1、2020 届湖北省武汉市武昌区四月调研文科数学试卷届湖北省武汉市武昌区四月调研文科数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1设全集 UR，集合 Ax|0x2，Bx|x1，则集合 AB（ ） A （2，+） B2，+） C （，2 D （，1 2已知复数 z= 5 3+4，则复数 z 的虚部为（ ） A4 5 B 4 5 C4 5i D 4 5i 3已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的焦距为 8，一条渐近线方
2、程为 y= 3x，则 C（ ） A 2 4 2 12 = 1 B 2 12 2 4 = 1 C 2 16 2 48 = 1 D 2 48 2 16 = 1 4 某学校组织学生参加英语测试， 成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组依次为20， 40） ， 40， 60） ， 60， 80） ， 80， 100 若低于 60 分的人数是 18 人， 则该班的学生人数是 （ ） A45 B50 C55 D60 5已知 l，m 是两条不同的直线，m平面 ，则“l”是“lm”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知向量 =（1，2） ， =（3，1）
3、，则（ ） A B C （ ） D （ ） 7已知点（m，8）在幂函数 f（x）（m1）xn的图象上，设 af（ ） ，bf（ln） ，c f（n） ，则（ ） Abac Babc Cbca Dacb 8函数() = 8|4 | + 的图象大致为（ ） A B C D 9一艘海轮从 A 处出发，以每小时 24 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟 后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是（ ） A6 2海里 B63海里 C82海里 D83海里 10 已知三棱锥 PAB
4、C 的顶点都在球 O 的球面上， PA= 2， PB= 14， AB4， CACB= 10，面 PAB面 ABC，则球 O 的表面积为（ ） A10 3 B25 6 C40 9 D50 3 11已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0 2）的部分图象如图所示，则 f （3 8 ）（ ） A2;6 4 B2:6 4 C6;2 4 D6:2 2 12已知函数 f（x）是定义域为 R 的偶函数，且满足 f（x）f （2x） ，当 x0，1时，f （x）x，则函数 F（x）f（x）+ +4 12在区间10，9上零点的个数为（ ） A9 B10 C18 D20 二、填空题：本题共二、填空题：本
5、题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13直线 mxny10（m0，n0）过圆 C：x2+y22x+2y10 的圆心，则 1 + 1 的 最小值是 14从分别写有 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得 的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 15给出以下式子： tan25+tan35+3tan25tan35； 2（sin35cos25+cos35cos65） ； 1:15 1;15 其中，结果为3的式子的序号是 16已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆的焦距为
6、2c， 过 C 外一点 P（c，2c）作线段 PF1，PF2分别交椭圆 C 于点 A、B，若|PA|AF1|，则 |2| |2| = 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17已知等差数列an的各项均为正数，Sn为等差数列an的前 n 项和，a11，a4a511 （1）求数列an的通项 an； （2）设 bn
7、an 3n，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 如图， 在三棱柱 ABCA1B1C1中， A1A平面 ABC， ACB90， ACCBC1C1， M，N 分别是 AB，A1C 的中点 （1）求证：直线 MN平面 ACB1； （2）求点 C1到平面 B1MC 的距离 19某校共有学生 2000 人，其中男生 900 人，女生 1100 人，为了调查该校学生每周平均体 育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校 100 名学生每周平均体育锻炼时间（单位： 小时） （1）应抽查男生与女生各多少人？ （2）根据收集 100 人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表： 时间（小时） 0，1
8、（1，2 （2，3 （3，4 （4，5 （5，6 频率 0.05 0.20 0.30 0.25 0.15 0.05 若在样本数据中有 38 名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过 2 小时， 请完成每周平均 体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体 育锻炼时间与性别有关”？ 男生 女生 总计 每周平均体育锻炼时间不超过 2 小时 每周平均体育锻炼时间超过 2 小时 总计 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k0） 0.100 0.050 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 20已知 A 是抛物线
9、E：y22px（p0）上的一点，以点 A 和点 B（2，0）为直径两端点 的圆 C 交直线 x1 于 M，N 两点 （1）若|MN|2，求抛物线 E 的方程； （2）若 0p1，抛物线 E 与圆（x5）2+y29 在 x 轴上方的交点为 P，Q，点 G 为 PQ 的中点，O 为坐标原点，求直线 OG 斜率的取值范围 21已知函数 f（x）x2+（t2）xtlnx+2 （1）若 x2 是 f（x）的极值点，求 f（x）的极大值； （2）求实数 t 的范围，使得 f（x）2 恒成立 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题
10、中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = 2 + 2 2 = 1 2 3 （t 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 24cos3 （1）求直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （2）直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，点 P（2，1） ，求|PA| |PB|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）|2x+1|1 的解集
11、； （2）若函数 g（x）f（x）|x+3|的值域为 A，且2，1A，求 a 的取值范围 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1设全集 UR，集合 Ax|0x2，Bx|x1，则集合 AB（ ） A （2，+） B2，+） C （，2 D （，1 根据并集的定义进行求解 Ax|0x2，Bx|x1， ABx|x2， 故选：C 本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2已知复数 z= 5 3+4，则复数 z 的虚部为（ ） A4 5 B
12、4 5 C4 5i D 4 5i 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 z= 5 3+4 = 5(34) (3+4)(34) = 3 5 4 5i， 则复数 z 的虚部为 4 5 故选：B 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的焦距为 8，一条渐近线方程为 y= 3x，则 C（ ） A 2 4 2 12 = 1 B 2 12 2 4 = 1 C 2 16 2 48 = 1 D 2 48 2 16= 1来源:学科网 由题意求得 c 与 的值，结合隐含条件列式求得 a 2，b2，则答案可求 由题意，2c
13、8，则 c4， 又 =3，且 a2+b2c2， 解得 a24，b212 双曲线 C 的方程为 2 4 2 12 = 1 故选：A 本题考查双曲线的简单性质，是基础的计算题 4 某学校组织学生参加英语测试， 成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组依次为20， 40） ， 40， 60） ， 60， 80） ， 80， 100 若低于 60 分的人数是 18 人， 则该班的学生人数是 （ ） A45 B50 C55 D60 根据频率分布直方图中频率小矩形的高组距计算成绩低于 60 分的频率， 再根据样本 容量= 频数 频率求出班级人数 根据频率分布直方图，得； 低于 60 分的频率是 （0.005
14、+0.010）200.30， 样本容量（即该班的学生人数）是 18 0.30 =60（人） 故选：D 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率= 频数 样本容量的应用问题，是基础 题目 5已知 l，m 是两条不同的直线，m平面 ，则“l”是“lm”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件来源:学科网 根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可 当 m平面 时，若 l”则“lm”成立，即充分性成立， 若 lm，则 l 或 l，即必要性不成立， 则“l”是“lm”充分不必要条件， 故选：A 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，
15、结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关 键难度不大 6已知向量 =（1，2） ， =（3，1） ，则（ ） A B C （ ） D （ ） 由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论 向量 =（1，2） ， =（3，1） ， 和 的坐标对应不成比例，故 、 不平行，故 排除 A； 显然， =3+20，故 、 不垂直，故排除 B； =（2，1） ，显然， 和 的坐标对应不成比例，故 和 不平行，故 排除 C； （ ）2+20，故 （ ） ，故 D 正确， 故选：D 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题 7已知点（m，8）在幂函数
16、f（x）（m1）xn的图象上，设 af（ ） ，bf（ln） ，c f（n） ，则（ ） Abac Babc Cbca Dacb 先利用幂函数的定义求出 m 的值，得到幂函数解析式为 f（x）x3，在 R 上单调递增， 再利用幂函数 f（x）的单调性，即可得到 a，b，c 的大小关系 由幂函数的定义可知，m11，m2， 点（2，8）在幂函数 f（x）xn上， 2n8，n3， 幂函数解析式为 f（x）x3，在 R 上单调递增， = 2 3，1ln3，n3， ， abc， 故选：B来源:学科网 本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，是中档题 8函数() = 8|4 | +
17、 的图象大致为（ ） A B C D 由函数的奇偶性可排除 BD，由函数的趋近性可排除 C，由此得出正确选项 函数的定义域为xR|x2 且 x0 且 x2，() = 8|+4 | + = 8|4 | + = ()， 则函数 f（x）为偶函数，其图象关于 y 轴对称，可排除 BD； 当 x+时，+ 8| 4 |0，则 f（x）0 且 f（x）0，故排除 C 故选：A 本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题 9一艘海轮从 A 处出发，以每小时 24 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟 后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏
18、东 70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是（ ） A6 2海里 B63海里 C82海里 D83海里 先根据给的条件求出三角形 ABC 的三个内角， 再结合 AB 可求， 应用正弦定理即可求解 由题意可知： BAC704030 ACD110， ACB1106545， ABC1803045105又 AB240.512 在ABC 中，由正弦定理得 45 = 30， 即 12 2 2 = 1 2 ， = 62 故选：A 本题考查正弦定理的实际应用， 关键是将给的角度、 线段长度转化为三角形的边角关系， 利用正余弦定理求解属于较易的题目 10 已知三棱锥 PABC
19、的顶点都在球 O 的球面上， PA= 2， PB= 14， AB4， CACB= 10，面 PAB面 ABC，则球 O 的表面积为（ ） A10 3 B25 6 C40 9 D50 3 由题意画出图形，找出PAB 外接圆的圆心及三棱锥 PBCD 的外接球心为 O，通过求 解三角形求出三棱锥 PBCD 的外接球的半径，则答案可求 如图；设 AB 的中点为 D； PA= 2，PB= 14，AB4， PAB 为直角三角形，且斜边为 AB，故其外接圆半径为：r= 1 2ABAD2； 设外接球球心为 O； CACB= 10，面 PAB面 ABC， CDAB 可得 CD面 PAB；且 DC= 2 2= 6
20、 O 在 CD 上； 故有：AO2OD2+AD2R2（6 R）2+r2R= 5 6； 球 O 的表面积为：4R24 ( 5 6) 2 = 50 3 故选：D 本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查考查思维能 力与计算能力，是中档题 11已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0 2）的部分图象如图所示，则 f （3 8 ）（ ） A2;6 4 B2:6 4 C6;2 4 D6:2 2 先利用最高点纵坐标求出 A，再根据3 4 = 12 ( 2 3 )求出周期，再将( 12，1)代入求出 的值最后将3 8 代入即可 由图象可知 A1， 3 4 = 12 ( 2
21、 3 )，所以 T， = 2 = 2 f（x）sin（2x+） ，将( 12 ，1)代入得( 6 +）1， 6 += 2 + 2， ，结合 0 2，= 3 () = (2 + 3) (3 8 ) = (3 4 + 3) = ( + 12) = sin 12 = ( 3 4) = ( 3 4 3 4) = 26 4 故选：A 本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换据图求式问题要注意结合 五点法作图求解属于中档题 12已知函数 f（x）是定义域为 R 的偶函数，且满足 f（x）f （2x） ，当 x0，1时，f （x）x，则函数 F（x）f（x）+ +4 12在区间10，9上零点的个
22、数为（ ） A9 B10 C18 D20 由已知可得函数 f（x）的周期与对称轴，函数 F（x）f（x）+ +4 12在区间10，9上 零点的个数等价于函数 f（x）与 g（x）= +4 12图象在9，10上交点的个数，作出函 数 f（x）与 g（x）的图象如图，数形结合即可得到答案 函数 F （x） f （x） + +4 12在区间10， 9上零点的个数等价于函数 f （x） 与 g （x） = +4 12图 象在9，10上交点的个数， 由 f（x）f （2x） ，得函数 f（x）图象关于 x1 对称， f（x）为偶函数，取 xx+2，可得 f（x+2）f（x）f（x） ，得函数周期为 2
23、又当 x0，1时，f（x）x，且 f（x）为偶函数，当 x1，0时，f（x）x， g（x）= +4 12 = +4 21 = 1 2 + 9 42， 作出函数 f（x）与 g（x）的图象如图： 由图可知，两函数图象共 10 个交点， 即函数 F（x）f（x）+ +4 12在区间10，9上零点的个数为 10 故选：B 本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方 法，属中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13直线 mxny10（m0，n0）过圆 C：x2+y22x+2y10 的圆心，则 1 +
24、1 的 最小值是 4 直线 mxny10（m0，n0）经过圆 x2+y22x+2y10 的圆心（1，1） ，可得 m+n1，再利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出 mxny10（m0，n0）经过圆 x2+y22x+2y10 的圆心（1，1） ， m+n10，即 m+n1 1 + 1 =（ 1 + 1 ） （m+n）2+ + 2+24，当且仅当 mn= 1 2时取等号 则 1 + 1 的最小值是 4 故答案为：4 本题考查了圆的标准方程、 “乘 1 法”和基本不等式的性质，属于基础题 14从分别写有 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得 的第
25、一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 5 8 基本事件总数 n4416， 利用列举法求出抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片 上的数包含的基本事件有 10 个， 由此能求出抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片 上的数的概率 从分别写有 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张， 基本事件总数 n4416， 抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （1，1） ， （2，1） ， （2，2） ， （3，1） ， （3，2） ， （3，3） ， （4，1） ， （4，2） ， （4，3） ， （4， 4） ，共 10 个， 则抽得
26、的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 p= 10 16 = 5 8 故答案为：5 8 本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 15给出以下式子： tan25+tan35+3tan25tan35； 2（sin35cos25+cos35cos65） ； 1:15 1;15 其中，结果为3的式子的序号是 由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解 tan60tan（25+35）= 25+35 12535 = 3， tan25+tan35+3tan25tan35； = 3(1 2535) + 3tan25tan35， = 3， 2（sin35co
27、s25+cos35cos65）2（sin35cos25+cos35sin25） ， 2sin60= 3； 1:15 1;15 = 45:15 1;4545 =tan（45+15）tan60= 3； 故答案为： 本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题 16已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆的焦距为 2c， 过 C 外一点 P （c， 2c） 作线段 PF1， PF2分别交椭圆 C 于点 A、 B， 若|PA|AF1|， 则| 2| |2| = 22 根据条件可得判断 OAPF2，且|PF2|2|OA|，从而得到点
28、 A 为椭圆上顶点，则有 bc， 解出 B 的坐标即可得到比值 因为|PA|AF1|，所以点 A 是线段 PF1的中点， 又因为点 O 为线段 F1F2的中点，所以 OAPF2，且|PF2|2|OA|， 因为点 P（c，2c） ，所以 PF2x 轴，则|PF2|2c， 所以 OAx 轴，则点 A 为椭圆上顶点， 所以|OA|b， 则 2b2c，所以 bc，a= 2+ 2= 2c， 设 B（c，m） （m0） ，则 2 22 + 2 2 = 1，解得 m= 2 2 c， 所以|BF2|= 2 2 c， 则| 2| |2| = 2 2 2 =22 故答案为：22 本题考查椭圆的基本性质，考查直线位
29、置关系的判断，方程思想，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17已知等差数列an的各项均为正数，Sn为等差数列an的前 n 项和，a11，a4a511 （1）求数列an的通项 an； （2）设 bnan 3n，求数列bn的前 n 项和 Tn 本题第（1）题先设等差数列an的公差为 d（d0） ，
30、然后根据等差数列的通项公式及已 知条件可列出关于 d 的方程，解出 d 的值，即可得到数列an的通项 an； 第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列bn的通项公式，然后运用错位相减法计 算前 n 项和 Tn （1）由题意，设等差数列an的公差为 d（d0） ，则 a4a5（1+3d） （1+4d）11， 整理，得 12d2+7d100， 解得 d= 5 4（舍去） ，或 d= 2 3， an1+ 2 3（n1）= 2+1 3 ，nN* （2）由（1）知，bnan 3n= 2+1 3 3n（2n+1） 3n 1， Tnb1+b2+b3+bn31+531+732+（2n+1） 3n 1， 3T
31、n331+532+（2n1） 3n 1+（2n+1） 3n， 两式相减，可得： 2Tn31+231+232+23n 1（2n+1） 3n 3+2（31+32+3n 1）（2n+1） 3n 3+2 33 13 （2n+1） 3n 2n3n， Tnn3n 本题主要考查等差数列基本量的计算，以及运用错位相减法计算前 n 项和考查了转化 与化归思想，方程思想，错位相减法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力本题 属中档题 18 如图， 在三棱柱 ABCA1B1C1中， A1A平面 ABC， ACB90， ACCBC1C1， M，N 分别是 AB，A1C 的中点 （1）求证：直线 MN平面 ACB1；
32、（2）求点 C1到平面 B1MC 的距离 （1）先利用已知条件证得 ACMN 以及 MNB1C，进而得到 MN平面 ACB1； （2）求出三角形的面积，利用体积公式求解即可 （1）证明：连接 AC1，BC1，则 NAC1且 N 为 AC1的中点； M 是 AB 的中点 所以：MNBC； A1A平面 ABC，AC平面 ABC， A1AAC， 在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1CC， ACCC1， ACB90，BCCC1C，BC平面 BB1C1C，CC1平面 BB1C1C， AC平面 BB1C1C，BC平面 BB1C1C， ACBC1；又 MNBC1 ACMN， CBC1C1， 四边形 BB1
33、C1C 正方形， BC1B1C，MNB1C， 而 ACB1CC，且 AC平面 ACB1，CB1平面 ACB1， MN平面 ACB1， （2）设 C1到平面 B1CM 的距离为 h， 因为 MP= 1 2，11 = 1 2， 所以;11= 1 3 11MP= 1 12， 因为 CM= 2 2 ，B1C= 2； B1M= 6 2 ， 所以：1= 1 2CMB1M= 3 4 本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，一般证明面面垂直都用线面垂直转 化为面面垂直，而点到面的距离常用体积转化来求 19某校共有学生 2000 人，其中男生 900 人，女生 1100 人，为了调查该校学生每周平均体 育
34、锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校 100 名学生每周平均体育锻炼时间（单位： 小时） （1）应抽查男生与女生各多少人？ （2）根据收集 100 人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表： 时间（小时） 0，1 （1，2 （2，3 （3，4来源:Zxxk.Com （4，5 （5，6 频率 0.05 0.20 0.30 0.25 0.15 0.05 若在样本数据中有 38 名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过 2 小时， 请完成每周平均 体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体 育锻炼时间与性别有关”？ 男生 女生 总计 每周平均体育锻炼时
35、间不超过 2 小时 每周平均体育锻炼时间超过 2 小时 总计 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k0） 0.100 0.050 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 （1）根据人数比值，求出男生，女生人数， （2）填表，代入公式求值，比较，判断 因为男生人数：女生人数900：11009：11， 所以男生人数为 9 20 100 = 45人，女生认识我 1004555 人， （2） 由频率频率直方图可知学生每周平均体育锻炼时间超过 2 小时的人数为： （10.3+1 0.25+10.15+10.05）10075 人， 每周平均体育锻炼时
36、间超过 2 小时的女生人数为 37 人， 联表如下： 男生 女生 总计 每周平均体育锻炼时间不超过 2 小时 7 18 25 每周平均体育锻炼时间超过 2 小时 38 37 75 总计 45 55 100 因为2= 100(1838737)2 45552575 3.8923.841， 所以有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关 本题考查独立性检验，熟记公式，计算，属于中档题 20已知 A 是抛物线 E：y22px（p0）上的一点，以点 A 和点 B（2，0）为直径两端点 的圆 C 交直线 x1 于 M，N 两点 （1）若|MN|2，求抛物线 E 的方程； （2）若 0p
37、1，抛物线 E 与圆（x5）2+y29 在 x 轴上方的交点为 P，Q，点 G 为 PQ 的中点，O 为坐标原点，求直线 OG 斜率的取值范围 （1） 设 A 的坐标， 由题意可得圆心 C 的坐标， 求出 C 到直线 x1 的距离 由半个弦长， 圆心到直线的距离及半径构成直角三角形可得 p 的值，进而求出抛物线的方程； （2） 将抛物线的方程与圆的方程联立可得两根之和及两根之积， 进而求出中点 G 的坐标， 再求出直线 OG 的斜率的表达式，换元可得斜率的取值范围 （1）设 A（x0，y0）且 y022px0，则圆心 C（0:2 2 ，0 2 ） ， 圆 C 的直径|AB|= (0 2)2+
38、02， 圆心 C 到直线 x1 的距离 d|0:2 2 1|0 2 |， 因为|MN|2，所以（ 2 ）2+d2（| 2 ）2，即 1+ 02 4 = (02)2+02 4 ，y022px0， 整理可得（2p4）x00，所以 p2， 所以抛物线的方程为：y24x； （2） 联立抛物线与圆的方程 2 = 2 ( 5)2+ 2= 9整理可得 x 22 （5p） x+160， 0， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则 x1+x22（5p） ，x1x216， 所以中点 G 的横坐标 xG5p，yG= 2 2 （1+2）= 9 2， 所以 kOG= 92 5 （0P1） ， 令 t5p（t（
39、4，5） ） ，则 kOG=20+ 2 2 = 20 2 + 1 1（1 5 1 1 4） ， 解得 0kOG 2 2 ， 所以直线 OG 斜率的取值范围（0， 2 2 ） 本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，及换元方法的应用，属于中档题 21已知函数 f（x）x2+（t2）xtlnx+2 （1）若 x2 是 f（x）的极值点，求 f（x）的极大值； （2）求实数 t 的范围，使得 f（x）2 恒成立 （1）先对函数求导，结合极值存在的条件可求 t，然后结合导数可研究函数的单调性， 进而可求极大值；来源:学科网 ZXXK （2）由已知代入可得，x2+（t2）xtlnx0 在 x0 时恒成
40、立，构造函数 g（x）x2+ （t2）xtlnx，结合导数及函数的性质可求 （1）() = 2 + 2 ，x0， 由题意可得，(2) = 2 + 1 2 =0，解可得 t4， () = 2 6 + 4 = 2(1)(2) ， 易得，当 x2，0x1 时，f（x）0，函数单调递增，当 1x2 时，f（x）0， 函数单调递减， 故当 x1 时，函数取得极大值 f（1）3； （2）由 f（x）x2+（t2）xtlnx+22 在 x0 时恒成立可得，x2+（t2）xtlnx0 在 x0 时恒成立， 令 g（x）x2+（t2）xtlnx，则() = 2 + 2 = (1)(2+) ， （i）当 t0 时
41、，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， 所以 g（x）ming（1）t10，解可得 t1， （ii）当2t0 时，g（x）在（ 1 2，1）上单调递减，在（0， 1 2 ） ， （1，+）上 单调递增， 此时 g（1）t11 不合题意，舍去； （iii）当 t2 时，g（x）= 2(1)2 0，即 g（x）在（0，+）上单调递增，此时 g（1）3 不合题意； （iv）当 t2 时，g（x）在（1， 1 2 ）上单调递减，在（0，1） ， （ 1 2 ，+ ）上单 调递增，此时 g（1）t13 不合题意， 综上，t1 时，f（x）2 恒成立 本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值及利用导数与函数的性质处理不等式 的恒成立问题，体现了分类讨论思想的应用 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系