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2020年4月山东省菏泽市高考数学模拟试卷(含答案解析)

1、2020 年高考数学(年高考数学(4 月份)模拟试卷月份)模拟试卷 一、选择题. 1已知 i 是虚数单位,则 ( ) Ai Bi C1i D1+i 2若集合 A , ,则 AB( ) A1,1 B1,2 C1,2 D(1,1 32019 年 12 月,湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例.2020 年 1 月 12 日,世界卫生组 织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019 新型冠状病毒”.2020 年 2 月 11 日,世 界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为 COVID19(新冠肺炎)新冠肺炎患者 症状是发热、干咳、浑身乏力等外部表征“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”是“新 冠肺炎患

2、者”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知向量 , 满足 (1,2), (1+m,1),若 ,则 m( ) A2 B2 C D 5 已知双曲线 的一条渐近线上存在一点到x轴距离与到原点O的距离之比为 , 则实数 a 的值为( ) A2 B4 C6 D8 6从 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数,其中一个作为对数的底数,另一个作为对数的 真数,则对数值大于 0 且小于 1 的概率是( ) A B C D 7某校周五的课程表设计中,要求安排 8 节课(上午 4 节、下午 4 节),分别安排语文数 学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节,其

3、中生物只能安排在第一节或最后 一节, 数学和英语在安排时必须相邻 (注: 上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻) , 则周五的课程顺序的编排方法共有( ) A4800 种 B2400 种 C1200 种 D240 种 8已知大于 1 的三个实数 a,b,c 满足(lga)22lgalgb+lgblgc0,则 a,b,c 的大小关 系不可能是( ) Aabc Babc Cbca Dbac 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分 9Keep 是一款具有社交属性的健身 A

4、PP,致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身 饮食指导、装备购买等站式运动解决方案Keep 可以让你随时随地进行锻炼,记录 你每天的训练进程不仅如此,它还可以根据不同人的体质,制定不同的健身计划小 吴根据 Keep 记录的 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程(单位:十公里) 数据整理并绘制了下面的折线图根据该折线图,下列结论正确的是( ) A月跑步里程逐月增加 B月跑步里程最大值出现在 10 月 C月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数 D1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小 10如图,M 是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱

5、 DD1的中点,下列命题中真命题是( ) A过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1都相交 B过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1都垂直 C过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、B1C1都相交 D过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、B1C1都平行 11已知函数 , , 的部分图象如图所示,若将 函数 f(x)的图象纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ,再向右平移 个单位长度,得到 函数 g(x)的图象,则下列命题正确的是( ) A函数 f(x)的解析式为 B函数 g(x)的解析式为 C函数 f(x)图象的一条对称轴是直线 D函数 g(x )在区间 , 上单调递增 12已知

6、直线 l 过抛物线 C:y22px(p0)的焦点,且与该抛物线交于 M,N 两点,若 线段 MN 的长是 16,MN 的中点到 y 轴的距离是 6,O 是坐标原点,则( ) A抛物线 C 的方程是 y28x B抛物线的准线方程是 y2 C直线 l 的方程是 xy+20 DMON 的面积是 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是 14在(x ) 8 的展开式中,含 x2项的系数为 15已知直线 Ax+By+C0(其中 A2+B2C2,C0)与圆 x2+y26 交于点 M,N,O 是坐 标原点,则|MN| , 16魏晋时期数学家刘

7、徽在他的著作九章算术注中,称一个正方体内两个互相垂直的内 切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图所示),刘徽通过计算得知正方体的内切 球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 :4若“牟合方盖”的体积为 ,则正方体 的外接球的表面积为 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 ,a2,bcosA+acosB 1 这三个条件中任选一个,补充在下面问题 中,并解决相应问题 已知在锐角ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,ABC 的面积为 S,若 4S b2+c2a2, 且_,求ABC 的面积 S 的大小 注:如果选择多个条件分别解答,按第

8、一个解答计分 18已知数列an满足 ,且 a11 (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足 ,求数列bn的前 n 项和 Sn 19如图,在三棱柱,ABCA1B1C1中,侧面,AA1C1C 是菱形,D 是 AC 中点,A1D平面 ABC,平面 BB1D 与棱 A1C1交于点 E,ABBC (1)求证:四边形 BB1ED 为平行四边形; (2)若 CB1与平面 ABB1A1所成角的正弦值为 ,求 的值 20某服装店每年春季以每件 15 元的价格购人 M 型号童裤若干,并开始以每件 30 元的价 格出售, 若前 2 个月内所购进的 M 型号童裤没有售完, 则服装店对没卖出的 M 型号童裤

9、将以每件 10 元的价格低价处理(根据经验,1 个月内完全能够把 M 型号童裤低价处理完 毕,且处理完毕后,该季度不再购进 M 型号童裤)该服装店统计了过去 18 年中每年 该季度 M 型号童裤在前 2 个月内的销售量,制成如下表格(注:视频率为概率) 前 2 月内的销售量(单位:件) 30 40 50 频数(单位:年) 6 8 4 (1)若今年该季度服装店购进 M 型号童裤 40 件,依据统计的需求量试求服装店该季度 销售 M 型号童裤获取利润 X 的分布列和期望;(结果保留一位小数) (2)依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件 M 型号童裤时所获得的平均 利润最大 21已知椭圆

10、: 的左、右焦点分别为 F1,F2,以 M(a,b),N (a,b),F2和 F1为顶点的梯形的高为 ,面积为 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 A,B 为椭圆 C 上的任意两点,若直线 AB 与圆 : 相切,求AOB 面积的取值范围 22已知函数 f(x)ex,g(x)ax+b,a,b R (1)若 g(1)0,且函数 g(x)的图象是函数 f(x)图象的一条切线,求实数 a 的 值; (2)若不等式 f(x)x2+m 对任意 x (0,+)恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)若对任意实数 a,函数 F(x)f(x)g(x)在(0,+)上总有零点,实数 b 的取值范围 参考答案

11、一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1已知 i 是虚数单位,则 ( ) Ai Bi C1i D1+i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解: 故选:C 2若集合 A , ,则 AB( ) A1,1 B1,2 C1,2 D(1,1 【分析】可以求出集合 A,B,然后进行交集的运算即可 解:Ax|x1,Bx|1x2, AB1,1 故选:A 32019 年 12 月,湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例.2020 年 1 月 12 日,世界卫生组 织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019 新型冠状病毒

12、”.2020 年 2 月 11 日,世 界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为 COVID19(新冠肺炎)新冠肺炎患者 症状是发热、干咳、浑身乏力等外部表征“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”是“新 冠肺炎患者”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据题意推测,判断充要性 解:某人表现为发热、干咳、浑身乏力”,则其不一定是“新冠肺炎患者”,充分性不 成立, 若某人为新冠肺炎无症状感染者,则无表现,必要性不成立, 故选:D 4已知向量 , 满足 (1,2), (1+m,1),若 ,则 m( ) A2 B2 C D 【分析】根据题意,由向量的坐

13、标计算公式求出 的坐标,结合向量平行的坐标表示方法 可得若 ,则 2m+10,解可得 m 的值,即可得答案 解: 根据题意, 向量 , 满足 (1, 2) , (1+m, 1) , 则 ( ) (m, 1) , 又由 ,则 2m+10, 解可得 m ; 故选:D 5 已知双曲线 的一条渐近线上存在一点到x轴距离与到原点O的距离之比为 , 则实数 a 的值为( ) A2 B4 C6 D8 【分析】由已知可得双曲线的一条渐近线的斜率,再由双曲线方程求得渐近线的斜率, 列等式求解 a 值 解:由题意,双曲线的一条渐近线的斜率为 , 又双曲线 ,得实半轴长为 ,虚半轴长为 ,即 a4 故选:B 6从

14、1,2,3,4,5 中任取两个不同的数,其中一个作为对数的底数,另一个作为对数的 真数,则对数值大于 0 且小于 1 的概率是( ) A B C D 【分析】利用列举法坟出基本事件总数共 16 个,满足题设条件的事件有 6 个,由古典概 型的计算公式能求出所求事件的概率 解:1 只能作为真数,从其余各数中任取一数作为底数,其值均为 0, 从 1 除外的其余各数中任取两数分别为底数和真数, 基本事件为: (2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(3,2),(4,2), (5,2),(4,3),(5,3),(5,4),共 12 个, 基本事件总数共 16 个, 满足

15、题设条件的事件有: (3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),共 6 个, 由古典概型的计算公式得所求事件的概率:P 故选:C 7某校周五的课程表设计中,要求安排 8 节课(上午 4 节、下午 4 节),分别安排语文数 学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节,其中生物只能安排在第一节或最后 一节, 数学和英语在安排时必须相邻 (注: 上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻) , 则周五的课程顺序的编排方法共有( ) A4800 种 B2400 种 C1200 种 D240 种 【分析】根据题意,分 3 步进行分析: 分析生物的排法数目,分析数学英语相邻的 排

16、法的数目,将剩下的 5 门课程全排列,由分步计数原理计算可得答案 解:根据题意,分 3 步进行分析: 生物只能安排在第一节或最后一节,上午、下午有 4 节符合要求,则生物课的排法有 4 种, 数学和英语在安排时必须相邻,将数学、英语看成一个整体,有 5 个位置可选,则有 5A2210 种情况, 将剩下的 5 门课程全排列,有 A55120 种情况, 则有 4101204800 种不同的排法; 故选:A 8已知大于 1 的三个实数 a,b,c 满足(lga)22lgalgb+lgblgc0,则 a,b,c 的大小关 系不可能是( ) Aabc Babc Cbca Dbac 【分析】因为三个实数

17、a,b,c 都大于 1,所以 lga0,lgb0,lgc0,原等式可化为 lgalg lgblg 0,分别分析选项的 a,b,c 的大小关系即可判断出结果 解:三个实数 a,b,c 都大于 1,lga0,lgb0,lgc0, (lga)22lgalgb+lgblgc0, (lga)2lgalgb+lgblgclgalgb0, lga(lgalgb)+lgb(lgclga)0, lgalg lgblg 0, 对于 A 选项:若 abc,则 lg 0,lg 0,满足题意; 对于 B 选项:若 abc,则 ,0 1,lg 0,lg 0,满足题意; 对于 C 选项:若 bca,则 0 1, 1,lg

18、0,lg 0,满足题意; 对于D选项: 若bac, 则0 1, 0 1, lg 0, lg 0, lgalg lgblg 0, 不满足题意; 故选:D 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分 9Keep 是一款具有社交属性的健身 APP,致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身 饮食指导、装备购买等站式运动解决方案Keep 可以让你随时随地进行锻炼,记录 你每天的训练进程不仅如此,它还可以根据不同人的体质,制定不同的健身计划小 吴根据 Keep 记录的 2019 年

19、 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程(单位:十公里) 数据整理并绘制了下面的折线图根据该折线图,下列结论正确的是( ) A月跑步里程逐月增加 B月跑步里程最大值出现在 10 月 C月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数 D1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小 【分析】 由所给折线图可知, 月跑步里程并不是逐递增, 月跑步里程最大值出现在 10 月, 月跑步里程中位数为5月份对应的里程数, 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月, 波动性更小 解:由所给折线图可知,月跑步里程并不是逐递增,故 A 错误; 月跑步里程最大值出现在 10 月,故 B

20、正确; 月跑步里程中位数为 5 月份对应的里程数,故 C 正确; 1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月,波动性更小,故 D 正确 故选:BCD 10如图,M 是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 DD1的中点,下列命题中真命题是( ) A过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1都相交 B过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1都垂直 C过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、B1C1都相交 D过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、B1C1都平行 【分析】点 M 不在这两异面直线中的任何一条上,所以,过 M 点有且只有一条直线与直 线 AB、B1C1都相交,

21、A 正确过 M 点有且只有一条直线与直线 AB、B1C1都垂直,B 正 确过 M 点有无数个平面与直线 AB、B1C1都相交,C 不正确过 M 点有且只有一个平 面与直线 AB、B1C1都平行,D 正确 解: 直线 AB 与 B1C1 是两条互相垂直的异面直线, 点 M 不在这两异面直线中的任何一条 上,如图所示: 取 C1C 的中点 N,则 MNAB,且 MNAB,设 BN 与 B1C1交于 H,则点 A、B、M、 N、H 共面, 直线 HM 必与 AB 直线相交于某点 O 所以,过 M 点有且只有一条直线 HO 与直线 AB、B1C1都相交;故 A 正确 过 M 点有且只有一条直线与直线

22、AB、B1C1都垂直,此垂线就是棱 DD1,故 B 正确 过 M 点有无数个平面与直线 AB、B1C1都相交,故 C 不正确 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、B1C1都平行,此平面就是过 M 点与正方体的上下 底都平行的平面,故 D 正确 故选:ABD 11已知函数 , , 的部分图象如图所示,若将 函数 f(x)的图象纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ,再向右平移 个单位长度,得到 函数 g(x)的图象,则下列命题正确的是( ) A函数 f(x)的解析式为 B函数 g(x)的解析式为 C函数 f(x)图象的一条对称轴是直线 D函数 g(x )在区间 , 上单调递增 【分析】先根据图象的

23、最高点求出 A,再根据相邻的最高点与零点间横向距离求出 T,进 而求出 ,最后将最高点代入求出 的值从而求出 f(x);再利用图象的变化规律求 出 g (x) 的解析式 按照最值与对称轴对应判断 C 选项正误, 最后一项可直接求出 x+ 的区间,结合正弦函数或余弦函数的单调性下结论 解: 由图可知, , , ,得 , , 将 , 代入得 ,结合 , ,故 A 正 确; 将函数 f(x)的图象纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ,再向右平移 个单位长度, 可得: 2sin(2x )故 B 正确; ,不是最值,故不是对称轴C 错误; 由 x , ,所以 , ,同 ysinx 在区间 , 上的单调性,

24、根据复合函数的单调性可知, 函数 g(x )在区间 , 上单调递增,正确 故选:ABD 12已知直线 l 过抛物线 C:y22px(p0)的焦点,且与该抛物线交于 M,N 两点,若 线段 MN 的长是 16,MN 的中点到 y 轴的距离是 6,O 是坐标原点,则( ) A抛物线 C 的方程是 y28x B抛物线的准线方程是 y2 C直线 l 的方程是 xy+20 DMON 的面积是 【分析】设 M,N 的坐标,由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离,可得|MN| 的表达式,再由 MN 的中点到 y 轴的距离是 6 可得 M,N 的横坐标之和,进而可得 p 的 值,求出抛物线的方程,及准线方

25、程,可判断 A 正确 B 不正确,进而求出直线 l 的方程, 与抛物线联立求出两根之和及两根之积, 求出三角形 MON 的面积, 可判断所给命题的真 假 解:设 M(x1,y1),N(x2,y2),由抛物线的定义可得|MN|(x1+x2)+p16, 又因为 MN 的中点到 y 轴的距离是 6,所以|x1+x2|12,所以 x1+x212, 所以 p4,所以抛物线的方程为:y28x,所以 A 正确, 准线方程为 x2,所以 B 不正确; 设直线 l 的方程 xmy2, 联立直线与抛物线的方程: ,整理可得 y2+8my160,y1+y28m,所以 x1+x2m(y1+y2)48m2412, 解得

26、 m1,所以 l 的方程为:xy2,所以 C 不正确; SMON |OF| |y1y2 | 8 ,所以 D 正确; 故选:AD 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是 存在一个无理数,它的平方不是有理 数 【分析】全称命题的否定为特称命题,注意量词的变化和否定词的变化 解:由称命题的否定为特称命题,可得 命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是:存在一个无理数,它的平方不是有理 数; 故答案为:存在一个无理数,它的平方不是有理数 14在(x ) 8 的展开式中,含 x2项的系数为 1120 【分析】在二项展开式的通项公式中,

27、令 x 的幂指数等于 2,求出 r 的值,即可求得含 x2项的系数 解:(x ) 8 的展开式的通项公式为 Tr+1 (2)r , 令 8 2,求得 r4,可得含 x2项的系数为 (2)41120, 故答案为:1120 15已知直线 Ax+By+C0(其中 A2+B2C2,C0)与圆 x2+y26 交于点 M,N,O 是坐 标原点,则|MN| 2 , 10 【分析】 由已知结合直线与圆相交的性质可|MN|, 然后结合锐角三角函数的定义可求 cos, 再由向量数量积的定义即可求解 解:由中 A2+B2C2,C0 可知,圆心到直线 Ax+By+C0 的距离 d 1, |MN|2 2 , 设 与 的

28、夹角为 ,则 cos() , 所以 cos , 所以, 10 故答案为:2 ;10 16魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中,称一个正方体内两个互相垂直的内 切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图所示),刘徽通过计算得知正方体的内切 球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 :4若“牟合方盖”的体积为 ,则正方体 的外接球的表面积为 12 【分析】根据已知条件求得正方体的棱长,进而求解结论 解:因为牟合方盖”的体积为 ,且正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比 应为 :4 所以:V内切球 ; 内切球半径为 1;故正方体棱长为 2; 所以正方体的外接球直径等于正方体的体对角线即 2R2

29、; R 则正方体的外接球的表面积为 4R212 故答案为:12 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 ,a2,bcosA+acosB 1 这三个条件中任选一个,补充在下面问题 中,并解决相应问题 已知在锐角ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,ABC 的面积为 S,若 4S b2+c2a2, 且_,求ABC 的面积 S 的大小 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 【分析】若选 ,由已知结合正弦定理可求 a,然后结合和差角公式可求 sinC,代入三 角形的面积公式可求; 若选,由已知结合正弦定理可求 a,然后结合和差角

30、公式可求 sinC,代入三角形的面 积公式可求; 若选,结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解 解:4Sb2+c2a2, 4 2 , sinAcosA 即 A , 若选 : ,由正弦定理可得, , 所以 a 2, 又 sinCsin75 , 所以 S ; 若选a2,由正弦定理可得, , 所以 sinB ,B , , 所以 B ,sinCsin75 , 所以 S ; 若选bcosA+acosB 1, acosB1 即 1, 所以 a26+2cc2 又 a26+c22 c, 故 解可得,c1 ,S 18已知数列an满足 ,且 a11 (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足 ,求

31、数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】(1) 将已知等式两边同除以 n (n+1) , 可得 , 再由 数列的恒等式计算可得所求通项公式; (2)求得 bn(2n1) ( ) n1,再由错位相减法求和,结合等比数列的求和公式, 计算可得所求和 解:(1)由 ,可得: , 由 ( )+( )+( ) 1+1 2 , 所以 an2n1,n N*; (2) (2n1) ( ) n1, Sn1 1+3 5 ( ) 2+(2n1) ( ) n1, S n1 3 ( ) 2+5 ( ) 3+(2n1) ( ) n, 两式相减可得 S n1+2 ( ) 2+ ( ) n1 (2n1) ( ) n1+2 (2

32、n1) ( ) n, 化简可得 Sn3(n+1) ( ) n1 19如图,在三棱柱,ABCA1B1C1中,侧面,AA1C1C 是菱形,D 是 AC 中点,A1D平面 ABC,平面 BB1D 与棱 A1C1交于点 E,ABBC (1)求证:四边形 BB1ED 为平行四边形; (2)若 CB1与平面 ABB1A1所成角的正弦值为 ,求 的值 【分析】 (1) 在三棱柱 ABCA1B1C1中, 由直线与平面平行的判定及性质可得 B1BDE, BDB1E,可得四边形 BB1ED 为平行四边形; (2)在ABC 中,由已知可得 BDAC,再由 A1D平面 ABC,得到 A1DBD,A1D AC,分别以

33、DB,DC,DA1所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 设 BDa,ADb,求得平面 ABB1A1的一个法向量 , , ,再由 CB1与 平面 ABB1A1所成角的正弦值为 可得 或 a3b,从而得到 或 【解答】(1)证明:在三棱柱 ABCA1B1C1中,侧面 AA1B1B 是平行四边形, B1BA1A, 又B1B平面 AA1C1C,A1A平面 AA1C1C, B1B平面 AA1C1C, B1B平面 BB1D,且平面 BB1D平面 AA1C1CDE, B1BDE 在三棱柱 ABCA1B1C1中,平面 ABC平面 A1B1C1, 平面 BB1D平面 ABCBD,平面 BB1D平面 A

34、1B1C1B1E, BDB1E, 故四边形 BB1ED 为平行四边形; (2)解:在ABC 中,ABBC,D 是 AC 的中点, BDAC A1D平面 ABC,A1DBD,A1DAC 分别以 DB,DC,DA1所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 设 BDa,ADb, 在AA1D 中,AA12AD,A1DA90, , D(0,0,0),A(0,b,0),A1(0,0, ),B(a,0,0), , , , , , , E(0,b, ), , , ,得 B1(a,b, ) C(0,b,0), , , 设平面 ABB1A1的一个法向量为 , , 由 ,取 za,得 , , , , ,即 4

35、a437a2b2+9b40 或 a3b 即 或 20某服装店每年春季以每件 15 元的价格购人 M 型号童裤若干,并开始以每件 30 元的价 格出售, 若前 2 个月内所购进的 M 型号童裤没有售完, 则服装店对没卖出的 M 型号童裤 将以每件 10 元的价格低价处理(根据经验,1 个月内完全能够把 M 型号童裤低价处理完 毕,且处理完毕后,该季度不再购进 M 型号童裤)该服装店统计了过去 18 年中每年 该季度 M 型号童裤在前 2 个月内的销售量,制成如下表格(注:视频率为概率) 前 2 月内的销售量(单位:件) 30 40 50 频数(单位:年) 6 8 4 (1)若今年该季度服装店购进

36、 M 型号童裤 40 件,依据统计的需求量试求服装店该季度 销售 M 型号童裤获取利润 X 的分布列和期望;(结果保留一位小数) (2)依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件 M 型号童裤时所获得的平均 利润最大 【分析】(1)设服装店某季度销售 M 型号童裤获得的利润是 X(单位:元),当需求量 为 30 时,X400,当需求量为 40 时,X1540600,当需求量为 50 时,X1540 600,由此能求出 X 的分布列和 E(X) (2)设销售 M 型号童裤获得的利润为 Y,服装店每年该季度购进的 M 型号童裤的件数 取值可能为 30 件、40 件、50 件,分别求出平均利润,

37、由此能求出结果 解:(1)设服装店某季度销售 M 型号童裤获得的利润是 X(单位:元), 当需求量为 30 时,X15305(4030)400, 当需求量为 40 时,X1540600, 当需求量为 50 时,X1540600, P(X400) ,P(X600) , X 的分布列为: X 400 600 P E(X)400 (元), 服装店该季度销售 M 型号童裤获取利润的均值为 533.3 元 (2)设销售 M 型号童裤获得的利润为 Y, 依题意,视频率为概率,为追求更多的利润, 则服装店每年该季度购进的 M 型号童裤的件数取值可能为 30 件、40 件、50 件, 当购进 M 型号童裤 3

38、0 件时, E(Y)(3015) (3015) 450, 当购进 M 型号童裤 40 件时, E (Y) (3015) 30 (1510) 10 (3015) , 当购进 M 型号童裤 50 件时, E(Y)(3015)30(1510)20 (3015)40(1510)40 (1510)10 服装店每年该季度在购进 40 件 M 型号童裤时所获得的平均利润最大 21已知椭圆 : 的左、右焦点分别为 F1,F2,以 M(a,b),N (a,b),F2和 F1为顶点的梯形的高为 ,面积为 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 A,B 为椭圆 C 上的任意两点,若直线 AB 与圆 : 相切,求A

39、OB 面积的取值范围 【分析】(1)由题意得 b ,且 ,及 a 2b2+c2,解得 a,c,进而 得出椭圆 C 得标准方程 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),当圆 O 的切线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为:y kx+m,切点为 H,联立切线与椭圆得方程,得 x1+x2,x1x2,l 与圆 O:x2+y2 相切,d, 由弦长公式得|AB|,分析|AB|的取值范围,进而得 SAOB得取值范围,当圆 O 得切线斜率 不存在时,则 AB 的方程为 x 或 x ,得 A,B 坐标,得到 SAOB面积值,综 上可得答案 解:(1)由题意得 b ,且 , 所以 a+c3, 又 a2c23

40、,解得 a2,c1, 所以椭圆 C 得方程为 (2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 当圆 O 的切线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为:ykx+m,切点为 H,连结 OH,则 OH AB, 联立 ,整理得(3+4k 2)x2+8kmx+4m2120, 所以 x1+x2 ,x 1x2 , 因为 l 与圆 O:x2+y2 相切, 所以 d ,m 2 , 又|AB| 若 k0 时,|AB| 因为而 16k2+24 2 2448,当且仅当 k 时,“”成立, 所以|AB| , 易知|AB| 即 若 k0 时,|AB| ,所以 AB 又|OH| , 所以 SAOB |AB| |OH|

41、, , 当圆 O 得切线斜率不存在时,则 AB 的方程为 x 或 x , 此时 A, B 的坐标分别为 ( , ) ( , ) 或 ( , ) ( , ) 此时 SAOB , 综上,AOB 面积得取值范围是 , 22已知函数 f(x)ex,g(x)ax+b,a,b 一、选择题 (1)若 g(1)0,且函数 g(x)的图象是函数 f(x)图象的一条切线,求实数 a 的 值; (2)若不等式 f(x)x2+m 对任意 x (0,+)恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)若对任意实数 a,函数 F(x)f(x)g(x)在(0,+)上总有零点,实数 b 的取值范围 【分析】 (1)根据题意,函数 g

42、(x)的图象与函数 f(x)图象相切,设切点坐标为(m, em);对于 g(x)有 g(1)0,分析可得 ab,则可得 g(x)a(x+1),对于 f (x),利用导数分析可得其在(m,em)处切线的方程为 yemem(xm),变形可 得 yem(xm+1),联立分析可得 ,解可得 a 的值,即可得答案; (2)根据题意,设 h(x)f(x)x2mexx2m,分析可得 h(x)exx2m 0 在(0,+)上恒成立,利用导数分析函数 h(x)为增函数,则原问题可以转化为 h (0)e0m1m0,解可得 m 的取值范围,即可得答案; (3)根据题意,对 F(x)求导可得 F(x)exa,对 a 分

43、 2 种情况讨论,讨论 F(x) 的单调性,分析 b 的取值范围,综合即可得答案 解:(1)根据题意,函数 g(x)的图象是函数 f(x)图象的一条切线, 设切点坐标为(m,em), g(x)ax+b,若 g(1)0,则 g(1)a(1)+bba0,即 ab, 则 g(x)a(x+1), f(x)ex,则 f(x)ex, 又由切点为 (m,em), 则切线斜率 kf(m) em,切线的方程为 yemem(xm), 变形可得 yem(xm+1), 分析可得 ,解可得 m0,a1, 故 a1; (2)根据题意,设 h(x)f(x)x2mexx2m, 若不等式 f(x)x2+m 对任意 x (0,+

44、)恒成立, 则 h(x)exx2m0 在(0,+)上恒成立, h(x)ex2x, h(x)ex2,令 h(x)0,即 ex20 可得 xln2, 分析可得,在(0,ln2)上,h(x)0,h(x)ex2x 为减函数, 在(ln2,+)上,h(x)0,h(x)ex2x 为增函数, 则 h(x)的最小值为 h(ln2)eln22ln222ln22(1ln2)0, 即 h(x)h(ln2)0,x (0,+) 即函数 h(x)在(0,+)上为增函数, 若 h(x)exx2m0 在(0,+)上恒成立, 则有 h(0)e0m1m0,解可得 m1, 故 m 的取值范围是(,1; (3)根据题意,函数 F(x)f(x)g(x)exaxb, 其导数 F(x)exa, 分 2 种情况讨论: ,a0,F(x)0,函数 F(x)在 R 上为增函数, 若函数 F(x)f(x)g(x)在(0,+)上总有零点,必有 F(0)e0b1b 0, 解可得:b1, ,a0 时,令 F(x)exa