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湖南省永州市2020届高三第三次模拟考试数学试题(文科)含答案解析

1、2020 年高考数学三模试卷(文科)年高考数学三模试卷(文科) 一、选择题 1已知集合 U1,2,3,4,5,6,A1,3,5,B2,3,4,则集合U(AB) ( ) A1,2,6 B1,3,6 C1,6 D6 2 已知复数 z 满足 z (1+2i) 5 (i 为虚数单位) , 则在复平面内复数 z 对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3对于正在培育的一颗种子,它可能 1 天后发芽,也可能 2 天后发芽,如表是 20 颗不 同种子发芽前所需培育的天数统计表, 则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是 ( ) 发芽所 需天数 1 2 3 4 5 6 7 8 种子

2、数 4 3 3 5 2 2 1 0 A2 B3 C3.5 D4 4已知函数 ,要得到函数 g(x)cosx 的图象,只需将 yf(x)的图 象( ) A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 5已知 , , ,则( ) Aabc Bbac Cbca Dacb 6已知向量 , 夹角为 30, , , ,则 ( ) A2 B4 C D 7 第 24 届冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在北京市和张家口市举行, 为了解奥运 会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P, 某学生做如图所示的模拟实验: 通过计算机模拟在

3、长为 10,宽为 6 的长方形奥运会旗内随机取 N 个点,经统计落入五环 内部及其边界上的点数为 n 个,已知圆环半径为 1,则比值 P 的近似值为( ) A B C D 8已知双曲线 : 的一条渐近线方程为 ,F1、F2分别是双曲线 C 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上,且|PF1|3,则|PF2|( ) A9 B5 C2 或 9 D1 或 5 9已知函数 ,则 f(x)的最小值为( ) A B C D 10中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造的一种标准量器商 鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若 取 3,当该量器口密闭时其表面积为 42.2(平方寸),则图

4、中 x 的值为( ) A3 B3.4 C3.8 D4 11已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(1+x)f(1x),当 x(0,1 时,f(x)eax(其中 e 是自然对数的底数),若 f(2020ln2)8,则实数 a 的值 为( ) A3 B3 C D 12 已知椭圆 的左、 右焦点分别为 F1、 F2, 过 F1的直线交椭圆于 A, B 两点,交 y 轴于点 M,若 F1、M 是线段 AB 的三等分点,则椭圆的离心率为( ) A B C D 二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13曲线 f(x)4xex在点(0,f(0)处的切线方程为 14 在ABC

5、 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 2acosCbcosC+ccosB, 则 C 15已知数列an为正项等比数列,a3a6a927,则 a2a10+a6a2+a6a10的最小值为 16 边长为 2 的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分, 将所留部分折成一个正四 棱锥当该棱锥的体积取得最大值时,其底面棱长为 三、解答题:共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 题第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答, 第 22、 23 题为选考题, 考生根据要求作答. (一) 必考题:60 分. 17已知公差不为零的等差数列an的

6、前 n 项和为 Sn,a34,a5是 a2与 a11的等比中项 (1)求 Sn; (2)设数列bn满足 b1a2, ,求数列bn的通项公式 18如图,在直三棱柱 ABCABC中,ACAB,AAABAC2,D,E 分别为 AB,BC 的中点 (1)证明:平面 BDE平面 AABB; (2)求点 C到平面 BDE 的距离 19 自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来, 在以习近平总书记为核心的党中央的正确 领导和指挥下,全国各地纷纷驰援,湖北的疫情形势很快得到了控制,但是国际疫情越 来越严重, 医用口罩等物资存在很大缺口 某口罩生产厂家复工复产后, 抢时生产口罩, 以驰援国际社会,已知该企业前 1

7、0 天生产的口罩量如表所示: 第 x 天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 产量 y (单位: 万个) 76.0 88.0 96.0 104.0 111.0 117.0 124.0 130.0 135.0 140.0 对上表的数据作初步处理,得到一些统计量的值: m n 82.5 3998.9 570.5 (1)求表中 m,n 的值,并根据最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 (回 归方程系数精确到 0.1); (2)某同学认为 ypx2+qx+r 更适宜作为 y 关于 x 的回归方程模型,并以此模型求得回 归方程为 经调查,该企业第 11 天的产量为 145.3 万个,与(1

8、) 中的线性回归方程比较,哪个回归方程的拟合效果更好?并说明理由 附: , 20已知动圆 E 与圆 : 外切,并与直线 相切,记动圆圆心 E 的 轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 Q(2,0)的直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,若曲线 C 上存在点 P 使得APB 90,求直线 l 的斜率 k 的取值范围 21设函数 f(x)ex+2axe,g(x)lnx+ax+a (1)求函数 f(x)的极值; (2)对任意 x1,都有 f(x)g(x),求实数 a 的取值范围 (二)选考题:10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一题计 分.选修

9、4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程为 x22x+y20以原点 O 为极点,x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 (1)写出曲线 C 的极坐标方程,并求出直线 l 与曲线 C 的交点 M,N 的极坐标; (2)设 P 是椭圆 上的动点,求PMN 面积的最大值 选修 4-5:不等式选讲 23已知 f(x)x2+2|x1| (1)解关于 x 的不等式: ; (2) 若f (x) 的最小值为M, 且a+b+cM (a, b, cR+) , 求证: 参考答案 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项

10、中,只有一项是 符合题目要求的 1已知集合 U1,2,3,4,5,6,A1,3,5,B2,3,4,则集合U(AB) ( ) A1,2,6 B1,3,6 C1,6 D6 【分析】求出集合 U,A,B,从而 AB,由此能求出集合U(AB) 解:集合 U1,2,3,4,5,6,A1,3,5,B2,3,4, AB1,2,3,4,5, 集合U(AB)6 故选:D 【点评】本题考查并集、补集的求法,考查并集、补集等基础知识,考查运算求解能力, 是基础题 2 已知复数 z 满足 z (1+2i) 5 (i 为虚数单位) , 则在复平面内复数 z 对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第

11、四象限 【分析】把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,求出 z 对应点的 坐标得答案 【解答】解析: , 故选:D 【点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运算, 考查了复数的代数表示法及其几何意义, 是基础题 3对于正在培育的一颗种子,它可能 1 天后发芽,也可能 2 天后发芽,如表是 20 颗不 同种子发芽前所需培育的天数统计表, 则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是 ( ) 发芽所 需天数 1 2 3 4 5 6 7 8 种子数 4 3 3 5 2 2 1 0 A2 B3 C3.5 D4 【分析】根据图中数据得出该 20 颗种子发芽天数,再计算数据的中位数 解:由图中数据

12、可知,该 20 颗种子发芽天数从小到大排列为: 1、1、1、1、2、2、2、3、3、3、4、4、4、4、4、5、5、6、6、7; 所以中位数为 故选:C 【点评】本题考查了利用数表求数据的中位数问题,是基础题 4已知函数 ,要得到函数 g(x)cosx 的图象,只需将 yf(x)的图 象( ) A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 【分析】利用诱导公式、yAsin(x+)的图象变换规律,得出结论 解: 由于将 yf (x) 的图象向左平移 个单位长度得到 , 故选:A 【点评】本题主要考查诱导公式、yAsin(x+)的图象变换规律,属于

13、基础题 5已知 , , ,则( ) Aabc Bbac Cbca Dacb 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 解:由于 , , , 故选:B 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题 6已知向量 , 夹角为 30, , , ,则 ( ) A2 B4 C D 【分析】根据题意,求出| |的值,进而计算可得 的值,由数量积的运算性质计算可 得答案 解:根据题意, , ,则| | , 又由向量 , 夹角为 30,则 2 3, 则 , 故选:A 【点评】本题考查向量数量积的计算,涉及向量的坐标计算和模的计算,属于基础题 7 第 24 届冬奥会将于 2022 年 2 月 4

14、 日至 2 月 20 日在北京市和张家口市举行, 为了解奥运 会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P, 某学生做如图所示的模拟实验: 通过计算机模拟在长为 10,宽为 6 的长方形奥运会旗内随机取 N 个点,经统计落入五环 内部及其边界上的点数为 n 个,已知圆环半径为 1,则比值 P 的近似值为( ) A B C D 【分析】由随机模拟方法求得奥运会五环所占面积,求出五个圆的面积,则答案可求 解:五个圆的面积为 5125, 长方形面积为 10660, 设奥运会五环所占面积为 S, 由于 s ,又 P 故选:B 【点评】本题考查几何概型,训练了利用随机模拟方法求几何体的面积,是中档题

15、 8已知双曲线 : 的一条渐近线方程为 ,F1、F2分别是双曲线 C 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上,且|PF1|3,则|PF2|( ) A9 B5 C2 或 9 D1 或 5 【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出 b,由双曲线的定义求出|PF2| 【解答】解析:由于 ,a1,所以 ,则 c 2a2+b21+89 c3, 由双曲线的定义可得|PF2|3|2a2,|PF2|5 或 1, 又因为 ca2|PF2|, 故选:B 【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用, 由双曲线的方程、渐近线的方程求出 b 是解题的关键,属于基础题 9已知函数 ,则 f

16、(x)的最小值为( ) A B C D 【分析】利用三角恒等变换化简函数式,再根据正弦函数的最小值求得 f(x)的最小值 解:由于 , 故选:C 【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的最小值,属于中档题 10中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造的一种标准量器商 鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若 取 3,当该量器口密闭时其表面积为 42.2(平方寸),则图中 x 的值为( ) A3 B3.4 C3.8 D4 【分析】 首先把三视图转换为几何体, 进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果 解:根据几何体的三视图转换为几何体为: 该几何体为由一个圆柱和长方体组

17、成, 如图所示: 由图可知,该几何体的表面积为 2(x+3x+3)+ (5.4x)42.2, 解得 x4, 故选:D 【点评】本题考查的知识要点:三视图和几何体之间的转换,几何体的表面积公式的应 用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 11已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(1+x)f(1x),当 x(0,1 时,f(x)eax(其中 e 是自然对数的底数),若 f(2020ln2)8,则实数 a 的值 为( ) A3 B3 C D 【分析】求出函数的周期,结合已知条件通过函数的奇偶性,转化求解 a 即可 解:由已知可知,f(2+x)f(x)f(x),

18、f(4+x)f(2+(2+x)f(2+x) f(x), 即 f(x+4)f(x) 所以函数 f(x)是一个以 4 为周期的周期函数, 所以 f(2020ln2)f(ln2)f(ln2)ealn22a8, 解得 a3, 故选:B 【点评】本题考查函数的奇偶性的应用,函数的周期性的求法,函数的零点的求法,是 基础题 12 已知椭圆 的左、 右焦点分别为 F1、 F2, 过 F1的直线交椭圆于 A, B 两点,交 y 轴于点 M,若 F1、M 是线段 AB 的三等分点,则椭圆的离心率为( ) A B C D 【分析】由题意如图所示,可得 M 为 AF1的中点,所以 AF2OM,可得 A 的坐标,进

19、而可得 M 的坐标,再由 M,B 关于 F1对称,易知 B 点坐标,将 B 的坐标代入椭圆的方 程可得 a,c 的关系,进而求出椭圆的离心率 解: 由已知可知, 若 F1、 M 是线段 AB 的三等分点, 则 M 为 AF1的中点, 所以 AF2OM, 所以 AF2x 轴,A 点的坐标为 , , , , M,B 关于 F1对称,易知 B 点坐标 , , 将其代入椭圆方程得 a25c2,所以离心率为 , 故选:D 【点评】本题考查由三等分点可得中点,用中位线的性质求点的坐标,及椭圆的性质, 属于中档题 二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13曲线 f(x)4xex在点(0,f

20、(0)处的切线方程为 3xy10 【分析】先对函数求导数,然后分别求出 f(0)及 f(0)的值,最后利用点斜式求出 切线方程 解:f(0)1,f(x)4ex, f(0)413, 由点斜式可得切线方程为:3xy10 故答案为:3xy10 【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法属于基础题 14在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2acosCbcosC+ccosB,则 C 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求 cosC,进而可求 C 解:由正弦定理可知,2sinAcosCsinBcosC+sinCcosBsinA,(sinA0), , , 即 故答案为

21、: 【点评】 本题主要考查了正弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用, 属于基础试题 15已知数列an为正项等比数列,a3a6a927,则 a2a10+a6a2+a6a10的最小值为 27 【分析】 由题意利用等差数列的性质求出 a6的值, 再利用基本不等式求得 a2a10+a6a2+a6a10 的最小值 解:由数列an为正项等比数列,a3a6a927,根据等比数列的性质可知 a63, , 故答案为:27 【点评】本题主要考查等差数列的性质、基本不等式的应用,属于基础题, 16 边长为 2 的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分, 将所留部分折成一个正四 棱锥当该棱锥的体积取得最大值时,

22、其底面棱长为 【分析】设底面边长为 2x,可求得此四棱锥的高为 h ,继而可得该 棱锥的体积表达式,利用导数即可求得该棱锥的体积取到最大值时 x 的值,从而可得答 案 解:设底面边长为 2x,则斜高为 1x,即此四棱锥的高为 h , 所以此四棱锥体积为 , 令 ,则 h(x)4x 310x4(0x ), 令 h(x)4x310x42x3(25x)0, 当 x(0, )时,h(x)0,x( ,+)时,h(x)0, 所以数 h(x)在 时取得极大值,也是最大值,此时底面棱长为 故答案为: 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值,考查逻辑思维与运算能力,属于 中档题 三、解答题:共 5 小题

23、,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 题第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答, 第 22、 23 题为选考题, 考生根据要求作答. (一) 必考题:60 分. 17已知公差不为零的等差数列an的前 n 项和为 Sn,a34,a5是 a2与 a11的等比中项 (1)求 Sn; (2)设数列bn满足 b1a2, ,求数列bn的通项公式 【分析】(1)由已知列关于首项与公差的方程组,求得首项与公差,则等差数列的通项 公式与前 n 项和可求; (2)求出 b1,结合 可得 ,再由累加法结 合等比数列的前 n 项和公式求解 解:(1)由题意可得 ,即 , 又d0,

24、, ann+1; (2)由条件及(1)可得 b1a23 由已知得 , , bn(bnbn1)+(bn1bn2)+(b2b1)+b 13(2 n+2n1+2n2+22)+33 2 n+19(n2) 又 b13 满足上式, 【点评】本题考查等差、等比数列基本量的运算及等差数列求和,训练了利用累加法求 通项公式,是中档题 18如图,在直三棱柱 ABCABC中,ACAB,AAABAC2,D,E 分别为 AB,BC 的中点 (1)证明:平面 BDE平面 AABB; (2)求点 C到平面 BDE 的距离 【分析】(1)推导出 ACAA,ACAB,从而 AC面 AABB,推导出 DEAC,从而 DE面 AA

25、BB,由此能证明平面 BDE平面 AABB (2)由 ACACDE,得到 AC面 BDE,从而点 C到平面 BDE 的距离等于点 A到 平面 BDE 的距离, 法一:连接 AD,过点 A作 AHBD 交 BD 于点 H,则 DEAH,AH面 BDE,AH 的长就是点 C到平面 BDE 的距离,由等面积法能求出 C到平面 BDE 的距离 法二:设点 A到面 BDE 的距离为 h,由等体积公式可知 VABDEVEABD,利用等体积 法求高 解:(1)证明:因为棱柱 ABCABC是直三棱柱,所以 ACAA, 又 ACAB,AAABA,所以 AC面 AABB, 又 D,E 分别为 AB,BC 的中点,

26、所以 DEAC, 即 DE面 AABB, 又 DE面 BDE,所以平面 BDE平面 AABB (2)解:由(1)可知 ACACDE, 所以 AC面 BDE 即点 C到平面 BDE 的距离等于点 A到平面 BDE 的距离, 方法一:连接 AD,过点 A作 AHBD 交 BD 于点 H 因为 DE面 AABB,所以 DEAH,即 AH面 BDE, 即 AH 的长就是点 C到平面 BDE 的距离, 因为 ,由等面积法可知 BD AHAB AA,求得 , 所以 C到平面 BDE 的距离等于 方法二:设点 A到面 BDE 的距离为 h, 由(1)可知,DE面 AABB, 且在 RtBDE 中, , ,

27、由题意知 SABD2,由等体积公式可知 VABDEVEABD, 即 ,由 得 , 所以 C到平面 BDE 的距离等于 【点评】本题考查面面垂直的判定和点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 19 自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来, 在以习近平总书记为核心的党中央的正确 领导和指挥下,全国各地纷纷驰援,湖北的疫情形势很快得到了控制,但是国际疫情越 来越严重, 医用口罩等物资存在很大缺口 某口罩生产厂家复工复产后, 抢时生产口罩, 以驰援国际社会,已知该企业前 10 天生产的口罩量如表所示: 第 x 天 1 2 3 4 5 6 7

28、 8 9 10 产量 y (单位: 万个) 76.0 88.0 96.0 104.0 111.0 117.0 124.0 130.0 135.0 140.0 对上表的数据作初步处理,得到一些统计量的值: m n 82.5 3998.9 570.5 (1)求表中 m,n 的值,并根据最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 (回 归方程系数精确到 0.1); (2)某同学认为 ypx2+qx+r 更适宜作为 y 关于 x 的回归方程模型,并以此模型求得回 归方程为 经调查,该企业第 11 天的产量为 145.3 万个,与(1) 中的线性回归方程比较,哪个回归方程的拟合效果更好?并说明理由 附

29、: , 【分析】(1)由题意求出 , 代入公式求值,从而得到线性回归方程 (2)将 x11 代入回归方程 ,和(1)中的方程,得到的结果与 145.3 比较,即可判断 解:(1) m 5.5, n 112.1, 6.92, 112.16.925.574.0, 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y6.92x+74.0, (2)某同学认为 ypx2+qx+r 更适宜作为 y 关于 x 的回归方程模型,并以此模型求得回 归方程为 当 x11 时,代入回归方程得 y145, 当 x11 时,代入回归直线方程得 y150.12, 可得回归直线方程 y6.92x+74.0,计算误差比较大, 故回归方程

30、是 ,模拟效果更好 【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用,正确运算求出线性回归方程的系数,本 题是一个中档题 20已知动圆 E 与圆 : 外切,并与直线 相切,记动圆圆心 E 的 轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 Q(2,0)的直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,若曲线 C 上存在点 P 使得APB 90,求直线 l 的斜率 k 的取值范围 【分析】(1)通过已知条件说明圆心 E 的轨迹为抛物线,且焦点坐标为(1,0)求解 即可 (2)设 P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与抛物线方程,利用韦达定 理,转化求解斜率,推出结果即可 解:(

31、1)因为动圆 E 与圆 : 外切,并与直线 相切, 所以点 E 到点 M 的距离比点 E 到直线 的距离大 , 因为圆 : 的半径为 , 所以点 E 到点 M 的距离等于点 E 到直线 x1 的距离, 所以圆心 E 的轨迹为抛物线,且焦点坐标为(1,0) 所以曲线 C 的方程 y24x (2)设 P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2) 由 得 ky 24y+8k0, 由 得 且 k0 ,y1y28, ,同理 由APB90,得 , 即 , 所以 , 由 ,得 且 k0, 又 且 k0, 所以 k 的取值范围为 , , 【点评】本题重点考查:第 1 问考轨迹方程的求法:定义法与坐标法

32、;第 2 问考查直线 与圆锥曲线位置关系及其参数范围等综合应用 21设函数 f(x)ex+2axe,g(x)lnx+ax+a (1)求函数 f(x)的极值; (2)对任意 x1,都有 f(x)g(x),求实数 a 的取值范围 【分析】(1)先对函数求导,然后结合导数与单调性极值的关系即可求解; (2)由已知结合导数及函数的性质,零点判定定理即可求解 解:(1)依题 f(x)ex+2a, 当 a0 时,f(x)0,函数 f(x)在一、选择题上单调递增,此时函数 f(x)无极值; 当 a0 时,令 f(x)ex+2a0,得 xln(2a), 令 f(x)ex+2a0,得 xln(2a) 所以函数

33、f(x)在(ln(2a),+)上单调递增, 在(,ln(2a)上单调递减,此时函数 f(x)有极小值, 且极小值为 f(ln(2a)2a+2aln(2a)e 、综上:当 a0 时,函数 f(x)无极值; 当 a0 时,函数 f(x)有极小值, 极小值为 f(ln(2a)2a+2aln(2a)e (2)令 h(x)f(x)g(x)ex+ax+lnxae(x1) 易得 h(1)0 且 , 令 所以 , 因为 , ,从而 t(x)0, 所以,t(x)在1,+)上单调递增 又 t(1)a+e+1 若 ae1,则 t(x)h(x)t(1)a+e+10 所以 h(x)在1,+)上单调递增,从而 h(x)h

34、(1)0, 所以 ae1 时满足题意 若 ae1, 所以 t(x)mint(1)a+e+10, , 在 f(x)中,令 ,由(1)的单调性可知,f(x)e xxe 有最小值 f(0)1 e,从而 exx+1 所以 , 所以 t(1)t(a)0,由零点存在性定理:x0(1,a),使 t(x0)0 且 h(x) 在(1,x0)上单调递减,在x0,+)上单调递增 所以当 x(1,x0)时,h(x)h(1)0 故当 ae1,f(x)g(x)不成立 综上所述:a 的取值范围为e1,+) 【点评】本题第 1 问考查分类讨论思想与求函数的极值;第 2 问考查恒成立问题分类讨 论思想、二阶导数、放缩法及其求参

35、数范围等,考查了推理能力与计算能力,属于难题 (二)选考题:10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一题计 分.选修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程为 x22x+y20以原点 O 为极点,x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 (1)写出曲线 C 的极坐标方程,并求出直线 l 与曲线 C 的交点 M,N 的极坐标; (2)设 P 是椭圆 上的动点,求PMN 面积的最大值 【分析】(1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角

36、形面积公式的应用求出结果 解:(1)曲线 C 的方程为 x22x+y20转换为极坐标方程为:2cos 联立 ,得 M(0,0), , (2)易知|MN|1,直线 : 设点 P(2cos,sin),则点 P 到直线 l 的距离 (其中 ) PMN 面积的最大值为 【点评】本题考查的知识要点:参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,点 到直线的距离公式的应用,三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力,属于基础题型 选修 4-5:不等式选讲 23已知 f(x)x2+2|x1| (1)解关于 x 的不等式: ; (2) 若f (x) 的最小值为M, 且a+b+cM (a

37、, b, cR+) , 求证: 【分析】第 1 问考查利用分类讨论思想解绝对值不等式; 第 2 问考查分段函数求最值、构造法和基本不等式等 解: (1)当 x0 时, 等价于 x2+2|x1|2,该不等式恒成立,(1 分) 当 0x1 时,f(x) 等价于 x22x0,该不等式解集为 , 当 x1 时, 等价于 x2+2x22,解得 , 综上,x0 或 , 所以不等式 的解集为 , , 证明:(2) , , , 易得 f(x)的最小值为 1,即 a+b+cM1 因为 a,b,cR+, 所以 , , , 所 以 2a+2b+2c 2, 当且仅当 时等号成立 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明,属于基础题