1、2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1设集合 |01, |2,RRMxxxNx xx，则（ ） AMNM BMNN CMNM DRMN 2若复数z满足方程 2 20z ，则 3 z （ ） A2 2 B2 2 C2 2i D2 2i 3若直线10kxy 与圆 22 2410xyxy 有公共点，则实数k的取值范围是（ ） A 3,) B(, 3 C(0,) D(,) 4已知:12p x，:23qx，则p是q的（ ） A
2、充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 5设函数 1 ( )2cos 23 f xx ，若对任意Rx都有 12 ( )( )()f xf xf x成立，则 12 xx的最小 值为（ ） A 2 B C2 D4 6 已知直三棱柱 111 ABCABC的体积为V， 若,P Q分别在 11 ,AA CC上， 且 11 11 , 33 APAACQCC， 则四棱锥BAPQC的体积为（ ） A 1 6 V B 2 9 V C 1 3 V D 7 9 V 7为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心某市将垃圾分为四类： 可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其
3、他垃圾某班按此四类由 10 位同学组成四个宣传小组，其中可回收 物与餐厨垃圾宣传小组各有 2 位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有 3 位同学现从这 10 位同学中 选派 5 人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派 1 人的概率为（ ） A 5 14 B 9 14 C 3 7 D 4 7 8已知直线:2l yx与x轴的交点为抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点，直线l与抛物线C交于,A B 两点，则AB的中点到抛物线C的准线的距离为（ ） A8 B6 C5 D4 9等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 125 1 ,4 3 aaa，若48()N nn San ，则n的最小
4、值 为（ ） A8 B9 C10 D11 10已知点 00 (,)P xy是曲线 32 :1C yxx上的点，曲线C在点P处的切线方程与直线811yx平 行，则（ ） A 0 2x B 0 4 3 x C 0 2x 或 0 4 3 x D 0 2x 或 0 4 3 x 11已知O为坐标原点，设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，点P是双曲 线C上位于第一象限上的点，过点 2 F作 12 FPF的平分线的垂线，垂足为A，若 12 2bFFOA，则 双曲线C的离心率为（ ） A 5 4 B 4 3 C 5 3 D2 12已知函数 2 2 1,
5、0 ( ) 1,0 xxx f x xxx ，若( )( )sin(2020) 1F xf xx在区间 1,1上有m个零 点 123 , m x xxx，则 123 ( )()()() m f xf xf xf x（ ） A4042 B4041 C4040 D4039 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边 三角形，俯视图为一个半径为 1 的圆及其圆心，则这个几何体的 体积为 ，表面积为 14在 25 1 (1)axx x 的展开式中， 3 x的系数是 15， 则实数a 15已知单位向量 1 e
6、与 2 e的夹角为 3 ，若向量 12 2ee与 12 2eke的夹角为 5 6 ，则实数k的值为 16记数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 cossin() 22 nn aann n n N，且 2019 1009mS ， 1 0a m ，则 1 19 am 的最小值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c已知3c ，且满足 sin 3 sinsin
7、sin abC aAbBcC （1）求角C的大小； （2）求2ba的最大值 18 （本小题满分 12 分） 随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加为此，某市对参加马拉松 运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取 100 人，对其每月参 与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表： 平均每月进行训练的天数 x 5x 520x 20x 人数 15 60 25 （1）以这 100 人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行 训练的天数位于该区间的概率 从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取 4 个
8、人， 求恰好有 2 个人是 “平 均每月进行训练的天数不少于 20 天”的概率； （2）依据统计表，用分层抽样的方法从这 100 个人中抽取 12 个，再从抽取的 12 个人中随机抽取 3 个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的人数，求Y的分布列及数学期望( )E Y 19 （本小题满分 12 分） 如图 1，在边长为 2 的等边ABC中，,DE分别为边,ACAB的中点将AED沿DE折起，使得 ABAD，ACAE，得到如图 2 的四棱锥A BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H （1）求证：AH 平面BCDE； （2）求二面角BAED的余弦值 A B C DE
9、 E C H B D A 图图1图图2 20 （本小题满分 12 分） 已知M过点( 3,0)A，且与 22 :(3)16Nxy内切，设M的圆心M的轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程； （2）设直线l不经过点(2,0)B且与曲线C相交于,P Q两点若直线PB与直线QB的斜率之积为 1 2 ， 判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 32 1 ( )(4)6 ,( )1 ln 3 x f xxexxg xaxx （1）求函数( )f x在(0,)上的单调区间； （2）用max , m n表示,m n中的最大值，( )fx为
10、( )f x的导函数设函数( )max( ),( )h xfxg x， 若( )0h x 在区间(0,)上恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明： 11111 ln3 () 12313 Nn nnnnn 21解析： （1） （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3 12 xt yt （t为参数） ，曲线 2 C的参数方程为 3 cos 3tan x y （为参数且 3 , 22 ） （1）求曲线 1 C和 2 C的普
11、通方程； （2）若,A B分别为曲线 12 ,C C上的动点，求AB的最小值 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知函数( )36,Rf xxxaa （1）当1a 时，解不等式( )3f x ； （2）若不等式( )114f xx对任意 3 4, 2 x 成立，求实数a的取值范围 2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1设集合 |01, |2,RRMxxxNx xx，则（ ） AMNM BMN
12、N CMNM DRMN 1答案：A 解析： |01, |2, | 22,MxxxNx xxxxxMN RRR， MNM 2若复数z满足方程 2 20z ，则 3 z （ ） A2 2 B2 2 C2 2i D2 2i 2答案：D 解析： 2233 20,2,2i,(2i)2 2izzzz 3若直线10kxy 与圆 22 2410xyxy 有公共点，则实数k的取值范围是（ ） A 3,) B(, 3 C(0,) D(,) 3答案：D 解析：圆的标准方程为 22 (1)(2)4xy，圆心为( 1,2)C ，半径2r ，直线10kxy 过定点 (0,1)P，因为2CPr，所以直线与圆恒有公共点，所以
13、实数k的取值范围是(,) 4已知:12p x，:23qx，则p是q的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 4答案：B 解析：由12x，得12x 或12x ，解得3x或1x ， 因为 |23 |3xxx x 或1x ，所以p是q的必要不充分条件 5设函数 1 ( )2cos 23 f xx ，若对任意Rx都有 12 ( )( )()f xf xf x成立，则 12 xx的最小 值为（ ） A 2 B C2 D4 5答案：C 解析：由题可知 1 x是函数( )f x的最小值点， 2 x是函数( )f x的最大值点所以 12 xx的最小值为函数 ( )f x
14、半个周期， 1 4 ,2 2 TT 6 已知直三棱柱 111 ABCABC的体积为V， 若,P Q分别在 11 ,AA CC上， 且 11 11 , 33 APAACQCC， 则四棱锥BAPQC的体积为（ ） A 1 6 V B 2 9 V C 1 3 V D 7 9 V 6答案：B 解析：设底面正三角形的边长为a，直三棱柱的高为h，则 2 3 4 Va h， 所以 2 11332 332189 B APQC Vahaa hV 7为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心某市将垃圾分为四类： 可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由 10 位同学组成四个宣传
15、小组，其中可回收 物与餐厨垃圾宣传小组各有 2 位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有 3 位同学现从这 10 位同学中 选派 5 人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派 1 人的概率为（ ） A 5 14 B 9 14 C 3 7 D 4 7 7答案：C 解析：从 10 位同学中选取 5 人，共有 5 10 252C种不同的选法，若每个宣传小组至少选派 1 人，则共有 21111121 22332233 223672108C C C CC C C C种不同的选法，则所求概率为 1083 2527 8已知直线:2l yx与x轴的交点为抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点，直线l与
16、抛物线C交于,A B 两点，则AB的中点到抛物线C的准线的距离为（ ） A8 B6 C5 D4 8答案：A 解析：依题可知抛物线的焦点坐标为(2,0)F，所以4p ，将2yx代入 2 8yx，得 A B C C1 B1 A1 PQ 2 1240xx，设 1122 ( ,),(,)A x yB xy，AB中点 00 (,)M xy，则 12 12xx， 12 0 6 2 xx x ， 则点M到准线2x的距离为6( 2)8 9等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 125 1 ,4 3 aaa，若48()N nn San ，则n的最小值 为（ ） A8 B9 C10 D11 9答案：C 解析：
17、设等差数列 n a的公差为d，则 251 2 2554 3 aaadd，解得 2 3 d 所以 1 12(1)21 (1) 333 n nn aand ， 2 1 ()1 23 n n n aa Sn ，由48 nn Sa ，化简得： 2 8200nn，(2)(10)0nn，10n，即n的最小值为 10 10已知点 00 (,)P xy是曲线 32 :1C yxx上的点，曲线C在点P处的切线方程与直线811yx平 行，则（ ） A 0 2x B 0 4 3 x C 0 2x 或 0 4 3 x D 0 2x 或 0 4 3 x 10答案：B 解析：令 2 328yxx ，得 2 3280xx，
18、(34)(2)0xx，解得 4 3 x 或2x， 当2x时，5y ，此时(2,5)M在直线811yx上，故舍去，所以 4 3 x 11已知O为坐标原点，设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，点P是双曲 线C上位于第一象限上的点，过点 2 F作 12 FPF的平分线的垂线，垂足为A，若 12 2bFFOA，则 双曲线C的离心率为（ ） A 5 4 B 4 3 C 5 3 D2 11答案：C 解析：延长 2 F A交 1 PF于点B，因为 PA是 12 FPF的平分线且 2 PAF B， 可得 2 PBPF，且 2 ABAF， 所以OA是 1
19、2 FBF的中位线， 所以 1112 111 222 OABFPFPBPFPFa， B A F2F1O P 又由 12 2bFFOA，可得22bca，所以 22 (22 )bca， 2222 448cacaac， 所以 22 3850caca， 2 3850ee，(35)(1)0ee， 5 3 e 12已知函数 2 2 1,0 ( ) 1,0 xxx f x xxx ，若( )( )sin(2020) 1F xf xx在区间 1,1上有m个零 点 123 , m x xxx，则 123 ( )()()() m f xf xf xf x（ ） A4042 B4041 C4040 D4039 12
20、答案：B 解析：( )1f xx xx ，所以( )( ) sin(2020) 1sin(2020)F xf xxx xxx 为奇函数， 所以 1 0 m i i x ，显然( 1)(0)(1)0FFF，当01x 时，由 2 ( )sin(2020)0F xxxx， 得 2 sin(2020)xxx， 在同一坐标系中作出 2 (01)yxxx和sin(2020) (01)yxx的 图象，sin(2020)yx的最小正周期 1 1010 T ， 在每个区间 1121009 1010 0, 10101010 10101010 1010 内各有 2 个零点， 所以两函数在区间(0,1内 共有 202
21、0 个交点，即( )F x在(0,1内共有 2020 个零点，由对称性，( )F x在 1,0)内也有 2020 个零点， 又(0)0F，所以4041m，所以 4041 123 1 ( )()()()(1)4041 m i f xf xf xf xx xx 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为 1 的圆及其 圆心，则这个几何体的体积为 ，表面积为 13答案： 3 3 ，3（第 1 个空 2 分，第二个空 3 分） 解析：该几何体是一个圆锥，其底面半径1r ，高3h ，
22、母线长2l ，体积 2 13 33 Vr h ，表 面积 2 3Srrl 14在 25 1 (1)axx x 的展开式中， 3 x的系数是 15，则实数a 14答案：5 解析： 252525 11 (1)(1)(1)axxaxxx xx ， 而 25 (1)x 的展开式中含 2 x的项为 4242 5 ( 1)5C xx，含 4 x的项为 32234 5( ) ( 1)10Cxx ， 所以 25 1 (1)axx x 的展开式中， 3 x的系数是510 15a，解得5a 15已知单位向量 1 e与 2 e的夹角为 3 ，若向量 12 2ee与 12 2eke的夹角为 5 6 ，则实数k的值为
23、15答案：10 解析：不妨取 12 13 (1,0), 22 ee ，设 12 2(2, 3)aee， 12 3 22, 22 k bekek ， 则 2 2 3 4 3 2 cos, 2 3 72 24 kk a b a b a b k k ，两边平方，并整理得 2 219100kk， (10)(21)0kk，解得10k 或 1 2 k ，又因为 5 40 2 k，所以10k 16记数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 cossin() 22 nn aann n n N，且 2019 1009mS ， 1 0a m ，则 1 19 am 的最小值为 16答案：16 解析：当2n时，得
24、23 23 1,2 2 aa aa ；当4n时，得 45 45 1,4 4 aa aa ， 2345 2aaaa， 同理可得 6789101112132014201520172019 2aaaaaaaaaaaa， 又 20182019 20182019 1,2018 2018 aa aa ， 所以 201912345678920182019 ()()()Saaaaaaaaaaa 11 504 220181010aa ，由 2019 1009mS ，得 1 1am， 所以 11 1 1111 991919 ()1010216 aamm am amamamam 三、解答题：共 70 分解答应写出文
25、字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c已知3c ，且满足 sin 3 sinsinsin abC aAbBcC （1）求角C的大小； （2）求2ba的最大值 17解： （1）根据正弦定理 sinsinsin abc ABC ， 得 222 3 abc abc 因为3c ，所以 222 ababc【或 22 3abab】 由余弦定理，得 222 1 cos 22 abc C ab 【或 22 31
26、cos 22 ab C ab 】 ，因为0C，所以 3 C （2）由已知与（1）知3c ， 3 C 由正弦定理 3 2 sinsinsin sin 3 abc ABC ， 得2sinaA， 2 2sin2sin 3 bBA 所以 2 22sin4sin5sin3cos2 7sin() 3 baAAAAA ， （其中 3 tan 5 ，0 2 ） 因为 2 0 3 A ，0 6 ，所以 5 0 6 A 所以 2 A 时，22 7sin()baA取得最大值2 7所以2ba的最大值为2 7 18 （本小题满分 12 分） 随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加为此，某市
27、对参加马拉松 运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取 100 人，对其每月参 与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表： 平均每月进行训练的天数 x 5x 520x 20x 人数 15 60 25 （1）以这 100 人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行 训练的天数位于该区间的概率 从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取 4 个人， 求恰好有 2 个人是 “平 均每月进行训练的天数不少于 20 天”的概率； （2）依据统计表，用分层抽样的方法从这 100 个人中抽取 12 个，再从抽取的 12 个人中随机抽取
28、3 个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的人数，求Y的分布列及数学期望( )E Y 18解： （1）设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均每月进行训练 的天数不少于 20 天”记为事件为A，则 251 ( ) 1004 P A 设抽到的人是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的人数为，则 1 4 4 B ， 所以恰好抽到 2 个人是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的概率为 22 2 4 3127 2C 44128 P （2）用分层抽样的方法从 100 个马拉松训练者中抽取 12 个，则其中“平均每月进行训练的天数不少于 2
29、0 天”有 3 个 现从这 12 人中抽取 3 个，则“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的数量Y服从超几何分布，Y的所 有可能的取值为0，1，2，3 则 03 39 3 12 C C21 (0) C55 P Y ， 12 39 3 12 C C27 (1) C55 P Y ， 21 39 3 12 C C27 (2) C220 P Y ， 30 39 3 12 C C1 (3) C220 P Y 所以Y的分布列如下： Y 0 1 2 3 P 21 55 27 55 27 220 1 220 所以 27272111653 0123= 22555522022400 E Y 19 （本小题满
30、分 12 分） 如图 1，在边长为 2 的等边ABC中，,DE分别为边,ACAB的中点将AED沿DE折起，使得 ABAD，ACAE，得到如图 2 的四棱锥A BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H （1）求证：AH 平面BCDE； （2）求二面角BAED的余弦值 19 （1）证明 1：在图1中，因为ABC为等边三角形，且D为边AC的中点，所以BDAC A B C DE E C H B D A 图图1图图2 在BCD中，BDCD，2BC ，1CD，所以3BD 因为,D E分别为边,AC AB的中点，所以/EDBC 在图2中，有 1 2 DHED HBBC ，所以 13 33 DHBD 因
31、为ABAD，所以ABD为直角三角形因为1AD ，3BD ，所以 3 cos 3 AD ADB BD 在ADH中，由余弦定理得 222 1332 2cos12 1 3333 AHADDHAD DHADB ，所以 6 3 AH 在ADH中，因为 222 21 1 33 AHDHAD ，所以AHBD 同理可证AHCE 因为CEBDH，CE平面BCDE，BD 平面BCDE，所以AH 平面BCDE 证明 2：在图1中，因为ABC为等边三角形，且D为边AC的中点，所以BDAC 在BCD中，BDCD，2BC ，1CD，所以3BD 因为,D E分别为边,ACAB的中点，所以/EDBC 在图 2 中，有 1 2
32、 DHED HBBC ，所以 13 33 DHBD 在RtBAD中，3BD ，1AD ， 在BAD和AHD中，因为3 DBDA DADH ，BDAADH ，所以BADAHD 所以90AHDBAD所以AHBD 同理可证AHCE 因为CEBDH，CE平面BCDE，BD 平面BCDE，所以AH 平面BCDE （2）解法 1：以E为原点，EB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，平行于AH的直线为z轴，建立 如图所示的空间直角坐标系Exyz， 则 36 (1,0,0),(0, 3,0),0, 33 BCA ， 36113 0,(1,0,0),0 33222 EAEBEDBC 设平面ABE的法向量为 11
33、1 ( ,)mx y z， 则 11 1 36 0 33 0 m EAyz m EBx ，取(0,2,1)m y z x A H ED C B 设平面ADE的法向量为 222 (,)nxy z，则 22 22 36 0 33 13 0 22 n EAyz n EDxy ，取( 6,2, 1)n 所以 33 cos, 333 m n m n m n 由图可知，二面角BAED的平面角是钝角，故二面角BAED的余弦值为 3 3 解法 2：在四棱锥A BCDE中，分别取AE，AB的中点M，N，连接DM，MN，ND 因为ADE为等边三角形，所以DMAE， 因为BEEC，BEAH，CEAHH ， 且,CE
34、 AH 平面AEC，所以BE 平面AEC 因为AE 平面AEC，所以BEAE 因为点M，N分别为边AE，AB的中点， 所以/NMBE所以NMAE 所以DMN为所求二面角的平面角 在等边三角形ADE中，因为1AD ，所以 3 2 DM 在ABE中， 11 22 MNEB 在RtABD中，1AD ， 3BD ，所以 2AB 所以 22 16 1 22 DNANAD 在DMN中，由余弦定理得 22 2 316 222 3 cos 331 2 22 DMN 所以二面角BAED的余弦值为 3 3 20 （本小题满分 12 分） 已知M过点( 3,0)A，且与 22 :(3)16Nxy内切，设M的圆心M的
35、轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程； （2）设直线l不经过点(2,0)B且与曲线C相交于,P Q两点若直线PB与直线QB的斜率之积为 1 2 ， 判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由 N M A H ED C B 20 （1）解：设M的半径为R，因为M过点( 3,0)A，且与N相切，所以 4 RMA MNR ，即 4MNMA因为4NA ，所以点M的轨迹是以N，A为焦点的椭圆 设椭圆的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 则24a，且 22 3cab， 所以2a，1b所以曲线C的方程为 2 2 1 4 x y （2）解法 1：依题意，直线,BPBQ
36、的斜率均存在且不为 0，设直线BP的斜率为(0)k k ，则直线BP 的方程为(2)yk x由 2 2 (2) 1 4 yk x x y ，得 2222 (1 4)161640kxk xk， 解之得 1 2x ， 2 2 2 82 14 k x k 因此点P的坐标为 2 22 824 , 1 41 4 kk kk 因为直线BQ的斜率为 1 2k ，所以可得点Q的坐标为 2 22 222 , 11 kk kk 当 2 2 k 时，直线l的斜率为 2 3 = 2(1 2) PQ k k k 所以直线l的方程为 2 222 3 2(1 2) 222 11 kkk yx kkk ， 整理得 22 3
37、2(1)221 k yx k k k 即 2 3 2(1 2) 2 3 k k yx 此时直线l过定点 2 ,0 3 当 2 2 k 时，直线l的方程为 2 3 x ，显然过定点 2 ,0 3 综上所述，直线l过定点 2 ,0 3 解法 2：当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为： 1 xx设点 11 ( ,)P x y，则点 11 ( ,)Q xy，依题意 1 2x ，因为 2 111 2 1111 1 22442 BPBQ yyy kk xxxx ，所以 2 2 11 1 44 2 xx y 因为 2 2 1 1 1 4 x y，且 1 2x ，解得 1 2 3 x 此时直线l的方程为
38、2 3 x 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：ykxm 由 2 2 , 1 4 ykxm x y 得 222 (41)84(1)0kxkmxm 需要满足 222 (8)16(41)(1)0kmkm ，即 22 41mk 设点 1122 ( ,),(,)P x yQ xy，则有 12 2 8 41 km xx k ， 2 12 2 4(1) 41 m x x k 因为 11 ykxm， 22 ykxm，所以 22 1212 2 4 ()() 41 mk y ykxm kxm k 因为 1212 121212 1 222()42 BPBQ yyy y kk xxx xxx ，所以 1 212
39、12 242x xxxy y 即 222 222 4(1)162(4) 4 414141 mkmmk kkk ，即 22 3840mkmk所以 2 3 mk 或2mk 当 2 3 mk 时，满足 22 41mk，直线l的方程为 2 3 yk x ，恒过定点 2 ,0 3 当2mk时，满足 22 41mk，直线l的方程为(2)yk x，恒过定点(2,0)，不合题意 显然直线 2 3 x 也过定点 2 ,0 3 ， 综上所述，直线l过定点 2 ,0 3 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 32 1 ( )(4)6 ,( )1 ln 3 x f xxexxg xaxx （1）求函数( )f x
40、在(0,)上的单调区间； （2）用max , m n表示,m n中的最大值，( )fx为( )f x的导函数设函数( )max( ),( )h xfxg x， 若( )0h x 在区间(0,)上恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明： 11111 ln3 () 12313 Nn nnnnn 21 （1）解：因为 32 ( )(4)e6 x f xxxx ，所以 33 ( )(3)e26(3)(e2) xx fxxxx 当03x时，( )0fx，( )f x单调递减；当3x 时，( )0fx，( )f x单调递增， 所以函数( )f x的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,) （2）
41、解：由（1）可知，当3,)x时，( )0fx 所以要使( )0h x 在区间(0,)上恒成立， 只需( )0g x 在区间(0,3)上恒成立即可因为 1 ( )01 ln0 3 g xaxx 以下给出四种求解思路： 思路1：因为0x，所以 1 1 ln0 3 axx 在区间0,3上恒成立， 转化为 1ln1 3 x a x 在区间0,3上恒成立 令 1 ln1 ( ) 3 x m x x ，则 2 ln ( ) x m x x 因为当(0,1)x时，( )0m x，当(1,3)x时，( )0m x 所以( )m x在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减 所以 4 ( )(1) 3 m xm所以 4 3 a所以实数a的取值范围为 4 , 3 思路2：因为 1 ( )1 ln 3 g xaxx ，则 11(31)3 ( )(03) 33