1、2020 年高考数学（年高考数学（4 月份）模拟试卷月份）模拟试卷 一、选择题. 1已知 i 是虚数单位，则 （ ） Ai Bi C1i D1+i 2若集合 A ， ，则 AB（ ） A1，1 B1，2 C1，2 D（1，1 32019 年 12 月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例.2020 年 1 月 12 日，世界卫生组 织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019 新型冠状病毒”.2020 年 2 月 11 日，世 界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为 COVID19（新冠肺炎）新冠肺炎患者 症状是发热、干咳、浑身乏力等外部表征“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”是“新 冠肺炎患
2、者”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知向量 ， 满足 （1，2）， （1+m，1），若 ，则 m（ ） A2 B2 C D 5 已知双曲线 的一条渐近线上存在一点到x轴距离与到原点O的距离之比为 ， 则实数 a 的值为（ ） A2 B4 C6 D8 6从 1，2，3，4，5 中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的 真数，则对数值大于 0 且小于 1 的概率是（ ） A B C D 7某校周五的课程表设计中，要求安排 8 节课（上午 4 节、下午 4 节），分别安排语文数 学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其
3、中生物只能安排在第一节或最后 一节， 数学和英语在安排时必须相邻 （注： 上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻） ， 则周五的课程顺序的编排方法共有（ ） A4800 种 B2400 种 C1200 种 D240 种 8已知大于 1 的三个实数 a，b，c 满足（lga）22lgalgb+lgblgc0，则 a，b，c 的大小关 系不可能是（ ） Aabc Babc Cbca Dbac 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9Keep 是一款具有社交属性的健身 A
4、PP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身 饮食指导、装备购买等站式运动解决方案Keep 可以让你随时随地进行锻炼，记录 你每天的训练进程不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划小 吴根据 Keep 记录的 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程（单位：十公里） 数据整理并绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A月跑步里程逐月增加 B月跑步里程最大值出现在 10 月 C月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数 D1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小 10如图，M 是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱
5、 DD1的中点，下列命题中真命题是（ ） A过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1都相交 B过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1都垂直 C过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、B1C1都相交 D过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、B1C1都平行 11已知函数 ， ， 的部分图象如图所示，若将 函数 f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位长度，得到 函数 g（x）的图象，则下列命题正确的是（ ） A函数 f（x）的解析式为 B函数 g（x）的解析式为 C函数 f（x）图象的一条对称轴是直线 D函数 g（x ）在区间 ， 上单调递增 12已知
6、直线 l 过抛物线 C：y22px（p0）的焦点，且与该抛物线交于 M，N 两点，若 线段 MN 的长是 16，MN 的中点到 y 轴的距离是 6，O 是坐标原点，则（ ） A抛物线 C 的方程是 y28x B抛物线的准线方程是 y2 C直线 l 的方程是 xy+20 DMON 的面积是 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是 14在（x ） 8 的展开式中，含 x2项的系数为 15已知直线 Ax+By+C0（其中 A2+B2C2，C0）与圆 x2+y26 交于点 M，N，O 是坐 标原点，则|MN| ， 16魏晋时期数学家刘
7、徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内 切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切 球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 ：4若“牟合方盖”的体积为 ，则正方体 的外接球的表面积为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 ，a2，bcosA+acosB 1 这三个条件中任选一个，补充在下面问题 中，并解决相应问题 已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，若 4S b2+c2a2， 且_，求ABC 的面积 S 的大小 注：如果选择多个条件分别解答，按第
8、一个解答计分 18已知数列an满足 ，且 a11 （1）求数列an的通项公式； （2）若数列bn满足 ，求数列bn的前 n 项和 Sn 19如图，在三棱柱，ABCA1B1C1中，侧面，AA1C1C 是菱形，D 是 AC 中点，A1D平面 ABC，平面 BB1D 与棱 A1C1交于点 E，ABBC （1）求证：四边形 BB1ED 为平行四边形； （2）若 CB1与平面 ABB1A1所成角的正弦值为 ，求 的值 20某服装店每年春季以每件 15 元的价格购人 M 型号童裤若干，并开始以每件 30 元的价 格出售， 若前 2 个月内所购进的 M 型号童裤没有售完， 则服装店对没卖出的 M 型号童裤
9、将以每件 10 元的价格低价处理（根据经验，1 个月内完全能够把 M 型号童裤低价处理完 毕，且处理完毕后，该季度不再购进 M 型号童裤）该服装店统计了过去 18 年中每年 该季度 M 型号童裤在前 2 个月内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率） 前 2 月内的销售量（单位：件） 30 40 50 频数（单位：年） 6 8 4 （1）若今年该季度服装店购进 M 型号童裤 40 件，依据统计的需求量试求服装店该季度 销售 M 型号童裤获取利润 X 的分布列和期望；（结果保留一位小数） （2）依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件 M 型号童裤时所获得的平均 利润最大 21已知椭圆
10、： 的左、右焦点分别为 F1，F2，以 M（a，b），N （a，b），F2和 F1为顶点的梯形的高为 ，面积为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设 A，B 为椭圆 C 上的任意两点，若直线 AB 与圆 ： 相切，求AOB 面积的取值范围 22已知函数 f（x）ex，g（x）ax+b，a，b R （1）若 g（1）0，且函数 g（x）的图象是函数 f（x）图象的一条切线，求实数 a 的 值； （2）若不等式 f（x）x2+m 对任意 x （0，+）恒成立，求实数 m 的取值范围； （3）若对任意实数 a，函数 F（x）f（x）g（x）在（0，+）上总有零点，实数 b 的取值范围 参考答案
11、一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1已知 i 是虚数单位，则 （ ） Ai Bi C1i D1+i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解： 故选：C 2若集合 A ， ，则 AB（ ） A1，1 B1，2 C1，2 D（1，1 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 解：Ax|x1，Bx|1x2， AB1，1 故选：A 32019 年 12 月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例.2020 年 1 月 12 日，世界卫生组 织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019 新型冠状病毒
12、”.2020 年 2 月 11 日，世 界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为 COVID19（新冠肺炎）新冠肺炎患者 症状是发热、干咳、浑身乏力等外部表征“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”是“新 冠肺炎患者”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据题意推测，判断充要性 解：某人表现为发热、干咳、浑身乏力”，则其不一定是“新冠肺炎患者”，充分性不 成立， 若某人为新冠肺炎无症状感染者，则无表现，必要性不成立， 故选：D 4已知向量 ， 满足 （1，2）， （1+m，1），若 ，则 m（ ） A2 B2 C D 【分析】根据题意，由向量的坐
13、标计算公式求出 的坐标，结合向量平行的坐标表示方法 可得若 ，则 2m+10，解可得 m 的值，即可得答案 解： 根据题意， 向量 ， 满足 （1， 2） ， （1+m， 1） ， 则 （ ） （m， 1） ， 又由 ，则 2m+10， 解可得 m ； 故选：D 5 已知双曲线 的一条渐近线上存在一点到x轴距离与到原点O的距离之比为 ， 则实数 a 的值为（ ） A2 B4 C6 D8 【分析】由已知可得双曲线的一条渐近线的斜率，再由双曲线方程求得渐近线的斜率， 列等式求解 a 值 解：由题意，双曲线的一条渐近线的斜率为 ， 又双曲线 ，得实半轴长为 ，虚半轴长为 ，即 a4 故选：B 6从
14、1，2，3，4，5 中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的 真数，则对数值大于 0 且小于 1 的概率是（ ） A B C D 【分析】利用列举法坟出基本事件总数共 16 个，满足题设条件的事件有 6 个，由古典概 型的计算公式能求出所求事件的概率 解：1 只能作为真数，从其余各数中任取一数作为底数，其值均为 0， 从 1 除外的其余各数中任取两数分别为底数和真数， 基本事件为： （2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），（3，2），（4，2）， （5，2），（4，3），（5，3），（5，4），共 12 个， 基本事件总数共 16 个， 满足
15、题设条件的事件有： （3，2），（4，2），（5，2），（4，3），（5，3），（5，4），共 6 个， 由古典概型的计算公式得所求事件的概率：P 故选：C 7某校周五的课程表设计中，要求安排 8 节课（上午 4 节、下午 4 节），分别安排语文数 学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后 一节， 数学和英语在安排时必须相邻 （注： 上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻） ， 则周五的课程顺序的编排方法共有（ ） A4800 种 B2400 种 C1200 种 D240 种 【分析】根据题意，分 3 步进行分析： 分析生物的排法数目，分析数学英语相邻的 排
16、法的数目，将剩下的 5 门课程全排列，由分步计数原理计算可得答案 解：根据题意，分 3 步进行分析： 生物只能安排在第一节或最后一节，上午、下午有 4 节符合要求，则生物课的排法有 4 种， 数学和英语在安排时必须相邻，将数学、英语看成一个整体，有 5 个位置可选，则有 5A2210 种情况， 将剩下的 5 门课程全排列，有 A55120 种情况， 则有 4101204800 种不同的排法； 故选：A 8已知大于 1 的三个实数 a，b，c 满足（lga）22lgalgb+lgblgc0，则 a，b，c 的大小关 系不可能是（ ） Aabc Babc Cbca Dbac 【分析】因为三个实数
17、a，b，c 都大于 1，所以 lga0，lgb0，lgc0，原等式可化为 lgalg lgblg 0，分别分析选项的 a，b，c 的大小关系即可判断出结果 解：三个实数 a，b，c 都大于 1，lga0，lgb0，lgc0， （lga）22lgalgb+lgblgc0， （lga）2lgalgb+lgblgclgalgb0， lga（lgalgb）+lgb（lgclga）0， lgalg lgblg 0， 对于 A 选项：若 abc，则 lg 0，lg 0，满足题意； 对于 B 选项：若 abc，则 ，0 1，lg 0，lg 0，满足题意； 对于 C 选项：若 bca，则 0 1， 1，lg
18、0，lg 0，满足题意； 对于D选项： 若bac， 则0 1， 0 1， lg 0， lg 0， lgalg lgblg 0， 不满足题意； 故选：D 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9Keep 是一款具有社交属性的健身 APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身 饮食指导、装备购买等站式运动解决方案Keep 可以让你随时随地进行锻炼，记录 你每天的训练进程不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划小 吴根据 Keep 记录的 2019 年
19、 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程（单位：十公里） 数据整理并绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A月跑步里程逐月增加 B月跑步里程最大值出现在 10 月 C月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数 D1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小 【分析】 由所给折线图可知， 月跑步里程并不是逐递增， 月跑步里程最大值出现在 10 月， 月跑步里程中位数为5月份对应的里程数， 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月， 波动性更小 解：由所给折线图可知，月跑步里程并不是逐递增，故 A 错误； 月跑步里程最大值出现在 10 月，故 B
20、正确； 月跑步里程中位数为 5 月份对应的里程数，故 C 正确； 1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，故 D 正确 故选：BCD 10如图，M 是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 DD1的中点，下列命题中真命题是（ ） A过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1都相交 B过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1都垂直 C过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、B1C1都相交 D过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、B1C1都平行 【分析】点 M 不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过 M 点有且只有一条直线与直 线 AB、B1C1都相交，
21、A 正确过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1都垂直，B 正 确过 M 点有无数个平面与直线 AB、B1C1都相交，C 不正确过 M 点有且只有一个平 面与直线 AB、B1C1都平行，D 正确 解： 直线 AB 与 B1C1 是两条互相垂直的异面直线， 点 M 不在这两异面直线中的任何一条 上，如图所示： 取 C1C 的中点 N，则 MNAB，且 MNAB，设 BN 与 B1C1交于 H，则点 A、B、M、 N、H 共面， 直线 HM 必与 AB 直线相交于某点 O 所以，过 M 点有且只有一条直线 HO 与直线 AB、B1C1都相交；故 A 正确 过 M 点有且只有一条直线与直线
22、AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱 DD1，故 B 正确 过 M 点有无数个平面与直线 AB、B1C1都相交，故 C 不正确 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、B1C1都平行，此平面就是过 M 点与正方体的上下 底都平行的平面，故 D 正确 故选：ABD 11已知函数 ， ， 的部分图象如图所示，若将 函数 f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位长度，得到 函数 g（x）的图象，则下列命题正确的是（ ） A函数 f（x）的解析式为 B函数 g（x）的解析式为 C函数 f（x）图象的一条对称轴是直线 D函数 g（x ）在区间 ， 上单调递增 【分析】先根据图象的
23、最高点求出 A，再根据相邻的最高点与零点间横向距离求出 T，进 而求出 ，最后将最高点代入求出 的值从而求出 f（x）；再利用图象的变化规律求 出 g （x） 的解析式 按照最值与对称轴对应判断 C 选项正误， 最后一项可直接求出 x+ 的区间，结合正弦函数或余弦函数的单调性下结论 解： 由图可知， ， ， ，得 ， ， 将 ， 代入得 ，结合 ， ，故 A 正 确； 将函数 f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位长度， 可得： 2sin（2x ）故 B 正确； ，不是最值，故不是对称轴C 错误； 由 x ， ，所以 ， ，同 ysinx 在区间 ， 上的单调性，
24、根据复合函数的单调性可知， 函数 g（x ）在区间 ， 上单调递增，正确 故选：ABD 12已知直线 l 过抛物线 C：y22px（p0）的焦点，且与该抛物线交于 M，N 两点，若 线段 MN 的长是 16，MN 的中点到 y 轴的距离是 6，O 是坐标原点，则（ ） A抛物线 C 的方程是 y28x B抛物线的准线方程是 y2 C直线 l 的方程是 xy+20 DMON 的面积是 【分析】设 M，N 的坐标，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，可得|MN| 的表达式，再由 MN 的中点到 y 轴的距离是 6 可得 M，N 的横坐标之和，进而可得 p 的 值，求出抛物线的方程，及准线方
25、程，可判断 A 正确 B 不正确，进而求出直线 l 的方程， 与抛物线联立求出两根之和及两根之积， 求出三角形 MON 的面积， 可判断所给命题的真 假 解：设 M（x1，y1），N（x2，y2），由抛物线的定义可得|MN|（x1+x2）+p16， 又因为 MN 的中点到 y 轴的距离是 6，所以|x1+x2|12，所以 x1+x212， 所以 p4，所以抛物线的方程为：y28x，所以 A 正确， 准线方程为 x2，所以 B 不正确； 设直线 l 的方程 xmy2， 联立直线与抛物线的方程： ，整理可得 y2+8my160，y1+y28m，所以 x1+x2m（y1+y2）48m2412， 解得
26、 m1，所以 l 的方程为：xy2，所以 C 不正确； SMON |OF| |y1y2 | 8 ，所以 D 正确； 故选：AD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是 存在一个无理数，它的平方不是有理 数 【分析】全称命题的否定为特称命题，注意量词的变化和否定词的变化 解：由称命题的否定为特称命题，可得 命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是：存在一个无理数，它的平方不是有理 数； 故答案为：存在一个无理数，它的平方不是有理数 14在（x ） 8 的展开式中，含 x2项的系数为 1120 【分析】在二项展开式的通项公式中，
27、令 x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得含 x2项的系数 解：（x ） 8 的展开式的通项公式为 Tr+1 （2）r ， 令 8 2，求得 r4，可得含 x2项的系数为 （2）41120， 故答案为：1120 15已知直线 Ax+By+C0（其中 A2+B2C2，C0）与圆 x2+y26 交于点 M，N，O 是坐 标原点，则|MN| 2 ， 10 【分析】 由已知结合直线与圆相交的性质可|MN|， 然后结合锐角三角函数的定义可求 cos， 再由向量数量积的定义即可求解 解：由中 A2+B2C2，C0 可知，圆心到直线 Ax+By+C0 的距离 d 1， |MN|2 2 ， 设 与 的
28、夹角为 ，则 cos（） ， 所以 cos ， 所以， 10 故答案为：2 ；10 16魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内 切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切 球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 ：4若“牟合方盖”的体积为 ，则正方体 的外接球的表面积为 12 【分析】根据已知条件求得正方体的棱长，进而求解结论 解：因为牟合方盖”的体积为 ，且正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比 应为 ：4 所以：V内切球 ； 内切球半径为 1；故正方体棱长为 2； 所以正方体的外接球直径等于正方体的体对角线即 2R2
29、； R 则正方体的外接球的表面积为 4R212 故答案为：12 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 ，a2，bcosA+acosB 1 这三个条件中任选一个，补充在下面问题 中，并解决相应问题 已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，若 4S b2+c2a2， 且_，求ABC 的面积 S 的大小 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【分析】若选 ，由已知结合正弦定理可求 a，然后结合和差角公式可求 sinC，代入三 角形的面积公式可求； 若选，由已知结合正弦定理可求 a，然后结合和差角
30、公式可求 sinC，代入三角形的面 积公式可求； 若选，结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解 解：4Sb2+c2a2， 4 2 ， sinAcosA 即 A ， 若选 ： ，由正弦定理可得， ， 所以 a 2， 又 sinCsin75 ， 所以 S ； 若选a2，由正弦定理可得， ， 所以 sinB ，B ， ， 所以 B ，sinCsin75 ， 所以 S ； 若选bcosA+acosB 1， acosB1 即 1， 所以 a26+2cc2 又 a26+c22 c， 故 解可得，c1 ，S 18已知数列an满足 ，且 a11 （1）求数列an的通项公式； （2）若数列bn满足 ，求
31、数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】（1） 将已知等式两边同除以 n （n+1） ， 可得 ， 再由 数列的恒等式计算可得所求通项公式； （2）求得 bn（2n1） （ ） n1，再由错位相减法求和，结合等比数列的求和公式， 计算可得所求和 解：（1）由 ，可得： ， 由 （ ）+（ ）+（ ） 1+1 2 ， 所以 an2n1，n N*； （2） （2n1） （ ） n1， Sn1 1+3 5 （ ） 2+（2n1） （ ） n1， S n1 3 （ ） 2+5 （ ） 3+（2n1） （ ） n， 两式相减可得 S n1+2 （ ） 2+ （ ） n1 （2n1） （ ） n1+2 （2
32、n1） （ ） n， 化简可得 Sn3（n+1） （ ） n1 19如图，在三棱柱，ABCA1B1C1中，侧面，AA1C1C 是菱形，D 是 AC 中点，A1D平面 ABC，平面 BB1D 与棱 A1C1交于点 E，ABBC （1）求证：四边形 BB1ED 为平行四边形； （2）若 CB1与平面 ABB1A1所成角的正弦值为 ，求 的值 【分析】 （1） 在三棱柱 ABCA1B1C1中， 由直线与平面平行的判定及性质可得 B1BDE， BDB1E，可得四边形 BB1ED 为平行四边形； （2）在ABC 中，由已知可得 BDAC，再由 A1D平面 ABC，得到 A1DBD，A1D AC，分别以
33、DB，DC，DA1所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设 BDa，ADb，求得平面 ABB1A1的一个法向量 ， ， ，再由 CB1与 平面 ABB1A1所成角的正弦值为 可得 或 a3b，从而得到 或 【解答】（1）证明：在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 AA1B1B 是平行四边形， B1BA1A， 又B1B平面 AA1C1C，A1A平面 AA1C1C， B1B平面 AA1C1C， B1B平面 BB1D，且平面 BB1D平面 AA1C1CDE， B1BDE 在三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ABC平面 A1B1C1， 平面 BB1D平面 ABCBD，平面 BB1D平面 A
34、1B1C1B1E， BDB1E， 故四边形 BB1ED 为平行四边形； （2）解：在ABC 中，ABBC，D 是 AC 的中点， BDAC A1D平面 ABC，A1DBD，A1DAC 分别以 DB，DC，DA1所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设 BDa，ADb， 在AA1D 中，AA12AD，A1DA90， ， D（0，0，0），A（0，b，0），A1（0，0， ），B（a，0，0）， ， ， ， ， ， ， E（0，b， ）， ， ， ，得 B1（a，b， ） C（0，b，0）， ， ， 设平面 ABB1A1的一个法向量为 ， ， 由 ，取 za，得 ， ， ， ， ，即 4
35、a437a2b2+9b40 或 a3b 即 或 20某服装店每年春季以每件 15 元的价格购人 M 型号童裤若干，并开始以每件 30 元的价 格出售， 若前 2 个月内所购进的 M 型号童裤没有售完， 则服装店对没卖出的 M 型号童裤 将以每件 10 元的价格低价处理（根据经验，1 个月内完全能够把 M 型号童裤低价处理完 毕，且处理完毕后，该季度不再购进 M 型号童裤）该服装店统计了过去 18 年中每年 该季度 M 型号童裤在前 2 个月内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率） 前 2 月内的销售量（单位：件） 30 40 50 频数（单位：年） 6 8 4 （1）若今年该季度服装店购进
36、 M 型号童裤 40 件，依据统计的需求量试求服装店该季度 销售 M 型号童裤获取利润 X 的分布列和期望；（结果保留一位小数） （2）依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件 M 型号童裤时所获得的平均 利润最大 【分析】（1）设服装店某季度销售 M 型号童裤获得的利润是 X（单位：元），当需求量 为 30 时，X400，当需求量为 40 时，X1540600，当需求量为 50 时，X1540 600，由此能求出 X 的分布列和 E（X） （2）设销售 M 型号童裤获得的利润为 Y，服装店每年该季度购进的 M 型号童裤的件数 取值可能为 30 件、40 件、50 件，分别求出平均利润，
37、由此能求出结果 解：（1）设服装店某季度销售 M 型号童裤获得的利润是 X（单位：元）， 当需求量为 30 时，X15305（4030）400， 当需求量为 40 时，X1540600， 当需求量为 50 时，X1540600， P（X400） ，P（X600） ， X 的分布列为： X 400 600 P E（X）400 （元）， 服装店该季度销售 M 型号童裤获取利润的均值为 533.3 元 （2）设销售 M 型号童裤获得的利润为 Y， 依题意，视频率为概率，为追求更多的利润， 则服装店每年该季度购进的 M 型号童裤的件数取值可能为 30 件、40 件、50 件， 当购进 M 型号童裤 3
38、0 件时， E（Y）（3015） （3015） 450， 当购进 M 型号童裤 40 件时， E （Y） （3015） 30 （1510） 10 （3015） ， 当购进 M 型号童裤 50 件时， E（Y）（3015）30（1510）20 （3015）40（1510）40 （1510）10 服装店每年该季度在购进 40 件 M 型号童裤时所获得的平均利润最大 21已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 F1，F2，以 M（a，b），N （a，b），F2和 F1为顶点的梯形的高为 ，面积为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设 A，B 为椭圆 C 上的任意两点，若直线 AB 与圆 ： 相切，求A
39、OB 面积的取值范围 【分析】（1）由题意得 b ，且 ，及 a 2b2+c2，解得 a，c，进而 得出椭圆 C 得标准方程 （2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），当圆 O 的切线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为：y kx+m，切点为 H，联立切线与椭圆得方程，得 x1+x2，x1x2，l 与圆 O：x2+y2 相切，d， 由弦长公式得|AB|，分析|AB|的取值范围，进而得 SAOB得取值范围，当圆 O 得切线斜率 不存在时，则 AB 的方程为 x 或 x ，得 A，B 坐标，得到 SAOB面积值，综 上可得答案 解：（1）由题意得 b ，且 ， 所以 a+c3， 又 a2c23
40、，解得 a2，c1， 所以椭圆 C 得方程为 （2）如图，设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 当圆 O 的切线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为：ykx+m，切点为 H，连结 OH，则 OH AB， 联立 ，整理得（3+4k 2）x2+8kmx+4m2120， 所以 x1+x2 ，x 1x2 ， 因为 l 与圆 O：x2+y2 相切， 所以 d ，m 2 ， 又|AB| 若 k0 时，|AB| 因为而 16k2+24 2 2448，当且仅当 k 时，“”成立， 所以|AB| ， 易知|AB| 即 若 k0 时，|AB| ，所以 AB 又|OH| ， 所以 SAOB |AB| |OH|
41、， ， 当圆 O 得切线斜率不存在时，则 AB 的方程为 x 或 x ， 此时 A， B 的坐标分别为 （ ， ） （ ， ） 或 （ ， ） （ ， ） 此时 SAOB ， 综上，AOB 面积得取值范围是 ， 22已知函数 f（x）ex，g（x）ax+b，a，b 一、选择题 （1）若 g（1）0，且函数 g（x）的图象是函数 f（x）图象的一条切线，求实数 a 的 值； （2）若不等式 f（x）x2+m 对任意 x （0，+）恒成立，求实数 m 的取值范围； （3）若对任意实数 a，函数 F（x）f（x）g（x）在（0，+）上总有零点，实数 b 的取值范围 【分析】 （1）根据题意，函数 g
42、（x）的图象与函数 f（x）图象相切，设切点坐标为（m， em）；对于 g（x）有 g（1）0，分析可得 ab，则可得 g（x）a（x+1），对于 f （x），利用导数分析可得其在（m，em）处切线的方程为 yemem（xm），变形可 得 yem（xm+1），联立分析可得 ，解可得 a 的值，即可得答案； （2）根据题意，设 h（x）f（x）x2mexx2m，分析可得 h（x）exx2m 0 在（0，+）上恒成立，利用导数分析函数 h（x）为增函数，则原问题可以转化为 h （0）e0m1m0，解可得 m 的取值范围，即可得答案； （3）根据题意，对 F（x）求导可得 F（x）exa，对 a 分
43、 2 种情况讨论，讨论 F（x） 的单调性，分析 b 的取值范围，综合即可得答案 解：（1）根据题意，函数 g（x）的图象是函数 f（x）图象的一条切线， 设切点坐标为（m，em）， g（x）ax+b，若 g（1）0，则 g（1）a（1）+bba0，即 ab， 则 g（x）a（x+1）， f（x）ex，则 f（x）ex， 又由切点为 （m，em）， 则切线斜率 kf（m） em，切线的方程为 yemem（xm）， 变形可得 yem（xm+1）， 分析可得 ，解可得 m0，a1， 故 a1； （2）根据题意，设 h（x）f（x）x2mexx2m， 若不等式 f（x）x2+m 对任意 x （0，+
44、）恒成立， 则 h（x）exx2m0 在（0，+）上恒成立， h（x）ex2x， h（x）ex2，令 h（x）0，即 ex20 可得 xln2， 分析可得，在（0，ln2）上，h（x）0，h（x）ex2x 为减函数， 在（ln2，+）上，h（x）0，h（x）ex2x 为增函数， 则 h（x）的最小值为 h（ln2）eln22ln222ln22（1ln2）0， 即 h（x）h（ln2）0，x （0，+） 即函数 h（x）在（0，+）上为增函数， 若 h（x）exx2m0 在（0，+）上恒成立， 则有 h（0）e0m1m0，解可得 m1， 故 m 的取值范围是（，1； （3）根据题意，函数 F（x）f（x）g（x）exaxb， 其导数 F（x）exa， 分 2 种情况讨论： ，a0，F（x）0，函数 F（x）在 R 上为增函数， 若函数 F（x）f（x）g（x）在（0，+）上总有零点，必有 F（0）e0b1b 0， 解可得：b1， ，a0 时，令 F（x）exa