1、高三数学试卷高三数学试卷(理科理科) (考试时间:120 分钟试卷满分:150 分) 一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 |3 , |3Mx xNxx ,则 A.MN B.NM .() |39 R C NMxx D. R MN 2.已知 aR,复数 21 11 ai ii 为纯虚数,则 a= A.3 B.-3 C.2 D.-2 3.设等差数列 n a的前 n 项和为, n S若 1453 27,aaaa则 7 S A.63 B.49 C.35 D.15 4.若 x,y 满足约束条件 45200, 452
2、00, 0 xy xy x 则231zxy的最大值为 A.-13 B.13 C.-11 D.11 5.古代数学名著 九章算术 中记载:“今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺,问积几何？” 羡除,即三个面是等腰梯形,两侧面是直角三角形的五面体我们教室打扫卫生用的灰斗近似于一个羡除,又有所不 同 如 图 所 示 ,ABCD是 一 个 矩 形 ,ABEF和CDFE都 是 等 腰 梯 形 , 且 平 面ABCD 平 面 ABEF,AB=30,BC=10,EF=50,BE=26.则这个灰斗的体积是 A.3600 B.4000 C.4400 D.4800 6.中兴华为事件暴露了我国
3、计算机行业中芯片软件两大短板,为防止“卡脖子”事件的再发生,科技专业人才 就成了决胜的关键为了解我国在芯片软件方面的潜力,某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计,得到 了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90 后”从事这两个行业的岗位分布雷达图,则下列说法中不一定正确 的是 A.芯片软件行业从业者中,“90 后”占总人数的比例超过 50% B.芯片软件行业中从事技术设计岗位的“90 后”人数超过总人数的 25% C.芯片软件行业从事技术岗位的人中,“90 后”比“80 后”多 D.芯片软件行业中,“90 后”从事市场岗位的人数比“80 前“的总人数多 7.函数 22 1 ( )(co
4、s|cos|) 2 f xxxxx的大致图象是 8.随着新型冠状病毒肺炎疫情的发展,网络上开始出现一些混淆视听的谣言和新冠病毒预防措施的错误说法, 为了辟谣并宣讲正确的预防措施,某社区拟从 5 名男志愿宣讲员和 3 名女志愿宣讲员中任选 3 人,参加本社区的宣 讲服务,则选中的 3 人中至少有 2 名女宣讲员的选法共有 A.12 种 B.14 种 C.16 种 D.32 种 9.已知两个正方形 ABCD 和 CDEF 有一条公共边 CD,且BCF 是等边三角形,则异面直线 AC 和 DF 所成角的 余弦值为 1 . 5 A 1 . 4 B 1 . 3 C 1 . 2 D 10. 已 知 函 数
5、()3 s i nc o s(0 ) xx f x , 如 果 存 在 实 数 0, x使 得 对 任 意 的 实 数x, 都 有 00 (2020)( )(f xf xf x)成立,则 的最大值为 A.2020 B.4040 C.1010 2020 . 3 D 11.已知定义在 R 上的连续函数 f(x)满足 f(x)=f(2-x),导函数为( ).fx 当 x1 时, 2(1)( )0f xxfx ,且 3 ( 1), 2 f 则不等式 2 ( )6(1)f xx 的解集为 A.(-1,1)(1,4) B.(-1,1)(1,3) 1 .(,1)(1,2) 2 C 13 .(,1)(1, )
6、 22 D 12.已知 12 (,0),( ,0)FcF c分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点,直线 l:1 xy cb 与 C 交于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线与 x 轴交于 T(-5c,0),则 C 的离心率为 6 . 2 A . 2B . 3C 5 . 2 D 二填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知 n a为递增的等比数列 234 ,3,36,aaa则此数列的公比 q=_. 14.已知非零向量 a,b 满足|2a-b|=|b-3a|,且|b|=5|a|,则 a 与 b 的夹角为
7、_. 15.已知函数 2 ( )43nf xxx若对任意 *, ( ) 0nf xN在m,+)上恒成立,则实数 m 的取值范围是_. 16.直线 l 过抛物线 2 :4C yx的焦点 F 且与 C 交于 1122 (,), (,)A x yB xy两点,则 12 y y _.过 A,B 两点分别 作抛物线 C 的准线的垂线,垂足分别为 P,Q,准线与 x 轴的交点为 M,四边形 FAPM 的面积记为 1, S四边形 FBQM 的 面积记为 2, S则 12 3| |SSAFBF=_.(本题第一空 2 分,第二空 3 分) 三解答题:共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第 1721
8、 题为必考题,每道试题考生都必须作 答第 2223 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分 17.(12 分) ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且sin3 coscoscosaBbAabCcB. (1)求 A; (2)若3,a 点 D 在 BC 上,且 ADAC,当ABC 的周长取得最大值时,求 BD 的长. 18.(12 分) 2020 年寒假期间,某高中决定深入调查本校学生寒假期间在家学习情况,并将依据调查结果对相应学生提出针 对性学习建议现从本校高一高二高三三个年级中分别随机选取 30,45,75 人,然后再从这些学生中抽取 10 人,进 行学情
9、调查. (1)若采用分层抽样抽取 10 人,分别求高一、高二、高三应抽取的人数. (2)若被抽取的 10 人中,有 6 人每天学时超过 7 小时,有 4 人每天学时不足 4 小时,现从这 10 人中,再随机抽取 4 人做进一步调查. (i)记事件 A 为“被抽取的 4 人中至多有 1 人学时不足 4 小时”,求事件 A 发生的概率; (ii)用表示被抽取的 4 人中学时不足 4 小时的人数,求随机变量的分布列和数学期望. 19.(12 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,底面四边形 ABCD 是一个菱形,且, 3 ABC AB=2,PA平面 ABCD. (1)若 Q 是线段 PC 上的任意一点,
10、证明:平面 PAC平面 QBD. (2)当平面 PBC 与平面 PDC 所成的锐二面角的余弦值为 4 5 时,求 PA 的长. 20.(12 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为 F,离心率为 3 , 3 且有 22 341.ab (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,过点 M 作直线 x=3 的垂线,垂足为点 P,证明直线 NP 经过定点,并 求出这个定点的坐标. 21.(12 分) 已知函数 (1)1 ( )(0) 11 xalnx f xa xx . (1)证明:当 x1,+)时,f(x)1. (2)当 00,b0,且函数 F(x)=f(x)-3a-2b 有唯一零点 0, x证明: 0 94 (). 2 f x abab