1、2020 年高考数学三模试卷（文科）年高考数学三模试卷（文科） 一、选择题 1已知集合 U1，2，3，4，5，6，A1，3，5，B2，3，4，则集合U（AB） （ ） A1，2，6 B1，3，6 C1，6 D6 2 已知复数 z 满足 z （1+2i） 5 （i 为虚数单位） ， 则在复平面内复数 z 对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3对于正在培育的一颗种子，它可能 1 天后发芽，也可能 2 天后发芽，如表是 20 颗不 同种子发芽前所需培育的天数统计表， 则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是 （ ） 发芽所 需天数 1 2 3 4 5 6 7 8 种子
2、数 4 3 3 5 2 2 1 0 A2 B3 C3.5 D4 4已知函数 ，要得到函数 g（x）cosx 的图象，只需将 yf（x）的图 象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 5已知 ， ， ，则（ ） Aabc Bbac Cbca Dacb 6已知向量 ， 夹角为 30， ， ， ，则 （ ） A2 B4 C D 7 第 24 届冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在北京市和张家口市举行， 为了解奥运 会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P， 某学生做如图所示的模拟实验： 通过计算机模拟在
3、长为 10，宽为 6 的长方形奥运会旗内随机取 N 个点，经统计落入五环 内部及其边界上的点数为 n 个，已知圆环半径为 1，则比值 P 的近似值为（ ） A B C D 8已知双曲线 ： 的一条渐近线方程为 ，F1、F2分别是双曲线 C 的左、右焦点，点 P 在双曲线 C 上，且|PF1|3，则|PF2|（ ） A9 B5 C2 或 9 D1 或 5 9已知函数 ，则 f（x）的最小值为（ ） A B C D 10中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造的一种标准量器商 鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取 3，当该量器口密闭时其表面积为 42.2（平方寸），则图
4、中 x 的值为（ ） A3 B3.4 C3.8 D4 11已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且满足 f（1+x）f（1x），当 x（0，1 时，f（x）eax（其中 e 是自然对数的底数），若 f（2020ln2）8，则实数 a 的值 为（ ） A3 B3 C D 12 已知椭圆 的左、 右焦点分别为 F1、 F2， 过 F1的直线交椭圆于 A， B 两点，交 y 轴于点 M，若 F1、M 是线段 AB 的三等分点，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13曲线 f（x）4xex在点（0，f（0）处的切线方程为 14 在ABC
5、 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 2acosCbcosC+ccosB， 则 C 15已知数列an为正项等比数列，a3a6a927，则 a2a10+a6a2+a6a10的最小值为 16 边长为 2 的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分， 将所留部分折成一个正四 棱锥当该棱锥的体积取得最大值时，其底面棱长为 三、解答题：共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 题第 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答， 第 22、 23 题为选考题， 考生根据要求作答. （一） 必考题：60 分. 17已知公差不为零的等差数列an的
6、前 n 项和为 Sn，a34，a5是 a2与 a11的等比中项 （1）求 Sn； （2）设数列bn满足 b1a2， ，求数列bn的通项公式 18如图，在直三棱柱 ABCABC中，ACAB，AAABAC2，D，E 分别为 AB，BC 的中点 （1）证明：平面 BDE平面 AABB； （2）求点 C到平面 BDE 的距离 19 自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来， 在以习近平总书记为核心的党中央的正确 领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越 来越严重， 医用口罩等物资存在很大缺口 某口罩生产厂家复工复产后， 抢时生产口罩， 以驰援国际社会，已知该企业前 1
7、0 天生产的口罩量如表所示： 第 x 天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 产量 y （单位： 万个） 76.0 88.0 96.0 104.0 111.0 117.0 124.0 130.0 135.0 140.0 对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值： m n 82.5 3998.9 570.5 （1）求表中 m，n 的值，并根据最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 （回 归方程系数精确到 0.1）； （2）某同学认为 ypx2+qx+r 更适宜作为 y 关于 x 的回归方程模型，并以此模型求得回 归方程为 经调查，该企业第 11 天的产量为 145.3 万个，与（1
8、） 中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？并说明理由 附： ， 20已知动圆 E 与圆 ： 外切，并与直线 相切，记动圆圆心 E 的 轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）过点 Q（2，0）的直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，若曲线 C 上存在点 P 使得APB 90，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 21设函数 f（x）ex+2axe，g（x）lnx+ax+a （1）求函数 f（x）的极值； （2）对任意 x1，都有 f（x）g（x），求实数 a 的取值范围 （二）选考题：10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计 分.选修
9、4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为 x22x+y20以原点 O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）写出曲线 C 的极坐标方程，并求出直线 l 与曲线 C 的交点 M，N 的极坐标； （2）设 P 是椭圆 上的动点，求PMN 面积的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）x2+2|x1| （1）解关于 x 的不等式： ； （2） 若f （x） 的最小值为M， 且a+b+cM （a， b， cR+） ， 求证： 参考答案 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项
10、中，只有一项是 符合题目要求的 1已知集合 U1，2，3，4，5，6，A1，3，5，B2，3，4，则集合U（AB） （ ） A1，2，6 B1，3，6 C1，6 D6 【分析】求出集合 U，A，B，从而 AB，由此能求出集合U（AB） 解：集合 U1，2，3，4，5，6，A1，3，5，B2，3，4， AB1，2，3，4，5， 集合U（AB）6 故选：D 【点评】本题考查并集、补集的求法，考查并集、补集等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 2 已知复数 z 满足 z （1+2i） 5 （i 为虚数单位） ， 则在复平面内复数 z 对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第
11、四象限 【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 对应点的 坐标得答案 【解答】解析： ， 故选：D 【点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运算， 考查了复数的代数表示法及其几何意义， 是基础题 3对于正在培育的一颗种子，它可能 1 天后发芽，也可能 2 天后发芽，如表是 20 颗不 同种子发芽前所需培育的天数统计表， 则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是 （ ） 发芽所 需天数 1 2 3 4 5 6 7 8 种子数 4 3 3 5 2 2 1 0 A2 B3 C3.5 D4 【分析】根据图中数据得出该 20 颗种子发芽天数，再计算数据的中位数 解：由图中数据
12、可知，该 20 颗种子发芽天数从小到大排列为： 1、1、1、1、2、2、2、3、3、3、4、4、4、4、4、5、5、6、6、7； 所以中位数为 故选：C 【点评】本题考查了利用数表求数据的中位数问题，是基础题 4已知函数 ，要得到函数 g（x）cosx 的图象，只需将 yf（x）的图 象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 【分析】利用诱导公式、yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论 解： 由于将 yf （x） 的图象向左平移 个单位长度得到 ， 故选：A 【点评】本题主要考查诱导公式、yAsin（x+）的图象变换规律，属于
13、基础题 5已知 ， ， ，则（ ） Aabc Bbac Cbca Dacb 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 解：由于 ， ， ， 故选：B 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题 6已知向量 ， 夹角为 30， ， ， ，则 （ ） A2 B4 C D 【分析】根据题意，求出| |的值，进而计算可得 的值，由数量积的运算性质计算可 得答案 解：根据题意， ， ，则| | ， 又由向量 ， 夹角为 30，则 2 3， 则 ， 故选：A 【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算和模的计算，属于基础题 7 第 24 届冬奥会将于 2022 年 2 月 4
14、 日至 2 月 20 日在北京市和张家口市举行， 为了解奥运 会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P， 某学生做如图所示的模拟实验： 通过计算机模拟在长为 10，宽为 6 的长方形奥运会旗内随机取 N 个点，经统计落入五环 内部及其边界上的点数为 n 个，已知圆环半径为 1，则比值 P 的近似值为（ ） A B C D 【分析】由随机模拟方法求得奥运会五环所占面积，求出五个圆的面积，则答案可求 解：五个圆的面积为 5125， 长方形面积为 10660， 设奥运会五环所占面积为 S， 由于 s ，又 P 故选：B 【点评】本题考查几何概型，训练了利用随机模拟方法求几何体的面积，是中档题
15、 8已知双曲线 ： 的一条渐近线方程为 ，F1、F2分别是双曲线 C 的左、右焦点，点 P 在双曲线 C 上，且|PF1|3，则|PF2|（ ） A9 B5 C2 或 9 D1 或 5 【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出 b，由双曲线的定义求出|PF2| 【解答】解析：由于 ，a1，所以 ，则 c 2a2+b21+89 c3， 由双曲线的定义可得|PF2|3|2a2，|PF2|5 或 1， 又因为 ca2|PF2|， 故选：B 【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用， 由双曲线的方程、渐近线的方程求出 b 是解题的关键，属于基础题 9已知函数 ，则 f
16、（x）的最小值为（ ） A B C D 【分析】利用三角恒等变换化简函数式，再根据正弦函数的最小值求得 f（x）的最小值 解：由于 ， 故选：C 【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最小值，属于中档题 10中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造的一种标准量器商 鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取 3，当该量器口密闭时其表面积为 42.2（平方寸），则图中 x 的值为（ ） A3 B3.4 C3.8 D4 【分析】 首先把三视图转换为几何体， 进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果 解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为由一个圆柱和长方体组
17、成， 如图所示： 由图可知，该几何体的表面积为 2（x+3x+3）+ （5.4x）42.2， 解得 x4， 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的表面积公式的应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 11已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且满足 f（1+x）f（1x），当 x（0，1 时，f（x）eax（其中 e 是自然对数的底数），若 f（2020ln2）8，则实数 a 的值 为（ ） A3 B3 C D 【分析】求出函数的周期，结合已知条件通过函数的奇偶性，转化求解 a 即可 解：由已知可知，f（2+x）f（x）f（x），
18、f（4+x）f（2+（2+x）f（2+x） f（x）， 即 f（x+4）f（x） 所以函数 f（x）是一个以 4 为周期的周期函数， 所以 f（2020ln2）f（ln2）f（ln2）ealn22a8， 解得 a3， 故选：B 【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数的周期性的求法，函数的零点的求法，是 基础题 12 已知椭圆 的左、 右焦点分别为 F1、 F2， 过 F1的直线交椭圆于 A， B 两点，交 y 轴于点 M，若 F1、M 是线段 AB 的三等分点，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 【分析】由题意如图所示，可得 M 为 AF1的中点，所以 AF2OM，可得 A 的坐标，进
19、而可得 M 的坐标，再由 M，B 关于 F1对称，易知 B 点坐标，将 B 的坐标代入椭圆的方 程可得 a，c 的关系，进而求出椭圆的离心率 解： 由已知可知， 若 F1、 M 是线段 AB 的三等分点， 则 M 为 AF1的中点， 所以 AF2OM， 所以 AF2x 轴，A 点的坐标为 ， ， ， ， M，B 关于 F1对称，易知 B 点坐标 ， ， 将其代入椭圆方程得 a25c2，所以离心率为 ， 故选：D 【点评】本题考查由三等分点可得中点，用中位线的性质求点的坐标，及椭圆的性质， 属于中档题 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13曲线 f（x）4xex在点（0，f
20、（0）处的切线方程为 3xy10 【分析】先对函数求导数，然后分别求出 f（0）及 f（0）的值，最后利用点斜式求出 切线方程 解：f（0）1，f（x）4ex， f（0）413， 由点斜式可得切线方程为：3xy10 故答案为：3xy10 【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法属于基础题 14在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2acosCbcosC+ccosB，则 C 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求 cosC，进而可求 C 解：由正弦定理可知，2sinAcosCsinBcosC+sinCcosBsinA，（sinA0）， ， ， 即 故答案为
21、： 【点评】 本题主要考查了正弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用， 属于基础试题 15已知数列an为正项等比数列，a3a6a927，则 a2a10+a6a2+a6a10的最小值为 27 【分析】 由题意利用等差数列的性质求出 a6的值， 再利用基本不等式求得 a2a10+a6a2+a6a10 的最小值 解：由数列an为正项等比数列，a3a6a927，根据等比数列的性质可知 a63， ， 故答案为：27 【点评】本题主要考查等差数列的性质、基本不等式的应用，属于基础题， 16 边长为 2 的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分， 将所留部分折成一个正四 棱锥当该棱锥的体积取得最大值时，
22、其底面棱长为 【分析】设底面边长为 2x，可求得此四棱锥的高为 h ，继而可得该 棱锥的体积表达式，利用导数即可求得该棱锥的体积取到最大值时 x 的值，从而可得答 案 解：设底面边长为 2x，则斜高为 1x，即此四棱锥的高为 h ， 所以此四棱锥体积为 ， 令 ，则 h（x）4x 310x4（0x ）， 令 h（x）4x310x42x3（25x）0， 当 x（0， ）时，h（x）0，x（ ，+）时，h（x）0， 所以数 h（x）在 时取得极大值，也是最大值，此时底面棱长为 故答案为： 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查逻辑思维与运算能力，属于 中档题 三、解答题：共 5 小题
23、，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 题第 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答， 第 22、 23 题为选考题， 考生根据要求作答. （一） 必考题：60 分. 17已知公差不为零的等差数列an的前 n 项和为 Sn，a34，a5是 a2与 a11的等比中项 （1）求 Sn； （2）设数列bn满足 b1a2， ，求数列bn的通项公式 【分析】（1）由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则等差数列的通项 公式与前 n 项和可求； （2）求出 b1，结合 可得 ，再由累加法结 合等比数列的前 n 项和公式求解 解：（1）由题意可得 ，即 ， 又d0，
24、， ann+1； （2）由条件及（1）可得 b1a23 由已知得 ， ， bn（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b 13（2 n+2n1+2n2+22）+33 2 n+19（n2） 又 b13 满足上式， 【点评】本题考查等差、等比数列基本量的运算及等差数列求和，训练了利用累加法求 通项公式，是中档题 18如图，在直三棱柱 ABCABC中，ACAB，AAABAC2，D，E 分别为 AB，BC 的中点 （1）证明：平面 BDE平面 AABB； （2）求点 C到平面 BDE 的距离 【分析】（1）推导出 ACAA，ACAB，从而 AC面 AABB，推导出 DEAC，从而 DE面 AA
25、BB，由此能证明平面 BDE平面 AABB （2）由 ACACDE，得到 AC面 BDE，从而点 C到平面 BDE 的距离等于点 A到 平面 BDE 的距离， 法一：连接 AD，过点 A作 AHBD 交 BD 于点 H，则 DEAH，AH面 BDE，AH 的长就是点 C到平面 BDE 的距离，由等面积法能求出 C到平面 BDE 的距离 法二：设点 A到面 BDE 的距离为 h，由等体积公式可知 VABDEVEABD，利用等体积 法求高 解：（1）证明：因为棱柱 ABCABC是直三棱柱，所以 ACAA， 又 ACAB，AAABA，所以 AC面 AABB， 又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，
26、所以 DEAC， 即 DE面 AABB， 又 DE面 BDE，所以平面 BDE平面 AABB （2）解：由（1）可知 ACACDE， 所以 AC面 BDE 即点 C到平面 BDE 的距离等于点 A到平面 BDE 的距离， 方法一：连接 AD，过点 A作 AHBD 交 BD 于点 H 因为 DE面 AABB，所以 DEAH，即 AH面 BDE， 即 AH 的长就是点 C到平面 BDE 的距离， 因为 ，由等面积法可知 BD AHAB AA，求得 ， 所以 C到平面 BDE 的距离等于 方法二：设点 A到面 BDE 的距离为 h， 由（1）可知，DE面 AABB， 且在 RtBDE 中， ， ，
27、由题意知 SABD2，由等体积公式可知 VABDEVEABD， 即 ，由 得 ， 所以 C到平面 BDE 的距离等于 【点评】本题考查面面垂直的判定和点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来， 在以习近平总书记为核心的党中央的正确 领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越 来越严重， 医用口罩等物资存在很大缺口 某口罩生产厂家复工复产后， 抢时生产口罩， 以驰援国际社会，已知该企业前 10 天生产的口罩量如表所示： 第 x 天 1 2 3 4 5 6 7
28、 8 9 10 产量 y （单位： 万个） 76.0 88.0 96.0 104.0 111.0 117.0 124.0 130.0 135.0 140.0 对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值： m n 82.5 3998.9 570.5 （1）求表中 m，n 的值，并根据最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 （回 归方程系数精确到 0.1）； （2）某同学认为 ypx2+qx+r 更适宜作为 y 关于 x 的回归方程模型，并以此模型求得回 归方程为 经调查，该企业第 11 天的产量为 145.3 万个，与（1） 中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？并说明理由 附
29、： ， 【分析】（1）由题意求出 ， 代入公式求值，从而得到线性回归方程 （2）将 x11 代入回归方程 ，和（1）中的方程，得到的结果与 145.3 比较，即可判断 解：（1） m 5.5， n 112.1， 6.92， 112.16.925.574.0， 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y6.92x+74.0， （2）某同学认为 ypx2+qx+r 更适宜作为 y 关于 x 的回归方程模型，并以此模型求得回 归方程为 当 x11 时，代入回归方程得 y145， 当 x11 时，代入回归直线方程得 y150.12， 可得回归直线方程 y6.92x+74.0，计算误差比较大， 故回归方程
30、是 ，模拟效果更好 【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，正确运算求出线性回归方程的系数，本 题是一个中档题 20已知动圆 E 与圆 ： 外切，并与直线 相切，记动圆圆心 E 的 轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）过点 Q（2，0）的直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，若曲线 C 上存在点 P 使得APB 90，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 【分析】（1）通过已知条件说明圆心 E 的轨迹为抛物线，且焦点坐标为（1，0）求解 即可 （2）设 P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线方程，利用韦达定 理，转化求解斜率，推出结果即可 解：（
31、1）因为动圆 E 与圆 ： 外切，并与直线 相切， 所以点 E 到点 M 的距离比点 E 到直线 的距离大 ， 因为圆 ： 的半径为 ， 所以点 E 到点 M 的距离等于点 E 到直线 x1 的距离， 所以圆心 E 的轨迹为抛物线，且焦点坐标为（1，0） 所以曲线 C 的方程 y24x （2）设 P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2） 由 得 ky 24y+8k0， 由 得 且 k0 ，y1y28， ，同理 由APB90，得 ， 即 ， 所以 ， 由 ，得 且 k0， 又 且 k0， 所以 k 的取值范围为 ， ， 【点评】本题重点考查：第 1 问考轨迹方程的求法：定义法与坐标法
32、；第 2 问考查直线 与圆锥曲线位置关系及其参数范围等综合应用 21设函数 f（x）ex+2axe，g（x）lnx+ax+a （1）求函数 f（x）的极值； （2）对任意 x1，都有 f（x）g（x），求实数 a 的取值范围 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性极值的关系即可求解； （2）由已知结合导数及函数的性质，零点判定定理即可求解 解：（1）依题 f（x）ex+2a， 当 a0 时，f（x）0，函数 f（x）在一、选择题上单调递增，此时函数 f（x）无极值； 当 a0 时，令 f（x）ex+2a0，得 xln（2a）， 令 f（x）ex+2a0，得 xln（2a） 所以函数
33、f（x）在（ln（2a），+）上单调递增， 在（，ln（2a）上单调递减，此时函数 f（x）有极小值， 且极小值为 f（ln（2a）2a+2aln（2a）e 、综上：当 a0 时，函数 f（x）无极值； 当 a0 时，函数 f（x）有极小值， 极小值为 f（ln（2a）2a+2aln（2a）e （2）令 h（x）f（x）g（x）ex+ax+lnxae（x1） 易得 h（1）0 且 ， 令 所以 ， 因为 ， ，从而 t（x）0， 所以，t（x）在1，+）上单调递增 又 t（1）a+e+1 若 ae1，则 t（x）h（x）t（1）a+e+10 所以 h（x）在1，+）上单调递增，从而 h（x）h
34、（1）0， 所以 ae1 时满足题意 若 ae1， 所以 t（x）mint（1）a+e+10， ， 在 f（x）中，令 ，由（1）的单调性可知，f（x）e xxe 有最小值 f（0）1 e，从而 exx+1 所以 ， 所以 t（1）t（a）0，由零点存在性定理：x0（1，a），使 t（x0）0 且 h（x） 在（1，x0）上单调递减，在x0，+）上单调递增 所以当 x（1，x0）时，h（x）h（1）0 故当 ae1，f（x）g（x）不成立 综上所述：a 的取值范围为e1，+） 【点评】本题第 1 问考查分类讨论思想与求函数的极值；第 2 问考查恒成立问题分类讨 论思想、二阶导数、放缩法及其求参
35、数范围等，考查了推理能力与计算能力，属于难题 （二）选考题：10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计 分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为 x22x+y20以原点 O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）写出曲线 C 的极坐标方程，并求出直线 l 与曲线 C 的交点 M，N 的极坐标； （2）设 P 是椭圆 上的动点，求PMN 面积的最大值 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角
36、形面积公式的应用求出结果 解：（1）曲线 C 的方程为 x22x+y20转换为极坐标方程为：2cos 联立 ，得 M（0，0）， ， （2）易知|MN|1，直线 ： 设点 P（2cos，sin），则点 P 到直线 l 的距离 （其中 ） PMN 面积的最大值为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点 到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）x2+2|x1| （1）解关于 x 的不等式： ； （2） 若f （x） 的最小值为M， 且a+b+cM （a
37、， b， cR+） ， 求证： 【分析】第 1 问考查利用分类讨论思想解绝对值不等式； 第 2 问考查分段函数求最值、构造法和基本不等式等 解： （1）当 x0 时， 等价于 x2+2|x1|2，该不等式恒成立，（1 分） 当 0x1 时，f（x） 等价于 x22x0，该不等式解集为 ， 当 x1 时， 等价于 x2+2x22，解得 ， 综上，x0 或 ， 所以不等式 的解集为 ， ， 证明：（2） ， ， ， 易得 f（x）的最小值为 1，即 a+b+cM1 因为 a，b，cR+， 所以 ， ， ， 所 以 2a+2b+2c 2， 当且仅当 时等号成立 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明，属于基础题