1、2020 届湖南名师联盟届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷高三第一次模拟考试卷 文科文科数学数学 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给
2、出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1 设全集U是实数集R， |22Mx xx或， 2 |430Nx xx， 则 UM N （ ） A | 21xx B | 22xx C |12xx D |2x x 2若复数4zi，则z z（ ） A15 B16 C17 D18 3下列说法正确的是（ ） A“,x R 2 0x ”的否定是 0 ,xR 2 0 0x B命题“设, a bR，若4ab，则2a或2b”是一个假命题 C“1m”是“函数 22 ( ) m f xm x 为幂函数”的充分不必要条件 D向量(3,4)a ，(0,1)b ，则a在
3、b方向上的投影为 5 4在ABC中，,BDDCAPPD，且BPABAC，则（ ） A1 B 1 2 C 1 2 D 1 2 5已知实数x，y满足 0 1 24 y xy xy ，则该不等式组所表示的平面区域的面积为（ ） A B 3 2 C2 D3 6函数 sin3 ( ) 1 cos2 x f x x 在, 2 2 上的图象大致为（ ） A B C D 7设 1, F 2 F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两个焦点，P是C上一点，若 12 6PFPFa，且 12 PFF的最小内角为30，则C的离心率为（ ） A6 B6 C3 D3 8当01x时， ln ( ) x
4、 f x x ，则下列大小关系正确的是（ ） A 22 ( )( )fxf xf x B 22( ) ( )f xfxf x C 22 ( )( )f xf xfx D 22 ( )( )f xf xfx 9函数( )cos()f xx（0,| 2 ）的部分图象如图所示，则函数 3 ( )( )g xf x 的最小 正周期为（ ） A B2 C4 D 2 10在区域 02 01 x y 内任取一点( , )P x y，满足 2 2yxx的概率为（ ） 1 2 A 1 2 B 2 3 C 4 D 4 4 11 设( )f x是定义在 1,1上的可导函数，(0)0f， 且 2 ( ) 2f xx，
5、 则不等式( )(1 2 )0f afa 的 解集为（ ） A0,1 B 1,1) C( 1,1 D0,1) 12若关于x的不等式 2 (1) 1 ln a x x 在区间(1,2上恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A(0,ln2 B(,ln2 C(ln2,) D(,1 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13二项式 5 2 1 x x 的展开式中常数项为_所有项的系数和为_ 14设向量(1,1),a ( 1,2)b ，则向量ab与向量a的夹角为_ 15已知函数 2 ,1 ( ) log (1),1 x x f x xx ，则函数( ( )yf
6、f x的所有零点所构成的集合为_ 16在ABC中，角,A,BC的对边分别为, a, bc，若 cos1 cos2 cos1 cos2 bCC cBB ，C是锐角，且2 7a ， 1 cos 3 A ，则ABC的面积为_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 大题，共大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知等比数列 n a的前n项和为 n S，且 1 2 nn aS 对一切正整数n恒成立 （1）求 1 a和数列 n a的通项公式； （2）求数列 n S的前项和 n T 18（12 分） 如图， 在多面体B
7、ACDE中， 已知2ABBCCD，2 2AC ,2AE ， 4 ACD ， AEAC，平面ABC 平面ACDE，F为BC的中点，连接DF n （1）求证：/DF平面ABE； （2）求三棱锥BDEF的体积 19 （12 分）众所周知，大型网络游戏（下面简称网游）的运行必须依托于网络的基础上，否则会出现频 繁掉线的情况，进而影响游戏的销售和推广，某网游经销在甲地区 5 个位置对两种类型的网络（包括 “电信”和“网通”）在相同条件下进行游戏掉线的测试，得到数据如下： 位置 类型 A B C D E 电信 4 3 8 6 12 网通 5 7 9 4 3 （1）如果在测试中掉线次数超过 5 次，则网络状
8、况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在犯错误的概 率不超过 0.15 的前提下，能否说明网络状况与网络的类型有关？ （2）若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的 5 个地区中任选 2 个作为游戏推广，求 A，B 两地区 至少选到一个的概率 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 0 P Kk 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0 k 0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828 20 （12 分）已知椭圆C的两个
9、焦点分别为 1( 3,0)F ， 2( 3,0) F，且椭圆C过点 3 1, 2 P （1）求椭圆C的标准方程； （2）若与直线OP平行的直线交椭圆C于,AB两点，当OAOB时，求AOB的面积 21 （12 分）已知函数 2 ( )2ln43f xxa xx （1）若 4 3 a ，求( )f x的单调区间 （2）证明：ln1xx； 对任意(,0)a ，( )0f x 对 32 , a x a 恒成立 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面
10、直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 2cos 2sin xta ya （a为参数，t为常数） 以原点O为 极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 3 cos2 4 （1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）若直线l圆C有两个公共点，求实数t的取值范围 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 设函数( ) | 2f xxax，其中0a （1）当3a ，求等式( )24f xx的解集； （2）若不等式( )0f x 的解集为 |2x x ，求a的值 2020 届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷 文科数学答案文科数学答
11、案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 【答案】C 【解析】由于 |22Mx xx或， 所以 U | 22Mxx ， |13Nxx， 所以 U |12MNxx 2 【答案】C 【解析】(4)(4)16( 1)17z zii 3 【答案】C 【解析】 “,x R 2 0x ”的否定是“ 0 ,xR 2 0 0x ” ，A 错误； B 选项命题的逆否命题为：“若2,a 2b，则4ab”为真命题，B 错误； 22 ( ) m f xm x 为幂函
12、数时，1m，可判断 C 正确； a在b方向上的投影为 4 4 1| a b b ，D 错误， 故选 C 4 【答案】C 【解析】 1111 2224 BPBABDBABC 1131 () 2444 ABACABABAC ， 311 442 5 【答案】B 【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的区域如下图所示， 其为阴影部分的三角区， 解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为(1,0),(2,1),(4,0)， 根据三角形的面积公式可以求得 13 (4 1) 1 22 S 6 【答案】C 【解析】()( )fxf x ，( )f x为奇函数，D 不对， sin3 ( ) 1 cos2 x
13、 f x x 在, 2 2 上的零点为 0， 3 ，A 不对， 又0 6 f ，B 不对 7 【答案】D 【解析】不妨设 12 |PFPF，则 12 2PFPFa， 又 12 6PFPFa，解得 1 4PFa， 2 2PFa， 则 1 PFF是 12 PFF的最小内角为30， 所以 2222 2112112 2cos30PFPFFFPFFF， 所以 222 3 (2 )(4 )(2 )2 42 2 aacac ， 化简得 2 2 330ee，解得3e 8 【答案】D 【解析】根据01x，得到 2 01xx，而 2 ln ( ) x fx x ， 所以根据对数函数的单调性可知01x时，1 ln0
14、x， 从而可得( )0fx，函数( )f x单调递增， 所以 2 ( )(1)0f xf xf， 而 2 2 2 ln ( )0 x fx x ，所以有 22 ( )( )f xf xfx， 故选 D 9 【答案】A 【解析】由图知 72 2 41234 T T ， 点,0 3 是五点作图的第二个点，则2 326 ， 31 ( )( )cos 2 62 g xf xx ， 易知( )yg x与 1 cos 2 62 yx 的最小正周期相同，均为 2 2 T 10 【答案】C 【解析】如图，曲线 2 2yxx的轨迹是以(1,0)为圆心，1 为半径的上半圆， 由几何概型得 2 24 P 11 【答
15、案】D 【解析】 2 ( )2fxx是偶函数且大于 0，(0)0f， 则( )f x为-1,1上的奇函数和增函数， ( )(1 2 )0( )(1 2 )(21)f afaf afafa ， 则 11 1 1 2101 21 a aa aa 12 【答案】B 【解析】关于x的不等式 2 (1) 1 ln a x x 在区间(1,2上恒成立关于x的不等式 2 (1)lna xx在区间 (1,2上恒成立 显然当0a时，关于x的不等式 2 (1) 1 ln a x x 在区间(1,2上恒成立 当0a 时，在同一坐标系内分别作出 2 (1) ,ya xlnyx的图象， 所以关于x的不等式 2 (1)l
16、na xx在区间(1,2上恒成立A点的位置不低于B点的位置 2 ln2(2 1)0ln2aa 综上，实数a的取值范围为(,ln2故选 B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】5；32 【解析】展开式的通项为 5 5 5 2 2 155 2 1 () r r rrr r TCxC x x ， 令 55 0 22 r，解得1r ， 所以展开式中的常数项为 1 25 5TC， 令1x ，得到所有项的系数和为 5 232，得到结果 14 【答案】 4 【解析】(0,3)ab， ()32 cos 2|3 2 aba aba ， 4 15 【答案
17、】0,2,5 【解析】令( )tf x，由( )0f t ，得0t 或2t ， 再由( )0f x ，解得0x ，2x ， 由( )2f x ，解得5x ， 即函数( ( )yf f x的所有零点所构成的集合为0,2,5 16 【答案】7 2 【解析】由 cos1 cos2 cos1 cos2 bCC cBB ， 得 2 2 sincos2cos sincos2cos BCC CBB ， sincos sincos BC CB ，sin2sin2BC， 所以BC或 2 BC ， 又 1 cos 3 A ，所以BC，即bc， 所以 222 2cosabcbcA， 2 2 2 228 3 b b
18、，21bc， 2 2 2 sin1 cos 3 AA， 1 sin7 2 2 SbcA 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 大题，共大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1） 1 2a ，2n n a ； （2） 2 224 n n Tn 【解析】 （1）当2n时， 1 2 nn aS ， 与 1 2 nn aS 两式相减得 1 2(2) nn aa n 数列是等比数列，公比2q ， 21 2aa 又 211 22aSa， 1 2a，2n n a （2）由 1 2 nn aS ，得 1 22 n n S
19、 ， 2 231 21 2 22222 1 2 n n nnn 2 224 n n 18 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 6 【解析】 （1）证明：过D作DGAC于G 因为AEAC，所以/AE DG， 因为2CD， 4 ACD ，所以2DGCG， 因为2AE ，所以AEDG， 所以四边形AGDE为矩形， 所以/ED AG，EDAG， 取AB的中点为H，连接EH，HF 因为F为BC的中点，所以/HF AG，HFAG， 所以/HF ED，HFED， 所以四边形EDHF为平行四边形， 所以/DF EH，因为DF 平面ABE，EH 平面ABE 所以/DF平面ABE （2）因为平面ABC 平面
20、ACDE，AEAC， 所以AE 平面ABC 因为AE 平面ABE，所以平面ABE 平面ABC， 因为2ABBC，2 2AC ，所以ABBC， 因为平面ABE平面ABCAB， BC 平面ABC，所以BC 平面ABE， 因为四边形EDFH为平行四边形， 所以三棱锥BDEF的体积等于三棱锥BHEF的体积， 等于三棱锥FHEB的体积， 所以三棱锥BDEF的体积 111112 22 1 334346 EHB SFBAB AEFB 19 【答案】 （1）详见解析； （2） 7 10 【解析】 （1）根据题意列出2 2列联表如下： 位置 类型 糟糕 良好 合计 电信 3 2 5 网通 2 3 5 合计 5
21、5 10 2 2 10 (94)10 25 0.42.072 5 5 5 525 25 K ， 在犯错误的概率不超过0.15的前提下，不能说明网络状况与网络的类型有关 （2）依题意，在上述接受测试的电信的 5 个地区中任选 2 个作为游戏推广， 其所有的可能有( , ),A B( ,),A C( ,),A D( ,),A E( ,),B C( ,),B D( ,),B E( ,),C D( ,),C E ( ,)D E， 其中满足条件的为( , ),A B( ,),A C( ,),A D( ,),A E( ,),B C( ,),B D( ,)B E， 故所求概率 7 10 P 20 【答案】
22、（1） 2 2 1 4 x y； （2） 91 10 【解析】 （1）设椭圆C的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 由题意可得 22 22 3 13 1 4 ab ab ，解得 2 2 4 1 a b ， 故椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （2）直线OP的方程为 3 2 yx， 设直线AB的方程为 3 2 yxm， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得 22 310xmxm ， 由 22 3410mm ， 得 2 4m ， 12 2 12 3 1 xxm x xm ， 由OAOB，得0OA OB， 12121212 33
23、22 OA OBx xy yx xxmxm 2 1212 73 42 x xm xxm 22 73 1(3 ) 42 mmmm 2 57 0 44 m，得 2 7 5 m ， 又 2 2 1212 37 |144 42 ABxxx xm， O到直线AB的距离 | 37 1 42 mm d ， 所以 2 117|91 |4 222107 AOB m SAB dm 21 【答案】 （1）( )f x单调递增区间为 1 0, 2 ， 3 , 2 ，单调递减区间为 1 3 , 2 2 ； （2）证明见解析；证明见解析 【解析】 （1）若 4 3 a ， 242(21)(23) ( )(24)(0) 3
24、3 xx fxxx xx ， 令( )0fx，得 3 2 x 或 1 0 2 x， 则( )f x的单调递增区间为 1 0, 2 ， 3 , 2 ， 令( )0fx，得 13 22 x， 则( )f x的单调递减区间为 1 3 , 2 2 （2）设( )ln(1)g xxx，则 1 ( )(0) x g xx x ， 令( )0g x，得01x；令( )0g x，得1x ， 故 max ( )(1)0g xg，从而( )ln(1)0g xxx， 即ln1xx 当1x 时，由知，ln1xx， 则 2 ( )2(1)43f xxa xx， 若(,0)a ，则 2 2(1)43xa xx (1)(2
25、3 )xaxa 32 (1) a a xx a ， 当 32 , a x a 时， 32 (1)0 a a xx a ， 则当 32 , a x a 时，( )0f x ， 故对任意(,0)a ，( )0f x 对 32 , a x a 恒成立 22 【答案】 （1） 22 :()2,Cxty:20l xy； （2）( 4,0) 【解析】 （1）圆C的普通方程为 22 ()2xty， 将直线l的极坐标方程化为 22 cossin2 22 ， 即 22 2 22 xy，化简得20xy （2）圆C的普通方程为 22 ()2xty， 圆C的圆心为( ,0)C t，半径为2， 圆心C到直线l的距离 |2| 2 t d ， 直线l与圆C有两个公共点， |2| 2 2 t d ，解得40t ， t的取值范围为( 4,0) 23 【答案】 （1） |71x xx或； （2）2a 【解析】 （1）当3a 时，( )24f xx可化为|3| 4x， 由此可得7x或1x， 故不等式( )24f xx的解集为 |71x xx或 （2）由( )0f x ，得| 20xax， 此不等式化为不等式组为 20 xa xax 或 20 xa axx ， 即 3 xa a x 或 xa xa ， 因为0a ，所以不等式组的解集为 |x xa ， 由题设可得2a ，故2a