1、在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这 些向量的终点构成的图形是（ ） A一个球 B一个圆 C半圆 D一个点 3 （5 分）双曲线x21 的渐近线方程为（ ） Ay2x Byx Cyx Dyx 4 （5 分）已知向量 （2，3，5）与向量 （4，x，1）垂直，则实数 x 的值为（ ） A1 B1 C6 D6 5 （5 分）已知双曲线1 的焦点为 F1，F2，P 为其上一点若点 P 到 F1的距离 为 15，则点 P 到 F2的距离是（ ） A31 B1 C1 D1 或 31 6 （5 分）已知直线 1 的方向向量 （1，2，1） ，平面 的法向量 （2，4，2）
2、 ， 则直线 1 与平面 的位置关系是（ ） Al Bl Cl Dl 7 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，向量与向量的夹角是（ ） A150 B135 C45 D30 8 （5 分）已知抛物线 y216x 上的点 P 到抛物线焦点的距离 m10，则点 P 到 y 轴的距离 d 等于（ ） A12 B9 C6 D3 9 （5 分）已知双曲线+1 的离心率 e2，则实数 k 的取值范围是（ ） 第 2 页（共 19 页） Ak0 或 k3 B3k0 C12k0 D8k3 10 （5 分） 如果抛物线 y24x 的焦点为 F 点 M 为该抛物线上的动点， 又点 A （1， 0） 那
3、么的最大值是（ ） A B C D1 11 （5 分） “方程 mx2+ny21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条件是（ ） Amn0 Bnm0 Cmn0 Dmn0 12 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 Q 是平面 A1BCD1内的动点，且点 Q 到直线 AB1和直线 BC 的距离相等，则动点 Q 的轨迹是（ ） A圆的一部分 B椭圆的一部分 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。分。 13 （5 分）设 是直线与平面所成的角，则角 的取值范围是 14 （5 分）双曲线1
4、的实轴长为 15 （5 分）抛物线 x28y 的准线方程是 ，焦点坐标是 16 （5 分）以下三个关于圆锥曲线的命题： 设 A，B 为两个定点，k 为非零常数，若|k，则动点 P 的轨迹为双曲线； 方程 2x25x+20 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 双曲线1 与椭圆+y21 有相同的焦点 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 17 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABA1A3，则二面角 A1BCA 的大小 为 18 （5 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的右焦点为 F（3，0） ，过点 F 的直线交 椭圆 C 于 A，B 两点若线段 AB 的中点坐标为（1，
5、1） ，则椭圆 C 的方程为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 小题，每题小题，每题 15 分，共分，共 60 分。分。 19 （15 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点 D 是 AB 的中点 第 3 页（共 19 页） （）求异面直线 AC 与 BC1所成的角； （）求证：AC1平面 CDB1 20 （15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 F1，F2分别是椭圆 E：+1（ab0） 的左、右焦点，顶点 B 的坐标为（0，b） 且|BF2|点 C（，）是椭圆 E 上一 点，直线 CF2交椭圆于点 A （）求椭圆 E 的方程； （）求
6、ABC 的面积 21 （15 分）已知 F 为抛物线 C：y22px（p0）的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点 （）当抛物线 C 过点 M（1，2）时，求抛物线 C 的方程； （）证明：是定值 22 （15 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，ABPA 1，AD，F 是 PB 中点，E 为 BC 上一点 （）求证：AF平面 PBC； （）当 BE 为何值时，二面角 CPED 为 45 第 4 页（共 19 页） 2019-2020 学年北京市房山区高二（上）期末数学试卷学年北京市房山区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试
7、题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。有一项符合题目要求。 1 （5 分）椭圆+1 的离心率是（ ） A B C D 【分析】由椭圆+1 方程可知，a，b，c 的值，由离心率 e求出结果 【解答】解：由椭圆+1 可知，a2，b，c1，离心率 e， 故选：D 【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出 a、c 的值是解题 的关键 2 （5 分）在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点
8、，则这 些向量的终点构成的图形是（ ） A一个球 B一个圆 C半圆 D一个点 【分析】利用共面向量的概念及向量的模即可得答案 【解答】解：平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点， 则终点在同一平面内， 又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值 故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量 的终点构成的图形是一个圆 故选：B 【点评】本题考查轨迹方程，关键是理解共面向量的概念，是基础题 3 （5 分）双曲线x21 的渐近线方程为（ ） 第 5 页（共 19 页） Ay2x Byx Cyx Dyx 【分析】直接利用双曲线的渐近线方程，求
9、出双曲线的渐近线方程即可 【解答】解：因为双曲线，则它的渐近线方程为：y2x 故选：A 【点评】本题是基础题，考查双曲线的渐近线方程的求法，考查计算能力 4 （5 分）已知向量 （2，3，5）与向量 （4，x，1）垂直，则实数 x 的值为（ ） A1 B1 C6 D6 【分析】根据数量积的坐标计算公式代入可得 x 的值 【解答】解：向量 （2，3，5）与向量 （4，x，1）垂直，则 0， 由数量积的坐标公式可得：24+（3）x+5（1）0， 解得 x1， 故选：B 【点评】本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题 5 （5 分）已知双曲线1 的焦点为 F1，F2，P 为其上
10、一点若点 P 到 F1的距离 为 15，则点 P 到 F2的距离是（ ） A31 B1 C1 D1 或 31 【分析】直接利用双曲线的定义，转化求解即可 【解答】解：双曲线1 的焦点为 F1，F2，P 为其上一点若点 P 到 F1的距离 为 15， 所以点 P 到 F2的距离是：15+1631 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，是基本知识的考查 6 （5 分）已知直线 1 的方向向量 （1，2，1） ，平面 的法向量 （2，4，2） ， 则直线 1 与平面 的位置关系是（ ） Al Bl Cl Dl 第 6 页（共 19 页） 【分析】由已知可求 2 ，判断
11、 与 共线，即可得解 la 【解答】解：直线 1 的方向向量 （1，2，1） ，平面 的法向量 （2，4，2） ， 2 则 与 共线，可得：la 故选：B 【点评】本题考查满足线面平行的条件的判断，考查线面垂直的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 7 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，向量与向量的夹角是（ ） A150 B135 C45 D30 【分析】由题意利用正方体的性质，求出向量与向量的夹角 【解答】解：如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1，ACA1C1， C1A1B1的补交即为向量与向量 的夹角 C1A1B1为等腰直角三角形，C1A1B145，
12、 量与向量的夹角为 18045135， 故选：B 【点评】本题主要考查两个向量的夹角，正方体的性质，属于中档题 8 （5 分）已知抛物线 y216x 上的点 P 到抛物线焦点的距离 m10，则点 P 到 y 轴的距离 d 等于（ ） A12 B9 C6 D3 【分析】由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出 P 的横坐标，即为 P 到 y 轴的距离 第 7 页（共 19 页） 【解答】解：由抛物线的方程可得准线方程为：x4，设 P 的横坐标为 x0，由抛物线 的性质可得 x0+410，所以 x06，所以 P 到 y 轴的距离为 6， 故选：C 【点评】考查抛物线的性质，属于基础题
13、9 （5 分）已知双曲线+1 的离心率 e2，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak0 或 k3 B3k0 C12k0 D8k3 【分析】直接利用双曲线的方程，求出离心率，利用已知条件求解即可 【解答】解：双曲线+1 可知 k0，并且 a2，c，双曲线的离心率为： ， e2， ， 解得12k4， 综上12k0 故选：C 【点评】本题考查双曲线的基本性质的应用，注意双曲线方程的判断，基本知识的考查 10 （5 分） 如果抛物线 y24x 的焦点为 F 点 M 为该抛物线上的动点， 又点 A （1， 0） 那 么的最大值是（ ） A B C D1 【分析】由题意可得 A 在抛物线的准线上，由抛物线的
14、性质可得抛物线上的点到焦点的 距离等于到准线的距离可得，所以的最大值时，A，M，F 三点故选， 可得结果 第 8 页（共 19 页） 【解答】解：由抛物线的方程可得，焦点 F（1，0） ， 准线方程为：x1，A（1，0）点在准线上， 作 MN准线交于 N，由抛物线的性质可得 MF|MN|，所以， 在三角形 AMN 中，cosMAF，所以的最大值时，FAM 最小， 当 A，M，F 上的共线时，角最小，所以这时的最大值为 1， 故选：D 【点评】考查抛物线的性质，属于基础题 11 （5 分） “方程 mx2+ny21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条件是（ ） Amn0 Bnm0 Cmn0 D
15、mn0 【分析】根据椭圆的标准方程，即可得到结论 【解答】解：若方程表示椭圆，则 m，n0， 则方程等价为+1， 若方程表示焦点在 y 轴上椭圆， 则等价为0， 解得：mn0， 故选：A 【点评】本题主要考查椭圆的定义和方程，将条件转化为标准方程形式是解决本题的关 键 12 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 Q 是平面 A1BCD1内的动点，且点 Q 到直线 AB1和直线 BC 的距离相等，则动点 Q 的轨迹是（ ） 第 9 页（共 19 页） A圆的一部分 B椭圆的一部分 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分 【分析】由题意画出图形，证明 Q 到直线 AB1的距离为 Q 到
16、G 点的距离，再由抛物线的 定义得动点 Q 的轨迹 【解答】解：如图， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，有 A1D1平面 AA1B1B，则 A1D1AB1， 又 AB1A1B，A1BA1D1A1，AB1平面 A1BCD1， 设 A1BAB1G，连接 QG，则 QGAB1，垂直为 G， 而 G 与 BC 在平面 A1BCD1 内，且 GBC， 又点 Q 到直线 AB1和直线 BC 的距离相等， 即点 Q 到 G 的距离与到直线 BC 的距离相等， 由抛物线定义可知，动点 Q 的轨迹是抛物线的一部分 故选：D 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查抛物线定义的 应用
17、，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。分。 13 （5 分）设 是直线与平面所成的角，则角 的取值范围是 0， 【分析】当直线在平面内或直线平行于平面时， 取最小值 0，当直线与平面垂直时， 取最大值，由此能求出角 的取值范围 【解答】解： 是直线与平面所成的角， 当直线在平面内或直线平行于平面时， 取最小值 0， 当直线与平面垂直时， 取最大值， 第 10 页（共 19 页） 角 的取值范围是0， 故答案为：0， 【点评】本题考查线面角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能
18、力，是基础题 14 （5 分）双曲线1 的实轴长为 8 【分析】直接利用双曲线方程，求出实轴长即可 【解答】解：双曲线1 的实轴长为：2a248 故答案为：8 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 15 （5 分）抛物线 x28y 的准线方程是 y2 ，焦点坐标是 （0，2） 【分析】有抛物线的方程直接可得 p 的值及焦点所在轴，求出结果 【解答】解：由抛物线 x28y 可得：2p8，所以 p4，且焦点在 y 轴的负半轴上， 所以焦点（0，）即： （0，2） ，准线 y2， 故答案分别为：y2， （0，2） 【点评】考查抛物线的定义，属于基础题 16 （5 分）以下
19、三个关于圆锥曲线的命题： 设 A，B 为两个定点，k 为非零常数，若|k，则动点 P 的轨迹为双曲线； 方程 2x25x+20 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 双曲线1 与椭圆+y21 有相同的焦点 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 【分析】 （1）根据双曲线的定义知不正确， （2）解方程知两根，一根大于 0 作双曲线 的离心率，一根小于 0 作椭圆的离心率，判定正确； ， （3）求出双曲线的焦点与椭圆的 焦点，判定正确 【解答】解：平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 k（k|F1F2|） 的点的轨迹叫做双曲线， 第 11 页（共 19 页） 当 0k|
20、AB|时是双曲线的一支，当 k|AB|时，表示射线，不正确； 方程 2x25x+20 的两根是 2 和，2 可作为双曲线的离心率，可作为椭圆的离心 率，正确； 双曲线1 与椭圆+y21 的焦点都是（，0） ，有相同的焦点， 正确； 故答案为： 【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，是基础题 17 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABA1A3，则二面角 A1BCA 的大小为 45 【分析】法一：设 ADa，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空 间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A1BCA 的大小 法二：由 BC平
21、面 ABB1A1，得ABA1是二面角 A1BCA 的平面角，由此能求出二 面角 A1BCA 的平面角 【解答】解法一：设 ADa，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立 空间直角坐标系， 则平面 ABC 的法向量 （0，0，1） ， A1（a，0，3） ，B（a，3，0） ，C（0，3，0） ， （a，0，0） ，（0，3，3） ， 设平面 A1BC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y1，得 （0，1，1） ， 设二面角 A1BCA 的大小为 ， 则 cos， 45 二面角 A1BCA 的大小为 45 解法二：在长方体 ABCDA1B1C1D1中， 第
22、 12 页（共 19 页） BC平面 ABB1A1，ABA1是二面角 A1BCA 的平面角， ABAA1，ABAA1， 二面角 A1BCA 的平面角ABA145 故答案为：45 【点评】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知 识，考查运算求解能力，是中档题 18 （5 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的右焦点为 F（3，0） ，过点 F 的直线交 椭圆 C 于 A，B 两点若线段 AB 的中点坐标为（1，1） ，则椭圆 C 的方程为 【分析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，代入椭圆的方程，两式相减，根据线段 AB 的中点 坐标为（1，1） ，求出斜率，
23、进而可得 a，b 的关系，根据右焦点为 F（3，0） ，求出 a， b 的值，即可得出椭圆的方程 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 ， 两式相减可得， 第 13 页（共 19 页） 线段 AB 的中点坐标为（1，1） ， ， 直线的斜率为， ， 右焦点为 F（3，0） ， a2b29， a218，b29， 椭圆方程为： 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 小题，每题小题，每题 15 分，共分，共 60 分。分。 19 （15 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，
24、AC3，BC4，AB5，AA14，点 D 是 AB 的中点 （）求异面直线 AC 与 BC1所成的角； （）求证：AC1平面 CDB1 【分析】 （）方法一：因为 AC3，BC4，AB5，利用勾股定理的逆定理可得ABC 是直角三角形，ACBC因为三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，可得 C1C平面 ABC， ACC1C，AC平面 BB1C1C，即可得出结论 方法二： 因为 AC3， BC4， AB5， 利用勾股定理的逆定理可得ABC 是直角三角形， 第 14 页（共 19 页） ACBC因为三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，可得 C1C平面 ABC，建立空间直角 坐标系，利用向量夹角公式
25、即可得出 （）方法一：设 B1CBC1O，连结 OD，利用三角形中位线定理、线面平行的判定 定理即可证明结论 方法二：建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出 【解答】解： （）方法一：因为 AC3，BC4，AB5， 所以 AC2+BC2AB2，所以ABC 是直角三角形， 所以，所以 ACBC， 因为三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，所以 C1C平面 ABC， 因为 AC平面 ABC，所以 ACC1C， 因为 BCC1CC，BC，C1CBB1C1CC，所以 AC平面 BB1C1C 因为 BC1BB1C1C，所以 ACBC1 所以异面直线 AC 与 BC1所成的角为 方
26、法二：因为 AC3，BC4，AB5， 所以 AC2+BC2AB2，所以ABC 是直角三角形， 所以，所以 ACBC 因为三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，所以 C1C平面 ABC， 所以 C1CAC，C1CBC 以 C 为原点，分别以 CA、CB、CC1为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则 C（0，0，0） ，A（3，0，0） ，B（0，4，0） ，C1（0，0，4） 所以直线AC的方向向量为， 直线BC1的方向向量为， 设异面直线 AC 与 BC1所成的角为 ，则 cos0 所以所以异面直线 AC 与 BC1所成的角为 （）方法一：设 B1CBC1O，连结 OD， 因为
27、O，D 分别为 BC1，AB 的中点 所以 OD 是ABC1的中位线 所以 ODAC1 因为 OD平面 CDB1，AC1平面 CDB1， 第 15 页（共 19 页） 所以 AC1平面 CDB1 方法二：，B1（0，4，4） ，则， 设平面 CDB1的法向量为，则，所以 令 x4，则 y3，z3，所以 直线 AC1的方向向量为， 因为，所以 AC1平面 CDB1 【点评】本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形中位 线定理、法向量的应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20 （15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 F1，F2分别是椭圆 E：+1
28、（ab0） 的左、右焦点，顶点 B 的坐标为（0，b） 且|BF2|点 C（，）是椭圆 E 上一 点，直线 CF2交椭圆于点 A （）求椭圆 E 的方程； （）求ABC 的面积 【分析】 （）根据椭圆的性质，将 C 代入椭圆方程，即可求得 b 的值，求得椭圆方程； （）由（）可知，求得直线 CF2的方程，代入椭圆方程，求得 A 点坐标，求得|AB|， 即可求得ABC 的面积 【解答】解： （）因为顶点 B 的坐标为（0，b） ， 所以， 第 16 页（共 19 页） 因为点在椭圆上，所以，解得 b21， 故所求椭圆的方程为； （）因为点 C 的坐标为，点 F2的坐标为（1，0） ， 所以直线
29、CF2的斜率，所以直线 CF2的方程为 yx1， 由得，3x24x0，所以或， 所以点 A 的坐标为（0，1） ，所以|AB|2， 所以 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查转 化思想，计算能力，属于中档题 21 （15 分）已知 F 为抛物线 C：y22px（p0）的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点 （）当抛物线 C 过点 M（1，2）时，求抛物线 C 的方程； （）证明：是定值 【分析】 （）将 M 点代入抛物线方程，即可求得 p 的值，求得抛物线方程； （）分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线 l 的方程，代入抛物线方程
30、，根据韦达 定理及向量的坐标运算，即可证明是定值 【解答】解： （）因为抛物线 C：y22px（p0）过点 M（1，2） ， 所以 42p，p2， 所以抛物线 C 的方程 y24x； （）证明：当直线 l 有斜率时，设直线 l 的方程为，则 ， 第 17 页（共 19 页） 将（1）代入（2）得，化简得， 设 A，B 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ，则， 因为点 A，B 都在抛物线 y22px 上，所以， 所以，所以， 因为点 A，B 分布在 x 轴的两侧，所以 y1y20，所以， 所以，所以，是定值 当直线 l 无斜率时， 设 A， B 的坐标分别为 （x1， y1） ，
31、（x2， y2） ， 则 x1， 代入抛物线方程 y22px 得， 所以，因为点 A，B 分布在 x 轴的两侧，所以 y1y20，所以， 所以，所以，是定值 综上，是定值 【点评】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查 韦达定理，考查分类讨论思想，计算能力，属于中档题 22 （15 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，ABPA 1，AD，F 是 PB 中点，E 为 BC 上一点 （）求证：AF平面 PBC； （）当 BE 为何值时，二面角 CPED 为 45 【分析】 （）以 A 为原点，AD 为 x 轴，AB 为 y
32、轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能证明 AF平面 PBC （）设 BEa，E（a，1，0 求出平面 PDE 的法向量和平面 PCE 的法向量，利用向量 第 18 页（共 19 页） 法能求出当 BE时，二面角 CPED 为 45 【解答】解： （）证明：以 A 为原点，AD 为 x 轴，AB 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间 直角坐标系， ABPA1，AD，F 是 PB 中点， A（0，0，0） ，P（0，0，1） ，B（0，1，0） ，C（，1，0） ， ，F（0，） ， （0，） ， 0， AFPB，AFPC， AF平面 PBC （）设 BEa，E（a，1，0） ， 设平面 PDE 的法向量， 则， 取 x1，得 （1，） ， 平面 PCE 的法向量为， 二面角 CPED 为 45， cos， 解得 a， 当 BE时，二面角 CPED 为 45 AF平面 PBC 第 19 页（共 19 页） 【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查使得二面角为 45的线段长的求法，解 题时要认真审题，注意向量法的合理运用