1、哈尔滨市第九中学哈尔滨市第九中学 2020 届高三第二次模拟考试届高三第二次模拟考试 数学数学(理理)试题试题 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题),共 23 题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第 I 卷 一选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A=xZ|x-1|0,则下列不等式恒成立的是() 22 . Aab 1 2 1 .( )log 2 a Bb .22 ab C 11 22 .loglogDab 7.已知 25 2 ()()xa x x 的展开式中所有项的系数和为-2,则展开式中含 x 项的系数为() A.80 B.
2、-80 C.40 D.-40 8.已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab ,过右焦点 F 作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为点 P,以 F 为圆心,FP 为 半径作圆,该圆与双曲线交于 M,N 两点,且 M,N,F 三点共线,则双曲线的离心率为() .3A .2B C.2 .5D 9.正方体 1111 ABCDA B C D中,M 在平面 1111 A B C D上,N 为 11 C D的中点,连接 1 A N且 P 在线段 1 A N上.已知 1 2,5,BBBM则 PM 的最小值为() A.1 4 .51 5 B .21C .2D 10.若抛物线 2 2ypx的焦点为 F,点
3、 A,B 在抛物线上,且, 3 AFB 弦 AB 的中点 M 在准线 l 上的射影为 N, 则 2| | MN AB 的最大值为() A.1 B.2 3 . 3 C .3D 11.在数列 n a中, * 12331 1,2,3,( 1)1(), n nn aaaaanN 数列 n a的前 n 项和为, n S下列结论正确 的是() A.数列 n a为等差数列 18 .11Ba 17 .3Ca 31 .146DS 12. 已 知 函 数 1 ( )cos2(sincos ) 3 f xxaxx , 且 对 于 任 意 的 12 ,(,),x x 当 12 xx时 都 有 12 12 ()() 1
4、 f xf x xx 成立,则实数 a 的取值范围是() 1 1 ., 4 4 A 22 . , 33 B 22 . , 66 C D.-1,1 第 II 卷 二填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量(1,1),(2,1),ab若()()abab,则 =. 14.记 n=b(moda)表示正整数 n 除以正整数 a 后所得的余数为 b,例如 8=2(mod6)表示 8 除以 6 后所得的余数为 2.执行右图的程序框图,若输入的 n 值为 5,则输出的 n 值为. 第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图 15.如图所示的三角形称为希尔宾斯基三角形,现分别
5、从图(2)和图(3)中各随机选取一个点,则此两点均取自阴 影部分的概率为. 16.半正多面体亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.如 图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四个面的半 正多面体,它们的棱长都相等,其中八个为正三角形,六个为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四 等边体的棱长为 2,则其体积为;若其各个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为. 三解答题(共 70 分.解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都 必须作答.第 22,
6、23 题为选考题,考生根据要求作答.) (一)必考题:(共 60 分) 17.(12 分)已知多面体 P-ABCD 中,AB/CD,BAD=PAB=90 , 1 , 2 ABPADAPDCDM 是 PB 的中点. (1)求证:PACM (2)求直线 DB 与平面 PBC 所成角的正弦值. 18.(12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知2sin()coscos . 6 BAC (1)求角 A 的大小; (2)若 2 2 , 3 abc求 cosC 的值. 19.(12 分)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 12 3 , 2 FF分别
7、为左右焦点,直线 l:x=my+1 与椭 圆 C 交于 MN 两点, 12 MF F 12 NF F的重心分别为 GH,当 m=0 时,OMN 的面积为 3 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)当 1 0 2 m时,证明:原点 O 在以 GH 为直径的圆的外部. 20.(12 分)近期,湖北省武汉市等多个地区发生新型冠状病毒感染的肺炎疫情.为了尽快遏制住疫情,我国科研 工作者坚守在科研一线,加班加点争分夺秒与病毒抗争,夜以继日地进行研究.新型冠状病毒的潜伏期检测是疫情 控制的关键环节之一.在传染病学中,通常把从致病刺激物侵入机体或对机体发生作用起,到机体出现反应或开始 呈现该疾病对应的相
8、关症状时止的这一阶段称为潜伏期.钟南山院士带领的研究团队统计了武汉市某地区 10000 名医学观察者的相关信息,并通过咽拭子核酸检测得到 1000 名确诊患者的信息如下表格: (1)求这 1000 名确诊患者的潜伏期样本数据的平均数x(同一组数据用该组数据区间的中点值代表). (2)新型冠状病毒的潜伏期受诸多因素影响,为了研究潜伏期与患者性别的关系,以潜伏期是否超过 7 天为标准 进行分层抽样,从上述 1000 名患者中抽取 100 名,得到如下列联表.请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有 90%的把握认为潜伏期与患者性别有关. (3)由于采样不当标本保存不当采用不同类型的标本以及使用不
9、同厂家试剂都可能造成核酸检测结果“假阴 性”而出现漏诊.当核酸检测呈阴性时,需要进一步进行血清学 IgM/IgG 抗体检测,以弥补核酸检测漏诊的缺点.现对 10 名核酸检测结果呈阴性的人员逐一地进行血清检测,记每个人检测出 IgM(IgM 是近期感染的标志)呈阳性的概 率为 p(0p1)且相互独立,设至少检测了 9 个人才检测出 IgM 呈阳性的概率为 f(p),求 f(p)取得最大值时相应的概 率 p. 附: 2 2 () , ()()()() n adbc K ab cd ac bd 其中 n=a+b+c+d. 21.(12 分)已知函数( )(1) , xx f xaeeax g(x)=
10、(a+1)cosx. (1)当 a=0 时,直线 y=kx 与函数 f(x)的图象相切,求 k 的值; (2)若 f(x)g(x)在0,+)上恒成立,求 a 的取值范围. (二)选考题:(共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.) 22.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.直线 l 的参数方程为 2 1 2 2 2 xt yt (t 为参数),圆 C 的参数方程为 22cos 2sin x y ( 为参数). (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的极坐标方程; (2)已知点 M(1,0),直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,求|MA|-|MB|的值. 23.选修 4-5:不等式选讲(10 分) 已知 a,b,c 为正数,且满足 a+b+c=1,证明: (1) 111 9 abc (2) 8 . 27 acbcababc