1、 数学（参考答案与解析）第 1 页（共 9 页） 绝密绝密启用前启用前 2020 届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷 数学卷数学卷 参考答案与参考答案与解析解析 2020.42020.4 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分 1. (本小题满分 5 分) 【答案】22i 2. (本小题满分 5 分) 【答案】2 3. (本小题满分 5 分) 【答案】3 5 4. (本小题满分 5 分) 【答案】144 5. (本小题满分 5 分) 【答案】240 6. (本小题满分 5 分) 【答案】9 2 7. (本小题满分
2、 5 分) 【答案】3 5 8. (本小题满分 5 分) 【答案】 3 9. (本小题满分 5 分) 【答案】x 2 1 2 y 2 1 2 1 10. (本小题满分 5 分) 【答案】3 11. (本小题满分 5 分) 【答案】16 12. (本小题满分 5 分) 【答案】 5 【解析】P(x0，y0)处的切线斜率为 1 1 x20，则切线方程为 y x0 1 x0 1 1 x20 (xx0) ，当 x0 时，y2 x0 ；当 y0 时，x 2x0 x201.S OAB1 2 2 x0 2x0 x201 1 3，则 x0 5.本题考查了 数学（参考答案与解析）第 2 页（共 9 页） 导数的
3、几何意义、直线方程，属于中等题 13. (本小题满分 5 分) 【答案】 20 3 ，4 【解析】设 P 点坐标为(x，y)， PB2PA， PB24PA2，即(x4)2y244(x2y2 1)，整理得 3x23y28x160.(方法 1)该方程表示一个圆，圆心 4 3，0 ，r 8 3.因为 P 点有且只有两个，所以直线和圆相交，故 4 3b 2 0，整理得 3b2 8b800， xR ， f(x1)f(x)0 恒成立， 即 f(x1)f(x) (1) 当 a0 时，当 x0 时，f(x)1 2x，又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 函数 f(x) 是在 R 上的解析式为 f(x)1
4、 2x，而 f(x1)是由 f(x)向右平移 1 个单位，则函数 f(x)和 f(x 1)的图象有下图关系： 通过图象观察，当 a0 时，f(x1)f(x)恒成立； (2) 当 a0 时，当 x0 时，f(x) ),2,3 )2 , ), 0, )( axax aaxa axx xf 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(x)在 R 上的图象为(如下图)： 要使 f(x1)f(x)，两图象只要满足： 由图知，只要满足3a13a，即 0a1 6时，f(x1)f(x)恒成立 数学（参考答案与解析）第 3 页（共 9 页） 综上可得，当 a1 6时，f(x1)f(x)恒成立 本题考查了集合、
5、分段函数、函数的图象与性质、不等式等内容的综合运用，体现了数 形结合思想和分类讨论的思想本题属于难题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共6小题，共计小题，共计90分分 15(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 (1) 因为 mn，所以 sin2Bsin2CsinA(sinCsinA)0，即 sinAsinCsin2Asin2C sin2B.(2 分) 由正弦定理得 aca2c2b2，所以 cosBa 2c2b2 2ac 1 2.(4 分) 因为 B(0， )，所以 B 3 .(6 分) (2) 因为 c cosAb，所以b c b2c2a2 2bc ，即 b2c2a2.(8 分) 又
6、 aca2c2b2，b2RsinB 3，(10 分) 解得 a1，c2.(12 分) 所以 SABC1 2acsinB 3 2 .(14 分) 16(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 (1) 连结 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF 是ABC 的中位线， 所以 EFAC.(2 分) 由直棱柱知 AA1平行等于 CC1，所以四边形 AA1C1C 为平行四边形，所以 ACA1C1.(5 分) 所以 EFA1C1，故 A1，C1，F，E 四点共面(7 分) (2) 连结 BD，因为直棱柱中 DD1平面 A1B1C1D1，A1C1平面 A1B1C1D1，所以 DD1 A1
7、C1.(9 分) 因为底面 A1B1C1D1是菱形，所以 A1C1B1D1. 又 DD1B1D1D1，所以 A1C1平面 BB1D1D.(11 分) 因为 OD平面 BB1D1D，所以 ODA1C1. 又 ODA1E，A1C1A1EA1，A1C1平面 A1C1FE，A1E平面 A1C1FE，所以 OD 平面 A1C1FE.(14 分) 17(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 (1) 由题意得，对任意 xR，恒有 f(x)a0，即恒有 x22ax1a0，(2 分) 于是 4a24(1a)0，(3 分) 即 a2a10，解得1 5 2 a1 5 2 .(3 分) 数学（参考答案与解析）第 4
8、 页（共 9 页） 因为 a0，a1，所以实数 a 的取值范围是(0，1) 1，1 5 2 .(5 分) (2) 当 x0 时，不等式f（x） x lnx 等价于 x2a1 xlnx，即 2ax 1 xlnx，(7 分) 设 g(x)x1 xlnx，则 g(x)1 1 x2 1 x x2x1 x2 .(9 分) 令 g(x)0，得 x1 5 2 ， 当 0x1 5 2 时，g(x)0，g(x)单调减， 当 x1 5 2 时，g(x)0，g(x)单调增，(11 分) 故当 x1 5 2 时，g(x)ming 1 5 2 5ln1 5 2 ，(13 分) 所以 2a 5ln1 5 2 ， 所以实数
9、 a 的取值范围是 ， 5 2 1 2ln 1 5 2 .(14 分) 18(本小题满分 16 分) 【答案与解析】 (1) 当 a1.5 时， 过 C 作 AB 的垂线， 垂足为 D， 则 BD0.5 m， 且 ACDBCD， 由已知观察者离墙 x m，且 x1，则 tanBCD0.5 x ，tanACD2.5 x ，(2 分) 所以 tan tan(ACDBCD) 2.5 x 0.5 x 12.50.5 x2 2 x 11.25 x2 2 x1.25 x 2 2 5 4 2 5 5 ，当且仅当 x 5 2 1时，取“”(6 分) 又 tan 在 0， 2 上单调增， 所以，当观察者离墙 5
10、 2 m 时，视角 最大(8 分) (2) 由题意， 得 tanBCD2a x ， tanACD4a x ， 又 tan 1 2， 所以 tan tan(ACD BCD) 2x x2（a2） （a4） 1 2，(10 分) 所以 a26a8x24x， 当 1a2 时，0a26a83，所以 0x24x3， 即 x24x0 x24x30，解得 0x1 或 3x4.(14 分) 因为 x1，所以 3x4，所以 x 的取值范围为3，4(16 分) 数学（参考答案与解析）第 5 页（共 9 页） 19(本小题满分 16 分) 【答案与解析】 (1) 由题意 ab c 2 3， a2， 又 a2b2c2，
11、解得 b 3，c1，(4 分) 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 31.(5 分) (2) 点 A 在椭圆 C 上证明如下： 设切点为 Q(x0，y0)，x00，则 x20y203，切线 l 的方程为 x0xy0y30， 当 yP2 3时，xP32 3y0 x0 ，即 P 32 3y0 x0 ，2 3 ， 则 kOP 2 3 32 3y0 x0 2x0 32y0，(7 分) 所以 kOA2y0 3 2x0 ，直线 OA 的方程为 y2y0 3 2x0 x.(9 分) 由 y2y0 3 2x0 x， x0xy0y30， 解得 x 6x0 6 3y0， y3（2y0 3） 6 3y0 ，
12、即 A( 6x0 6 3y0， 3（2y0 3） 6 3y0 )(11 分) 因为 6x0 6 3y0 2 4 （3（2y0 3） 6 3y0 ）2 3 9（3y 2 0）3（4y 2 04 3y03） 3y2012 3y036 3y 2 012 3y036 3y2012 3y0361， 所以点 A 的坐标满足椭圆 C 的方程(14 分) 当 yP2 3时，同理可得点 A 的坐标满足椭圆 C 的方程， 所以点 A 在椭圆 C 上(16 分) 20(本小题满分 16 分) 【答案与解析】 (1) 由题意，得 a11，a22，a3a1d11d1，a4a2d22d2，a5a3d11 2d1.(2 分
13、) 因为 S516，a4a5，所以 a1a2a3a4a573d1d216，2d212d1.所以 d12，d23，(4 分) 所以 a1024d214.(5 分) (2) 证明：当 n 为偶数时，因为 anan1恒成立， 即 2 n 21 d21 n 2d1， n 2(d2d1)1d20 恒成立，所以 d2d10 且 d21.(7 分) 当 n 为奇数时，因为 anan1恒成立， 即 1n1 2 d12 n1 2 1 d2，(1n)(d1d2)20 恒成立，所以 d1d20，于是有 d1d2.(9 分) 因为 S1515a8，所以 887 2 d11476 2 d23045d2， 数学（参考答案
14、与解析）第 6 页（共 9 页） 所以 d1d22，ann，所以数列an是等差数列(11 分) (3) 解：若 d13d2(d10)，且存在正整数 m，n(mn)，使得 aman， 由题意得，在 m，n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设 m 为奇数，n 为偶数 因为 aman，所以 1m1 2 d12 n 21 d2.(13 分) 因为 d13d2，所以 d1 6 3mn1. 因为 m 为奇数，n 为偶数，所以 3mn1 的最小正值为 2，此时 d13，d21.(15 分) 所以数列an的通项公式为 an 3 2n 1 2，n为奇数， 1 2n1，n为偶数. (16 分) 数学（参考答案与
15、解析）第 7 页（共 9 页） 2020 届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷 数学卷（附加题）数学卷（附加题） 参考答案与解析参考答案与解析 2020.42020.4 21 【选做题】本题包括 【选做题】本题包括 A、B、C 三三小题小题。 A选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 特征多项式 f() 3 1 1 3 (3)21268，(3 分) 由 f()0，解得 12， 24.(6 分) 将 12 代入特征方程组，得 xy0， xy0 xy0，可取 1 1 为属于特征值 12 的一个特征向量(8 分) 同理，当 24 时，由 xy0， xy0 xy0，
16、 所以可取 1 1 为属于特征值 24 的一个特征向量 综上所述，矩阵 3 1 1 3 有两个特征值 12， 24； 属于 12 的一个特征向量为 1 1 ，属于 24 的一个特征向量为 1 1 .(10 分) B选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 将 l 转化为直角坐标方程为 x 3y40.(3 分) 在 C 上任取一点 A( 6cos ， 2sin )， 0，2 )，则点 A 到直线 l 的距离为 d| 6cos 6sin 4| 2 |2 3sin 4 4| 2 2 3sin 4 4 2 .(7 分) 当 4 时，d 取得最大值，最大值为 2 3，此时 A
17、 点为( 3，1)(10 分) C选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 数学（参考答案与解析）第 8 页（共 9 页） 因为 x0，y0，xy0， 2x 1 x22xyy22y2(xy) 1 （xy）2(4 分) (xy)(xy) 1 （xy）23 3 （xy）2 1 （xy）23，(8 分) 所以 2x 1 x22xyy22y3.(10 分) 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分 22. (本小题满分 10 分) 【答案与解析】 (1) 由 AC3，BC4，AB5，得ACB90.(1 分) 以 CA
18、、CB、CC1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)设 D(x，y，z)，则由AD AB 得CD (33， 4 ，0)，而AC1 (3，0，4)， 根据9 10 50 99 5 252189 ，解得 1 5或 1 3.(5 分) (2) CD 3 2，2，0 ，CB1 (0，4，4)，可取平面 CDB1的一个法向量为 n1(4，3， 3)；(7 分) 而平面 CBB1的一个法向量为 n2(1，0，0)，并且n1，n2与二面角 DCB1B 相等， 所以二面角 DCB1B 的余弦值为 cos cosn1，n2
19、 2 17 34.(10 分) (第(1)题中少一解扣 1 分；没有交代建立直角坐标系过程扣 1 分第(2)题如果结果相差 符号扣 1 分) 23(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 (1) 解：展开式中系数最大的项是第四项为 C3nx320x3.(3 分) (2) 解：C0n4n 1C1 n4 n2C2 n4 n3Cn1 n 40Cnn4 1 1 4C 0 n4 nC1 n4 n1C2 n4 n2Cn1 n 4Cnn 数学（参考答案与解析）第 9 页（共 9 页） 1 4(41) n5 n 4 .(7 分) (3) 证明：因为 kCknnCk 1 n1， 所以 C1n2C2n3C3nnCnnn(C0n1C1n1C2n1Cn 1 n1)n2 n1.(10 分)