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2020年山东省青岛市高考数学一模试卷(含答案解析)

1、2020 年高考数学一模试卷年高考数学一模试卷 一、选择题. 1已知 i 是虚数单位,复数 ,则 z 的共轭复数 的虚部为( ) Ai B1 Ci D1 2已知集合 AxR|log2x2,集合 BxR|x1|2,则 AB( ) A(0,3) B(1,3) C(0,4) D(,3) 3 已知某市居民在 2019 年用于手机支付的个人消费额 (单位: 元) 服从正态分布 N (2000, 1002),则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为( ) 附:随机变量 服从正态分布 N(,2),则 P(+)0.6826,P( 2+2)0.9544,P(3+3)0.9974 A0.97

2、59 B0.84 C0.8185 D0.4772 4设 a20.2,bsin2,clog20.2,则 a,b,c 的大小关系正确的是( ) Aabc Bbac Cbca Dcab 5已知函数 f(x) , , (e2.718为自然对数的底数),若 f(x)的零点 为 ,极值点为 ,则 +( ) A1 B0 C1 D2 6已知四棱锥 PABCD 的所有棱长均相等,点 E,F 分别在线段 PA,PC 上,且 EF底 面 ABCD,则异面直线 EF 与 PB 所成角的大小为( ) A30 B45 C60 D90 7在同一直角坐标系下,已知双曲线 C: , 的离心率为 ,双曲 线 C 的一个焦点到一条

3、渐近线的距离为 2, 函数 的图象向右平移 单位后 得到曲线 D,点 A,B 分别在双曲线 C 的下支和曲线 D 上,则线段 AB 长度的最小值为 ( ) A2 B C D1 8某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新 题型”三类题型,每类题型均指定一道题让参赛者回答已知某位参赛者答对每道题的 概率均为 ,且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率 ( ) A B C D 二 多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 在每小题给出的四个选项中,有多项符 合题目要求 全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的

4、得 0 分 9 已知向量 , , , , , , 设 , 的夹角为 , 则 ( ) A| | | B C D135 10已知函数 ,xR,则( ) A2f(x)2 Bf(x) 在区间(0,)上只有 1 个零点 Cf(x) 的最小正周期为 Dx 为 f(x)图象的一条对称轴 11已知数列an的前 n 项和为 Sn,a11,Sn+1Sn+2an+1,数列 的前 n 项和为 , ,则下列选项正确的为( ) A数列an+1是等差数列 B数列an+1是等比数列 C数列an的通项公式为 DTn1 12 已知四棱台 ABCDA1B1C1D1的上下底面均为正方形, 其中 AB2 , A 1B1 , 2,则下述

5、正确的是( ) A该四棱合的高为 BAA1CC1 C该四棱台的表面积为 26 D该四棱合外接球的表面积为 16 三、填空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分 13若x(0,+),4x+x1a 恒成立,则实数 a 的取值范围为 14已知函数 f(x)的定义域为 R,f(x+1)为奇函数,f(0)1,则 f(2) 15已知 aN,二项式 展开式中含有 x2项的系数不大于 240,记 a 的取值集合为 A,则由集合 A 中元素构成的无重复数字的三位数共有 个 162020 年是中国传统的农历“鼠年”,有人用 3 个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q (0,3)是圆 Q 的圆心,圆 Q

6、过坐标原点 O;点 L、S 均在 x 轴上,圆 L 与圆 S 的半 径都等于 2,圆 S、圆 L 均与圆 Q 外切已知直线 l 过点 O (1)若直线 l 与圆 L、圆 S 均相切,则 l 截圆 Q 所得弦长为 ; (2)若直线 l 截圆 L、圆 S、圆 Q 所得弦长均等于 d,则 d 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17 设等差数列an的前 n 项和为 Sn, 等比数列bn的前 n 项和为 Tn 已知 a1b12, S26, S312, ,nN * (1)求an,bn的通项公式; (2)是否存在正整数 k,使得 Sk6k 且 ?若存在,求出

7、k 的值;若不存在,请说 明理由 18在ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,2b2(b2+c2a2)(1tanA) (1)求角 C; (2)若 ,D 为 BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求 AD 的长度 条件:ABC 的面积 S4 且 BA; 条件: 注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分 19在如图所示的四棱锥 EABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,BCE 为边长为 2 的等边三角形,ABAE,点 F,O 分别为 AB,BE 的中点,OF 是异面直线 AB 和 OC 的 公垂线 (1)证明:平面 ABE平面 BCE; (2)记 OCDE 的重心为

8、G,求直线 AG 与平面 ABCD 所成角的正弦值 20某网络购物平台每年 11 月 11 日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广 大消费者喜爱 (1)已知该网络购物平台近 5 年“双十”购物节当天成交额如表: 年份 2015 2016 2017 2018 2019 成交额(百亿元) 9 12 17 21 27 求成交额 y (百亿元) 与时间变量 x (记 2015 年为 x1, 2016 年为 x2, 依此类推) 的线性回归方程,并预测 2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元); (2)在 2020 年“双十一”购物节前,某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上

9、 分别参加 A、B 两店各一个订单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸、妈妈在 A、B 两店订 单“秒杀”成功的概率分别为 p、q,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为 X (i)求 X 的分布列及 E(X); (ii)已知每个订单由 k(k2,kN*)件商品 W 构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的 商品 W 总数量为 Y, 假设 , , 求 E (Y) 取最大值时正整数 k 的值 附:回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: ;a 21已知 O 为坐标原点,椭圆 C: 的左,右焦点分别为点 F1,F2,F2 又恰为抛物线 D:y24x 的焦点,以 F1F2为直径的圆与椭圆 C 仅有两个

10、公共点 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l 与 D 相交于 A,B 两点,记点 A,B 到直线 x1 的距离分别为 d1,d2, |AB|d1+d2直线 l 与 C 相交于 E,F 两点,记OAB,OEF 的面积分别为 S1,S2 (i)证明:EFF1的周长为定值; (ii)求 的最大值 22已知函数 f(x)axlnxx2+2 的图象在点(1,1)处的切线方程为 y1 (1)当 x(0,2)时,证明:0f(x)2; (2)设函数 g(x)xf(x),当 x(0,1)时,证明:0g(x)1; (3)若数列an满足: , , 证明: 参考答案 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小

11、题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1已知 i 是虚数单位,复数 ,则 z 的共轭复数 的虚部为( ) Ai B1 Ci D1 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出 解: 2i,则 z 的共轭复数 2+i 的虚部为 1 故选:B 2已知集合 AxR|log2x2,集合 BxR|x1|2,则 AB( ) A(0,3) B(1,3) C(0,4) D(,3) 【分析】先求出集合 A,集合 B,由此能求出 AB 解:集合 AxR|log2x2x|0x4, 集合 BxR|x1|2x|1x3, ABx|0x3(0,3) 故选:A 3 已知某

12、市居民在 2019 年用于手机支付的个人消费额 (单位: 元) 服从正态分布 N (2000, 1002),则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为( ) 附:随机变量 服从正态分布 N(,2),则 P(+)0.6826,P( 2+2)0.9544,P(3+3)0.9974 A0.9759 B0.84 C0.8185 D0.4772 【分析】由已知可得 2000,100,然后结合与 2原则求解 解: 服从正态分布 N(2000,1002), 2000,100, 则 P(19002200)P(+) P(2+2)P( +) 0.6826 (0.95440.6826)0.818

13、5 故选:C 4设 a20.2,bsin2,clog20.2,则 a,b,c 的大小关系正确的是( ) Aabc Bbac Cbca Dcab 【分析】把它们和 0,1 比较,可得出结果 解:a20.21,0bsin21,clog20.20, 则 abc, 故选:A 5已知函数 f(x) , , (e2.718为自然对数的底数),若 f(x)的零点 为 ,极值点为 ,则 +( ) A1 B0 C1 D2 【分析】令 f(x)0 可求得其零点,即 的值,再利用导数可求得其极值点,即 的 值,从而可得答案 解:f(x) , , , 当 x0 时,f(x)0,即 3x90,解得 x2; 当 x0 时

14、,f(x)xex0 恒成立, f(x)的零点为 2 又当 x0 时,f(x)3x9 为增函数,故在0,+)上无极值点; 当 x0 时,f(x)xex,f(x)(1+x)ex, 当 x1 时,f(x)0,当 x1 时,f(x)0, x1 时,f(x)取到极小值,即 f(x)的极值点 1, +211 故选:C 6已知四棱锥 PABCD 的所有棱长均相等,点 E,F 分别在线段 PA,PC 上,且 EF底 面 ABCD,则异面直线 EF 与 PB 所成角的大小为( ) A30 B45 C60 D90 【分析】连接 AC,BD,设 ACBDO,由线面平行的性质定理推得 EFAC,运用线 面垂直的判定定

15、理可得 AC平面 PBD, 再由线面垂直的性质定理和平行线的性质, 即可 得到所求角 解:连接 AC,BD,设 ACBDO, 则 EF平面 PAC,平面 PAC平面 ABCDAC, 由 EF底面 ABCD,可得 EFAC, 由四边形 ABCD 为菱形,可得 ACBD, 由 O 为 AC 的中点,PAPC,可得 POAC, 又 BDOPO,可得 AC平面 PBD,则 ACPB, 又 EFAC,可得 EFPB, 即异面直线 EF 与 PB 所成角的大小为 90 故选:D 7在同一直角坐标系下,已知双曲线 C: , 的离心率为 ,双曲 线 C 的一个焦点到一条渐近线的距离为 2, 函数 的图象向右平

16、移 单位后 得到曲线 D,点 A,B 分别在双曲线 C 的下支和曲线 D 上,则线段 AB 长度的最小值为 ( ) A2 B C D1 【分析】显然双曲线是等轴双曲线,结合焦点到渐近线的距离求出系数 a,b再画出曲 线 D 的图象和双曲线的图象,观察图象可得解 解:因为离心率为 ,所以该双曲线是等轴双曲线,可设 C 方程为 所以 c ,故焦点为( , ),渐近线 yx, 取(0, )到 xy0 的距离为 2,得 ,解得 ab2 所以双曲线方程为 函数 的图象向右平移 单位后得到曲线 D 的方程为: 同一坐标系做出曲线 C、D 的图象: 由图可知,当 B 点为 ycos2x 与 y 轴的交点(0

17、,1),A 点为双曲线的下顶点(0, 2)时,|AB|最小为 1 故选:D 8某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新 题型”三类题型,每类题型均指定一道题让参赛者回答已知某位参赛者答对每道题的 概率均为 ,且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率 ( ) A B C D 【分析】利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次概率计算公式能求出该参赛者答 完三道题后至少答对两道题的概率 解:某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创 新题型”三类题型, 每类题型均指定一道题让参赛者回答某位参赛者

18、答对每道题的概率均为 ,且各次答对 与否相互独立, 则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率: P( ) 3 故选:A 二 多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 在每小题给出的四个选项中,有多项符 合题目要求 全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分 9 已知向量 , , , , , , 设 , 的夹角为 , 则 ( ) A| | | B C D135 【分析】根据题意,求出 、 的坐标,据此分析选项,综合即可得答案 解:根据题意, (1,1), (3,1),则 (1,1), (2,0), 依次分析选项: 对于 A,| | ,| |2,则| | |

19、不成立,A 错误; 对于 B, (1,1), (1,1),则 0,即 ,B 正确; 对于 C, (2,0), (1,1), 不成立,C 错误; 对于D, (1, 1) , (2, 0) , 则 2, | | , | |2, 则cos , 则 135,D 正确; 故选:BD 10已知函数 ,xR,则( ) A2f(x)2 Bf(x) 在区间(0,)上只有 1 个零点 Cf(x) 的最小正周期为 Dx 为 f(x)图象的一条对称轴 【分析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可 解:已知函数 sin2xcos2x2sin(2x ), xR, 则 A、2f(x)2 正确, B、当 2

20、x k,kZ,即 x ,kZ,f(x) 在区间(0,)上只有 2 个零点, 则 f(x) 在区间(0,)上只有 1 个零点错误, C、f(x) 的最小正周期为 ,正确 D、 当 x 时, 函数 sin2xcos2x2sin (2x ) 2,xR,所以 x 为为 f(x)图象的一条对称轴,正确 故选:ACD 11已知数列an的前 n 项和为 Sn,a11,Sn+1Sn+2an+1,数列 的前 n 项和为 , ,则下列选项正确的为( ) A数列an+1是等差数列 B数列an+1是等比数列 C数列an的通项公式为 DTn1 【分析】由数列的递推式可得 an+1Sn+1Sn2an+1,两边加 1 后,

21、运用等比数列的定义 和通项公式可得 an, ,由数列的裂项相 消求和可得 Tn 解:由 Sn+1Sn+2an+1 即为 an+1Sn+1Sn2an+1, 可化为 an+1+12(an+1),由 S1a11,可得数列an+1是首项为 2,公比为 2 的等比 数列, 则 an+12n,即 an2n1, 又 ,可得 T n 1 1 1, 故 A 错误,B,C,D 正确 故选:BCD 12 已知四棱台 ABCDA1B1C1D1的上下底面均为正方形, 其中 AB2 , A 1B1 , 2,则下述正确的是( ) A该四棱合的高为 BAA1CC1 C该四棱台的表面积为 26 D该四棱合外接球的表面积为 16

22、 【分析】根据棱台的性质,补全为四棱锥,根据题中所给的性质,进行判断 解: 由棱台性质,画出切割前的四棱锥, 由于 AB2 ,A 1B1 ,可知SA1B1 与SAB 相似比为 1:2; 则 SA2AA14,AO2,则 SO2 ,则 OO1 ,该四棱合的高为 ,A 对; 因为 SASCAC4,则 AA1与 CC1夹角为 60,不垂直,B 错; 该四棱台的表面积为 SS上底+S下底+S侧8+4+4 12+6 ,C 错; 由于上下底面都是正方形,则外接球的球心在 OO1上, 在平面 B1BOO1上中,由于 OO1 ,B1O11,则 OB12OB,即点 O 到点 B 与点 B1的距离相等,则 rOB2

23、,该四棱合外接球的表面积为 16,D 对, 故选:AD 三、填空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分 13若x(0,+),4x+x1a 恒成立,则实数 a 的取值范围为 (,4 【分析】直接根据基本不等式求解最值即可求得结论 解:因为x(0,+),4x+x14x 2 4a 恒成立; a4; 故答案为:(,4 14已知函数 f(x)的定义域为 R,f(x+1)为奇函数,f(0)1,则 f(2) 1 【分析】根据题意,分析可得函数 f(x)的图象关于点(1,0)对称,据此可得 f(2) f(0),即可得答案 解:根据题意,函数 f(x+1)为奇函数,则函数 f(x)的图象关于点(1

24、,0)对称, 则有 f(x)f(2x), 又由 f(0)1,则 f(2)f(0)1; 故答案为:1 15已知 aN,二项式 展开式中含有 x2项的系数不大于 240,记 a 的取值集合为 A,则由集合 A 中元素构成的无重复数字的三位数共有 18 个 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 2,根据题意求得 r 的值,可得 A,再利用排列组合的知识求出结果 解:二项式 展开式的通项公式为 Tr+1 (a+1)r x62r, 令 62r2,求得 r2,可得展开式中含有 x2项的系数为 (a+1)215(a+1)2 再根据含有 x2项的系数不大于 240,可得 15(a+1)224

25、0,求得41a41 再根据 aN,可得 a0,1,2,3,即 A0,1,2,3 , 则由集合 A 中元素构成的无重复数字的三位数共 33218, 故答案为:18 162020 年是中国传统的农历“鼠年”,有人用 3 个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q (0,3)是圆 Q 的圆心,圆 Q 过坐标原点 O;点 L、S 均在 x 轴上,圆 L 与圆 S 的半 径都等于 2,圆 S、圆 L 均与圆 Q 外切已知直线 l 过点 O (1)若直线 l 与圆 L、圆 S 均相切,则 l 截圆 Q 所得弦长为 3 ; (2)若直线 l 截圆 L、圆 S、圆 Q 所得弦长均等于 d,则 d 【分析】(1)设出共

26、切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径列出方程求解即可; (2) 设出方程, 分别表示出圆心到直线的距离 d1 , d2 , d3 , 结合弦长公式求得 k,m 即可 解:(1)根据条件得到两圆的圆心坐标分别为(4,0),(4,0), 设公切线方程为 ykx+m(k0)且 k 存在,则 ,解得 k ,m0, 故公切线方程为 y x,则 Q 到直线 l 的距离 d , 故 l 截圆 Q 的弦长2 3; (2)设方程为 ykx+m(k0)且 k 存在,则三个圆心到该直线的距离分别为: d1 ,d2 ,d3 , 则 d24(4d12)4(4d22)4(9d32), 即有( )2( )2,4( )29

27、( ) 2, 解得 m0,代入得 k2 , 则 d24(4 ) ,即 d , 故答案为:3; 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17 设等差数列an的前 n 项和为 Sn, 等比数列bn的前 n 项和为 Tn 已知 a1b12, S26, S312, ,nN * (1)求an,bn的通项公式; (2)是否存在正整数 k,使得 Sk6k 且 ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说 明理由 【分析】(1)设等差数列an的公差为 d,在等差数列an中,由已知求解公差 d,进一 步求得首项,可得等差数列的通项公式;由 a1b12 求得 b1,结合已知求

28、得 b2,可得等 比数列的公比,则等比数列的通项公式可求; (2)由(1)知, ,由 Sk6k 解得 k 范围,再由 ,解得 k 范围,即可判断出结论 解:(1)设等差数列an的公差为 d,在等差数列an中, S26,S312,a3S3S26, 又S2a1+a2a32d+a3d123d6,d2 从而 a1a32d2,则 an2+2(n1)2n; 由 a1b12,得 b1T11 ,设数列bn的公比为 q, q ,则 ; (2)由(1)知, , Skk(k+1)6k,整理得 k25k0,解得 0k5 又 ,即 ,解得 k3 存在正整数 k4,使得 Sk6k 且 18在ABC 中,a,b,c 分别为

29、内角 A,B,C 的对边,2b2(b2+c2a2)(1tanA) (1)求角 C; (2)若 ,D 为 BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求 AD 的长度 条件:ABC 的面积 S4 且 BA; 条件: 注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分 【分析】(1)2b2(b2+c2a2)(1tanA)利用余弦定理可得;2b22bccosA (1 tanA)化为 bc(cosAsinA),再利用正弦定理、和差公式即可得出 (2)选择条件,cosB ,可得 sinB 利用核查公司可得 sinAsin(B+C), 由正弦定理可得:a 在ABD 中,由余弦定理可得 AD 解:(1)2b2(b2+

30、c2a2)(1tanA)2b22bccosA (1tanA)bc(cosA sinA), 由正弦定理可得:sinBsinC(cosAsinA),sin(A+C)sinCcosAsinCsinA, sinAcosCsinCsinA0,tanC1,解得 C (2)选择条件,cosB ,sinB sinAsin(B+C)sinBcosC+cosBsinC ,由正弦定理可得:a 2 在ABD 中,由余弦定理可得:AD2AB2+BD22AB BDcosB, 解得 AD 19在如图所示的四棱锥 EABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,BCE 为边长为 2 的等边三角形,ABAE,点 F,O 分别为

31、 AB,BE 的中点,OF 是异面直线 AB 和 OC 的 公垂线 (1)证明:平面 ABE平面 BCE; (2)记 OCDE 的重心为 G,求直线 AG 与平面 ABCD 所成角的正弦值 【分析】(1)O 为 BE 的中点,利用等边三角形的性质可得 OCBE,根据 OF 是异面 直线 AB 与 OC 的公垂线,可得 OCOF可得 OC平面 ABE进而得出:平面 ABE 平面 BCE (2)根据 F,O 为中点,可得 OFAE,又 OF 是异面直线 AB 与 OC 的公垂线,可得 OFAB, AEAB 可得: OA平面 BCE 建立如图所示的空间直角坐标系 设平面 ABCD 的一个法向量为 (

32、x,y,z),可得 0,由 C,E,D 的坐标可得 CED 的重心 G 设直线 AG 与平面 ABCD 所成角为 , 则 sin|cos , | 【解答】(1)证明:O 为 BE 的中点,等边BCE 中,OCBE, 又OF 是异面直线 AB 与 OC 的公垂线,OCOF 又 OFBEO,OF,BE平面 ABE, OC平面 ABE OC平面 BCE,平面 ABE平面 BCE; (2)解:F,O 为中点,OFAE, 又 OF 是异面直线 AB 与 OC 的公垂线,OFAB,AEAB ABE 是等腰直角三角形 连接 AO,ABAE ,OA1 OABE,OA平面 ABE,平面 ABE平面 BCE;平面

33、 ABE平面 BCEBE OA平面 BCE建立如图所示的空间直角坐标系A(0,0,1),B(1,0,0), C(0, ,0),E(1,0,0), 四边形 ABCD 为平行四边形,设 D(a,b,c), ,(1, ,0)(a,b,c1),D(1, ,1) 设平面 ABCD 的一个法向量为 (x,y,z), (1,0,1), (1, ,0) 0, x+z0,x y0,取 ( ,1, ) 由 C,E,D 的坐标可得CED 的重心 G( , , ), ( , , ), 设直线AG与平面ABCD所成角为, 则sin|cos , | 20某网络购物平台每年 11 月 11 日举行“双十一”购物节,当天有多

34、项优惠活动,深受广 大消费者喜爱 (1)已知该网络购物平台近 5 年“双十”购物节当天成交额如表: 年份 2015 2016 2017 2018 2019 成交额(百亿元) 9 12 17 21 27 求成交额 y (百亿元) 与时间变量 x (记 2015 年为 x1, 2016 年为 x2, 依此类推) 的线性回归方程,并预测 2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元); (2)在 2020 年“双十一”购物节前,某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上 分别参加 A、B 两店各一个订单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸、妈妈在 A、B 两店订 单“秒杀”成功的概率分别为 p、q

35、,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为 X (i)求 X 的分布列及 E(X); (ii)已知每个订单由 k(k2,k一、选择题*)件商品 W 构成,记该同学的爸爸和妈 妈抢购到的商品 W 总数量为 Y,假设 , ,求 E(Y)取最大值时正 整数 k 的值 附:回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: ;a 【分析】 (1)计算 、 ,求出系数 和 a,写出线性回归方程,利用方程计算 x6 时 的 值即可; (2)(i)由题意知随机变量 X 的可能取值,计算对应的概率值,写出分布列,求出数 学期望值; (ii)根据题意求出 E(Y)的解析式,利用换元法和求导法计算 E(Y)取最大值

36、时正整 数 k 的值 解:(1)由题意,计算 (1+2+3+4+5)3, (9+12+17+21+27)17.2, xiyi19+212+317+421+527303; 1 2+22+32+42+5255, 所以 4.5; a 17.24.533.7, 所以 y 与 x 的线性回归方程是 4.5x+3.7, 当 x6 时, 4.56+3.730.7, 所以预测 2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额为 30.7 百亿元; (2)(i)由题意知,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2; 计算 P(X0)(1p)(1q), P(X1)(1p)q+(1q)p, P(X2)pq; 所以 X 的

37、分布列为: X 0 1 2 P (1p)(1q) (1p)q+(1q)p pq 计算数学期望值为 E(X) 0 (1p) (1q) +1(1p)q+ (1q) p+2pqp+q; (ii) 因为 YkX, 所以 E (Y) kE (X) k (p+q) k ( ) 2sin ; 令 t (0, ,设 f(t)2sintt,则 E(Y)f(t); 因为 f(t)2cost2(cost ),且 t(0, ; 所以当 t (0, )时,f(t)0,f(t)单调递增; 当 t ( , )时,f(t)0,f(t)单调递减; 所以当 t ,即 k3 时,f(t)f( ) ; 所以 E(Y)取最大值时正整数

38、 k 的值为 3 21已知 O 为坐标原点,椭圆 C: 的左,右焦点分别为点 F1,F2,F2 又恰为抛物线 D:y24x 的焦点,以 F1F2为直径的圆与椭圆 C 仅有两个公共点 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l 与 D 相交于 A,B 两点,记点 A,B 到直线 x1 的距离分别为 d1,d2, |AB|d1+d2直线 l 与 C 相交于 E,F 两点,记OAB,OEF 的面积分别为 S1,S2 (i)证明:EFF1的周长为定值; (ii)求 的最大值 【分析】(1)由已知求得 F2(1,0),可得 c1,又以 F1F2为直径的圆与椭圆 C 仅有 两个公共点,知 bc,从而

39、求得 a 与 b 的值,则答案可求; (2)(i) 由题意, x1为抛物线D的准线, 由抛物线的定义知, |AB|d1+d2|AF2|+|BF2|, 结合|AB|AF2|+|BF2|,可知等号当且仅当 A,B,F2三点共线时成立可得直线 l 过定点 F2,根据椭圆定义即可证明|EF|+|EF1|+|FF1|为定值; (ii) 若直线l的斜率不存在, 则直线l的方程为x1, 求出|AB|与|EF|可得 ; 若直线 l 的斜率存在,可设直线方程为 yk(x1),A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3, y3),F(x4,y4),方便联立直线方程与抛物线方程,直线方程与椭圆方程,利用弦长 公式

40、求得|AB|,|EF|,可得 (0, ),由此可 知, 的最大值为 【解答】(1)解:F2为抛物线 D:y24x 的焦点的焦点,故 F2(1,0), c1,又以 F1F2为直径的圆与椭圆 C 仅有两个公共点,知 bc, a ,b1 椭圆 C 的标准方程为 ; (2)(i)证明:由题意,x1 为抛物线 D 的准线, 由抛物线的定义知,|AB|d1+d2|AF2|+|BF2|, |AB|AF2|+|BF2|,等号当且仅当 A,B,F2三点共线时成立 直线 l 过定点 F2,根据椭圆定义得: |EF|+|EF1|+|FF1|EF2|+|EF1| ; (ii)解:若直线 l 的斜率不存在,则直线 l

41、的方程为 x1, |AB|4,|EF| , ; 若直线 l 的斜率存在,可设直线方程为 yk(x1),A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 ,得 k 2x2(2k2+4)x+k20 , 设 E(x3,y3),F(x4,y4), 联立 ,得(1+2k2)x24k2x+2k220 则 , |EF| 则 (0, ), 综上可知, 的最大值为 22已知函数 f(x)axlnxx2+2 的图象在点(1,1)处的切线方程为 y1 (1)当 x(0,2)时,证明:0f(x)2; (2)设函数 g(x)xf(x),当 x(0,1)时,证明:0g(x)1; (3)若数列an满足: , , 证明: 【分析】

42、(1)由已知结合导数的几何意义可求 a,然后结合导数可求函数的单调性,进 而可求 f(x)的范围; (2)先对 g(x)求导,结合导数及(1)的结论可求函数 g(x)的范围,即可证; (3)结合(1)(2)的结论,结合对数的运算性质可证 【解答】证:(1)f(x)a(1+lnx)2x,f(1)a20, 故 a2,f(x)2xlnxx2+2,f(x)2(lnx+1x), 令 h(x)2(lnx+1x),则 , 当 x(0,1)时,h(x)0,函数单调递增,当 x(1,2)时,h(x)0,函数 单调递减, 所以 h(x)h(1)0,即 f(x)0, 所以 f(x)在(0,2)上单调递减, 所以 f

43、(x)f(2)4ln220, 又因为 h(x)lnx+1x0,所以 lnxx1, 所以 f(x)2xlnxx2+22x(x1)x2x22x+2(x1)2+12, 故 x(0,2)时,0f(x)2; (2)因为 g(x)f(x)+xf(x)4xlnx+2x+23x22(2xlnxx2+2)+(x2+2x 2)2f(x)+(x2+2x2), 由(1)可知 f(x)在(0,1)上单调递减,所以 f(x)f(1)1, 又因为 x(0,1)时,x2+2x2(2,1), 所以 g(x)0,g(x)在(0,1)上单调递增,g(x)g(1)1, 由(1)可知 f(x)0,x(0,1), 所以 g(x)xf(x)0, 综上,0g(x)1, (3)由(1)(2)可知,若 x(0,1),1f(1)f(x)f(2),若 x(1,2), 0f(2)f(x)f(1)1, 0a11, 所以 a2f(a1)(1,2),a3f(a2)(0,1), a2k1(0,1),a2k(1,2), 当 n2k 时,a1 a2an