1、山西省太原市山西省太原市 2020 年高三年级模拟年高三年级模拟文科数学试题（一）文科数学试题（一） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的太原市一项是符合题目要求的太原市 2020 年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科） （考试年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科） （考试 时间：时间：120 分值）分值） 1 已知全集 U0， 1， 2， 3， 4， 集合 A1， 2， 3， B2， 4， 则 B （UA） 为 （ ） A0，2，4 B1，3
2、，4 C2，3，4 D0，2，3，4 2已知 i 是虚数单位，复数 m+1+（2m）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 m 的 取值范围是（ ） A （，1） B （1，2） C （2，+） D （，1）（2，+） 3已知等差数列an中，前 5 项和 S525，a23，则 a9（ ） A16 B17 C18 D19 4已知平面向量 = (4， 2)， = (1， 3)，若 + 与 垂直，则 （ ） A2 B2 C1 D1 5七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块 正方形和一块平行四边形共七块板组成 （清）陆以湉冷庐杂识卷中写道：近又有七 巧图，其式五
3、，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足 以排闷破寂，故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任 取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A 5 16 B11 32 C 7 16 D13 32 6某程序框图如图所示，若 a4，则该程序运行后输出的结果是（ ） A7 4 B9 5 C11 6 D13 7 7函数() = 21 | 的图象大致为（ ） A B C D 8已知变量 x，y 满足约束条件 + 6 3 2 1 ，若目标函数 zx+2y 的最大值为（ ） A3 B5 C8 D11 9设 aR，b0，2） ，若对任意实数 x 都有 sin（3x
4、3）sin（ax+b） ，则满足条件的有 序实数对（a，b）的对数为（ ） A1 B2 C3 D4 10刘徽注九章算术商功中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马如 图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（ ） A3 B3 C 3 2 D4 11过抛物线 y24x 上点 P（1，2）作三条斜率分别为 k1、k2、k3的直线 l1、l2、l3，与抛 物线分别交于不同与 P 的点 A，B，C若 k1+k20，k2k31，则下列结论正确的是 （ ） A直线 AB 过定点 B直线 AB 斜率一定 C直线 BC 斜率一定 D直线 AC 斜率一定 12 函数f （x） 的定义域为 （， 2）
5、， f （x） 为其导函数 若 （x2） f （x） +f （x） = 1 且f （0） 0， 则f （x）0 的解集为（ ） A （，0） B （0，1） C （1，2） D （0，2） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13双曲线 2x2y28 的实轴长是 14已知函数 f（x）log4（4x+1）+kx（kR）是偶函数，则 k 的值为 15在如图所示装置中，正方形框架的边长都是 1，且平面 ABCD 与平面 ABEF 互相垂直， 活动弹子 M，N 分别在正方形对角线 AC，BF 上移动，则 MN 长度的最小值是 16我们
6、知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列an中，a11， a21，an+2an+1+an（nN*） 用 Sn表示它的前 n 项和，若已知 S2020m，那么 a2022 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题；题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题； 共共 60 分分 17手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步） ， 绘
7、制出如下频率分布直方图： （）求直方图中 a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数； （）若该校有教职工 175 人，试估计一天行走步数不大于 130 百步的人数； （）在（）的条件下，该校从行走步数大于 150 百步的 3 组教职工中用分层抽样的 方法选取 6 人参加远足活动， 再从 6 人中选取 2 人担任领队， 求着两人均来自区间 （150， 170的概率 18 已知ABC 中， a， b， c 分别是内角 A， B， C 的对边， 2cos2 3 ( 6 + ) + = 1 2 （）求 C； （）若 c3，ABC 的面积为33 2 ，求1 + 1 的值 19如图（1
8、）在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，AB4，点 D 为 AB 中点，将 ADC 沿 DC 折叠得到三棱锥 A1BCD，如图（2） ，其中A1DB60，点 M，N，G 分 别为 A1C，BC，A1B 的中点 （）求证：MN平面 DCG； （）求三棱锥 GA1DC 的体积 20已知函数 f（x）excosx （1）求 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）求证：f（x）在（ 2，+）上仅有两个零点 21椭圆 E 的焦点为 F1（1，0）和 F2（1，0） ，过 F2的直线 l1交 E 于 A，B 两点，过 A 作与y轴垂直的直线l2， 又知点H （2， 0） ， 直线BH记为
9、l3， l2与l3交于点C 设2 = 2 ， 已知当 2 时，|AB|BF1| （）求椭圆 E 的方程； （）求证：无论 如何变化，点 C 的横坐标是定值，并求出这个定值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分 作答时请用第一题计分 作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（本小题满分铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（本小题满分10分）分） 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为
10、 = 3 = 3 （ 为参数） ， 已知点 Q （6， 0） ，点 P 是曲线 C1上任意一点，点 M 满足 = 2 ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系 （）求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程； （）已知直线 l：ykx 与曲线 C2交于 A，B 两点，若 =4 ，求 k 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|2x+a|，g（x）|x1| （）若 f（x）+2g（x）的最小值为 1，求实数 a 的值； （）若关于 x 的不等式 f（x）+g（x）1 的解集包含1 2，1，求实数 a 的取值范围 参考答案参
11、考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的太原市一项是符合题目要求的太原市 2020 年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科） （考试年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科） （考试 时间：时间：120 分值）分值） 1 已知全集 U0， 1， 2， 3， 4， 集合 A1， 2， 3， B2， 4， 则 （UA） B 为 （ ） A0，2，4 B1，3，4 C2，3，4 D0，2，3，4 由题意，集合UA0，4，从而求得（UA）B0，2，4 U
12、A0，4， （UA）B0，2，4； 故选：A 本题考查了集合的运算，属于基础题 2已知 i 是虚数单位，复数 m+1+（2m）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 m 的 取值范围是（ ） A （，1） B （1，2） C （2，+） D （，1）（2，+） 由实部小于 0 且虚部大于 0 联立不等式组求解 复数 m+1+（2m）i 在复平面内对应的点在第二象限， + 10 2 0，解得 m1 实数 m 的取值范围是（，1） 故选：A 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题 3已知等差数列an中，前 5 项和 S525，a23，则 a9（ ） A16 B17 C
13、18 D19 根据等差中项求出 a3，然后求出 a1和 d，求出 a9 S525，a23， S5255a3， 则 a35， 则公差 da3a22，a11， 则 a91+8217 故选：B 本题考查等差数列性质，属于基础题 4已知平面向量 = (4， 2)， = (1， 3)，若 + 与 垂直，则 （ ） A2 B2 C1 D1 由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求得 的值 平面向量 = (4， 2)， = (1， 3)，若 + 与 垂直， （ + ） = + 2 =4+6+100，求得 1， 故选：C 本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题 5七巧板
14、是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块 正方形和一块平行四边形共七块板组成 （清）陆以湉冷庐杂识卷中写道：近又有七 巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足 以排闷破寂，故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任 取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A 5 16 B11 32 C 7 16 D13 32 先设大正方形的边长为 4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为 22，另外一 部分为梯形，上底为2，下底为 22，高2，然后分别求出面积，根据与面积有关的几 何概率公式可求 设大正方形的边长为
15、4，则面积 4416， 阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为 22，面积1 2 22 22 =4， 另外一部分为梯形，上底为2，下底为 22，高2，面积2:22 2 2 =3， 故概率 P= 7 16 故选：C 本题考查了观察能力及几何概型中的面积型，属中档题 6某程序框图如图所示，若 a4，则该程序运行后输出的结果是（ ） A7 4 B9 5 C11 6 D13 7 分析循环体的算法功能可知，该程序计算的是数列 1 (:1)前四项的和再加上 1利用 裂项法求和可求解 由题意知，该程序计算的是数列 1 (:1)前四项的和再加上 1 1 (:1) = 1 1 :1， S1+（1 1 2）+(
16、 1 2 1 3) + ( 1 3 1 4) + ( 1 4 1 5) = 9 5 故选：B 本题考查了直到型循环结构求数列前 n 项和的问题，要注意判断准确求和的项数，区分 好当型循环结构与直到型循环结构 7函数() = 21 | 的图象大致为（ ） A B C D 根据条件判断函数的奇偶性和对称性，判断当 x0 时的单调性，利用排除法进行求解即 可 f（x）= ()21 | = 21 | =f（x） ，则 f（x）为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 B，C， 当 x0 时，f（x）= 21 =x 1 为增函数，排除 A， 故选：D 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用条件判断函数的奇偶
17、性和单调性是解决本题 的关键 8已知变量 x，y 满足约束条件 + 6 3 2 1 ，若目标函数 zx+2y 的最大值为（ ） A3 B5 C8 D11 先根据约束条件画出可行域， 再利用几何意义求最值， 只需求出直线 zx+2y 过点 P （2， 1）时，z 最大值即可 作出可行域如图， 由 zx+2y 知，y= 1 2x+ 1 2z， 所以动直线 y= 1 2x+ 1 2z 的纵截距 1 2z 取得最大值时， 目标函数取得最大值 由 = 1 + = 6得 A（1，5） 结合可行域可知当动直线经过点 A（1，5）时， 目标函数取得最大值 z1+2511 故选：D 本题主要考查了简单的线性规划
18、，以及利用几何意义求最值，属于基础题 9设 aR，b0，2） ，若对任意实数 x 都有 sin（3x 3）sin（ax+b） ，则满足条件的有 序实数对（a，b）的对数为（ ） A1 B2 C3 D4 根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同 对于任意实数 x 都有 sin（3x 3）sin（ax+b） ， 则函数的周期相同，若 a3， 此时 sin（3x 3）sin（3x+b） ， 此时 b= 3 +2= 5 3 ， 若 a3， 则方程等价为 sin （3x 3） sin （3x+b） sin （3xb） sin （3xb+） ， 则 3 = b+，则 b= 4 3 ， 综上满足条件的有序实
19、数组（a，b）为（3，5 3 ） ， （3，4 3 ） ， 共有 2 组， 故选：B 本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结 合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键 10刘徽注九章算术商功中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马如 图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（ ） A3 B3 C 3 2 D4 首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径 根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体 如图所示： 所以 = (1 2) 2+ (2 2 )2= 3 2 故选：C 本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几
20、何体的外接球的半径的求法的应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 11过抛物线 y24x 上点 P（1，2）作三条斜率分别为 k1、k2、k3的直线 l1、l2、l3，与抛 物线分别交于不同与 P 的点 A，B，C若 k1+k20，k2k31，则下列结论正确的是 （ ） A直线 AB 过定点 B直线 AB 斜率一定 C直线 BC 斜率一定 D直线 AC 斜率一定 由 k1+k20，k2k31，可设直线 l1的方程，可得 l2，l3的方程，分别于抛物线联立可 得 A，B，C 的坐标，进而可得直线 AB 的斜率为定值1 k1+k20，k2k31 可得设 l1d 的斜率为
21、k，则 l2，l3的斜率分别为：k，1 ， 设直线 l1的方程为：yk（x1）+2， 则 l2的方程为 yk（x1）+2， l3的方程为 y= 1 （x1）2， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ， 联立直线 l1与抛物线的方程： = ( 1) + 2 2= 4 ，整理可得 k2x2+2k（2k）4x+（2 k）20， 所以 xA1= (2)2 2 ，所以 xA= (2)2 2 ，代入直线 l1中可得 yAk（x1）+2 k(2;) 2 2 1+2= 44 ，即 A（(2;) 2 2 ，4;2 ） ； 联立直线 l2与抛物线的方程可得 = ( 1) + 2 2= 4
22、 ， 整理可得 k2x22k （2+k） +4x+ （2+k） 20， 所以 xB1= (2+)2 2 ，可得 xB= (2+)2 2 ，代入 l2中可得 yBk（x1）+2 k(2:) 2 2 1+2= 2+4 ，即 B（(2:) 2 2 ， 2+4 ） ； 联立直线 l3与抛物线的方程： = 1 ( 1) + 2 2= 4 ，整理可得 y24ky+8k40，yC2 8k4， 所以 yC4k2，代入抛物线的方程可得 xC（2k1）2，可得 C（ （2k1）2，4k2） ； 所以 kAB= 42 +2+4 (2)2 2 (2+) 2 2 = 8 8 2 = 1 为定值； 故选：B 本题主要考查
23、了抛物线的性质及直线斜率的求法属于中档题 12 函数f （x） 的定义域为 （， 2） ， f （x） 为其导函数 若 （x2） f （x） +f （x） = 1 且f （0） 0， 则f （x）0 的解集为（ ） A （，0） B （0，1） C （1，2） D （0，2） 结合已知构造函数 g（x）（x2）f（x） ，x2，结合已知可知 g（x）的单调性，结合 其函数的特征可求解不等式 令 g（x）（x2）f（x） ，x2， 由题意可得，g（x）= 1 ， 当 x1 时，g（x）0，函数单调递减，当 0x1 时，g（x）0，函数单调递减， 又 g（0）0，x2 时，g（x）0， 由 f（x
24、）0 可得() ;2 0 即 g（x）0， 结合函数图象可知，0x2 故选：D 本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，解不等式，体现了数形结合思想的应用， 属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13双曲线 2x2y28 的实轴长是 4 双曲线 2x2y28 化为标准方程为 2 4 2 8 = 1，即可求得实轴长 双曲线 2x2y28 化为标准方程为 2 4 2 8 = 1 a24 a2 2a4 即双曲线 2x2y28 的实轴长是 4 故答案为：4 本题重点考查双曲线的几何性质，解题的关键是将双曲线方程化为标准方程，属
25、于基础 题 14已知函数 f（x）log4（4x+1）+kx（kR）是偶函数，则 k 的值为 1 2 利用函数为偶函数的定义寻找关于 k 的方程是求解本题的关键，转化过程中要注意对数 的运算性质的运用 （1）由函数 f（x）是偶函数，可知 f（x）f（x） log4（4x+1）+kxlog4（4 x+1）kx 即 4 4+1 4+1 = 2， log44x2kx x2kx 对一切 xR 恒成立， k= 1 2 故答案为 1 2 本题考查函数为偶函数的定义，考查对数的运算性质，考查学生的转化与化归思想，注 意学生的运算整理变形的等价性 15在如图所示装置中，正方形框架的边长都是 1，且平面 AB
26、CD 与平面 ABEF 互相垂直， 活动弹子 M，N 分别在正方形对角线 AC，BF 上移动，则 MN 长度的最小值是 3 3 以 A 为坐标原点，分别以 AF，AB，AD 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， = = (0，)， = = (， ，0)， 01， 01， 可得 = （， 1，） ，求其模，利用基本不等式结合换元法利用二次函数求最值 如图， 以 A 为坐标原点，分别以 AF，AB，AD 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 则 A（0，0，0） ，B（0，1，0） ，F（1，0，0） ，C（0，1，1） ， 设 = = (0，)， = = (， ，0)，01，0
27、1 = + =（0，1，0）（0，）+（，0） （，1，） | | = 2+ (1 )2+ 2= 2+ 2+ ( + )2 2( + ) + 1 (+) 2 2 + ( + )2 2( + ) + 1 =3 2( + ) 2 2( + ) + 1 （当且仅当 时等 号成立） 令 +t（0t2） ，则| | 3 2 2 2 + 1 当 t= 2 3，即 = = 1 3时，| |=1 3 = 3 3 MN 长度的最小值是 3 3 故答案为： 3 3 本题考查空间中点、线、面间的距离计算，训练了空间向量的应用，考查利用换元法与 基本不等式求最值，属难题 16我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数
28、列，在裴波那契数列an中，a11， a21，an+2an+1+an（nN*） 用 Sn表示它的前 n 项和，若已知 S2020m，那么 a2022 m+1 根据条件，利用累加法得到 a1+a2+a3+a2020a2022a2m，从而 a2022m+1， a11，a21，an+2an+1+an（nN*） ， a1+a2a3， a2+a3a4， a3+a4a5， a2019+a2020a2021， a2020+a2021a2022， 以上累加得：a1+2a2+2a3+2a4+2a2020+a2021a3+a4+a2021+a2022， a1+a2+a3+a2020a2022a2m， a2022m+
29、1， 故答案为：m+1 本题主要考查了数列的递推式，以及累加法数列求和，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题；题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题； 共共 60 分分 17手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步） ， 绘制出如下频率分布直方图： （）求直方图中 a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；
30、 （）若该校有教职工 175 人，试估计一天行走步数不大于 130 百步的人数； （）在（）的条件下，该校从行走步数大于 150 百步的 3 组教职工中用分层抽样的 方法选取 6 人参加远足活动， 再从 6 人中选取 2 人担任领队， 求着两人均来自区间 （150， 170的概率 （）由频率分布直方图列出方程，能求出 a 和中位数 （）由频率分布直方图求出一天行走步数不大于 130 百步的人数的频率，由此能估计 一天行走步数不大于 130 百步的人数 （）在区间（150，170中有 28 人，在区间（170，190中有 7 人，在区间（190，210 中有 7 人，按分层抽样抽取 6 人，则从
31、（150，170中抽取 4 人， （170，190和（190，210 中各抽取 1 人，由此能求出从 6 人中选取 2 人担任领队，这两人均来自区间（150，170 的概率 （）由题意得： 0.00220+0.00620+a20+0.00220+0.002201， 解得 a0.008， 设中位数是 110+x，则 0.00220+0.00620+0.00820+0.012x0.5， 解得 x15，中位数是 125 （）由 175（0.00220+0.00620+0.00820）98， 估计一天行走步数不大于 130 百步的人数为 98 （）在区间（150，170中有 28 人，在区间（170，
32、190中有 7 人， 在区间（190，210中有 7 人， 按分层抽样抽取 6 人，则从（150，170中抽取 4 人， （170，190和（190，210中各抽取 1 人， 再从 6 人中选取 2 人担任领队，基本事件总数 n= 6 2 = 15， 这两人均来自区间（150，170包含的基本事件个数 m= 4 2 =6， 这两人均来自区间（150，170的概率 p= = 6 15 = 2 5 本题考查中位数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 18 已知ABC 中， a， b， c 分别是内角 A， B， C 的对边， 2cos2 3 ( 6
33、+ ) + = 1 2 （）求 C； （）若 c3，ABC 的面积为33 2 ，求1 + 1 的值 （）根据三角函数的化简即可求出 C 的值， （）根据三角形的面积公式和余弦定理，即可求出 （）2 2 3 ( 6 + ) + = 1 2， sin（ 6 +C）cosC= 1 2， 1 2cosC+ 3 2 sinCcosC= 1 2， 3 2 sinC 1 2cosC= 1 2， sin（C 6）= 1 2， 而 C 为三角形的内角， C= 3； （）ABC 的面积为33 2 ，及 C= 3，得 1 2absin 3 = 33 2 ， 化简可得 ab6， 又 c3，由余弦定理，得 a2+b22
34、abcosC9， 化简得 a2+b215， a+b33， 1 + 1 = : = 3 2 本题考查了三角函数的化简，三角形的面积公式，余弦定理，属于中档题 19如图（1）在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，AB4，点 D 为 AB 中点，将 ADC 沿 DC 折叠得到三棱锥 A1BCD，如图（2） ，其中A1DB60，点 M，N，G 分 别为 A1C，BC，A1B 的中点 （）求证：MN平面 DCG； （）求三棱锥 GA1DC 的体积 （）推导出 A1DBD，A1CBC，从而 DGA1B，CGA1B，进而 A1B平面 DGC， 推导出 MNA1B，由此能证明 MN平面 DCG （）由 C
35、DA1D，CDBD，A1DBDD，得 CD平面 A1DG，推导出A1DB 是 等边三角形，三棱锥 GA1DC 的体积;1= ;1= 1 3 1 ，由此能求出 结果 （）由题意知，在图（1）中，ACBC22，ADBDCD2， 在三棱锥 A1BCD 中，A1DBD，A1CBC， G 是 A1B 的中点，DGA1B，CGA1B， DGCGG，A1B平面 DGC， 点 M，N，分别为 A1C，BC 的中点MNA1B， MN平面 DCG （）解：由图（1）知 CDA1D，CDBD，A1DBDD， CD平面 A1DG， 又A1DB60，A1DB 是等边三角形， DGA1B，A1B2，A1G= 1 2A1B
36、1，DG= 3， 1= 1 2 1 = 1 2 1 3 = 3 2 ， 三棱锥 GA1DC 的体积： ;1= ;1= 1 31 = 1 3 3 2 2 = 3 3 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间 的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20已知函数 f（x）excosx （1）求 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）求证：f（x）在（ 2，+）上仅有两个零点 （1）f（0）0切点为（0，0） f（x）ex+sinx可得 f（0）1，利用点斜式即 可得出切线方程 （2）f（x）ex+sinx分类讨论：x0 时，利用导数研究其
37、单调性可得 f（x）0， 函数 f（x）在0，+）上只有一个零点 0x（ 2，0）时，f （x）ex+cosx0可 得函数 f（x）在 x（ 2，0）上单调递增，进而得出 f（x）零点的个数 （1）f（0）0切点为（0，0） f（x）ex+sinx f（0）1， f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为：y0x0，化为：xy0 证明： （2）f（x）ex+sinx x0 时，ex1，f（x）0， 函数 f（x）在0，+）上单调递增，而 f（0）0， 函数 f（x）在0，+）上只有一个零点 0 x（ 2，0）时，f （x）ex+cosx0 函数 f（x）在 x（ 2，0）上单调递增， 而(
38、2) = 1 2 10，f（0）10， 存在唯一实数 x0（ 2，0） ，使得 f（x0）= 0 +sinx00， 且函数 f（x）在 x（ 2，x0）上单调递减，x（x0，0）上单调递增 又( 2) = 1 2 0，f（x0）= 0cosx0sinx0cosx00，f（0）0 函数 f（x）在 x（ 2，x0）上存在唯一零点，而在 xx0，0）上无零点 综上可得：f（x）在（ 2，+）上仅有 2 个零点 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方 法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 21椭圆 E 的焦点为 F1（1，0）和 F2（1，0） ，过 F2的直
39、线 l1交 E 于 A，B 两点，过 A 作与y轴垂直的直线l2， 又知点H （2， 0） ， 直线BH记为l3， l2与l3交于点C 设2 = 2 ， 已 知当 2 时，|AB|BF1| （）求椭圆 E 的方程； （）求证：无论 如何变化，点 C 的横坐标是定值，并求出这个定值 （1） 设椭圆方程为 2 2 + 2 2 = 1， 其中 b2a21， 利用椭圆的定义和已知条件可得 B （3 2， 2 ） ，代入椭圆方程解得 a，b，c 的值，从而得到椭圆方程； （2）设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，设直线 AB 的方程为：xmy+1，与椭圆方程联立， 利用韦达定理可得 = 1+2
40、 12 ，进而得到直线 BH 斜率 kBHy1，再得到直线 BH 的方程 与直线 l2方程联立即可得到点 C 的横坐标是定值 3 （）设椭圆方程为 2 2 + 2 2 = 1，其中 b2a21， 由已知当 2 时，不妨设|BF2|m，则|AF2|2m， |AB|BF1|，|BF1|3m， 由椭圆定义得 2a4m，从而|AF1|AF2|2m， 故此时点 A 在 y 轴上，不妨设 A（0，b） ，从而由已知条件可得 B（3 2， 2） ，代入椭圆 方程，解得 a23，所以 b2a212， 故所求椭圆方程为： 2 3 + 2 2 = 1； （）证明：如图所示： ， 设点 A（x1，y1） ，B（x2
41、，y2） ， 设直线 AB 的方程为：xmy+1，代入椭圆 2x2+3y26 中，得： （2m2+3）y2+4my40， 1+ 2= 4 22+3，12 = 4 22+3， = 1+2 12 ， 由题设知 H（2，0） ，直线 BH 斜率 kBH= 2 22 = 2 21 = 2 1+2 1 1 =y1， 直线 BH 的方程为：yy1（x2） ，而直线 l2方程为：yy1，代入 yy1（x2） ，得 x 3， 故点 C 的横坐标是定值 3 本题主要考查了椭圆方程，以及正弦与椭圆的位置关系，是中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作
42、答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分 作答时请用第一题计分 作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（本小题满分铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（本小题满分10分）分） 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 = 3 = 3 （ 为参数） ， 已知点 Q （6， 0） ，点 P 是曲线 C1上任意一点，点 M 满足 = 2 ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系 （）求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程； （）已知直线 l：ykx 与曲线 C2交于 A，B 两点，若 =4 ，求 k 的值 （） 直接利用转换关系的应