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2019-2020学年北京市怀柔区高二(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、抛物线 y24x 的焦点坐标为( ) A (0,1) B (1,0) C (2,0) D (0,2) 2 (5 分)如果 ab0,那么下面一定成立的是( ) Aacbc Bacbc Ca2b2 D 3 (5 分)双曲线y21 的渐近线方程为( ) Ayx Byx Cy3x Dyx 4 (5 分)过点(1,1)的抛物线的标准方程为( ) Ay2x By2x Cx2y Dy2x 或 x2y 5 (5 分)已知数列an为等差数列,则下面不一定成立的是( ) A若 a2a1,则 a3a1 B若 a2a1,则 a3a2 C若 a3a1,则 a2a1 D若 a2a1,则 a1+a2a1 6 (5 分)已知

2、椭圆与双曲线1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离 之和为 10,那么椭圆的离心率等于( ) A B C D 7 (5 分)若 (1,1,2)是直线 l 的方向向量, (1,3,0)是平面 的法向 量,则直线 l 与平面 的位置关系是( ) A直线 l 在平面 内 B平行 C相交但不垂直 D垂直 8 (5 分)已知 m(a0) ,nx+1(x0) ,则 m、n 之间的大小关系是( ) Amn Bmn Cmn Dmn 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上 9 (5 分)不等式(x1)

3、(x2)0 的解集是 第 2 页(共 15 页) 10 (5 分)双曲线y21 的实轴长为 ,离心率为 11 (5 分)若 m,n 均为正数,且 1 是 m,n 的等差中项,则 mn 的最大值为 12 (5 分)在数列 1,中,是它的第 项 13 (5 分)已知平面 的一个法向量是 (1,1,2) ,且点 A(0,3,1)在平面 上, 若 P(x,y,z)是平面 上任意一点,则向量 ,点 P 的坐标满足的方程 是 14 (5 分)在平面直角坐标系中,曲线 C 是由到两个定点 A(1,0)和点 B(1,0)的 距离之积等于的所有点组成的对于曲线 C,有下列四个结论: 曲线 C 是轴对称图形; 曲

4、线 C 是中心对称图形; 曲线 C 上所有的点都在单位圆 x2+y21 内; 其中,所有正确结论的序号是 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 80 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 15 (13 分)已知等差数列an满足 a1+a210,S318 ()求an的通项公式; ()设等比数列bn满足 b2a3,b3a7,问:b5与数列an的第几项相等? 16 (13 分)在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,底面四边形 ABCD 为直角梯形,AD BC,ADAB,PAAD2,ABBC1,Q 为 PD 中点 ()求证:

5、PDBQ; ()求异面直线 PC 与 BQ 所成角的余弦值 17 (13 分)已知椭圆 C:+1(ab0)的右焦点 F(,0) ,且点 A(2,0) 第 3 页(共 15 页) 在椭圆上 ()求椭圆 C 的标准方程; ()过点 F 且斜率为 1 的直线与椭圆 C 相交于 M、N 两点,求OMN 的面积 18 (13 分)已知数列an满足 a11,an+1an+2,数列bn的前 n 项和为 Sn,且 Sn2 bn ()求数列an,bn的通项公式; ()设nan+bn,求数列bn的前 n 项和 Tn 19 (14 分)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,ACBC,ACBCCC12,点 D,E,

6、 F 分别为棱 A1C1,B1C1,BB1的中点 ()求证:AC1平面 DEF; ()求二面角 C1ACB1的大小; () 在线段 AA1上是否存在一点 P, 使得直线 DP 与平面 ACB1所成的角为 30?如果 存在,求出线段 AP 的长;如果不存在,说明理由 20 (14 分)已知椭圆 C:x2+2y24 (1)求椭圆 C 的标准方程和离心率; (2)是否存在过点 P(0,3)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且满足2若 存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由 第 4 页(共 15 页) 2019-2020 学年北京市怀柔区高二(上)期末数学试卷学年北京市怀柔区高二

7、(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出分在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项符合题目要求的一项 1 (5 分)抛物线 y24x 的焦点坐标为( ) A (0,1) B (1,0) C (2,0) D (0,2) 【分析】直接利用抛物线方程求解焦点坐标即可 【解答】解:抛物线 y24x 的焦点坐标为(1,0) 故选:B 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,是基本知识的考查 2 (5 分)如果 ab0,那么下面一定成立的是( ) Aa

8、cbc Bacbc Ca2b2 D 【分析】根据 ab0 及不等式的性质即可判断每个选项的正误,从而找出正确的选项 【解答】解:ab0, acbc,A 错误; c 不确定,ac 与 bc 的大小不等确定,B 错误; a2b2正确,C 正确; ,D 错误 故选:C 【点评】本题考查了不等式的性质,考查了计算能力,属于基础题 3 (5 分)双曲线y21 的渐近线方程为( ) Ayx Byx Cy3x Dyx 【分析】由双曲线方程求得 a,b 的值,则渐近线方程可求 【解答】解:由双曲线y21,得 a29,b21,即 a3,b1 双曲线y21 的渐近线方程为 y 故选:A 第 5 页(共 15 页)

9、 【点评】本题考查双曲线的简单性质,是基础题 4 (5 分)过点(1,1)的抛物线的标准方程为( ) Ay2x By2x Cx2y Dy2x 或 x2y 【分析】由题意设出抛物线方程为 y2ax 或 x2ay,结合抛物线过点(1,1)分类求 得 a 的值得答案 【解答】解:由题意可设抛物线方程为 y2ax 或 x2ay, 抛物线过点(1,1) , 当抛物线方程为 y2ax 时,得 a1; 当抛物线方程为 x2ay 时,得 a1 抛物线的标准方程是 y2x 或 x2y 故选:D 【点评】本题考查抛物线标准方程的求法,考查了分类讨论的数学思想方法,是中档题 5 (5 分)已知数列an为等差数列,则

10、下面不一定成立的是( ) A若 a2a1,则 a3a1 B若 a2a1,则 a3a2 C若 a3a1,则 a2a1 D若 a2a1,则 a1+a2a1 【分析】利用等差数列的单调性即可判断出结论 【解答】解:利用等差数列的单调性可得:若 a2a1,则 a1+a2a1;例如 a10 时不成 立 故选:D 【点评】本题考查了等差数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题 6 (5 分)已知椭圆与双曲线1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离 之和为 10,那么椭圆的离心率等于( ) A B C D 【分析】求得双曲线的焦点,可得椭圆的 c4,再由椭圆的定义可得 a5,运用离心率 公式

11、计算即可得到 【解答】解:双曲线1 的焦点为(,0) , 第 6 页(共 15 页) 即为(4,0) , 即有椭圆的 c4, 由椭圆的定义可得 2a10, 可得 a5, 则椭圆的离心率为 e 故选:B 【点评】本题考查双曲线和椭圆的定义、方程和性质,主要考查离心率的求法,运用定 义和离心率公式是解题的关键 7 (5 分)若 (1,1,2)是直线 l 的方向向量, (1,3,0)是平面 的法向 量,则直线 l 与平面 的位置关系是( ) A直线 l 在平面 内 B平行 C相交但不垂直 D垂直 【分析】先判断 与 是否共线或垂直,即可得出结论 【解答】解:由不存在实数使得 k 成立,因此 l 与

12、不垂直 由 20,可得直线 l 与平面 不平行 因此直线 l 与平面 的位置关系是相交但不垂直 故选:C 【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、线面位置关系,考查了推理能力 与计算能力,属于基础题 8 (5 分)已知 m(a0) ,nx+1(x0) ,则 m、n 之间的大小关系是( ) Amn Bmn Cmn Dmn 【分析】利用基本不等式求出 m 的最小值,一次函数的性质判断 n 的最大值,然后比较 大小即可 【解答】解:因为 a0, ma+1211 当且仅当 a1 时去等号, x0, nx+11; 第 7 页(共 15 页) mn; 故选:A 【点评】本题考查基本不等式的应用,函

13、数的单调性的应用,考查基本知识的理解与应 用 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上 9 (5 分)不等式(x1) (x2)0 的解集是 (1,2) 【分析】将“不等式(x1) (x2)0”转化为“不等式组 或” , 利用一元一次不等式的解法求解 【解答】解:依题意,不等式化为 不等式组 或, 解得 1x2, 故答案为: (1,2) 【点评】本题主要考查不等式的解法,关键是将不等式转化为特定的不等式去解 10 (5 分)双曲线y21 的实轴长为 4 ,离心率为 【分析】根据方程可得 a,b,c

14、 即可 【解答】解:根据题意得 a2,b1,所以 c, 则 2a4,e, 故答案为:4, 【点评】本题考查根究双曲线方程求实轴长和离心率,根据条件正确求出 a,b,c 是关 键,属于基础题 11 (5 分)若 m,n 均为正数,且 1 是 m,n 的等差中项,则 mn 的最大值为 1 【分析】根据题意,m+n2,利用基本不等式求出即可 【解答】解:若 m,n 均为正数,且 1 是 m,n 的等差中项, 则 m+n2, 故 mn,当且仅当 mn1 取等号, 故答案为:1 【点评】考查等差中项的定义,还考查了基本不等式的应用,基础题 第 8 页(共 15 页) 12 (5 分)在数列 1,中,是它

15、的第 6 项 【分析】根据题意,分析可得数列的通项公式 an,进而解可得 n 的值, 即可得答案 【解答】解:根据题意,数列 1,中,其通项公式 an, 若,解可得 n6,即是它的第 6 项; 故答案为:6 【点评】本题考查数列的表示方法,注意数列通项公式的定义,属于基础题 13 (5 分)已知平面 的一个法向量是 (1,1,2) ,且点 A(0,3,1)在平面 上, 若 P(x,y,z)是平面 上任意一点,则向量 (x,y3,z1) ,点 P 的坐 标满足的方程是 xy+2z30 【分析】由点 A(0,3,1)在平面 上,P(x,y,z)是平面 上任意一点,利用向量 坐标运算法则能求出向量,

16、再由平面 的一个法向量是 (1,1,2) ,得到 x(y3)+2z0,由此能求出点 P 的坐标满足的方程 【解答】解:平面 的一个法向量是 (1,1,2) , 点 A(0,3,1)在平面 上,P(x,y,z)是平面 上任意一点, 向量(x,y3,z1) , x(y3)+2z0, 点 P 的坐标满足的方程是 xy+2z30 故答案为: (x,y3,z1) ,xy+2z30 【点评】本题考查向量的求法,考查平面向量坐标运算法则、法向量等基础知识,考查 运算求解能力,是基础题 14 (5 分)在平面直角坐标系中,曲线 C 是由到两个定点 A(1,0)和点 B(1,0)的 距离之积等于的所有点组成的对

17、于曲线 C,有下列四个结论: 曲线 C 是轴对称图形; 曲线 C 是中心对称图形; 曲线 C 上所有的点都在单位圆 x2+y21 内; 第 9 页(共 15 页) 其中,所有正确结论的序号是 【分析】由题意曲线 C 是平面内与两个定点 F1(1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于 常数,利用直接法,设动点坐标为(x,y) ,及可得到动点的轨迹方程,然后由方程 特点即可加以判断 【解答】解:由题意设动点坐标为(x,y) ,利用题意及两点间的距离公式的得:(x+1) 2+y2(x1)2+y2 , 对于,方程中的 x 被x 代换,y 被y 代换,方程不变,故关于 y 轴对称和 x 轴对称, 故曲线

18、 C 是轴对称图形,故正确 对于,把方程中的 x 被x 代换,y 被y 代换,方程不变,故此曲线关于原点对称, 曲线 C 是中心对称图形,故正确; 对于y0 可得, (x+1) 2 (x1)2 , 即 (x21) 2 x212; 当 x21+ 时,x1; 此时对应的点不在单位圆 x2+y21 内,故错误 故答案为: 【点评】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程,考查了运算能力和转化能力,属 于中档题目 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 80 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 15 (13 分)已知等差数列an满足

19、a1+a210,S318 ()求an的通项公式; ()设等比数列bn满足 b2a3,b3a7,问:b5与数列an的第几项相等? 【分析】 (I) 设等差数列an的公差为 d, 由 a1+a210, S318 可得 2a1+d10, 3a1+3d 18,联立解得:a1,d即可得出 ()设等比数列bn的公比为 q,由 b2a38b1q,b3a716b1q2,联立解得: b1,q即可得出 【解答】解: (I)设等差数列an的公差为 d,a1+a210,S318 2a1+d10,3a1+3d18, 联立解得:a14,d2 an4+2(n1)2n+2 ()设等比数列bn的公比为 q,b2a38b1q 第

20、 10 页(共 15 页) b3a716b1q2,联立解得:b14,q2 bn2n+1 b5642n+2,解得 n31 b5与数列an的第 31 项相等 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式,考查了推理能力与计算 能力,属于基础题 16 (13 分)在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,底面四边形 ABCD 为直角梯形,AD BC,ADAB,PAAD2,ABBC1,Q 为 PD 中点 ()求证:PDBQ; ()求异面直线 PC 与 BQ 所成角的余弦值 【分析】 (I)建立空间直角坐标系,只要证明0,即可证明结论 ()(1,1,2) ,利用向量夹角公式即可得出 【解答

21、】 (I)证明:如图所示,A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,P(0,0,2) ,D(0,2, 0) ,Q(0,1,1) ,C(1,1,0) , (0,2,2) ,(1,1,1) , 由220, , PDBQ; ()解:(1,1,2) , cos, 第 11 页(共 15 页) 异面直线 PC 与 BQ 所成角的余弦值为 【点评】本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质,考查了推理 能力与计算能力,属于基础题 17 (13 分)已知椭圆 C:+1(ab0)的右焦点 F(,0) ,且点 A(2,0) 在椭圆上 ()求椭圆 C 的标准方程; ()过点 F 且斜率为 1 的直线与

22、椭圆 C 相交于 M、N 两点,求OMN 的面积 【分析】 ()由题意可得 a,c 的值,由 a,b,c 的关系可得 b,进而点到椭圆方程; ()过点 F 且斜率为 1 的直线方程设为 yx,联立椭圆方程,运用韦达定理和弦 长公式,可得|MN|,再由点到直线的距离公式可得 O 到 MN 的距离 d,运用三角形的面 积公式,计算可得所求值 【解答】解: ()由题意可得 a2,c,b1, 则椭圆的标准方程为+y21; ()过点 F 且斜率为 1 的直线方程设为 yx, 联立椭圆方程可得 5x28x+80, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,可得 x1+x2,x1x2, 则|MN|, 又

23、O 到 MN 的距离为 d, 则三角形 OMN 的面积为d|MN| 第 12 页(共 15 页) 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理和 弦长公式,考查点到直线的距离公式和三角形的面积求法,考查运算能力和推理能力, 属于中档题 18 (13 分)已知数列an满足 a11,an+1an+2,数列bn的前 n 项和为 Sn,且 Sn2 bn ()求数列an,bn的通项公式; ()设nan+bn,求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 ()由题意可得数列an是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列,数列bn是 以 1 为首项,以为公比的等比数列,则数列an,

24、bn的通项公式可求; ()利用数列的分组求和与等差数列和等比数列的前 n 项和求解 【解答】解: ()由 a11,an+1an+2,可得数列an是以 1 为首项,以 2 为公差的等 差数列, 则 an1+2(n1)2n1; 由 Sn2bn,得 b11, 当 n2 时,Sn12bn1,可得 SnSn12bn2+bn1, 即(n2) ,则数列bn是以 1 为首项,以为公比的等比数列 ; ()nan+bn(2n1)+ 则 TnC1+C2+n 【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式,训练了数列的分组求和与等差数列 和等比数列的前 n 项和,是中档题 19 (14 分)如图,在直三棱柱 ABCA1

25、B1C1中,ACBC,ACBCCC12,点 D,E, F 分别为棱 A1C1,B1C1,BB1的中点 ()求证:AC1平面 DEF; ()求二面角 C1ACB1的大小; 第 13 页(共 15 页) () 在线段 AA1上是否存在一点 P, 使得直线 DP 与平面 ACB1所成的角为 30?如果 存在,求出线段 AP 的长;如果不存在,说明理由 【分析】 (I)如图所示,连接 A1B,交 AB1于点 O,连接 OD,OB1利用三角形中位线 定理、 正方形的性质、 平行四边形的判定定理可得: 四边形 OFED 是平行四边形 即 OE 平面 DEF;又 OEAC1,利用线面平行的判定定理即可证明结

26、论 AC1平面 DEF (II)利用直接三棱柱的性质可得:C1CAC,可得BCC1是二面角 C1ACB1的平 面角进而得出结论 (III)如图所示,建立空间直角坐标系设 P(2,0,t) ,t0,2,设平面 ACB1的法向 量为 (x,y,z) ,则 0,可得 利用 sin30|cos ,|,向 量夹角公式即可得出 【解答】 (I)证明:如图所示,连接 A1B,交 AB1于点 O,连接 OD,OB1 OFAB,DEA1B1,ABA1B1, OFDE 则四边形 OFED 是平行四边形OE平面 DEF; 又 OEAC1,AC1平面 DEF;OE平面 DEF AC1平面 DEF (II)解:ACBC

27、,C1CAC,BCC1是二面角 C1ACB1的平面角 由 CC1CB,BCC190, 二面角 C1ACB1是 90 (III)解:如图所示,建立空间直角坐标系C(0,0,0) ,A(2,0,0) ,B1(0,2, 2) ,D(1,0,2) , 设 P(2,0,t) ,t0,2.(1,0,2t) ,(2,0,0) ,(0,2,2) , 设平面 ACB1的法向量为 (x,y,z) ,则 0, 第 14 页(共 15 页) 2x0,2y+2z0, 取 (0,1,1) sin30|cos ,|,化为:t24t+30t0,2 解得 t1P(2,0,1) , |AP|1 在线段AA1上存在一点P, 为线段

28、AA1的中点, 使得直线DP与平面ACB1所成的角为30, AP1 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的应用、向量夹角公式、数量积运 算性质、三角形中位线定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 20 (14 分)已知椭圆 C:x2+2y24 (1)求椭圆 C 的标准方程和离心率; (2)是否存在过点 P(0,3)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且满足2若 存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)将椭圆方程化为标准方程,可得 a,b,c,由离心率公式可得所求值; (2)假设存在过点 P(0,3)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,

29、且满足2, 可设直线 l 的方程为 xm(y3) ,联立椭圆方程,消去 x 可得 y 的二次方程,运用韦达 定理和判别式大于 0,再由向量共线的坐标表示,化简整理解方程,即可判断是否存在这 样的直线 【解答】解: (1)椭圆 C:x2+2y24,即有标准方程为+1, 可得 a2,b,c,e; 第 15 页(共 15 页) (2)假设存在过点 P(0,3)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且满足2, 可设直线 l 的方程为 xm(y3) ,联立椭圆方程 x2+2y24, 可得(2+m2)y26m2y+9m240,36m44(2+m2) (9m24)0,即 m2, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,可得 y1+y2,y1y2, 由2,可得(x2,y23)2(x1,y13) ,即 y232(y13) ,即 y22y13, 将代入可得 3y13,y1(2y13), 消去 y1,可得,解得 m2, 故存在这样的直线 l,且方程为 7xy+30 或 7x+y30 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理, 同时考查向量共线的坐标表示,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题