1、2020 年江苏高考原创卷数学试题年江苏高考原创卷数学试题 数学 I 必做题部分 （本部分满分 160 分，时间 120 分钟） 参考公式:1.锥体的体积公式: 1 3 VSh，其中 S 是锥体的底面面积,h 是高. 一填空题:本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分请把答案填写在答题卡上. 1.已知集合 2 |2Ax x，N 为自然数集,则 AN=_. 2.设复数 z 满足 z+|z|=2+i(i 为虚数单位),则 z 的实部为_. 3.某高中校共有学生2400人,其中高三年级学生有600人现采用分层抽样的方法对全校学生进行一项健康调 查,若从高三年级共抽取 20 人,则全校一共应抽
2、取_人. 4.从 1,2,3,4,5 五个数中随机取出 2 个数,则取出的两个数不是连续整数的概率是_. 5.如图是一个算法的流程图,当输入的 a=10,b=2 时,则输出的 y 值为_. 6.设等差数列 n a的前 n 项和为, n S已知 149 1,aSS若1, k a 则k=_. 7.已知函数 2 ( )log (41) x f xax是偶函数,则实数 a=_. 8.若双曲线 C 22 22 :1(0,0) xy ab ab 与直线 222 ()yxc cab有且仅有一个公共点，则双曲线 C 的离 心率为_. 9.将函数 f(x)=sin2x 的图象向左平移 (0)个单位,若所得函数的
3、图象经过点(,0), 3 则 的最小值为_. 10.已知三棱锥 P-ABC 的体积为 8,M,N 分别为 PA,BC 的中点,则三棱锥 P-BMN 的体积为_. 11.已知 A(-1,0),B(1,0),若在圆 22 2210(0)xyaxya 上存在点 P,使得PAB 两条边 PA,PB 上的中线 互相垂直,则实数 a 的取值范围是_. 12.若锐角 , 满足:sin()sin()coscos 44 ,则 + 的值为_. 13.如图,在ABC 中,AB=3, 11 2, 32 ACADAB AEACCD 与 BE 交于点 O,若 25 , 12 BE CD 则 OB OC_. 14.在平面直
4、角坐标系xOy中,已知点 A,B 是函数 1 (0)yx x 的图象上的两个不同点,且AOB=45 ,则AOB 面积的最小值为_. 二解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明证明过程或演算 步骤 15.(本小题满分 14 分) 在ABC 中,已知 AB=AC, 2 . 3 BCAB (1)求 tanA 的值; (2)若点 D 在边 AB 上,且BDC=60 , 8 6 , 3 CD 求ABC 的面积. 16.(本小题满分 14 分) 如图,矩形 ACQP 所在平面与菱形 ABCD 所在平面互相垂直,交线为 AC,ACBDO.若2,ACAPE,F
5、 分 别是 PQ 和 CQ 的中点,求证: (1)CE/平面 PBD; (2)平面 FBD平面 PBD. 17.(本小题满分 14 分) 图1是某公司计划开发的一级方程式汽车赛道的规划图纸.其中一一段赛道AB,是“S型弯道”,在平面直角坐标 系 xOy 中,该段赛道的图象拟用函数 32 ( )2( , ,)f xxaxbxc a b cR的一段图象(如图 2)来表示,其中 A(0,0),B(2,4).注:“S 型弯道”是指该段函数(不包括端点)既有极大值点又有极小值点. (1)求实数 a 的取值范围; (2)记函数 y=f(x)图象上任意一点(x,f(x)处的切线斜率为 g(x),曲率为 (
6、) ( ) 1( ) g x Q x g x .为比赛安全,官方要求赛 道每一点处曲率的绝对值都小于4.问:是否存在整数a(-6,-3),使该“S型弯道”符合官方要求?若存在,求整数a的值; 若不存在,请说明理由. 18.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 E: 22 1 123 xy 的右焦点为 F,点 P 是椭圆 E.上位于第一象限的任意一点,连接 PF 并延长交椭圆 E 于 Q 点,线段 PQ 的中点为 M,O 为坐标原点,且直线 OM 与右准线 l 交于点 N. (1)若 OM=2MN,求点 P 的坐标; (2)试确定直线 PN 与椭圆 E 的公共点的个数. 19.(本小题满分 16
7、分) 设函数 1 ( )ln (0, ,)f xaxbx xa b x R. (1)当 b=0 时,解关于 x 的不等式 f(x)0; (2)若 a+b=1,函数 f(x)的最小值为 2,求 a 的值; (3)对于任意给定的正实数 a,b,证明:存在实数 0, x当 0 xx时,f(x)0. 20.(本小题满分 16 分) 已知数列 n a共有 2m+1 项,且 * 112 1,20(1,2,21), iii aaaaimmN . (1)若 n a为等比数列,求公比 q 的取值范围; (2)求证: 212 (21)21 mm mama ； (3)若 212 (21)21, mm mama 且
8、2 2.a 设数列 n b为 n a的一个子数列,且数列 n b中不存在 * , ,r s tN 使得, rst bbb求数列 n b项数的最大值 数学 II(附加题) 21.选做题本题包括 ABC 三小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题 评分.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤. A.(选修 4-2:矩阵与变换)(本小题满分 10 分) 已知ABC 三个顶点的坐标分别是 A(0,2),B(1,1),C(1,3).若ABC 在矩阵 1 1 a M b 对应的变换 T 作用下变为 111, A BC其中点 B(1,1)变为点 1(1, 1). B求 1 1
9、1 A BC的面积. B.(选修 4-4:坐标系与参数方程)(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程是 22cos , 2sin x y ( 为参数);以 O 为极点,x 轴正半轴为极 轴的极坐标系中,直线 l 的方程为(). 4 R求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. C.(选修 4-5:不等式证明选讲)(本小题满分 10 分) 设 x,y 均为正数,且 xy,求证: 22 1 2(1)1. 2 xy xxyy 必做题第 22 题第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明证明过 程或演算步骤. 22.(
10、本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 111 ABCA B C中, 1 ,2ABAC ABACAA,点 E 与点 F 分别为棱 11 AC和 1 B B的中点. (1)求直线 EF 与平面 11 BB C C所成角的正弦值; (2)若点 G 与点 H 分别在棱 AB 和 AC 上,且 EGFH,求线段 GH 长的最小值. 23.我们知道关于 * () () n abnN的二项展开式,不仅对实数 a,b 是成立的,而且对复数 a,b 也是成立的. (1)写出 10 (1) i的二项展开式(i 为虚数单位),并计算 13579 1010101010 CCCCC的值; (2)求证: 159414121 41414141 2( 1)2 nnnn nnnn CCCC .