2是双曲线 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF1|4|PF2|，则 PF1F2的面积等于（ ） A B C24 D48 二、多项选择题：（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得 5 分，优题速
3、享部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分） 9如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数则下 列函数可以构成互生函数是（ ） Af（x）sinx+cosx B Cf（x）sinx D 10平面 外有两条直线 m 和 n，从下面的条件中可以推出 mn 的是（ ） Am，n Bm，n Cm，n Dm，n 11设 yf（x）是定义在 R 上的偶函数，满足 f（x+1）f（x），且在1，0上是增函 数，给出下列关于函数 yf（x）的判断正确的是（ ） Ayf（x）是周期为 2 的函数 Byf（x）的图象关于直线 x1 对称 Cyf（x）在0，1上是增函数 D 12已知函数
4、 f（x）x3+ax2+bx+c，在定义域 x 2，2上表示的曲线过原点，且在 x 1 处的切线斜率均为1下列说法正确的是（ ） Af（x）是奇函数 B若 f（x）在s，t内递减，则|ts|的最大值为 4 C若 f（x）的最大值为 M，则最小值为M D若对x 2，2，kf（x）恒成立，则 k 的最大值为 2 三、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13 点 M （5， 3） 到抛物线 x2ay （a0） 的准线的距离为 6， 那么抛物线的方程是 14若 展开式中第 2 项与第 6 项的系数相同，则 n ，那么展开式的常数项 为 15已知函数 ，且关于 x 的方程 f（x）+xa0 有且只有
5、一个实根，则实数 a 的范围是 16为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班 50 名学生进行了问卷调查，得到 了如表的 22 列联表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 则至少有的把握认为喜爱打篮球与性别有关？ （请用百分数表示） 附： P（K2k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 四、解答题（本题 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在ABC 中，a，b，c 分别是角
6、 A、B、C 的对边，若 tanA3，cosC （1）求角 B 的大小； （2）若 c4，求ABC 面积 18已知数列 满足 ，且 （I）求证：数列 是等差数列，并求 an； （II）令 ，求数列bn的前 n 项和 Tn 19一个袋中装有黑球，白球和红球共 n（n N*）个，这些球除颜色外完全相同已知从袋 中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 现从袋中任意摸出 2 个球 （1）若 n15，且摸出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率是 ，设 表示摸出的 2 个球中 红球的个数，求随机变量 的概率分布及数学期望 E； （2）当 n 取何值时，摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的概率最大，最大
7、概率为多少？ 20如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD60，Q 为 AD 的中点 （）若 PAPD，求证：平面 PQB平面 PAD； （）点 M 在线段 PC 上，PMtPC，试确定实数 t 的值，使 PA平面 MQB； （）在（）的条件下，若平面 PAD平面 ABCD，且 PAPDAD2，求二面角 M BQC 的大小 21已知函数 f（x） lnx （）当 a1 时，求 f（x）在 ，2上最大值及最小值； （）当 1x2 时，求证（x+1）lnx2（x1） 22已知椭圆两焦点 F1、F2在 y 轴上，短轴长为 ，离心率为 ，P 是椭圆在第一象限弧 上一点， 且 ，
8、过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、 PB 分别交椭圆于 A、 B 两点 （1）求 P 点坐标； （2）求证直线 AB 的斜率为定值 参考答案 一、选择题：（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1复数 （i 为虚数单位）等于（ ） A1 B1 Ci Di 【分析】先把 等价转化为 ，由此能求出结果 解： i 故选：C 2若集合 ， ， ，则 AB（ ） A，1 B1，1 C D1 【分析】集合 A 表示的是函数的值域，求出幂函数的值域即集合 A，集合 B 表示的函数 的定义域，令被开方数大于等于 0 求出解集即集合 B
9、；利用交集的定义求出 AB 解： ， y|1y1 集合 x|x1 ABx|1x1 故选：B 3若 0xy1，则下列不等式成立的是（ ） A B C D 【分析】由题意利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，得出结论 解：0xy1，根据指数函数的单调性可得 ，故 A 错误； 再根据幂函数的单调性可得 ，故 B 错误； 再根据对数函数的单调性可得 ，故 C 正确； 由 x3y3，函数 y 在（0，+）上是减函数，可得 ，故 D 错误， 故选：C 4 在ABC 中， M 是 BC 的中点， AM1， 点 P 满足 ，则 （ ） A2 B2 C D 【分析】由题设条件 2 ，故可得 （ ） 2，由 于
10、线段 AM 长度可以求出，故可解出 （ ）的值 解： ， M 为 PA 的中点，又 AM1，M 是 BC 的中点， 2 2， 故选：B 5设函数 ， ，则函数 f（x）是（ ） A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数 【分析】 首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为yAsinx的形式， 然后由yAsinx 的性质得出相应的结论 解：f（x） sin2x 所以 T，且为奇函数 故选：A 6过点（2，0）且倾斜角为 的直线 l 与圆 x 2+y25 相交于 M、N 两点，则线段 MN 的长 为（ ） A B3 C D6 【分析】用点斜
11、式求出直线 l 的方程，再求出圆心到直线的距离，利用弦长公式求出线 段 MN 的长 解：过点（2，0）且倾斜角为 的直线 l 的斜率为 1，方程为 y0（x+2），xy+2 0， 圆 x2+y25 的圆心到直线 xy+20 的距离等于 ， 由弦长公式得 MN2 2 ， 故选：C 7 一个各面都涂满红色的 444 （长、 宽、 高均为 4） 正方体， 被锯成同样大小的单位 （长 宽高均为 1）小正方体，将这些小正方体放在一个不透明的袋子中，充分混合后，从中任 取一个小正方体，则取出仅有一面涂有色彩的小正方体的概率为（ ） A B C D 【分析】 本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件是把一个
12、各面都涂满红色的 444 正方体，锯成同样大小的单位小正方体，共有 444 种结果，满足条件的事件是仅有 一面涂有色彩的小正方体，共有 46 种结果，得到概率 解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件是把一个各面都涂满红色的 444 正方体， 锯成同样大小的单位小正方体，共有 44464 种结果， 满足条件的事件是仅有一面涂有色彩的小正方体，共有 4624 种结果， 根据古典概型概率公式得到 P ， 故选：D 8设 F1，F2是双曲线 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF1|4|PF2|，则 PF1F2的面积等于（ ） A B C24 D48 【分析】 先由双曲线的方程求
13、出|F1F2|10， 再由 3|PF1|4|PF2|， 求出|PF1|8， |PF2|6， 由此能求出PF1F2的面积 解：F1（5，0），F2（5，0），|F1F2|10， 3|PF1|4|PF2|，设|PF2|x，则 ， 由双曲线的性质知 ，解得 x6 |PF1|8，|PF2|6， F1PF290， PF1F2的面积 故选：C 二、多项选择题：（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得 5 分，优题速享部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分） 9如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数则下 列函数可以构
14、成互生函数是（ ） Af（x）sinx+cosx B Cf（x）sinx D 【分析】根据新定义和利用三角函数的图象的性质可得答案 解：f（x）sinx+cosx sin（x ）， 将函数的图象向右平移 个单位，在向上平移 个单位可得函数 ， 根据题意如果若干个函数的图象经过平移后能够重合， 则称这些函数为“互为生成”函数 则函数可以构成互生函数是 A、D， 故选：AD 10平面 外有两条直线 m 和 n，从下面的条件中可以推出 mn 的是（ ） Am，n Bm，n Cm，n Dm，n 【分析】在 A 中，则由线面垂直的性质定理得 mn；在 B 中，m，n 平行；在 C 中，由 线面垂直的性质
15、定理得 mn；在 D 中，m，n 相交、平行或异面 解：由平面 外有两条直线 m 和 n，知： 在 A 中，若 m，n，则由线面垂直的性质定理得 mn，故 A 正确； 在 B 中，若 m，n，则 m，n 平行，故 B 错误； 在 C 中，若 m，n，则由线面垂直的性质定理得 mn，故 C 正确； 在 D 中，若 m，n，则 m，n 相交、平行或异面，故 D 错误 故选：AC 11设 yf（x）是定义在 R 上的偶函数，满足 f（x+1）f（x），且在1，0上是增函 数，给出下列关于函数 yf（x）的判断正确的是（ ） Ayf（x）是周期为 2 的函数 Byf（x）的图象关于直线 x1 对称 C
16、yf（x）在0，1上是增函数 D 【分析】由 yf（x）是定义在 R 上的偶函数，满足 f（x+1）f（x），且在1，0 上是增函数，可得 f（x）f（x+2），求出周期，因为 f（x）f（x），所以 f（x） f（x+2），可得 x1 是对称轴及在0，1上单调递减，因为 f（x+1）f（x），令 x 可得 f（ ）f（ ）可得 f（ ）f（ ），所以 f（ ）0，故选出答案 解：因为 yf（x）是定义在 R 上的偶函数，满足 f（x+1）f（x），所以 f（x） f（x+1），而 f（x）f（x1）， 所以 f（x1）f（x+1），即 f（x）f（x+2），所以可得函数的周期 T2，所以 A
17、 正 确， 因为 f（x）f（x），所以 f（x）f（x+2），所以对称轴 x 1，即关于 x1 对称，所以 B 正确； 由函数 f（x）为偶函数关于 y 轴对称，又在1，0上是增函数，所以在0，1上单调递 减，故 C 不正确； 因为 f（x+1）f（x），令 x 可得 f（ ）f（ ）可得 f（ ）f（ ），所 以 f（ ）0，所以 D 正确， 故选：ABD 12已知函数 f（x）x3+ax2+bx+c，在定义域 x 2，2上表示的曲线过原点，且在 x 1 处的切线斜率均为1下列说法正确的是（ ） Af（x）是奇函数 B若 f（x）在s，t内递减，则|ts|的最大值为 4 C若 f（x）的最
18、大值为 M，则最小值为M D若对x 2，2，kf（x）恒成立，则 k 的最大值为 2 【分析】利用过原点求出 c 的值为 0，再根据在 x1 或 1 处的导数为1，列方程组求 出 a，b 解：由题意 f（0）0，得 c0 f（x）3x2+2ax+b， ，解得 a0，b4 f（x）x34x，f（x）3x24 对于 A，C，显然 f（x）f（x），f（x）是奇函数，故 A，C 正确； 对于 B，令 f（x）0 解得 ，所以 ，故 B 错误； 对于 D，当 x 2，2时，3x244，故 k 的最大值为4故 D 错误 故选：AC 三、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13点 M（5，3）到抛物线
19、x2ay（a0）的准线的距离为 6，那么抛物线的方程是 x2 12y 【分析】 先根据抛物线的方程表示出抛物线的准线方程， 然后表示出点 M到准线的距离， 根据结果为 6 求得 a，则抛物线的方程可得 解：根据抛物线方程可知抛物线的准线为 y 则点 M 到准线的距离为|3 |6，求得 a12 或 a36， 故抛物线方程为 x212y， 故答案为：x212y 14若 展开式中第 2 项与第 6 项的系数相同，则 n 6 ，那么展开式的常数项为 20 【分析】利用二项式系数的性质可知 ，从而得 n6，于是利用二项展开式的通 项公式即可求得常数项 解：由题可得 ，从而得 n6； （x ） 6 的展开
20、式的通项公式为： x6r x62r； 令 62r0 可得 r3； 展开式的常数项为： 20； 故答案为：6，20 15已知函数 ，且关于 x 的方程 f（x）+xa0 有且只有 一个实根，则实数 a 的范围是 （1，+） 【分析】关于 x 的方程 f（x）+xa0 有且只有一个实根yf（x）与 yx+a 的图 象只有一个交点，结合图象可求观察 解：关于 x 的方程 f（x）+xa0 有且只有一个实根yf（x）与 yx+a 的图象只 有一个交点，画出函数的图象如下图， 观察函数的图象可知当 a1 时，yf（x）与 yx+a 的图象只有一个交点 故答案为：（1，+） 16为了解某班学生喜爱打篮球是
21、否与性别有关，对该班 50 名学生进行了问卷调查，得到 了如表的 22 列联表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 则至少有的把握认为喜爱打篮球与性别有关？ 99.5% （请用百分数表示） 附： P（K2k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】由独立性检验公式： 求出 K 2，结合表格数据判断 出 即可 解：由独立性检验公式： 7.879， 故至少有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关， 故答案为：
22、99.5% 四、解答题（本题 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在ABC 中，a，b，c 分别是角 A、B、C 的对边，若 tanA3，cosC （1）求角 B 的大小； （2）若 c4，求ABC 面积 【分析】（1）求出 C 的正切函数值，利用两角和的正切函数求解即可 （2）利用正弦定理求出 b，然后求解 A 的正弦函数值，然后求解三角形的面积 解：（1）cosC ，sinC ，tanC2 tanBtan（A+C） 1， 又 0B，B （2）由正弦定理，得 ，b B ，A CsinAsin（ C）sin cosCcos sinC （ ） SABC bcsi
23、nA 4 6 18已知数列 满足 ，且 （I）求证：数列 是等差数列，并求 an； （II）令 ，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】（I）对 两边同时减去 1，整理得到 ， 然后两边同时取倒数得到 ，即 ，进而可证 数列 是等差数列，结合等差数列的定义可得到 ，整理即可得到 an的表达式 （II）先根据（I）中的 an的表达式表示出 bn，然后根据数列求和的裂项法求得答案 解：（I） 故 数列 是公差为 的等差数列 而 ， （II）由（I）知 故 Tnb1+b2+bn 19一个袋中装有黑球，白球和红球共 n（n N*）个，这些球除颜色外完全相同已知从袋 中任意摸出 1 个球，得到黑球的概
24、率是 现从袋中任意摸出 2 个球 （1）若 n15，且摸出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率是 ，设 表示摸出的 2 个球中 红球的个数，求随机变量 的概率分布及数学期望 E； （2）当 n 取何值时，摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的概率最大，最大概率为多少？ 【分析】（1）根据题意设出黑球和白球的个数，列出关于概率的方程，解出两种球的个 数，由题意知变量取值，根据对应的事件做出分布列，求出期望 （2）设袋中有黑球个数，设从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球为事件 C，用摸 出的 2 个球中至少有 1 个黑球的对立事件摸两个球没有黑球，表示出概率，得到结果 解：（1）设袋中黑球的个
25、数为 x（个）， 记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件 A， 则 x6 设袋中白球的个数为 y（个）， 记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件 B， 则 ， y229y+1200，y5 或 y24（舍） 红球的个数为 15654（个） 随机变量 的取值为 0，1，2，分布列是 的数学期望 ； （2）设袋中有黑球 z 个，则 ， ， ，） 设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件 C， 用摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的对立事件求出 则 ， 当 n5 时，P（C）最大，最大值为 20如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD60，Q 为 AD
26、 的中点 （）若 PAPD，求证：平面 PQB平面 PAD； （）点 M 在线段 PC 上，PMtPC，试确定实数 t 的值，使 PA平面 MQB； （）在（）的条件下，若平面 PAD平面 ABCD，且 PAPDAD2，求二面角 M BQC 的大小 【分析】 （1）证明平面 PAD 内的直线 AD，垂直平面 PQB 内的两条相交直线 BQ，PQ， 即可证明平面 PQB平面 PAD； （2）连 AC 交 BQ 于 N，交 BD 于 O，说明 PA平面 MQB，利用 PAMN，根据三角形 相似，即可得到结论； （3）建立空间直角坐标系，先求出平面 MQB 的法向量，平面 ABCD 的法向量，利用向
27、 量的夹角公式即可求解 【解答】（1）证明：连 BD， 四边形 ABCD 菱形，BAD60，ABD 为正三角形， Q 为 AD 中点，ADBQ PAPD，Q 为 AD 的中点，ADPQ 又 BQPQQ，AD平面 PQB，AD平面 PAD 平面 PQB平面 PAD； （2）当 t 时，使得 PA平面 MQB， 连 AC 交 BQ 于 N，交 BD 于 O，连接 MN，则 O 为 BD 的中点， 又BQ 为ABD 边 AD 上中线，N 为正三角形 ABD 的中心， 令菱形 ABCD 的边长为 a，则 AN a，AC a PA平面 MQB，PA平面 PAC，平面 PAC平面 MQBMN PAMN 即
28、：PM PC，t ； （3）由 PAPDAD2，Q 为 AD 的中点，则 PQAD，又平面 PAD平面 ABCD， 所以 PQ平面 ABCD， 以 Q 为坐标原点，分别以 QA、QB、QP 所在的直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的坐标 系，则各点坐标为 A（1，0，0），B（0， ，0），Q（0，0，0），P（0，0， ） 设平面 MQB 的法向量为 ， ， ，可得 ， 而 PAMN， ，y0，x ， ， 取平面 ABCD 的法向量 ， ， cos ， 二面角 MBQC 的大小为 60 21已知函数 f（x） lnx （）当 a1 时，求 f（x）在 ，2上最大值及最小值； （）当 1x2
29、 时，求证（x+1）lnx2（x1） 【分析】（）求出 f（x），求 f（x），根据导数符号判断函数 f（x）在 ， 上的 极值情况，再求端点值，即可得到函数 f（x）的最值 （）为便于求导数，因为 x+10，所以要证明原不等式成立，只要证明 即 可构造函数 F（x） ，求导数 F（x）判断函数 F（x）在（1，2）上的 单调性，经判断得到 F（x）在（1，2）上单调递增，所以 F（x）F（1）0，这样即 证出 lnx ，所以证出原不等式 解：（）f（x） ，f（x） ； x ， 时，f（x）0；x （1，2时，f（x）0； f（1）0 是函数 f （x） 的极小值， 即 f（x） 的最小值；
30、又 f （ ）1ln2，f（2） ln2 ； f（x）的最大值是 1ln2； 函数 f（x）在 ， 上的最小值是 0，最大值是 1ln2； （）x+10，要证明原不等式成立，只要证明 ； 设 F（x） ，则 F（x） ； 函数 F（x）在（1，2）上是增函数，F（x）F（1）0； ； 原不等式成立 22已知椭圆两焦点 F1、F2在 y 轴上，短轴长为 ，离心率为 ，P 是椭圆在第一象限弧 上一点， 且 ， 过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、 PB 分别交椭圆于 A、 B 两点 （1）求 P 点坐标； （2）求证直线 AB 的斜率为定值 【分析】（1）设出椭圆的标准方程，根据题意
31、可知 b，进而根据离心率和 a，b 和 c 的关 系求得 a 和 c，则椭圆的方程可得进而求得焦点的坐标，设出点 P 的坐标，分别表示 出 和 ，进而根据 求得 x0和 y0的关系式，把点 P 的坐标代入椭圆 方程求和另一个关系式，联立方程求得 x0和 y0即 P 的坐标 （2）根据（1）可知 PF1x 轴，设 PB 的斜率为 k，根据点斜式表示出直线的方程，与 椭圆的方程联立消去 y，设出 B 的坐标，根据题意可求得 xB的表达式，同理求得 xA的表 达式，进而可知 xAxB的表达式，根据直线方程求得 yAyB，进而根据斜率公式求得直 线 AB 的斜率，结果为定值 解：（1）设椭圆的方程为
32、1，由题意可得 b ， ，即 a c， a2c22 c ，a2 椭圆方程为 1 焦点坐标为（0， ），（0， ），设 p（x0，y0）（x00，y00） 则 （x0， y0）， （x0， y0）， x0 2（2y 0 2）1 点 P 在曲线上，则 1 x02 ， 从而 （2y0 2）1，得 y 0 ，则点 P 的坐标为（1， ） （2）由（1）知 PF1x 轴，直线 PA，PB 斜率互为相反数，设 PB 的斜率为 k（k0）， 则 PB 的直线方程为 y k（x1），由 得 （2+k2）x2+2k（ k）x+（ k2）40 设 B（xB，yB），则 xB 1 ， 同理可得 ，则 ， yAyBk（xA1）k（xB1） 所以 AB 的斜率 kAB 为定值