1、抛物线 y24x 的焦点坐标为（ ） A （0，1） B （1，0） C （2，0） D （0，2） 2 （5 分）如果 ab0，那么下面一定成立的是（ ） Aacbc Bacbc Ca2b2 D 3 （5 分）双曲线y21 的渐近线方程为（ ） Ayx Byx Cy3x Dyx 4 （5 分）过点（1，1）的抛物线的标准方程为（ ） Ay2x By2x Cx2y Dy2x 或 x2y 5 （5 分）已知数列an为等差数列，则下面不一定成立的是（ ） A若 a2a1，则 a3a1 B若 a2a1，则 a3a2 C若 a3a1，则 a2a1 D若 a2a1，则 a1+a2a1 6 （5 分）已知
2、椭圆与双曲线1 的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离 之和为 10，那么椭圆的离心率等于（ ） A B C D 7 （5 分）若 （1，1，2）是直线 l 的方向向量， （1，3，0）是平面 的法向 量，则直线 l 与平面 的位置关系是（ ） A直线 l 在平面 内 B平行 C相交但不垂直 D垂直 8 （5 分）已知 m（a0） ，nx+1（x0） ，则 m、n 之间的大小关系是（ ） Amn Bmn Cmn Dmn 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上 9 （5 分）不等式（x1）
3、（x2）0 的解集是 第 2 页（共 15 页） 10 （5 分）双曲线y21 的实轴长为 ，离心率为 11 （5 分）若 m，n 均为正数，且 1 是 m，n 的等差中项，则 mn 的最大值为 12 （5 分）在数列 1，中，是它的第 项 13 （5 分）已知平面 的一个法向量是 （1，1，2） ，且点 A（0，3，1）在平面 上， 若 P（x，y，z）是平面 上任意一点，则向量 ，点 P 的坐标满足的方程 是 14 （5 分）在平面直角坐标系中，曲线 C 是由到两个定点 A（1，0）和点 B（1，0）的 距离之积等于的所有点组成的对于曲线 C，有下列四个结论： 曲线 C 是轴对称图形； 曲
4、线 C 是中心对称图形； 曲线 C 上所有的点都在单位圆 x2+y21 内； 其中，所有正确结论的序号是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （13 分）已知等差数列an满足 a1+a210，S318 （）求an的通项公式； （）设等比数列bn满足 b2a3，b3a7，问：b5与数列an的第几项相等？ 16 （13 分）在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面四边形 ABCD 为直角梯形，AD BC，ADAB，PAAD2，ABBC1，Q 为 PD 中点 （）求证：
5、PDBQ； （）求异面直线 PC 与 BQ 所成角的余弦值 17 （13 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的右焦点 F（，0） ，且点 A（2，0） 第 3 页（共 15 页） 在椭圆上 （）求椭圆 C 的标准方程； （）过点 F 且斜率为 1 的直线与椭圆 C 相交于 M、N 两点，求OMN 的面积 18 （13 分）已知数列an满足 a11，an+1an+2，数列bn的前 n 项和为 Sn，且 Sn2 bn （）求数列an，bn的通项公式； （）设nan+bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 19 （14 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCCC12，点 D，E，
6、 F 分别为棱 A1C1，B1C1，BB1的中点 （）求证：AC1平面 DEF； （）求二面角 C1ACB1的大小； （） 在线段 AA1上是否存在一点 P， 使得直线 DP 与平面 ACB1所成的角为 30？如果 存在，求出线段 AP 的长；如果不存在，说明理由 20 （14 分）已知椭圆 C：x2+2y24 （1）求椭圆 C 的标准方程和离心率； （2）是否存在过点 P（0，3）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且满足2若 存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 第 4 页（共 15 页） 2019-2020 学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷学年北京市怀柔区高二
7、（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出分在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项符合题目要求的一项 1 （5 分）抛物线 y24x 的焦点坐标为（ ） A （0，1） B （1，0） C （2，0） D （0，2） 【分析】直接利用抛物线方程求解焦点坐标即可 【解答】解：抛物线 y24x 的焦点坐标为（1，0） 故选：B 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查 2 （5 分）如果 ab0，那么下面一定成立的是（ ） Aa
8、cbc Bacbc Ca2b2 D 【分析】根据 ab0 及不等式的性质即可判断每个选项的正误，从而找出正确的选项 【解答】解：ab0， acbc，A 错误； c 不确定，ac 与 bc 的大小不等确定，B 错误； a2b2正确，C 正确； ，D 错误 故选：C 【点评】本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题 3 （5 分）双曲线y21 的渐近线方程为（ ） Ayx Byx Cy3x Dyx 【分析】由双曲线方程求得 a，b 的值，则渐近线方程可求 【解答】解：由双曲线y21，得 a29，b21，即 a3，b1 双曲线y21 的渐近线方程为 y 故选：A 第 5 页（共 15 页）
9、 【点评】本题考查双曲线的简单性质，是基础题 4 （5 分）过点（1，1）的抛物线的标准方程为（ ） Ay2x By2x Cx2y Dy2x 或 x2y 【分析】由题意设出抛物线方程为 y2ax 或 x2ay，结合抛物线过点（1，1）分类求 得 a 的值得答案 【解答】解：由题意可设抛物线方程为 y2ax 或 x2ay， 抛物线过点（1，1） ， 当抛物线方程为 y2ax 时，得 a1； 当抛物线方程为 x2ay 时，得 a1 抛物线的标准方程是 y2x 或 x2y 故选：D 【点评】本题考查抛物线标准方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题 5 （5 分）已知数列an为等差数列，则
10、下面不一定成立的是（ ） A若 a2a1，则 a3a1 B若 a2a1，则 a3a2 C若 a3a1，则 a2a1 D若 a2a1，则 a1+a2a1 【分析】利用等差数列的单调性即可判断出结论 【解答】解：利用等差数列的单调性可得：若 a2a1，则 a1+a2a1；例如 a10 时不成 立 故选：D 【点评】本题考查了等差数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6 （5 分）已知椭圆与双曲线1 的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离 之和为 10，那么椭圆的离心率等于（ ） A B C D 【分析】求得双曲线的焦点，可得椭圆的 c4，再由椭圆的定义可得 a5，运用离心率 公式
11、计算即可得到 【解答】解：双曲线1 的焦点为（，0） ， 第 6 页（共 15 页） 即为（4，0） ， 即有椭圆的 c4， 由椭圆的定义可得 2a10， 可得 a5， 则椭圆的离心率为 e 故选：B 【点评】本题考查双曲线和椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，运用定 义和离心率公式是解题的关键 7 （5 分）若 （1，1，2）是直线 l 的方向向量， （1，3，0）是平面 的法向 量，则直线 l 与平面 的位置关系是（ ） A直线 l 在平面 内 B平行 C相交但不垂直 D垂直 【分析】先判断 与 是否共线或垂直，即可得出结论 【解答】解：由不存在实数使得 k 成立，因此 l 与
12、不垂直 由 20，可得直线 l 与平面 不平行 因此直线 l 与平面 的位置关系是相交但不垂直 故选：C 【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、线面位置关系，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题 8 （5 分）已知 m（a0） ，nx+1（x0） ，则 m、n 之间的大小关系是（ ） Amn Bmn Cmn Dmn 【分析】利用基本不等式求出 m 的最小值，一次函数的性质判断 n 的最大值，然后比较 大小即可 【解答】解：因为 a0， ma+1211 当且仅当 a1 时去等号， x0， nx+11； 第 7 页（共 15 页） mn； 故选：A 【点评】本题考查基本不等式的应用，函
13、数的单调性的应用，考查基本知识的理解与应 用 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上 9 （5 分）不等式（x1） （x2）0 的解集是 （1，2） 【分析】将“不等式（x1） （x2）0”转化为“不等式组 或” ， 利用一元一次不等式的解法求解 【解答】解：依题意，不等式化为 不等式组 或， 解得 1x2， 故答案为： （1，2） 【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解 10 （5 分）双曲线y21 的实轴长为 4 ，离心率为 【分析】根据方程可得 a，b，c
14、 即可 【解答】解：根据题意得 a2，b1，所以 c， 则 2a4，e， 故答案为：4， 【点评】本题考查根究双曲线方程求实轴长和离心率，根据条件正确求出 a，b，c 是关 键，属于基础题 11 （5 分）若 m，n 均为正数，且 1 是 m，n 的等差中项，则 mn 的最大值为 1 【分析】根据题意，m+n2，利用基本不等式求出即可 【解答】解：若 m，n 均为正数，且 1 是 m，n 的等差中项， 则 m+n2， 故 mn，当且仅当 mn1 取等号， 故答案为：1 【点评】考查等差中项的定义，还考查了基本不等式的应用，基础题 第 8 页（共 15 页） 12 （5 分）在数列 1，中，是它
15、的第 6 项 【分析】根据题意，分析可得数列的通项公式 an，进而解可得 n 的值， 即可得答案 【解答】解：根据题意，数列 1，中，其通项公式 an， 若，解可得 n6，即是它的第 6 项； 故答案为：6 【点评】本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题 13 （5 分）已知平面 的一个法向量是 （1，1，2） ，且点 A（0，3，1）在平面 上， 若 P（x，y，z）是平面 上任意一点，则向量 （x，y3，z1） ，点 P 的坐 标满足的方程是 xy+2z30 【分析】由点 A（0，3，1）在平面 上，P（x，y，z）是平面 上任意一点，利用向量 坐标运算法则能求出向量，
16、再由平面 的一个法向量是 （1，1，2） ，得到 x（y3）+2z0，由此能求出点 P 的坐标满足的方程 【解答】解：平面 的一个法向量是 （1，1，2） ， 点 A（0，3，1）在平面 上，P（x，y，z）是平面 上任意一点， 向量（x，y3，z1） ， x（y3）+2z0， 点 P 的坐标满足的方程是 xy+2z30 故答案为： （x，y3，z1） ，xy+2z30 【点评】本题考查向量的求法，考查平面向量坐标运算法则、法向量等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 14 （5 分）在平面直角坐标系中，曲线 C 是由到两个定点 A（1，0）和点 B（1，0）的 距离之积等于的所有点组成的对
17、于曲线 C，有下列四个结论： 曲线 C 是轴对称图形； 曲线 C 是中心对称图形； 曲线 C 上所有的点都在单位圆 x2+y21 内； 第 9 页（共 15 页） 其中，所有正确结论的序号是 【分析】由题意曲线 C 是平面内与两个定点 F1（1，0）和 F2（1，0）的距离的积等于 常数，利用直接法，设动点坐标为（x，y） ，及可得到动点的轨迹方程，然后由方程 特点即可加以判断 【解答】解：由题意设动点坐标为（x，y） ，利用题意及两点间的距离公式的得：（x+1） 2+y2（x1）2+y2 ， 对于，方程中的 x 被x 代换，y 被y 代换，方程不变，故关于 y 轴对称和 x 轴对称， 故曲线
18、 C 是轴对称图形，故正确 对于，把方程中的 x 被x 代换，y 被y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称， 曲线 C 是中心对称图形，故正确； 对于y0 可得， （x+1） 2 （x1）2 ， 即 （x21） 2 x212； 当 x21+ 时，x1； 此时对应的点不在单位圆 x2+y21 内，故错误 故答案为： 【点评】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，考查了运算能力和转化能力，属 于中档题目 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （13 分）已知等差数列an满足
19、a1+a210，S318 （）求an的通项公式； （）设等比数列bn满足 b2a3，b3a7，问：b5与数列an的第几项相等？ 【分析】 （I） 设等差数列an的公差为 d， 由 a1+a210， S318 可得 2a1+d10， 3a1+3d 18，联立解得：a1，d即可得出 （）设等比数列bn的公比为 q，由 b2a38b1q，b3a716b1q2，联立解得： b1，q即可得出 【解答】解： （I）设等差数列an的公差为 d，a1+a210，S318 2a1+d10，3a1+3d18， 联立解得：a14，d2 an4+2（n1）2n+2 （）设等比数列bn的公比为 q，b2a38b1q 第
20、 10 页（共 15 页） b3a716b1q2，联立解得：b14，q2 bn2n+1 b5642n+2，解得 n31 b5与数列an的第 31 项相等 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题 16 （13 分）在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面四边形 ABCD 为直角梯形，AD BC，ADAB，PAAD2，ABBC1，Q 为 PD 中点 （）求证：PDBQ； （）求异面直线 PC 与 BQ 所成角的余弦值 【分析】 （I）建立空间直角坐标系，只要证明0，即可证明结论 （）（1，1，2） ，利用向量夹角公式即可得出 【解答
21、】 （I）证明：如图所示，A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，P（0，0，2） ，D（0，2， 0） ，Q（0，1，1） ，C（1，1，0） ， （0，2，2） ，（1，1，1） ， 由220， ， PDBQ； （）解：（1，1，2） ， cos， 第 11 页（共 15 页） 异面直线 PC 与 BQ 所成角的余弦值为 【点评】本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理 能力与计算能力，属于基础题 17 （13 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的右焦点 F（，0） ，且点 A（2，0） 在椭圆上 （）求椭圆 C 的标准方程； （）过点 F 且斜率为 1 的直线与
22、椭圆 C 相交于 M、N 两点，求OMN 的面积 【分析】 （）由题意可得 a，c 的值，由 a，b，c 的关系可得 b，进而点到椭圆方程； （）过点 F 且斜率为 1 的直线方程设为 yx，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦 长公式，可得|MN|，再由点到直线的距离公式可得 O 到 MN 的距离 d，运用三角形的面 积公式，计算可得所求值 【解答】解： （）由题意可得 a2，c，b1， 则椭圆的标准方程为+y21； （）过点 F 且斜率为 1 的直线方程设为 yx， 联立椭圆方程可得 5x28x+80， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，可得 x1+x2，x1x2， 则|MN|， 又
23、O 到 MN 的距离为 d， 则三角形 OMN 的面积为d|MN| 第 12 页（共 15 页） 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和 弦长公式，考查点到直线的距离公式和三角形的面积求法，考查运算能力和推理能力， 属于中档题 18 （13 分）已知数列an满足 a11，an+1an+2，数列bn的前 n 项和为 Sn，且 Sn2 bn （）求数列an，bn的通项公式； （）设nan+bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （）由题意可得数列an是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，数列bn是 以 1 为首项，以为公比的等比数列，则数列an，
24、bn的通项公式可求； （）利用数列的分组求和与等差数列和等比数列的前 n 项和求解 【解答】解： （）由 a11，an+1an+2，可得数列an是以 1 为首项，以 2 为公差的等 差数列， 则 an1+2（n1）2n1； 由 Sn2bn，得 b11， 当 n2 时，Sn12bn1，可得 SnSn12bn2+bn1， 即（n2） ，则数列bn是以 1 为首项，以为公比的等比数列 ； （）nan+bn（2n1）+ 则 TnC1+C2+n 【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和与等差数列 和等比数列的前 n 项和，是中档题 19 （14 分）如图，在直三棱柱 ABCA1
25、B1C1中，ACBC，ACBCCC12，点 D，E， F 分别为棱 A1C1，B1C1，BB1的中点 （）求证：AC1平面 DEF； （）求二面角 C1ACB1的大小； 第 13 页（共 15 页） （） 在线段 AA1上是否存在一点 P， 使得直线 DP 与平面 ACB1所成的角为 30？如果 存在，求出线段 AP 的长；如果不存在，说明理由 【分析】 （I）如图所示，连接 A1B，交 AB1于点 O，连接 OD，OB1利用三角形中位线 定理、 正方形的性质、 平行四边形的判定定理可得： 四边形 OFED 是平行四边形 即 OE 平面 DEF；又 OEAC1，利用线面平行的判定定理即可证明结
26、论 AC1平面 DEF （II）利用直接三棱柱的性质可得：C1CAC，可得BCC1是二面角 C1ACB1的平 面角进而得出结论 （III）如图所示，建立空间直角坐标系设 P（2，0，t） ，t0，2，设平面 ACB1的法向 量为 （x，y，z） ，则 0，可得 利用 sin30|cos ，|，向 量夹角公式即可得出 【解答】 （I）证明：如图所示，连接 A1B，交 AB1于点 O，连接 OD，OB1 OFAB，DEA1B1，ABA1B1， OFDE 则四边形 OFED 是平行四边形OE平面 DEF； 又 OEAC1，AC1平面 DEF；OE平面 DEF AC1平面 DEF （II）解：ACBC
27、，C1CAC，BCC1是二面角 C1ACB1的平面角 由 CC1CB，BCC190， 二面角 C1ACB1是 90 （III）解：如图所示，建立空间直角坐标系C（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B1（0，2， 2） ，D（1，0，2） ， 设 P（2，0，t） ，t0，2.（1，0，2t） ，（2，0，0） ，（0，2，2） ， 设平面 ACB1的法向量为 （x，y，z） ，则 0， 第 14 页（共 15 页） 2x0，2y+2z0， 取 （0，1，1） sin30|cos ，|，化为：t24t+30t0，2 解得 t1P（2，0，1） ， |AP|1 在线段AA1上存在一点P， 为线段
28、AA1的中点， 使得直线DP与平面ACB1所成的角为30， AP1 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的应用、向量夹角公式、数量积运 算性质、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20 （14 分）已知椭圆 C：x2+2y24 （1）求椭圆 C 的标准方程和离心率； （2）是否存在过点 P（0，3）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且满足2若 存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将椭圆方程化为标准方程，可得 a，b，c，由离心率公式可得所求值； （2）假设存在过点 P（0，3）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，
29、且满足2， 可设直线 l 的方程为 xm（y3） ，联立椭圆方程，消去 x 可得 y 的二次方程，运用韦达 定理和判别式大于 0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这 样的直线 【解答】解： （1）椭圆 C：x2+2y24，即有标准方程为+1， 可得 a2，b，c，e； 第 15 页（共 15 页） （2）假设存在过点 P（0，3）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且满足2， 可设直线 l 的方程为 xm（y3） ，联立椭圆方程 x2+2y24， 可得（2+m2）y26m2y+9m240，36m44（2+m2） （9m24）0，即 m2， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，可得 y1+y2，y1y2， 由2，可得（x2，y23）2（x1，y13） ，即 y232（y13） ，即 y22y13， 将代入可得 3y13，y1（2y13）， 消去 y1，可得，解得 m2， 故存在这样的直线 l，且方程为 7xy+30 或 7x+y30 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理， 同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题