1、2020 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 一、填空题（共 6 小题） 12 的倒数是 2中央宣讲团党的十九届四中全会精神宣讲报告会在我省某高校举行，参加报告会的人有 21300 人，将 21300 用科学记数法表示为 3不等式 53x2 的解集是 4写出一个图象经过第二、四象限的反比例函数 y （k0）的解析式： 5在函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 6已知四边形 ABCD 是O 的内接梯形，ABCD，AB8cm，CD6cm，O 的半径是 5cm，则梯形的面积是 cm2 二、选择题（共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分） 7下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
2、（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C菱形 D平行四边形 8下列计算正确的是（ ） A3x2x26x2 B8x2y2x2y4 C（xy）2x2y2 D（ x 3y2）2 x 5y4 9已知扇形的圆心角为 60，弧长为 10，则扇形的面积为（ ） A30 B30 C150 D150 10一正多边形的每个外角都是 30，则这个多边形是（ ） A正方形 B正六边形 C正八边形 D正十二边形 11下图是由 6 个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 12某校九年级模拟考试中，2 班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110，100，110下 列说法不正确的是（ ） A众
3、数是 110 B中位数是 110 C平均数是 100 D中位数是 100 13抛物线 yx26x+5 可由抛物线 yx2如何平移得到的（ ） A先向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位 B先向左平移 6 个单位，再向上平移 5 个单位 C先向右平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位 D先向右平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位 14如图，在OAB 中，顶点 O（0，0），A（2，3），B（2，3），将OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 2020 次旋转结束时，点 D 的坐标为（ ） A（2，7） B（7，2） C（2，7） D（7，2）
4、 三、解答题（本大共 9 个小题，共 70 分） 15计算：（ ） 212020（3.14）0 16如图，在矩形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，连接 AF 交 BC 延长线于点 E求证：BC EC 17为了参加学校举行的传统文化知识竞赛，某班进行了四次模拟训练，将成绩优秀的人数 和优秀率绘制成如下两个不完整的统计图： 请根据以上两图解答下列问题： （1）该班总人数是 ； （2）根据计算，请你补全两个统计图； （3）观察补全后的统计图，写出一条你发现的结论 18杨辉算法中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几 何？”意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知
5、道它的长与宽共 60 步，问它的 长比宽多了多少步？ 19如图，转盘 A 的三个扇形面积相等，分别标有数字 1，2，3，转盘 B 的四个扇形面积相 等，分别标有数字 1，2，3，4转动 A、B 转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所 落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘） （1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果； （2）若规定两个数字的积为偶数时甲赢，两个数字的积为奇数时乙赢，请问这个游戏对 甲、乙两人是否公平？ 20某学校有一批复印任务，原来由甲复印店承接，按每 100 页 40 元计费现乙复印店表 示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每 100
6、页 15 元收费两复印店每月收 费情况如图所示 （1）乙复印店的每月承包费是多少元？ （2）当每月复印多少页时两复印店实际收费相同，费用是多少元？ （3）求甲、乙复印店的函数表达式 （4）如果每月复印页数在 1200 页左右，那么应选择哪家复印店更合算 21如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，延长 BE 到 F，使 BE EF，连接 AF、CF、DF （1）求证：AFBD； （2）若 ABAC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论 22如图，ABC 是O 的内接圆，且 AB 是O 的直径，点 D 在O 上，BD 平分ABC 交 AC 于点 E，DFB
7、C 交 BC 延长线于点 F （1）求证：DF 是O 的切线 （2）若 BD4，sinDBF ，求 DE 的长 23如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2+bx+c 过 A，B，C 三点，点 A 的坐标是 （3，0），点 C 的坐标是（0，3），动点 P 在抛物线上 （1）求抛物线的解析式； （2）若动点 P 在第四象限内的抛物线上，过动点 P 作 x 轴的垂线交直线 AC 于点 D，交 x 轴于点 E，垂足为 E，求线段 PD 的长，当线段 PD 最长时，求出点 P 的坐标； （3）是否存在点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符 合条件的点 P 的坐标
8、；若不存在，说明理由 参考答案参考答案 一、填空题（共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 12 的倒数是 【分析】根据倒数定义可知，2 的倒数是 解：2 的倒数是 【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握需要注意的是 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0 没有倒数 倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数 2中央宣讲团党的十九届四中全会精神宣讲报告会在我省某高校举行，参加报告会的人有 21300 人，将 21300 用科学记数法表示为 2.13104 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看
9、把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：将 21300 用科学记数法表示为：2.13104 故答案为：2.13104 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式， 其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3不等式 53x2 的解集是 x1 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为 1 可得 解：3x25， 3x3， x1， 故答案为：x1 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵
10、循解不等式的基本步骤是 关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变 4写出一个图象经过第二、四象限的反比例函数 y （k0）的解析式： y 【分析】根据反比例函数的性质可知，反比例函数过二、四象限，则比例系数为负数， 据此即可写出函数解析式 解：由于反比例函数图象经过二、四象限， 所以比例系数为负数， 故解析式可以为 y 答案不唯一 故答案为：y 【点评】此题考查了反比例函数的图象和性质，难度不大，但具有开放性对于反比例 函数 （k0），（1）k0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k0，反比例函 数图象在第二、四象限内 5在函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 x3
11、 【分析】根据分母不等于 0 列式计算即可得解 解：由题意得，x+30， 解得 x3 故答案为：x3 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 6已知四边形 ABCD 是O 的内接梯形，ABCD，AB8cm，CD6cm，O 的半径是 5cm，则梯形的面积是 49cm2或 7 cm2 【分析】梯形的高就是弦 AB 与 CD 之间的距离，根据垂径定理求得两弦的弦心距，当 CD 与 AB 在圆心的同侧时， 梯形的高等于两弦心距的差，
12、当 CD 与 AB 在圆心的两侧时， 梯形的高等于两弦心距的和，根据梯形的面积公式即可求解 解：过点 O 作 OECE 于点 E，交 AB 于点 F，连接 OA，OC， AB8，CD6， CE BC 63，AF AB 84， 在 RtCOE 中，OE 4； 在 RtAOF 中，OF 3， 当点 AB，CD 在圆心 O 的同侧时，如图 1 所示： EFOE+OF4+37，S梯形ABCD （AB+CD） EF （6+8）749； 当点 AB，CD 在圆心 O 的异侧时，如图 2 所示： EFOEOF431，S梯形ABCD （AB+CD） EF （6+8）17； 梯形 ABCD 的面积为：7cm2或
13、 49cm2 故答案为：7cm2或 49cm2 【点评】 本题考查的是垂径定理及勾股定理， 在解答此题时要注意分类讨论， 不要漏解 二、选择题（共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分） 7下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C菱形 D平行四边形 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形
14、，故本选项错误 故选：C 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分 重合 8下列计算正确的是（ ） A3x2x26x2 B8x2y2x2y4 C（xy）2x2y2 D（ x 3y2）2 x 5y4 【分析】选项 A 中的式子，根据同底数幂的乘法可以计算出正确的结果，从而可以判断 是否正确； 选项 B 中的式子， 根据同底数幂的除法可以计算出正确的结果， 从而可以判断是否正确； 选项 C 中的式子，根据完全平方公式可以计算出正确的结果，从而可以判断是否正确； 选项 D 中的式子
15、，根据积的乘方可以计算出正确的结果，从而可以判断是否正确 解：3x2x26x3，故选项 A 错误； 8x2y2x2y4，故选项 B 正确； （xy）2x22xy+y2，故选项 C 错误； （ x 3y2）2 x 6y4，故选项 D 错误； 故选：B 【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法 9已知扇形的圆心角为 60，弧长为 10，则扇形的面积为（ ） A30 B30 C150 D150 【分析】 先根据弧长公式弧长公式求出半径 R， 然后根据扇形的面积公式即可得出答案 解：l ， R 30， S扇形 150 故选：C 【点评】本题考查了扇形面积和弧长的计算，
16、难度一般，解答本题的关键是熟练掌握弧 长公式以及扇形面积的计算公式 10一正多边形的每个外角都是 30，则这个多边形是（ ） A正方形 B正六边形 C正八边形 D正十二边形 【分析】 每个外角都是 30， 则内角是 150 度， 根据多边形的内角和定理： （n2） 180 列方程求解可知 解：内角18030150， 则 150（n2） 180n， 解得 n12 故选：D 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理 11下图是由 6 个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判 定则可 解：从物体
17、左面看，是左边 1 个正方形，中间 2 个正方形，右边 1 个正方形 故选：B 【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生 易将三种视图混淆而错误的选其它选项 12某校九年级模拟考试中，2 班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110，100，110下 列说法不正确的是（ ） A众数是 110 B中位数是 110 C平均数是 100 D中位数是 100 【分析】分别求出这组数据的中位数、众数、平均数，进行判断即可 解：85，95，110，100，110 这组数据的众数是 110，中位数是 100，平均数为 100， 因此选项 B 符合题意， 故选：B 【点评
18、】考查众数、中位数、平均数的意义和计算方法，正确求出这组数据的众数、中 位数、平均数是正确判断的前提 13抛物线 yx26x+5 可由抛物线 yx2如何平移得到的（ ） A先向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位 B先向左平移 6 个单位，再向上平移 5 个单位 C先向右平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位 D先向右平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可 解：因为 yx26x+5（x3）24 所以将抛物线 yx2先向右平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位即可得到抛物线 yx2 6x+5 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图象与几
19、何变换，利用顶点的变化确定函数解析式求解更 简便 14如图，在OAB 中，顶点 O（0，0），A（2，3），B（2，3），将OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 2020 次旋转结束时，点 D 的坐标为（ ） A（2，7） B（7，2） C（2，7） D（7，2） 【分析】先求出 AB，再利用正方形的性质确定 D 点坐标，由于 20204505，所以第 2020 次旋转结束时，正方形 ABCD 回到初始位置，由此原来的 D 坐标便是答案值 解：A（2，3），B（2，3）， AB2+24， 四边形 ABCD 为正方形， ADAB4， D（2，7）， 2
20、0204505， 每 4 次一个循环，第 2020 次旋转结束时，正方形 ABCD 回到初始位置， 点 D 的坐标为（2，7） 故选：A 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转，正方形的性质，解答本题的关键是找出 D 点坐标变化的规律 三、解答题（本大共 9 个小题，共 70 分） 15计算：（ ） 212020（3.14）0 【分析】直接利用零指数幂的性质和负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化 简得出答案 解：原式4112 0 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 16如图，在矩形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，连接 AF 交 BC 延长线于点 E求证：BC E
21、C 【分析】先由矩形的性质得 ADBE，ADBC，再证明ADFECF（AAS），然后 利用全等三角形的性质及已知条件得出答案即可 【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBE，ADBC， ADFECF，DAFCEF， F 是 CD 的中点， DFCF， 在ADF 和ECF 中， ADFECF（AAS） ADEC，而 ADBC BCEC 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性 质及定理是解题的关键 17为了参加学校举行的传统文化知识竞赛，某班进行了四次模拟训练，将成绩优秀的人数 和优秀率绘制成如下两个不完整的统计图： 请根据以上两图解答下列问题： （1
22、）该班总人数是 40 ； （2）根据计算，请你补全两个统计图； （3）观察补全后的统计图，写出一条你发现的结论 【分析】（1）利用折线统计图结合条形统计图，利用优秀人数优秀率总人数求出即 可； （2）分别求出第四次模拟考试的优秀人数以及第三次的优秀率即可得出答案； （3）利用已知条形统计图以及折线统计图分析得出答案 解：（1）由题意可得： 该班总人数是：2255%40（人）； 故答案为：40； （2）由（1）得，第四次优秀的人数为：4085%34（人）， 第三次优秀率为： 100%80%； 如图所示： ； （3）答案不唯一，如优秀人数逐渐增多，增大的幅度逐渐减小等 【点评】此题主要考查了条形统
23、计图以及折线统计图，利用图形获取正确信息是解题关 键 18杨辉算法中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几 何？”意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，问它的 长比宽多了多少步？ 【分析】设矩形的长为 x 步，则宽为（60x）步，根据题意列出方程，求出方程的解即 可得到结果 解：设矩形的长为 x 步，则宽为（60x）步， 依题意得：x（60x）864， 整理得：x260x+8640， 解得：x36 或 x24（不合题意，舍去）， 60x603624（步）， 362412（步）， 则该矩形的长比宽多 12 步 【点评】此题考查了一元二
24、次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键 19如图，转盘 A 的三个扇形面积相等，分别标有数字 1，2，3，转盘 B 的四个扇形面积相 等，分别标有数字 1，2，3，4转动 A、B 转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所 落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘） （1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果； （2）若规定两个数字的积为偶数时甲赢，两个数字的积为奇数时乙赢，请问这个游戏对 甲、乙两人是否公平？ 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）由两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案 解：（1）画树状
25、图得： 则共有 12 种等可能的结果； （2）两个数字的积为偶数有 8 种情况， 两个数字的积为奇数有 4 种情况 两个数字的积为偶数的概率是： 两个数字的积为奇数的概率是： 这个游戏对甲、乙两人是不公平的 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与 总情况数之比 20某学校有一批复印任务，原来由甲复印店承接，按每 100 页 40 元计费现乙复印店表 示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每 100 页 15 元收费两复印店每月收 费情况如图所示 （1）乙复印店的每月承包费是多少元？ （2）当每月复印多少页时两复印店实际收费相同，费用是多少元？ （3）求甲
26、、乙复印店的函数表达式 （4）如果每月复印页数在 1200 页左右，那么应选择哪家复印店更合算 【分析】（1）根据图象解答即可； （2）设复印 x 页时两复印店实际收费相同，根据题意列方程解答即可； （3）分别求出甲、乙两复印社复印一页的价格，然后写出关系式即可； （4）根据甲、乙复印店的函数表达式计算即可 解：（1）x0 时，y200，乙复印店的每月承包费是 200 元 （2）设复印 x 页时两复印店实际收费相同， 由题意 0.4x200+0.15x， 解得 x800 0.4800320（元）， 答：当每月复印 800 页时两复印店实际收费相同，费用是 320 元； （3） ， ， y甲0.
27、4x， y乙0.15x+200； （4）当 x1200 时， y甲0.41200480（元）， y乙0.151200+200380（元） 480 元380 元， 如果每月复印页数在 1200 页左右，那么应选择乙家复印店更合算 【点评】本题考查一次函数的应用、解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题， 属于中考常考题型 21如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，延长 BE 到 F，使 BE EF，连接 AF、CF、DF （1）求证：AFBD； （2）若 ABAC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论 【分析】（1）只要证明四边形 ABDF 是平行四边
28、形即可； （2）结论：四边形 AFCD 是菱形首先证明四边形 ADCD 是平行四边形，再证明 DA DC 即可； 【解答】（1）证明：AEED，BEEF， 四边形 ABDF 是平行四边形， AFBD （2）结论：四边形 ADCF 是菱形 理由：ABAC， CAB90， CDDB， AD BCDC， 四边形 ABDF 是平行四边形， AFCD，AFBD， AFCD， 四边形 AFCD 是平行四边形， DADC， 四边形 AFCD 是菱形 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理等 知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 22如图，ABC 是O 的内
29、接圆，且 AB 是O 的直径，点 D 在O 上，BD 平分ABC 交 AC 于点 E，DFBC 交 BC 延长线于点 F （1）求证：DF 是O 的切线 （2）若 BD4，sinDBF ，求 DE 的长 【分析】（1）连接 OD，根据角平分线的定义得到ABDDBF，由等腰三角形的性 质得到ABDODB，等量代换得到DBFODB，推出ODF90，根据切线 的判定定理得到结论； （2）连接 AD，根据圆周角定理得到ADE90，根据角平分线的定义得到DBF ABD，解直角三角形得到 AD3，求得 DE 解：（1）连接 OD， BD 平分ABC 交 AC 于点 E， ABDDBF， OBOD， ABD
30、ODB， DBFODB， DBF+BDF90， ODB+BDF90， ODF90， FD 是O 的切线； （2）连接 AD， AB 是O 的直径， ADE90， BD 平分ABC 交 AC 于点 E， DBFABD， 在 RtABD 中，BD4， sinABDsinDBF ， AD3， DACDBC， sinDAEsinDBC ， 在 RtADE 中，sinDAC ， DE 【点评】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形， 正确的作出辅助线是解题的关键 23如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2+bx+c 过 A，B，C 三点，点 A 的坐标是 （3，0），
31、点 C 的坐标是（0，3），动点 P 在抛物线上 （1）求抛物线的解析式； （2）若动点 P 在第四象限内的抛物线上，过动点 P 作 x 轴的垂线交直线 AC 于点 D，交 x 轴于点 E，垂足为 E，求线段 PD 的长，当线段 PD 最长时，求出点 P 的坐标； （3）是否存在点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符 合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由 【分析】（1）将点 A、C 的坐标代入函数表达式得：即可求解； （2）设点 P（x，x22x3），则点 D（x，x3），则 PDx3（x22x3） x2+3x，即可求解； （3）分ACP90、PAC90
32、两种情况，分别求解 解：（1）将点 A、C 的坐标代入函数表达式得： ，解得： ， 故：函数的表达式为：yx22x3； （2）设直线 AC 的表达式为：ykx+b，则： ， 故直线 AC 的表达式为：yx3， 设点 P（x，x22x3），则点 D（x，x3）， PDx3（x22x3）x2+3x， 10，抛物线开口向下，当 x 时，PD 的最大值为 ， 此时，点 P（ ， ）； （3）存在，理由： 当ACP90时， 由（2）知，直线 AC 的表达式为：yx3， 故直线 CP 的表达式为：yx3， 联立并解得：x1 或 0（舍去 x0）， 故点 P 坐标为（1，4）； 当PAC90时， 设直线 AP的表达式为：yx+b， 将 x3，y0 代入并解得：b3， 故：直线 AP的表达式为：yx+3， 联立并解得：x2 或 3（舍去 x3）， 故：点 P的坐标为（2，5）； 故点 P 的坐标为（1，4）或（2，5） 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要 会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长 度，从而求出线段之间的关系