1、2020 年高考（理科）数学二模试卷年高考（理科）数学二模试卷 一、选择题（共 12 小题） 1设集合 A1，0，1，2，3，Bx|x2x20，则 AB（ ） Ax|1x2 B1，0，1，2 C0，1，2 D0，1 2若复数 z 满足 z（2+i）5i，则 z（ ） A12i B1+2i C12i D1+2i 3已知向量 ， ， ， ，则向量 ， 的夹角为（ ） A B C D 4已知 ， ， ，则（ ） Abca Bbac Cacb Dabc 5已知角 的终边上有一点 ， ，则 （ ） A B C D 6 如图是甲、 乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图 根据如图中的信息， 下面说法错误的是 （ ）
2、 A甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数 B甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数 C甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同 D甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差 7函数 x 的部分图象大致为（ ） A B C D 8已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是 18，则该圆柱的体积是 （ ） A54 B36 C27 D18 9在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 ， asinA，则ABC 的面积的最大值是（ ） A4 B4 C8 D8 10 已知函数f （x） Acos （x+）（A0， 0， 0） 的图象的一个最高点为 （ ， ，
3、 与之相邻的一个对称中心为 ， ， 将 f （x） 的图象向右平移 个单位长度得到函数 g （x） 的图象，则（ ） Ag（x）为偶函数 Bg（x）的一个单调递增区间为 ， Cg（x）为奇函数 D函数 g（x）在 ， 上有两个零点 11 已知双曲线 ： ， 的虚轴的一个顶点为 N （0， 1） ， 左顶点为 M， 双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为线段 MN 上的动点，当 取得最小 值和最大值时， PF1F2的面积分别为 S1， S2， 若 S22S1， 则双曲线 C 的离心率为 （ ） A B2 C2 D2 12在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为线段 A
4、1B1，AB 的中点，O 为四棱锥 E C1D1DC 的外接球的球心，点 M，N 分别是直线 DD1，EF 上的动点，记直线 OC 与 MN 所成角为 ，则当 最小时，tan（ ） A B C D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知点（1，2）在抛物线 y22px 上，则该抛物线的焦点坐标为 14若实数 x，y 满足约束条件 ，则 zx3y 的最小值为 15祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家他一生钻研自然科学，其主要贡献 在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率 的精确度上，首次将“” 精确到小数点后第七位，即 3.1415926在此基础
5、上，我们从“圆周率”第三到第八 位有效数字中随机取两个数字 a，b，则事件“|ab|3“的概率为 16 已知函数 ， 2x+3， 若x1R， x2 （0， 1） ， f（x2）g（x1），则 m 的取值范围为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17在数列an中，a11，a23，an+13an+2an10（nN+，且 n2） （1）证明：数列an+1an是等比数列 （2）求数列an的通项公式 18如图 1，在梯形 ABCD 中，ABCD，且 AB2CD，ABC 是等腰直角三角形，其中 BC 为斜边， 若把ACD 沿 AC 边折叠到ACP 的位置， 使平面 PAC平面 ABC， 如图 2
6、 （1）证明：ABPA； （2）若 E 为棱 BC 的中点，求二面角 BPAE 的余弦值 19已知函数 f（x）axex（aR） （1）讨论 f（x）的单调性； （2）讨论 f（x）在（0，+）上的零点个数 20 某公司准备上市一款新型轿车零配件， 上市之前拟在其一个下属 4S 店进行连续 30 天的 试销，定价为 1000 元/件 （1）设日销售 40 个零件的概率为 p，记 5 天中恰有 2 天销售 40 个零件的概率为 z，写 出 z 关于 p 的函数关系式，并求 z 的极大值点 p0 （2）试销结束后统计得到该 4S 店这 30 内的日销售量（单位：件）的数据如表： 日销售量 40 6
7、0 80 100 频数 9 12 其中，有两个数据未给出试销结束后，这款零件正式上市，每件的定价仍为 1000 元， 但生产公司对该款零件不零售， 只提供零件的整箱批发， 大箱每箱有 55 件， 批发价为 550 元/件；小箱每箱有 40 件，批发价为 600 元/件，以这 30 天统计的各日销售量的频率作为 试销后各日销售量发生的概率 该 4S 店决定每天批发两箱，若同时批发大箱和小箱，则先销售小箱内的零件，同时根据 公司规定，当天没销售出的零件按批发价的 9 折转给该公司的另一下属 4S 店，假设日销 售量为 80 件的概率为 ，其中 P0为（1）中 z 的极大值点 （i）设该 4S 店批
8、发两大箱，当天这款零件的利润为随机变量 X；批发两小箱，当天这款 零件的利润为随机变量 Y，求 EX 和 EY； （ii）以日利润的数学期望作为决策依据，该 4S 店每天应该按什么方案批发零件？ 21已知椭圆 C： ）的离心率为 ，且四个顶点构成的四边形的面积 是 （1）求椭圆 C 的方程； （2） 已知直线 l 经过点 P （2， 0） ， 且不垂直于 y 轴， 直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点， M 为 AB 的中点，直线 OM 与椭圆 C 交于 E，F 两点（O 是坐标原点），求四边形 AEBF 的面积的最小值 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作
9、答.如果多做，则按所做的第一 题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ， （ 为参数）以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为 （1）求 C 与 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，点 P（2，2），求 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+a|+|x5| （1）当 a3 时，求不等式 f（x）10 的解集； （2）若 f（x）1求 a 的取值范围 参考答案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 A1，0，1，2
10、，3，Bx|x2x20，则 AB（ ） Ax|1x2 B1，0，1，2 C0，1，2 D0，1 【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可 解：A1，0，1，2，3，Bx|1x2， AB0，1 故选：D 【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考 查了计算能力，属于基础题 2若复数 z 满足 z（2+i）5i，则 z（ ） A12i B1+2i C12i D1+2i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：由 z（2+i）5i，得 z 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 3已知向量 ， ， ， ，则向量
11、， 的夹角为（ ） A B C D 【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出向量 ， 的夹角 解：设向量 ， 的夹角为 ，0，向量 ， ， ， ， 故 cos ， ， 故选：A 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题 4已知 ， ， ，则（ ） Abca Bbac Cacb Dabc 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 解：1log33log35log392； 030.21，31.23， bac 故选：B 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题 5已知角 的终边上有一点 ， ，则 （ ） A B C D 【分析】由题意利用任意角的三角函
12、数的定义，诱导公式、同角三角函数的基本关系， 求得要去式子的值 解：角 的终边上有一点 ， ，tan ， 则 cos2 ， 故选：C 【点评】 本题主要考查任意角的三角函数的定义， 诱导公式、 同角三角函数的基本关系， 属于基础题 6 如图是甲、 乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图 根据如图中的信息， 下面说法错误的是 （ ） A甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数 B甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数 C甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同 D甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差 【分析】分别求出甲、乙两厂轮胎宽度的平均数，众数，中位数，极差，由此能求出结 果 解：由题
13、意得： 甲厂轮胎宽度的平均数是 195，众数是 194，中位数是 194.5，极差为 3， 乙厂轮胎宽度的平均数是 194，众数是 195，中位数是 194.5，极差为 5， 故 A，C，D 正确，B 错误 故选：B 【点评】本题考查命题真假的判断，考查平均数、众数、中位数、极差等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题 7函数 x 的部分图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，结合极限思想进行排除即可 解：f（x） cosx cosx， 则 f（x） cos（x） cosxf（x），即 f（x）是奇函数，图象关于原 点对称，排除 A，B， 当 x0 且 x0
14、，f（x）0，排除 C， 故选：D 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及利用 极限思想是解决本题的关键难度不大 8已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是 18，则该圆柱的体积是 （ ） A54 B36 C27 D18 【分析】设圆柱的底面圆的半径为 r，高为 h，由圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其 轴截面的周长是 18，列出方程组，求出 rh3，由此能求出该圆柱的体积 解：设圆柱的底面圆的半径为 r，高为 h， 由题意得 ， 解得 rh3， 则该圆柱的体积是 Vr2h27 故选：C 【点评】本题考查圆柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、
15、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，是中档题 9在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 ， asinA，则ABC 的面积的最大值是（ ） A4 B4 C8 D8 【分析】由 b（sinB sinC）+csinCasinA，利用正弦定理可得：b（b c）+c c a a，再利用余弦定理可得 A由 b+c8，利用基本不等式的性质可得 bc 的最大值即 可得出ABC 的面积的最大值 解： b （sinB sinC） +csinCasinA， b （b c） +c ca a， b2+c2a2 bc， cosA ，A（0，），解得 A 由 b+c8，bc 16，当且仅当
16、 bc4 时取等号 ABC 的面积的最大值 bcsinA 4 故选：A 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 10 已知函数f （x） Acos （x+）（A0， 0， 0） 的图象的一个最高点为 （ ， ， 与之相邻的一个对称中心为 ， ， 将 f （x） 的图象向右平移 个单位长度得到函数 g （x） 的图象，则（ ） Ag（x）为偶函数 Bg（x）的一个单调递增区间为 ， Cg（x）为奇函数 D函数 g（x）在 ， 上有两个零点 【分析】先根据余弦函数的图象和性质求出 f（x）解析式，再根据图象的变换规律求得 g （x）的解析式，最
17、后根据余弦函数性质得出结论 解：由题可得： （ ） ； T2； f（x）3cos（2x+）； 因为 f（ ）3cos（2（ ）+3 K； 0； ，f（x）3cos（2x ）； g（x）3cos2（x ） 3cos（2x ）；是非奇非偶函数； 令+2k2x 2k kxk ，kz； 当 k0 时，g（x）的一个单调递增区间为： ， ； 2x k x ，kz，函数 g（x）在0， 上只有一个零点 故选：B 【点评】 本题主要考查由函数yAsin （x+） 的部分图象求解析式， 函数yAsin （x+） 的图象变换规律，属于基础题 11 已知双曲线 ： ， 的虚轴的一个顶点为 N （0， 1） ， 左
18、顶点为 M， 双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为线段 MN 上的动点，当 取得最小 值和最大值时， PF1F2的面积分别为 S1， S2， 若 S22S1， 则双曲线 C 的离心率为 （ ） A B2 C2 D2 【分析】 根据条件得到 M （a， 0） ， b1， 直线 MN 方程为 y ， 设 P （m， ） ， 则 ，分别求出其最大、最小值列出方程 c2 ，解出 a，b 即可 解：根据条件，M（a，0），b1，则直线 MN 方程为 y ，因为点 P 在线段 MN 上， 可设 P（m， ）其中 m（a，0，设双曲线焦距为 2c，则 c2a2+1，F1（c，0）， F2（
19、c，0）， 则 （cm， ）（cm， ）m2c2 ， 因 为m （ a ， 0 ， 所 以 当m 时 ， 取 最 小 值 ， 此 时 S1 ， 当 时，即 a1 时，无最大值， 故 0a1，此时在 m0 处取得最大值，此时 S2c， 因为 S22S1，所以 c2 ，解得 a1， 故 a1，b1，c ， 则离心率 e ， 故选：A 【点评】本题考查双曲线的性质，考查离心率求法，双曲线焦点三角形面积的最值，属 于中档偏难题 12在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为线段 A1B1，AB 的中点，O 为四棱锥 E C1D1DC 的外接球的球心，点 M，N 分别是直线 DD1，EF 上的
20、动点，记直线 OC 与 MN 所成角为 ，则当 最小时，tan（ ） A B C D 【分析】设 P，Q 分别是棱 CD 和 C1D1的中点，则四棱锥 EC1D1DC 的外接球即三棱柱 DFCD1EC1的外接球，其外接球球心 O 为上、下底面三角形外心 G 和 H 连结的中点， 的最小值是直线 OC 与平面 DD1EF 所成角， 问题转化为求直线 OC 与平面 DD1EF 所成 角的正切值 解：如图，设 P，Q 分别是棱 CD 和 C1D1的中点， 则四棱锥 EC1D1DC 的外接球即三棱柱 DFCD1EC1的外接球， 三棱柱 DFCD1EC1是直三棱柱， 其外接球球心 O 为上、下底面三角形
21、外心 G 和 H 连结的中点， 由题意，MN 是平面 DD1EF 内的一条动直线， 记直线 OC 与 MN 所成角为 ， 则 的最小值是直线 OC 与平面 DD1EF 所成角， 即问题转化为求直线 OC 与平面 DD1EF 所成角的正切值， 不妨设正方体 ABCDA1B1C1D1中棱长为 2，则 EQ2，ED1 ， EC1D1为等腰三角形，EC1D1外接圆直径为 2GE ， 则 GE ，GQ2 PH， 如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），F（2，1，0），O（ ，1，1）， （0，
22、0，2）， （2，1，0）， （ ， ， ）， 设平面 DD1EF 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 x1，得 （1，2，0）， 则 sin ，tan 故选：D 【点评】本题考查面直线所成最小角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知点（1，2）在抛物线 y22px 上，则该抛物线的焦点坐标为 （1，0） 【分析】由题意直接将点的坐标代入抛物线的方程求出 p 的值，进而可得焦点的坐标 解：由点（1，2）在抛物线 y22px 上，所以 2221，可得 p2， 所以抛物线
23、的方程为：y24x，所以焦点坐标为：（1，0） 故答案为：（1，0） 【点评】本题考查抛物线的性质，属于基础题 14若实数 x，y 满足约束条件 ，则 zx3y 的最小值为 11 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可 解：由 zx3y 得 y x ， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线 y x ， 由图象可知当直线 y x 经过点 A 时，直线 y x 截距最大， 此时 z 最小， 由 ，解得 A（ ， ） 将 A（ ， ）代入目标函数 zx3y， 得 z11 目标函数 zx3y 的最小值是11 故答案为：11 【点评】本题主要考查线性
24、规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关 键，利用数形结合是解决问题的基本方法 15祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家他一生钻研自然科学，其主要贡献 在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率 的精确度上，首次将“” 精确到小数点后第七位，即 3.1415926在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八 位有效数字中随机取两个数字 a，b，则事件“|ab|3“的概率为 【分析】由题意知第三到第八位有效数字为 4，1，5，9，2，6，从中任取两个有效数字， 共有 n 种情况，利用列举法求出事件“|ab|3“包含的基本事件有 8 种，由 此能求出事件“|ab|3“的概率
25、 解：由题意知第三到第八位有效数字为： 4，1，5，9，2，6， 从中任取两个有效数字，共有 n 种情况， 从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字 a，b， 则事件“|ab|3“包含的基本事件有 8 种，分别为： （4，1），（4，5），（4，2），（4，6），（1，2），（5，2），（5，6），（9，6）， 事件“|ab|3“的概率为 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 16 已知函数 ， 2x+3， 若x1R， x2 （0， 1） ， f（x2）g（x1），则 m 的取值范围为 （， ） 【分析】由题意可知，f（x
26、2）ming（x1）min，利用函数的单调性质可求得 f（x）在（0， 1）上的值域为（m ，m+1），g（x）min2，故 m 2，解之即可 解：函数 ， 2x+3， 若x1R，x2（0，1），f（x2）g（x1），即 f（x2）ming（x1）min， g（x）x42x2（x+1）+x2+2x+1+2x2（x+1）2+2， 又 x2（x+1）0 有解， g（x）min2， 又 在 0，1）上单调递减， f（x）在（0，1）上的值域为（m ，m+1）， m 2， 解得：m ， 故答案为：（， ） 【点评】本题考查利用导数求函数的极值，依题意得 f（x2）ming（x1）min是关键，考查 等
27、价转化思想与运算能力，是中档题 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17在数列an中，a11，a23，an+13an+2an10（nN+，且 n2） （1）证明：数列an+1an是等比数列 （2）求数列an的通项公式 【分析】（1）把已知递推关系式整理即可证明结论； （2）利用第一问的结论以及叠加法即可求解 解：（1）因为 an+13an+2an10an+1an2（anan1）； 又 a11，a23，a2a120； 数列an+1an是首项为 2，公比为 2 的等比数列 （2）由（1）得 an+1an2n； an（anan1）+（an1an2）+（an2an 3）+（a2a1）+a1 2
28、n1+2n2+2+1 2n1； （n2）， 当 n1 时，a11 适合上式， 故 an2n1 【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用以及等比数列的证明，属于中档题目 18如图 1，在梯形 ABCD 中，ABCD，且 AB2CD，ABC 是等腰直角三角形，其中 BC 为斜边， 若把ACD 沿 AC 边折叠到ACP 的位置， 使平面 PAC平面 ABC， 如图 2 （1）证明：ABPA； （2）若 E 为棱 BC 的中点，求二面角 BPAE 的余弦值 【分析】（1）首先证得 ABAC，再利用面面垂直的性质定理可得 AB平面 PAC，进 而可证 ABPA； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的
29、法向量，利用向量公式即可得解 解：（1）证明：ABC 是等腰直角三角形，BC 为斜边， ABAC， 又平面 PAC平面 ABC，平面 PAC平面 ABCAC， AB平面 PAC， 又 PA 在平面 PAC 内， ABPA； （2）由（1）知，ABAC，PC平面 ABC，则以点 A 为坐标原点，AB，AC 所在直线 分别为 x 轴， y 轴， 过点 A 作平行于 PC 的直线为 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设 PC1，则 A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，2，1），E（1，1， 0）， 故 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 平 面 PAB 的 一
30、个 法 向 量 为 ， ， ， 则 ， 故 可 取 ， ， ， 设平面 PAE 册一个法向量为 ， ， ，则 ，故可取 ， ， ， ， ， 由图可知二面角 BPAE 为锐角，故二面角 BPAE 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的性质定理，以及线面垂直的性质定理的运用，考查利用空 间向量求解二面角问题，考查推理能力及计算能力，属于中档题 19已知函数 f（x）axex（a一、选择题） （1）讨论 f（x）的单调性； （2）讨论 f（x）在（0，+）上的零点个数 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可求； （2）由 f（x）0 分离参数后，构造函数，结合导数分析函数的性质可求
31、解：（1）f（x）aex， 当 a0 时，f（x）0，函数在 R 上单调递减， 当 a0 时，当 xlna 时，f（x）0，函数在 R 上单调递增，当 xlna 时，f（x） 0，函数在 R 上单调递减， （2）令 f（x）0 可得 a ， 设 g（x） ，x0，则 ， 当 x1 时，g（x）0，函数单调递增，当 0x1 时，g（x）0，函数单调递减， 故 g（x）g（1）e， 当 ae 时，a 在（0，+）上没有零点，即 f（x）没有零点； 当 ae 时，a 在（0，+）上有一个零点，即 f（x）有一个零点； 当 ae 时，a 在（0，+）上有 2 个零点，即 f（x）有 2 个零点； 【点
32、评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及函数零点个数的判断，体现了分 类讨论思想的应用 20 某公司准备上市一款新型轿车零配件， 上市之前拟在其一个下属 4S 店进行连续 30 天的 试销，定价为 1000 元/件 （1）设日销售 40 个零件的概率为 p，记 5 天中恰有 2 天销售 40 个零件的概率为 z，写 出 z 关于 p 的函数关系式，并求 z 的极大值点 p0 （2）试销结束后统计得到该 4S 店这 30 内的日销售量（单位：件）的数据如表： 日销售量 40 60 80 100 频数 9 12 其中，有两个数据未给出试销结束后，这款零件正式上市，每件的定价仍为 1000 元，
33、 但生产公司对该款零件不零售， 只提供零件的整箱批发， 大箱每箱有 55 件， 批发价为 550 元/件；小箱每箱有 40 件，批发价为 600 元/件，以这 30 天统计的各日销售量的频率作为 试销后各日销售量发生的概率 该 4S 店决定每天批发两箱，若同时批发大箱和小箱，则先销售小箱内的零件，同时根据 公司规定，当天没销售出的零件按批发价的 9 折转给该公司的另一下属 4S 店，假设日销 售量为 80 件的概率为 ，其中 P0为（1）中 z 的极大值点 （i）设该 4S 店批发两大箱，当天这款零件的利润为随机变量 X；批发两小箱，当天这款 零件的利润为随机变量 Y，求 EX 和 EY； （
34、ii）以日利润的数学期望作为决策依据，该 4S 店每天应该按什么方案批发零件？ 【分析】（1）设日销售 40 个零件的概率为 p，记 5 天中恰有 2 天销售 40 个零件的概率 为 z，写出 z 关于 p 的函数关系式 z 10p2（1p）3，0p1，再由 z 10p（1p）2（25p），利用导数性质能求出 z 的极大值点 p0 （2）日销售量为 80 件的概率为 ，日销售量为 100 的概率为 1 ， （i） 批发两大箱， 则批发成本为 60500 元， 分别求出当日销售量为 40 件、 60 件、 80 件、 100 件时的利润，由此能求出 EX；若批发两小箱，则批发成本为 48000
35、元，分别求出当 日销售量为 40 件、60 件、80 件或 100 件时的利润，由此能求出 EY （ii）当 4S 店批发一大箱和一小箱时，成本为 54250 万元，当天这款零件的利润为随机 变量 ，分别求出当日销售量为 40 件、60 件、80 件、100 件时的利润，求出 E，由 EY EEX，得到以日利润的数学期望作为决策依据，该 4S 店每天应该按批发两大箱 解：（1）由题意可得 z 10p2（1p）3，0p1， z102p（1p）33p2（1p）210p（1p）2（25p）， 当 0p 时，z0，当 时，z0， p0 （2）由题意得日销售量为 80 件的概率为 ， 日销售量为 100
36、 的概率为 1 ， （i）批发两大箱，则批发成本为 60500 元， 当日销售量为 40 件时，利润为：40100060500+7055090%1.415（万元）， 当日销售量为 60 件时，利润为：60100060500+5055090%2.425（万元）， 当日销售量为 80 件时，利润为：80100060500+3055090%3.435（万元）， 当日销售量为 100 件时，利润为：100100060500+1055090%4.445（万元）， EX 2.526（万元） 若批发两小箱，则批发成本为 48000 元， 当日销售量为 40 件时，利润为：40100048000+406009
37、0%1.36（万元）， 当日销售量为 60 件时，利润为：60100048000+2060090%2.3075（万元）， 当日销售量为 80 件或 100 件时，利润为：801000480003.2（万元）， EY1.36 2.28（万元） （ii）当 4S 店批发一大箱和一小箱时，成本为 54250 万元，当天这款零件的利润为随机 变量 ， 当日销售量为 40 件时，利润为：40100054250+5555090%1.2975（万元）， 当日销售量为 60 件时，利润为：60100054250+3555090%2.3075（万元）， 当日销售量为 80 件时，利润为：80100054250+
38、1555090%3.3175（万元）， 当日销售量为 100 件时，利润为：1001000542504.075（万元）， E （万元） EYEEX， 以日利润的数学期望作为决策依据， 该 4S 店每天应该按批发两大箱 【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查导数 性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21已知椭圆 C： ）的离心率为 ，且四个顶点构成的四边形的面积 是 （1）求椭圆 C 的方程； （2） 已知直线 l 经过点 P （2， 0） ， 且不垂直于 y 轴， 直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点， M 为 AB 的中点，直线 OM 与椭圆
39、C 交于 E，F 两点（O 是坐标原点），求四边形 AEBF 的面积的最小值 【分析】（1）由题意得关于 a，b，c 的方程组，解得 a，b，c 的值，则椭圆 C 的方程可 求； （2）设直线 l 的方程为 xmy2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方 程，化为关于 y 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 M 的坐标，得到直线 OM 的 方程，与椭圆方程联立，求出|EF|，设点 A 到直线 OM 的距离为 d，则点 B 到 OM 的距离 也为d， 利用点到直线的距离公式求得2d， 写出四边形的面积S再由配方法求四边形AEBF 的面积的最小值 解：（1）由题意得 ，解得
40、 ，b2 故椭圆 C 的方程为 ； （2）设直线 l 的方程为 xmy2，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立 ，整理得（m 2+2）y24my40 则 ， ， 从而 故 M（ ， ） 直线 OM 的斜率为 ，直线 OM 的方程为 y ，即 mx+2y0 联立 ，整理得 ，则|EF| 设点 A 到直线 OM 的距离为 d，则点 B 到 OM 的距离也为 d， 从而 2d 点 A，B 在直线 OM 的两侧，（mx1+2y1）（mx2+2y2）0 |mx1+2y1|+|mx2+2y2|mx1+2y1mx22y2|， 则 2d ，2d 则四边形的面积 S （当且仅当 m0 时等号成立） 即四边
41、形 AEBF 的面积的最小值是 8 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力， 训练了利用配方法求最值，是中档题 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ， （ 为参数）以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为 （1）求 C 与 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，点 P（2，2），求 的值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程
42、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解：（1）曲线 C 的参数方程为 ， （ 为参数）转换为直角坐标方程为 x 2+ （y2）29 直线 l 的极坐标方程为 ，转换为直角坐标方程为 xy+40 （2）线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，点 P（2，2），所以直线的参数方程为 （t 为参数），代入圆的方程为： ， 所以 ，t1t25， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已
43、知函数 f（x）|x+a|+|x5| （1）当 a3 时，求不等式 f（x）10 的解集； （2）若 f（x）1求 a 的取值范围 【分析】 （1）f（x）10 即|x+3|+|x5|10，运用绝对值的定义，去绝对值，解不等式， 求并集，可得所求解集； （2）f（x）1 等价为|x+a|+|x5|1 恒成立，由绝对值不等式的性质可得此不等式左边 的最小值，由绝对值不等式的解法可得所求范围 解：（1）当 a3 时，f（x）10 即|x+3|+|x5|10， 等价为 或 或 ， 解得 5x6 或3x5 或4x3， 则原不等式的解集为4，6； （2）f（x）1 等价为|x+a|+|x5|1 恒成立， 由|x+a|+|x5|x+a+5x|a+5|，当（x+a）（x5）0 取得等号， 则|a+5|1，解得 a4 或 a6 则 a 的取值范围是（，64，+） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用：求最值，考查分 类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题