1、2020 年高考数学（年高考数学（4 月份）模拟试卷（理科）月份）模拟试卷（理科） 一、选择题 1已知集合 A0，1，2，3，4，Bx|（x2）（x+1）0，则 AB（ ） A0 B0，1 C3，4 D2，3，4 2已知复数 z 满足 z（1+i）在复平面内对应的点为（1，1），则|z|（ ） A B C1 D 3为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取 30 名学生参加环保知识竞赛，得分 （10 分制）的频数分布表如表： 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 10 6 3 2 2 2 设得分的中位数为 me，众数为 m0，平均数为 x，则（ ） Amem0x Bmem0
2、x Cmem0x Dm0mex 4曲线 E 是以原点为对称中心，坐标轴为对称轴的双曲线，已知 E 的一条渐近线方程为 x 2y0，且过点 ， ，则双曲线 E 的标准方程是（ ） A B Cx216y21 D 5已知 a，b，c 是实数，且 ba0，则下列命题正确的是（ ） A Bac2bc2 C Db2aba2 6已知平面 平面 ，l，a，b，则“al”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7若 （0，），且 ，则 cos2（ ） A B C D 8ABC 是边长为 4 的等边三角形， ，则 （ ） A2 B10 C12 D14 9已知函数
3、 f（x）ln|x|+x2，设 af（2），bf（1），cf（20.3），则（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 10将函数 的图象向左平移 个单位，所得图象对应函数的单调递增区间 为（ ） A ， ， B ， ， C ， ， D ， ， 11已知圆锥的母线与底面所成的角等于 60，且该圆锥内接于球 O，则球 O 与圆锥的表 面积之比等于（ ） A4：3 B3：4 C16：9 D9：16 12已知定义域为 R 的函数 f（x）满足：当 x0 时，f（x）xex，x0 时，f（x）f（x 1）若 g（x）k（x+1），且方程 f（x）g（x）0 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围
4、是（ ） A（ ， ） B（ ， C（， ） D（， 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分 132020 年初，新型冠状病毒肺炎疫情时刻牵动着全国人民的心，全国有无数医务工作者 成为最美“逆行者”，他们敢于担当，勇于奉献，奋战在抗击疫情的最前线宁夏援鄂 某医疗小队中有 2 名男医生，3 名女医生，现从中选择 2 名医生执行某项医疗任务，则选 中的都是女医生的概率是 14在ABC 中，已知 ，ABC60，ABBC，且ABC 的面积为 ，则 BC 边上的高等于 15设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，AC，已知以 F 为圆心，为半径 的圆交 1 于 B，D 两点，若BFD
5、90，ABD 的面积为 ，则 y 轴被圆 F 所截得 的弦长等于 16我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正 n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率 的精度较高的近似值，这是我国最优秀的 传统科学文化之一借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图 象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算？设 f （x） ln （1+x） ， 则曲线 yf （x） 在点（0，0）处的切线方程为 ，用此结论计算 1n2020ln2019 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17如图是 2015 年至 2019 年国内游客人次 y（单位：亿）
6、的散点图 为了预测 2025 年国内游客人次， 根据 2015 年至 2019 年的数据建立了 y 与时间变量 t （时 间变量 t 的值依次为 1，2，5）的 3 个回归模型： ， 0.996； ， 0.9987； ， 0.9408其中 R 2 相关指数 （1）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 （2）根据（1）中你选择的模型预测 2025 年国内游客人次，结合已有数据说明数据反映 出的社会现象并给国家相关部门提出应对此社会现象的合理化建议 18如图所示，已知四边形 ABCD 是矩形，平面 ABCD平面 PAB，E，F 分别是 CD，PA 的中点 （1）证明：EF平面 PBC；
7、（2）若 AB5，PA4，PBBC3，求二面角 CAPD 的大小 19Sn为数列an的前 n 项和已知 a11，Sn+12Sn+1 （1）证明sn+1是等比数列，并求数列an的通项公式； （2）数列bn为等差数列，且 b1a2，b7a4，求数列 的前 n 项和 Tn 20已知函数 f（x）ax2xlnx，其中 aR （1）若函数 f（x）在（0，1）内单调递减，求实数 a 的取值范围； （2）试讨论函数 f（x）的零点个数 21平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 的离心率为 ，且过点 ， （1）求椭圆 C 的方程； （2）设椭圆 E： ，P 为椭圆 C 上一点，过点 P 的直线 ykx
8、+m 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q （i）若 P 为椭圆 C 上任意一点，求 的值； （ii）若 P 点坐标为（0，1），求ABQ 面积的最大值 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线l的参数方程为 （ 为参数），以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C2的极坐标方程为 4sin （l）写出 C1的极坐标方程： （2）设点 M 的极坐标为（4，0），射线 分别交 C1，C2于 A，B 两点（异 于极点），当AMB 时，求 tan 选修 4-5；不等式选讲 23已知函数 （）当 m2 时，求不等式 f（x）3
9、的解集； （）证明： 参考答案 一、选择题：共 12 小题每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1已知集合 A0，1，2，3，4，Bx|（x2）（x+1）0，则 AB（ ） A0 B0，1 C3，4 D2，3，4 【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可 解：A0，1，2，3，4，Bx|x1 或 x2， AB3，4 故选：C 【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考 查了计算能力，属于基础题 2已知复数 z 满足 z（1+i）在复平面内对应的点为（1，1），则|z|（ ） A B C1 D 【分析】由题意
10、得 z（1+i）1i，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复 数模的计算公式求解 解：由题意，z（1+i）1i，则 z ， |z|1 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考 查复数模的求法，是基础题 3为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取 30 名学生参加环保知识竞赛，得分 （10 分制）的频数分布表如表： 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 10 6 3 2 2 2 设得分的中位数为 me，众数为 m0，平均数为 x，则（ ） Amem0x Bmem0x Cmem0x Dm0mex 【分析】由频率分步表求出众数
11、、中位数和平均数，比较即可 解：由图知，众数是 m05； 中位数是第 15 个数与第 16 个数的平均值， 由图知将数据从大到小排第 15 个数是 5，第 16 个数是 6， 所以中位数是 me 5.5； 平均数是 x （23+34+105+66+37+28+29+210）6； m0mex 故选：D 【点评】本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题 4曲线 E 是以原点为对称中心，坐标轴为对称轴的双曲线，已知 E 的一条渐近线方程为 x 2y0，且过点 ， ，则双曲线 E 的标准方程是（ ） A B Cx216y21 D 【分析】由渐近线的方程设双曲线的方程，再由过的点
12、的坐标代入可得双曲线的方程 解：由题意设双曲线的方程： y 2，过（ ， ），所以可得 ，所以 1， 即双曲线的方程为： y 21， 故选：A 【点评】本题考查求双曲线方程的方法，属于基础题 5已知 a，b，c 是实数，且 ba0，则下列命题正确的是（ ） A Bac2bc2 C Db2aba2 【分析】根据 ba0 即可得出 ，从而判断 A 错误；c0 时，ac 2bc2 不成立，从 而判断 B 错误；可判断 ， ，从而判断 C 错误，从而只能选 D 解：ba0， ， ， ， ，c0 时，ac 2bc2 不成立，b2ab，aba2，b2ab a2 故选：D 【点评】本题考查了不等式的性质，考
13、查了计算能力，属于基础题 6已知平面 平面 ，l，a，b，则“al”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据面面垂直的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 解：由面面垂直的性质得当 al，则 a，则 ab 成立，即充分性成立， 反之当 bl 时，满足 ab，但此时 al 不一定成立，即必要性不成立， 即“al”是“ab”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间面面垂直的性质是解决本 题的关键 7若 （0，），且 ，则 cos2（ ） A B C D 【分析】 由题意利用同角三角
14、函数的基本关系、 二倍角公式先求得 sin2 的值， 可得 cos2 的值 解：（0，），且 ，（ ，），2（ ，2）， 1+sin2 ，sin2 ， 则 cos2 ， 故选：D 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题 8ABC 是边长为 4 的等边三角形， ，则 （ ） A2 B10 C12 D14 【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与数量积的定义，计算 即可 解：如图所示， ABC 是边长为 4 的等边三角形， ， 所以 （ ）， 所以 （ ） （ ） 16 16 44cos60 16 10 故选：B 【点评】本题考查了平面向量的线性
15、运算和数量积运算问题，是基础题 9已知函数 f（x）ln|x|+x2，设 af（2），bf（1），cf（20.3），则（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 【分析】根据题意，分析可得 f（x）为偶函数，进而分析可得 f（x）在区间（0，+） 上为偶函数，据此分析可得答案 解：根据题意，函数 f（x）ln|x|+x2，其定义域为x|x0，且有 f（x）ln|x|+x2f （x），即函数 f（x）为偶函数， 则 af（2）f（2）， 又由 x0 时，f（x）lnx+x2，为增函数，且 120.32， 则有 f（1）f（20.3）f（2）， 故与 acb； 故选：B 【点评】本题考查函数奇
16、偶性的性质以及应用，涉及对数的大小比较，属于基础题 10将函数 的图象向左平移 个单位，所得图象对应函数的单调递增区间 为（ ） A ， ， B ， ， C ， ， D ， ， 【分析】按照“左加右减”先求出平移后的解析式，然后将 x+ 部分代入 ysinx 的增 区间，解出原函数的增区间 解：函数 ， 向左平移 个单位后的解析式 y2sin（2（x ） ）， 化简得 y2sin（2x ），要求该函数的增区间，只需 ， ， 解得 ， 故选：A 【点评】本题考查了三角函数的图象和性质，以及利用换元思想求单调区间的思路属 于基础题 11已知圆锥的母线与底面所成的角等于 60，且该圆锥内接于球 O，
17、则球 O 与圆锥的表 面积之比等于（ ） A4：3 B3：4 C16：9 D9：16 【分析】由圆锥的母线与底面所成的角等于 60，可知过高的截面为等边三角形，设底 面直径，可以求出其表面积， 根据圆锥内接于球 O，在高的截面中可以求出其半径，可求其表面积， 可求比值 解：设圆锥底面直径为 2r，圆锥的母线与底面所成的角等于 60， 则母线长为 2r，高为 r， 则圆锥的底面积为：r2，侧面积为 ， 则圆锥的表面积为 r2 3r2， 该圆锥内接于球 O，则球在圆锥过高的截面中的截面为圆，即为边长为 2r 的等边三角形 的内切圆，则半径为 R2 ，表面积为： ， 则球 O 与圆锥的表面积之比等于
18、（ ）：（3r2）16：9， 故选：C 【点评】本题考查圆锥的性质，以及其外接球，表面积，属于中档题 12已知定义域为 R 的函数 f（x）满足：当 x0 时，f（x）xex，x0 时，f（x）f（x 1）若 g（x）k（x+1），且方程 f（x）g（x）0 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ， C（， ） D（， 【分析】求出 x0 时，f（x）xex的导数，可得单调区间和极值，可将 yf（x）在（ 1，0的图象每向右平移一个单位可得 x0 时 f（x）的图象，由题意可得 yf（x）和 y g （x） 的图象有两个交点 将直线 yg （x） 绕着 （1，
19、0） 旋转考虑经过点 （0， ） ， （1， ） ， 可得此时的斜率 k，结合图象可得所求范围 解：当 x0 时，f（x）xex的导数为 f（x）（x+1）ex， 当1x0 时，f（x）0，f（x）递增；当 x1 时，f（x）0，f（x）递减， 则 x1 处 f（x）取得极小值 f（1） ， 由 x0 时，f（x）f（x1），可将 yf（x）在（1，0的图象每向右平移一个单位， 可得 f（x）在 x0 时的图象，如右图： 由方程 f（x）g（x）0 有两个不同的实根，可得 yf（x）和 yg（x）的图象有两个 交点 又 yg （x） k （x+1） 的图象为恒过定点 （1， 0） 的直线， 当
20、该直线经过点 A （0， ） 时， k ； 当该直线经过点 A（1， ）时，k 由图象可得当 k 时，yf（x）和 yg（x）的图象有两个交点 故选：A 【点评】本题考查函数方程的转化思想，考查导数的运用，以及图象平移，考查运算能 力和数形结合思想的运用，属于中档题 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分 132020 年初，新型冠状病毒肺炎疫情时刻牵动着全国人民的心，全国有无数医务工作者 成为最美“逆行者”，他们敢于担当，勇于奉献，奋战在抗击疫情的最前线宁夏援鄂 某医疗小队中有 2 名男医生，3 名女医生，现从中选择 2 名医生执行某项医疗任务，则选 中的都是女医生的概率是 【分析】 基本
21、事件总数 n ， 选中的都是女医生包含的基本事件总数 m 3， 由此能求出选中的都是女医生的概率 解：宁夏援鄂某医疗小队中有 2 名男医生，3 名女医生， 现从中选择 2 名医生执行某项医疗任务， 基本事件总数 n ， 选中的都是女医生包含的基本事件总数 m 3， 则选中的都是女医生的概率是 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 14在ABC 中，已知 ，ABC60，ABBC，且ABC 的面积为 ，则 BC 边上的高等于 【分析】根据ABC60且ABC 的面积为 ，利用面积公式得到一个关于 a，c 边 的方程；再根据 ，ABC60，利
22、用余弦定理得到 a，c 的另一个方程，求出 a， c，问题可解 解：因为ABC60且ABC 的面积为 ， 所以 ，即 ac6 又 ，所以 bb2a2+c22accos607， 即 a2+c2ac7 联立结合 ac 解得：a3，b2 设 BC 边上的高为 h，所以 故答案为： 【点评】本题考查解三角形中的余弦定理、面积公式等基础知识，同时考查了学生利用 方程思想解决问题的能力属于中档题 15设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，AC，已知以 F 为圆心，为半径 的圆交 1 于 B，D 两点，若BFD90，ABD 的面积为 ，则 y 轴被圆 F 所截得 的弦长等于 【分析】根据
23、题意画出图形，结合图形求出|FA|FB| p，|BD|2p，由点 A 到准线 l 的距离写出ABD 的面积，从而求出 p 的值 解：如图所示， 因为BFD90， 所以圆的半径为|FA|FB| p，|BD|2p， 由抛物线定义知，点 A 到准线 l 的距离为 d|FA| p， 所以ABD 的面积为 |BD| d 2p p4 ， 解得 p2 根据弦长公式可得弦长等于 2 ， 故答案为：2 【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了数形结合应用问题，是 基础题 16我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正 n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率 的
24、精度较高的近似值，这是我国最优秀的 传统科学文化之一借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图 象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算？设 f （x） ln （1+x） ， 则曲线 yf （x） 在点（0，0）处的切线方程为 yx ，用此结论计算 1n2020ln2019 【分析】先根据题意求出 f（x）在（0，0）处的切线方程为 yx，然后根据以直代曲， 可以令 f（x）ln（1+x）yx 解： ， f（0）1，故切线为 yx 1n2020ln2019ln（1 ）f（ ）， 根据已直代曲，x 也非常接近切点 x0 所以可以将 x 代入切线近似代替 ， 即 故答案为：yx，
25、【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数的极限概念要注意理解属于基础题 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17如图是 2015 年至 2019 年国内游客人次 y（单位：亿）的散点图 为了预测 2025 年国内游客人次， 根据 2015 年至 2019 年的数据建立了 y 与时间变量 t （时 间变量 t 的值依次为 1，2，5）的 3 个回归模型： ， 0.996； ， 0.9987； ， 0.9408其中 R 2 相关指数 （1）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 （2）根据（1）中你选择的模型预测 2025 年国内游客人次，结合已有数据说明数据反映 出的
26、社会现象并给国家相关部门提出应对此社会现象的合理化建议 【分析】（1）选择模型得到的预测值更可靠，从散点图和相关指数 R2，都可以得出 结论； （2）将 t11 代入模型可得 2025 年国内游客预测人次，得出国内游客人数逐年稳步 增长，到 2025 年已是非常巨大的数字，国内旅游热成为社会热点现象，为我国社会发展 贡献了经济增长点，也对旅游管理和环境保护部门带来压力，从旅游管理部门和环保部 门两个方面给出建议即可 解：（1）选择模型得到的预测值更可靠； 理由一，观察散点图，散点分布更接近一条直线，故选择回归模型； 理由二，比较三个模型的相关指数 R2，模型的相关指数 R2最大，且最接近 1，
27、 说明该模型能更好的解释数据，模型的拟合更好，故选择模型； （2）将 t11 代入模型可得 2025 年国内游客人次预测为 91.08 亿人次； 结合已有数据可以看到国内游客人数逐年稳步增长， 到 2025 年国内游客人次已是非常巨 大的数字， 国内旅游热成为越来越突出的社会热点现象，国内旅游热为我国社会发展贡献了经济增 长点的同时， 也对旅游管理和环境保护部门等相关带来了压力，故建议： 各地旅游管理部门应在开发、统筹旅游资源，创新旅游项目、统筹风景区建设， 规划旅游路线、提高服务意识、提升服务水平上做好准备，建立风险评估机制和应急预 案； 环保部门应与旅游管理部门协调做好风景区的环境保护预案
28、， 防止在风景区的开发、建设以及运营过程中造成的生态破坏或环境污染等问题 【点评】本题考查了线性回归模型的应用问题，也考查了分析问题、解决问题的能力， 是中档题 18如图所示，已知四边形 ABCD 是矩形，平面 ABCD平面 PAB，E，F 分别是 CD，PA 的中点 （1）证明：EF平面 PBC； （2）若 AB5，PA4，PBBC3，求二面角 CAPD 的大小 【分析】（1）取 PB 中点 N，连结 NF，CN，推导出四边形 CEFN 是平行四边形，由此 能证明 EF平面 PBC （2）推导出 BC平面 PAB，分别以 AP，BP，平行于 BC 的直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间
29、直角坐标系，利用向量法能求出二面角 CAPD 的大小 解：（1）证明：取 PB 中点 N，连结 NF，CN， N，F 分别是 PA，PB 的中点，NFAB，且 NF AB， 同理，CE NF，四边形 CEFN 是平行四边形， EFCN，EF面 PAB，CN面 PBC， EF平面 PBC （2）解：AB5，PA4，PBBC3，PAPB， 平面 ABCD平面 PAB，四边形 ABCD 是矩形，BC平面 PAB， 分别以 AP，BP，平行于 BC 的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，4，0），B（3，0，0），C（3，0，3）， 设平面 APC 的法向量 （x，y，z
30、）， 则 ，取 x1，得 （1，0，1）， 平面 APD 的法向量 （3，0，0）， 设二面角 CAPD 的大小为 ， 则 cos 二面角 CAPD 的大小为 45 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19Sn为数列an的前 n 项和已知 a11，Sn+12Sn+1 （1）证明sn+1是等比数列，并求数列an的通项公式； （2）数列bn为等差数列，且 b1a2，b7a4，求数列 的前 n 项和 Tn 【分析】（1）先利用定义法证明sn+1是等比数列，再由 an与 Sn、Sn1的关系求出an 的通
31、项公式； （2）先利用数列bn与an的关系求出 bn，然后利用裂项相消法求 Tn 解：（1）证明：因为 Sn+12Sn+1，所以 Sn+1+12（Sn+1）又 S1+120， 所以sn+1是以 S1+12 为首项，以 2 为公比的等比数列 Sn+12n，Sn2n1 当 n2 时，anSnSn12n2n12n1；经检验，a11 也符合 an2n1 （2）解：数列bn为等差数列，且 b1a22，b7a48，公差 d 1 bnn+1 ， Tn（ ）+（ ）+（ ）+（ ） 【点评】本题考查了等比数列与等差数列的定义及通项公式和裂项相消法求和，属于中 档题 20已知函数 f（x）ax2xlnx，其中
32、aR （1）若函数 f（x）在（0，1）内单调递减，求实数 a 的取值范围； （2）试讨论函数 f（x）的零点个数 【分析】（1）由 0 在（0，1）上恒成立，分离参数后结合二次函 数的性质可求； （2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系及函数的性质，零点判定定理即可求 解 解：（1）题意可知，由 0 在（0，1）上恒成立， 即 a 在（0，1）上恒成立， 结合二次函数的性质可知， 1， 故 a1， （2）由 f（x）0 可得 a ， 令 g（x） ，x0， ， 令 h（x）1x2lnx，x0，则 ，且 h（1）0， 所以当 0x1 时，g（x）0，g（x）单调递增，当 x1 时，g（x
33、）0，g（x） 单调递减， x0 时，g（x），且 g（1）1，x+，g（x）0， 所以 a0 或 a1 时，f（x）有唯一零点； 当 0a1 时，f（x）有 2 个零点， 当 a1 时，f（x）没有零点 【点评】本题主要考查了导数在单调性的判断中的应用，还考查了导数与函数性质的综 合应用，体现了分类讨论思想的应用 21平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 的离心率为 ，且过点 ， （1）求椭圆 C 的方程； （2）设椭圆 E： ，P 为椭圆 C 上一点，过点 P 的直线 ykx+m 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q （i）若 P 为椭圆 C 上任意一点，求
34、 的值； （ii）若 P 点坐标为（0，1），求ABQ 面积的最大值 【分析】（1）根据 和 a2b2+c2，可得到 ， ，代入点 ， 到 椭圆的方程，解出 a 和 b 的值即可得解； （2）（i）先由（1）中的结论得出椭圆 E 的方程，设点 P（x0，y0），写出射线 PO 的方 程， 再将其代入椭圆E的方程可得到点Q的坐标， 然后利用两点间距离公式分别求出|OP|、 |OQ|，并作比即可得解； （ii）利用点到直线的距离公式可得到点 Q 到直线 AB 的距离，联立直线 l 的方程与椭圆 E 的方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，然后利用弦长公式求出|AB|，即可表示出 ABQ 的
35、面积，再结合换元法和对勾函数的性质即可求得面积的最大值 解：（1）由题意可知， ， a2b2+c2 ， ， ， 又椭圆过点 ， ， ，解得 b 21，a24， 椭圆 C 的方程为 （2）（i）由（1）可知，椭圆 E 的方程为 ，设点 P（x0，y0）， 射线 PO 的方程为 ，代入 可得点 Q（2x0，2y0）， （ii）P（0，1），过点 P 的直线为 ykx+1， 点 Q 到直线 AB 的距离等于原点 O 到直线 AB 距离的 3 倍， ， 联立 ，得（1+4k 2）x2+8kx120， 弦长 ， ABQ 面积 S ， 令 ，则 S ， 当且仅当 时，等号成立 故ABQ 面积的最大值为 【
36、点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及曲直联立、弦长公式、对勾函数的性质 等知识点，还采用了换元法，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线l的参数方程为 （ 为参数），以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C2的极坐标方程为 4sin （l）写出 C1的极坐标方程： （2）设点 M 的极坐标为（4，0），射线 分别交 C1，C2于 A，B 两点（异 于极点），当AMB 时，求 tan 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2）利用直线和圆的位置
37、关系，建立方程组，进一步求出交点的坐标，最后利用两直线 间的位置关系及夹角公式的应用，最后利用方程的解法的应用求出结果 解：（1）曲线l的参数方程为 （ 为参数），转换为直角坐标方程为（x 2）2+y24，转换为极坐标方程为 4cos （2）曲线 C2的极坐标方程为 4sin转换为直角坐标方程为 x2+（y2）24 设点 M 的极坐标为（4，0），射线 分别交 C1，C2于 A，B 两点（异于极 点）， 如图所示： 设射线 OA 的方程为 ykx， 则： ，解得 ， 同理 B ， 由于A ，AMB 时，所以 BM 与 AO 的夹角为 ， 由于 ，kAOk， 利用两直线的夹角公式的应用 ， 整理
38、得 或 ， 即：2k3k2+2k10 或 k22k+10 解得 k 或 k1 由于 ，所以 k1（舍去） 故 k 所以 tan 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直 线的夹角公式的应用，方程的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维 能力，属于中档题型 一、选择题 23已知函数 （）当 m2 时，求不等式 f（x）3 的解集； （）证明： 【分析】（）分 3 段去绝对值解不等数组，在相并； （）由题 f（x）|xm|+|x |，m0，|m |m ，所以 f（x）m ，当 且仅当 x ，m时等号成立，再利用基本不等式可证 解：（）当 m2 时，f（x）|x2|+|x |； 当 x 时，原不等式等价于（2x）（x ）3，解得 x ； 当 时，原不等式等价于 3，不等式无解； 当 x2 时，原不等式等价于（x2）+（x ）3，解得 x ， 综上，不等式 f（x）3 的解集为（， ）（ ，+） （）证明：由题 f（x）|xm|+|x |， m0，|m |m ， 所以 f（x）m ，当且仅当 x ，m时等号成立， f（x） m m （m1） 1， m1，m10，（m1） 12 13， f（x） 3当 m2，且 x ，2时等号成立 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题