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2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)高考数学模拟预测试卷(二)含附加题(有答案)

1、 数学(参考答案与解析)第 1 页(共 8 页) 绝密绝密启用前启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)模拟预测卷(二) 数学卷数学卷 参考答案与解析参考答案与解析 2020.52020.5 一、填空题:本大题共一、填空题:本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共计分,共计 70 分分 1. (本小题满分 5 分) 【答案】1,0,1 2. (本小题满分 5 分) 【答案】3 5 1 5i 3. (本小题满分 5 分) 【答案】6 4. (本小题满分 5 分) 【答案】1 5. (本小题满分 5 分) 【答案】5 6. (本小题满分 5 分) 【答案】 9 10

2、7. (本小题满分 5 分) 【答案】(2,0)(2,) 8. (本小题满分 5 分) 【答案】(2,) 9. 9. (本小题满分 5 分) 【答案】7 6 10. (本小题满分 5 分) 【答案】(,2) 11. (本小题满分 5 分) 【答案】3 【解析】由 ab1,得 logab1,由 2logab3logba7,得 logab1 2,即 b 2a,a 1 b21 a 1 a111213,则 a 1 b21的最小值为 3.本题考查了对数的运算,指数与对数的 互化,以及基本不等式的运用、代数式的变换本题属于中等题 12. (本小题满分 5 分) 【答案】1 【解析】 由题意可知, 直线 l

3、 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 ykxm (m0), P(x1,y1),Q(x2,y2),由 x2y24,ykxm,消去 y,得(1k2)x22kmxm240 , 数学(参考答案与解析)第 2 页(共 8 页) 且 x1x2 2km 1k2 ,x1x2 m24 1k2 ,故 y1y2(kx1m)(kx2m)k 2x 1x2km(x1x2)m 2. 因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列,所以y1 x1 y2 x2 k2x1x2km(x1x2)m2 x1x2 k2,化简得 m2k2m2.又 m0,所以 k21,即 k 1.本题考查了直线与圆的位置关系,以 及韦达定理

4、的运用,此方法也同样适用于直线与椭圆的位置关系本题属于中等题 13. (本小题满分 5 分) 【答案】 14 【解析】因为圆心 C 到直线 l 的距离 d3 2 2 2,所以直线 l 与圆 C 相离因为点 P 在直线 l 上,两点 A,B 在圆 C 上,所以|PA |0,|PB|0.因为PAPB|PA|PB|cos 0,所以 cos 0, 所以PA 与PB的夹角APB 为钝角或直角 因为圆 C 上存在两点 A, B, 使得PA PB 0,所以只要 PA,PB 分别与圆 C 都相切时使得APB 为钝角或直角,此时点 P 所在的线 段长即为线段 EF 长度的最大值 当 PA, PB 分别与圆 C

5、都相切时, 在 RtCAP 中, 当APB 为直角时,CPA45,CA2,则 PC2 2.所以,线段 EF 长度的最大值为 2 PC2d2 2(2 2)2 3 2 2 2 14.本题考查了直线与圆的位置关系、向量数量积等内容本题 属于难题 14. (本小题满分 5 分) 【答案】 1 e,1 【解析】 当 t1 时,f(t)lnt,即 lntkt 对于 t1,)恒成立,所以 klnt t ,t1, )令 g(t)lnt t ,则 g(t)1lnt t2 ,当 t(1,e)时,g(t)0,则 g(t)lnt t 在 t(1,e)时 为增函数;当 t(e,)时,g(t)0,则 g(t)lnt t

6、在 t(e,)时为减函数所以 g(t)max g(e)1 e,所以 k 1 e. 当 0t1 时,f(t)t(t1) 2,即t(t1)2kt 对于 t(0,1)恒成 立,所以 k(t1)2,t(0,1),所以 k0. 当 t0 时,f(t)t(t1)2,即 t(t1)2kt 对于 t(,0恒成立,所以 k(t1)2,t(,0,所以 k1.综上,1 ek1.本题考 查了分段函数、 利用导数求最值, 以及恒成立问题等内容, 借助分类讨论使问题得到解决 本 题属于难题 二、解答题:本大题共二、解答题:本大题共6小题,共计小题,共计90分分 15(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 (1) 在锐角

7、三角形 ABC 中,由 sinA3 5,得 cosA 1sin 2A4 5,(2 分) 所以 tanAsinA cosA 3 4.(4 分) 由 tan(AB) tanAtanB 1tanAtanB 1 2,得 tanB2.(7 分) (2) 在锐角三角形 ABC 中,由 tanB2,得 sinB2 5 5 ,cosB 5 5 ,(9 分) 数学(参考答案与解析)第 3 页(共 8 页) 所以 sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB11 5 25 .(11 分) 由正弦定理 b sinB c sinC,得 c bsinC sinB 11 2 .(14 分) 16(本小题满分 1

8、4 分) 【答案与解析】 (1) 点 D,F 分别为 BC,AB 的中点, DFAC. DF 平面 PAC,AC平面 PAC, 直线 DF平面 PAC.(6 分) (2) PACBAC90, ACAB,ACAP. ABAPA,AB,AP 在平面 PAB 内, AC平面 PAB.(8 分) PF平面 PAB, ACPF. PAPB,F 为 AB 的中点, PFAB. ACPF,PFAB,ACABA,AC,AB 在平面 ABC 内, PF平面 ABC.(12 分) AD平面 ABC, ADPF.(14 分) 17(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 (1) 当 k0 时,2an1anan2,即

9、 an2an1an1an,所以数列an是等差数列(2 分) 设数列an公差为 d,则 a12, 2a16d4,解得 a12, d4 3. (4 分) 所以 Snna1n(n1) 2 d2nn(n1) 2 4 3 2 3n 28 3n.(6 分) (2) 由题意,2a4a3a5k,即24k,所以 k2.(8 分) 又 a42a3a223a22a16,所以 a23. 由 2an1anan22,得(an2an1)(an1an)2, 所以,数列an1an是以 a2a11 为首项,2 为公差的等差数列 所以 an1an2n3.(10 分) 当 n2 时,有 anan12(n1)3, 于是 an1an22

10、(n2)3,an2an32(n3)3,a3a2223, a2a1213, 叠加,得 ana1212(n1)3(n1)(n2), 所以 an2n(n1) 2 3(n1)2n24n1(n2)(13 分) 又当 n1 时,a12 也适合 所以数列an的通项公式为 ann24n1,nN*.(14 分) 18(本小题满分 16 分) 【答案与解析】 (1) 由题知在ACD 中,CAD 3 ,CDA,AC10,ACD2 3 . 数学(参考答案与解析)第 4 页(共 8 页) 由正弦定理知 CD sin 3 AD sin 2 3 10 sin ,(2 分) 即 CD 5 3 sin ,AD 10sin 2

11、3 sin ,(3 分) 所以 S4aAD8aBD12aCD(12CD4AD80)a 60 340sin 2 3 sin a80a(5 分) 20 3(3cos ) a sin 60a 3 2 3 .(6 分) (2) S20 313cos sin2 a,(8 分) 令 S0 得 cos 1 3,(10 分) 当 cos 1 3时,S0;当 cos 1 3时,S0,(12 分) 所以当 cos 1 3时,S 取得最小值,(13 分) 此时 sin 2 2 3 ,AD5 3cos 5sin sin 55 6 4 ,(15 分) 所以中转点 D 距 A 处205 6 4 km 时,运输成本 S 最

12、小(16 分) 19(本小题满分 16 分) 【答案与解析】 (1) 解:因为点 P( 3,1),所以 kOP 1 3. 因为 AFOP,b c 1 31, 所以 3cb,所以 3a24b2.(2 分) 又点 P( 3,1)在椭圆上, 所以3 a2 1 b21,解之得 a 213 3 ,b213 4 . 故椭圆 C 的方程为x 2 13 3 y 2 13 4 1.(4 分) (2) 解:由题意,直线 AF 的方程为x c y b1,与椭圆 C 的方程 x2 a2 y2 b21 联立消去 y, 得a 2c2 a2c2 x22x c 0,解得 x0 或 x 2a2c a2c2,所以 Q 点的坐标为

13、 2a2c a2c2, b(c2a2) a2c2 ,(7 分) 所以直线 BQ 的斜率为 kBQ b(c2a2) a2c2 b 2a2c a2c2 bc a2. 由题意得c b 2bc a2 ,所以 a22b2,(9 分) 所以椭圆的离心率 ec a 1b 2 a2 2 2 .(10 分) 数学(参考答案与解析)第 5 页(共 8 页) (3) 证明: 因为线段 OP 垂直 AF, 则直线 OP 的方程为 ycx b , 与直线 AF 的方程x c y b 1 联立,解得两直线交点的坐标 b2c a2 ,bc 2 a2 . 因为线段 OP 被直线 AF 平分,所以 P 点坐标为 2b2c a2

14、 ,2bc 2 a2 .(12 分) 由点 P 在椭圆上,得4b 4c2 a6 4b 2c4 a4b2 1, 又 b2a2c2,设c 2 a2t,得 4(1t) 2tt21. (*)(14 分) 令 f(t)4(1t)2tt214(t3t2t)1, 因为 f(t)4(3t22t1)0,所以函数 f(t)单调增 又 f(0)10,f(1)30, 所以 f(t)0 在区间(0,1)上有解,即(*)式方程有解, 故存在椭圆 C,使线段 OP 被直线 AF 垂直平分(16 分) 20(本小题满分 16 分) 【答案与解析】 (1) 当 a1 时,f(x)ex(2x1)x1,f(x)ex(2x1)1,(

15、1 分) 由于 f(0)0, 当 x(0,)时,ex1,2x11, f(x)0; 当 x(,0)时,0ex1,2x11, f(x)0, f(x)在区间(,0)上单调递减,在区间(0,)上单调递增(4 分) (2) 由 f(x)0 得 ex(2x1)a(x1) 当 x1 时,不等式显然不成立; 当 x1 时,ae x(2x1) x1 ;当 x1 时,ae x(2x1) x1 .(6 分) 记 g(x)e x(2x1) x1 ,g(x)e x(2x1)(x1)ex(2x1) (x1)2 e x(2x23x) (x1)2 , g(x)在区间(,0)和 3 2, 上为增函数,在(0,1)和 1,3 2

16、 上为减函数 当 x1 时,ag 3 2 4e 3 2,当 x1 时,ag(0)1.(8 分) 综上所述,所有 a 的取值范围为(,1)( )4e 3 2, .(9 分) 由知 a1 时,x0(,1), 由 f(x0)0,得 g(x0)a, 又 g(x)在区间(,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,且 g(0)1a, g(1)a,即 a 3 2e, 3 2ea1.(12 分) 当 a4e 3 2时,x0(1,),由 f(x0)0,得 g(x0)a, 又 g(x)在区间 1,3 2 上单调递减,在 3 2, 上单调递增,且 g 3 2 4e 3 2a, g(2)a, g(3)a,解得 3e

17、2a5e 3 2 .(15 分) 综上所述,所有 a 的取值范围为 3 2e,1 3e2,5e 3 2 .(16 分) 数学(参考答案与解析)第 6 页(共 8 页) 2020 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)模拟预测卷(二) 数学卷(附加题)数学卷(附加题) 参考答案与解析参考答案与解析 2020.42020.4 21 【选做题】本题包括 【选做题】本题包括 A、B、C 三三小题小题。 A选修 42:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 将 2 代入 1 2 5 2 x 2(x1)(x5)0,得 x3, 故矩阵 M 1 2 5 2 3 .(5 分) M2 6 4 5 1

18、4 .(10 分) B选修 44:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 圆的直角坐标方程为 x2(y4)216,(3 分) 直线的直角坐标方程为 y 3x,(6 分) 圆心(0,4)到直线的距离为 d |04| ( 3)212 2,则圆上点到直线距离最大值为 D dr246.(10 分) C选修 45:不等式选讲(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 xy 4 x22xyy2(xy) 4 (xy)2(3 分) xy 2 xy 2 4 (xy)2,(5 分) xy,xy0, xy 2 xy 2 4 (xy)23 3 xy 2 xy 2 4 (xy)2 3, 当且仅当xy 2

19、 xy 2 4 (xy)2时取等号,此时 xy2.(10 分) 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题,每题题,每题 10 分,共计分,共计 20 分分 22. (本小题满分 10 分) 数学(参考答案与解析)第 7 页(共 8 页) 【答案与解析】 分别以 AB,AC,AA1所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,4,2)(2 分) (1) 当 1 时,D 为 BC 的中点, 所以 D(1,2,0),DB1 (1,2,2),A1C1 (0,4,0),A1D (1,

20、2,2) 设平面 A1C1D 的法向量为 n1(x,y,z), 则 4y0, x2z0,所以取 n 1(2,0,1) 又 cosDB1 ,n1DB1 n1 |DB1 |n1| 4 3 5 4 15 5, 所以直线 DB1与平面 A1C1D 所成角的正弦值为 4 15 5.(6 分) (2) 因为BD DC ,所以 D 2 1, 4 1,0 , 所以A1C1 (0,4,0),A1D 2 1, 4 1,2 . 设平面 A1C1D 的法向量 n1(x,y,z),则 4y0, 2 1x2z0, 所以取 n1(1,0,1) 又平面 A1B1C1的一个法向量为 n2(0,0,1),由题意得|cosn1,n

21、2|1 2, 所以 1 (1)21 1 2,解得 31 或 31(不合题意,舍去), 所以实数 的值为 31.(10 分) 23(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 (1) 由题意知,an3n2,g(n)1 an 1 an1 1 an2 1 an2,(1 分) 当 n2 时,g(2)1 a2 1 a3 1 a4 1 4 1 7 1 10 69 140 1 3.(2 分) (2) 用数学归纳法加以证明: 当 n3 时,g(3)1 a3 1 a4 1 a5 1 a9 1 7 1 10 1 13 1 16 1 19 1 22 1 25 数学(参考答案与解析)第 8 页(共 8 页) 1 7 1

22、10 1 13 1 16 1 19 1 22 1 25 1 8 1 16 1 16 1 16 1 32 1 32 1 32 1 8 3 16 3 32 1 8 3 16 1 16 1 3, 所以当 n3 时,结论成立(4 分) 假设当 nk 时,结论成立,即 g(k)1 3, 则 nk1 时, g(k1)g(k) 1 ak21 1 ak22 1 a(k1)2 1 ak (6 分) 1 3 1 ak21 1 ak22 1 a(k1)2 1 ak 1 3 2k1 3(k1)22 1 3k2 1 3 (2k1)(3k2)3(k1)22 3(k1)22(3k2) 1 3 3k27k3 3(k1)22(3k2), 由 k3 可知,3k27k30,即 g(k1)1 3. 所以当 nk1 时,结论也成立 综合可得,当 n3 时,g(n)1 3.(10 分)