1、 数学（参考答案与解析）第 1 页（共 8 页） 绝密绝密启用前启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）模拟预测卷（二） 数学卷数学卷 参考答案与解析参考答案与解析 2020.52020.5 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分 1. (本小题满分 5 分) 【答案】1，0，1 2. (本小题满分 5 分) 【答案】3 5 1 5i 3. (本小题满分 5 分) 【答案】6 4. (本小题满分 5 分) 【答案】1 5. (本小题满分 5 分) 【答案】5 6. (本小题满分 5 分) 【答案】 9 10
2、7. (本小题满分 5 分) 【答案】(2，0)(2，) 8. (本小题满分 5 分) 【答案】(2，) 9. 9. (本小题满分 5 分) 【答案】7 6 10. (本小题满分 5 分) 【答案】(，2) 11. (本小题满分 5 分) 【答案】3 【解析】由 ab1，得 logab1，由 2logab3logba7，得 logab1 2，即 b 2a，a 1 b21 a 1 a111213，则 a 1 b21的最小值为 3.本题考查了对数的运算，指数与对数的 互化，以及基本不等式的运用、代数式的变换本题属于中等题 12. (本小题满分 5 分) 【答案】1 【解析】 由题意可知， 直线 l
3、 的斜率存在且不为 0， 故可设直线 l 的方程为 ykxm (m0)， P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 x2y24，ykxm，消去 y，得(1k2)x22kmxm240 ， 数学（参考答案与解析）第 2 页（共 8 页） 且 x1x2 2km 1k2 ，x1x2 m24 1k2 ，故 y1y2(kx1m)(kx2m)k 2x 1x2km(x1x2)m 2. 因为直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y1 x1 y2 x2 k2x1x2km（x1x2）m2 x1x2 k2，化简得 m2k2m2.又 m0，所以 k21，即 k 1.本题考查了直线与圆的位置关系，以 及韦达定理
4、的运用，此方法也同样适用于直线与椭圆的位置关系本题属于中等题 13. (本小题满分 5 分) 【答案】 14 【解析】因为圆心 C 到直线 l 的距离 d3 2 2 2，所以直线 l 与圆 C 相离因为点 P 在直线 l 上，两点 A，B 在圆 C 上，所以|PA |0，|PB|0.因为PAPB|PA|PB|cos 0，所以 cos 0， 所以PA 与PB的夹角APB 为钝角或直角 因为圆 C 上存在两点 A， B， 使得PA PB 0，所以只要 PA，PB 分别与圆 C 都相切时使得APB 为钝角或直角，此时点 P 所在的线 段长即为线段 EF 长度的最大值 当 PA， PB 分别与圆 C
5、都相切时， 在 RtCAP 中， 当APB 为直角时，CPA45，CA2，则 PC2 2.所以，线段 EF 长度的最大值为 2 PC2d2 2（2 2）2 3 2 2 2 14.本题考查了直线与圆的位置关系、向量数量积等内容本题 属于难题 14. (本小题满分 5 分) 【答案】 1 e，1 【解析】 当 t1 时，f(t)lnt，即 lntkt 对于 t1，)恒成立，所以 klnt t ，t1， )令 g(t)lnt t ，则 g(t)1lnt t2 ，当 t(1，e)时，g(t)0，则 g(t)lnt t 在 t(1，e)时 为增函数；当 t(e，)时，g(t)0，则 g(t)lnt t
6、在 t(e，)时为减函数所以 g(t)max g(e)1 e，所以 k 1 e. 当 0t1 时，f(t)t(t1) 2，即t(t1)2kt 对于 t(0，1)恒成 立，所以 k(t1)2，t(0，1)，所以 k0. 当 t0 时，f(t)t(t1)2，即 t(t1)2kt 对于 t(，0恒成立，所以 k(t1)2，t(，0，所以 k1.综上，1 ek1.本题考 查了分段函数、 利用导数求最值， 以及恒成立问题等内容， 借助分类讨论使问题得到解决 本 题属于难题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共6小题，共计小题，共计90分分 15(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 (1) 在锐角
7、三角形 ABC 中，由 sinA3 5，得 cosA 1sin 2A4 5，(2 分) 所以 tanAsinA cosA 3 4.(4 分) 由 tan(AB) tanAtanB 1tanAtanB 1 2，得 tanB2.(7 分) (2) 在锐角三角形 ABC 中，由 tanB2，得 sinB2 5 5 ，cosB 5 5 ，(9 分) 数学（参考答案与解析）第 3 页（共 8 页） 所以 sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB11 5 25 .(11 分) 由正弦定理 b sinB c sinC，得 c bsinC sinB 11 2 .(14 分) 16(本小题满分 1
8、4 分) 【答案与解析】 (1) 点 D，F 分别为 BC，AB 的中点， DFAC. DF 平面 PAC，AC平面 PAC， 直线 DF平面 PAC.(6 分) (2) PACBAC90， ACAB，ACAP. ABAPA，AB，AP 在平面 PAB 内， AC平面 PAB.(8 分) PF平面 PAB， ACPF. PAPB，F 为 AB 的中点， PFAB. ACPF，PFAB，ACABA，AC，AB 在平面 ABC 内， PF平面 ABC.(12 分) AD平面 ABC， ADPF.(14 分) 17(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 (1) 当 k0 时，2an1anan2，即
9、 an2an1an1an，所以数列an是等差数列(2 分) 设数列an公差为 d，则 a12， 2a16d4，解得 a12， d4 3. (4 分) 所以 Snna1n（n1） 2 d2nn（n1） 2 4 3 2 3n 28 3n.(6 分) (2) 由题意，2a4a3a5k，即24k，所以 k2.(8 分) 又 a42a3a223a22a16，所以 a23. 由 2an1anan22，得(an2an1)(an1an)2， 所以，数列an1an是以 a2a11 为首项，2 为公差的等差数列 所以 an1an2n3.(10 分) 当 n2 时，有 anan12(n1)3， 于是 an1an22
10、(n2)3，an2an32(n3)3，a3a2223， a2a1213， 叠加，得 ana1212(n1)3(n1)(n2)， 所以 an2n（n1） 2 3(n1)2n24n1(n2)(13 分) 又当 n1 时，a12 也适合 所以数列an的通项公式为 ann24n1，nN*.(14 分) 18(本小题满分 16 分) 【答案与解析】 (1) 由题知在ACD 中，CAD 3 ，CDA，AC10，ACD2 3 . 数学（参考答案与解析）第 4 页（共 8 页） 由正弦定理知 CD sin 3 AD sin 2 3 10 sin ，(2 分) 即 CD 5 3 sin ，AD 10sin 2
11、3 sin ，(3 分) 所以 S4aAD8aBD12aCD(12CD4AD80)a 60 340sin 2 3 sin a80a(5 分) 20 3（3cos ） a sin 60a 3 2 3 .(6 分) (2) S20 313cos sin2 a，(8 分) 令 S0 得 cos 1 3，(10 分) 当 cos 1 3时，S0；当 cos 1 3时，S0，(12 分) 所以当 cos 1 3时，S 取得最小值，(13 分) 此时 sin 2 2 3 ，AD5 3cos 5sin sin 55 6 4 ，(15 分) 所以中转点 D 距 A 处205 6 4 km 时，运输成本 S 最
12、小(16 分) 19(本小题满分 16 分) 【答案与解析】 (1) 解：因为点 P( 3，1)，所以 kOP 1 3. 因为 AFOP，b c 1 31， 所以 3cb，所以 3a24b2.(2 分) 又点 P( 3，1)在椭圆上， 所以3 a2 1 b21，解之得 a 213 3 ，b213 4 . 故椭圆 C 的方程为x 2 13 3 y 2 13 4 1.(4 分) (2) 解：由题意，直线 AF 的方程为x c y b1，与椭圆 C 的方程 x2 a2 y2 b21 联立消去 y， 得a 2c2 a2c2 x22x c 0，解得 x0 或 x 2a2c a2c2，所以 Q 点的坐标为
13、 2a2c a2c2， b（c2a2） a2c2 ，(7 分) 所以直线 BQ 的斜率为 kBQ b（c2a2） a2c2 b 2a2c a2c2 bc a2. 由题意得c b 2bc a2 ，所以 a22b2，(9 分) 所以椭圆的离心率 ec a 1b 2 a2 2 2 .(10 分) 数学（参考答案与解析）第 5 页（共 8 页） (3) 证明： 因为线段 OP 垂直 AF， 则直线 OP 的方程为 ycx b ， 与直线 AF 的方程x c y b 1 联立，解得两直线交点的坐标 b2c a2 ，bc 2 a2 . 因为线段 OP 被直线 AF 平分，所以 P 点坐标为 2b2c a2
14、 ，2bc 2 a2 .(12 分) 由点 P 在椭圆上，得4b 4c2 a6 4b 2c4 a4b2 1， 又 b2a2c2，设c 2 a2t，得 4(1t) 2tt21. (*)(14 分) 令 f(t)4(1t)2tt214(t3t2t)1， 因为 f(t)4(3t22t1)0，所以函数 f(t)单调增 又 f(0)10，f(1)30， 所以 f(t)0 在区间(0，1)上有解，即(*)式方程有解， 故存在椭圆 C，使线段 OP 被直线 AF 垂直平分(16 分) 20(本小题满分 16 分) 【答案与解析】 (1) 当 a1 时，f(x)ex(2x1)x1，f(x)ex(2x1)1，(
15、1 分) 由于 f(0)0， 当 x(0，)时，ex1，2x11， f(x)0； 当 x(，0)时，0ex1，2x11， f(x)0， f(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增(4 分) (2) 由 f(x)0 得 ex(2x1)a(x1) 当 x1 时，不等式显然不成立； 当 x1 时，ae x（2x1） x1 ；当 x1 时，ae x（2x1） x1 .(6 分) 记 g(x)e x（2x1） x1 ，g(x)e x（2x1）（x1）ex（2x1） （x1）2 e x（2x23x） （x1）2 ， g(x)在区间(，0)和 3 2， 上为增函数，在(0，1)和 1，3 2
16、 上为减函数 当 x1 时，ag 3 2 4e 3 2，当 x1 时，ag(0)1.(8 分) 综上所述，所有 a 的取值范围为(，1)( )4e 3 2， .(9 分) 由知 a1 时，x0(，1)， 由 f(x0)0，得 g(x0)a， 又 g(x)在区间(，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，且 g(0)1a， g(1)a，即 a 3 2e， 3 2ea1.(12 分) 当 a4e 3 2时，x0(1，)，由 f(x0)0，得 g(x0)a， 又 g(x)在区间 1，3 2 上单调递减，在 3 2， 上单调递增，且 g 3 2 4e 3 2a， g（2）a， g（3）a，解得 3e
17、2a5e 3 2 .(15 分) 综上所述，所有 a 的取值范围为 3 2e，1 3e2，5e 3 2 .(16 分) 数学（参考答案与解析）第 6 页（共 8 页） 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）模拟预测卷（二） 数学卷（附加题）数学卷（附加题） 参考答案与解析参考答案与解析 2020.42020.4 21 【选做题】本题包括 【选做题】本题包括 A、B、C 三三小题小题。 A选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 将 2 代入 1 2 5 2 x 2(x1)(x5)0，得 x3， 故矩阵 M 1 2 5 2 3 .(5 分) M2 6 4 5 1
18、4 .(10 分) B选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 圆的直角坐标方程为 x2(y4)216，(3 分) 直线的直角坐标方程为 y 3x，(6 分) 圆心(0，4)到直线的距离为 d |04| （ 3）212 2，则圆上点到直线距离最大值为 D dr246.(10 分) C选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 xy 4 x22xyy2(xy) 4 （xy）2(3 分) xy 2 xy 2 4 （xy）2，(5 分) xy，xy0， xy 2 xy 2 4 （xy）23 3 xy 2 xy 2 4 （xy）2 3， 当且仅当xy 2
19、 xy 2 4 （xy）2时取等号，此时 xy2.(10 分) 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分 22. (本小题满分 10 分) 数学（参考答案与解析）第 7 页（共 8 页） 【答案与解析】 分别以 AB，AC，AA1所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，C1(0，4，2)(2 分) (1) 当 1 时，D 为 BC 的中点， 所以 D(1，2，0)，DB1 (1，2，2)，A1C1 (0，4，0)，A1D (1，
20、2，2) 设平面 A1C1D 的法向量为 n1(x，y，z)， 则 4y0， x2z0，所以取 n 1(2，0，1) 又 cosDB1 ，n1DB1 n1 |DB1 |n1| 4 3 5 4 15 5， 所以直线 DB1与平面 A1C1D 所成角的正弦值为 4 15 5.(6 分) (2) 因为BD DC ，所以 D 2 1， 4 1，0 ， 所以A1C1 (0，4，0)，A1D 2 1， 4 1，2 . 设平面 A1C1D 的法向量 n1(x，y，z)，则 4y0， 2 1x2z0， 所以取 n1(1，0，1) 又平面 A1B1C1的一个法向量为 n2(0，0，1)，由题意得|cosn1，n
21、2|1 2， 所以 1 （1）21 1 2，解得 31 或 31(不合题意，舍去)， 所以实数 的值为 31.(10 分) 23(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 (1) 由题意知，an3n2，g(n)1 an 1 an1 1 an2 1 an2，(1 分) 当 n2 时，g(2)1 a2 1 a3 1 a4 1 4 1 7 1 10 69 140 1 3.(2 分) (2) 用数学归纳法加以证明： 当 n3 时，g(3)1 a3 1 a4 1 a5 1 a9 1 7 1 10 1 13 1 16 1 19 1 22 1 25 数学（参考答案与解析）第 8 页（共 8 页） 1 7 1
22、10 1 13 1 16 1 19 1 22 1 25 1 8 1 16 1 16 1 16 1 32 1 32 1 32 1 8 3 16 3 32 1 8 3 16 1 16 1 3， 所以当 n3 时，结论成立(4 分) 假设当 nk 时，结论成立，即 g(k)1 3， 则 nk1 时， g(k1)g(k) 1 ak21 1 ak22 1 a（k1）2 1 ak (6 分) 1 3 1 ak21 1 ak22 1 a（k1）2 1 ak 1 3 2k1 3（k1）22 1 3k2 1 3 （2k1）（3k2）3（k1）22 3（k1）22（3k2） 1 3 3k27k3 3（k1）22（3k2）， 由 k3 可知，3k27k30，即 g(k1)1 3. 所以当 nk1 时，结论也成立 综合可得，当 n3 时，g(n)1 3.(10 分)