1、在空间中， “直线 a，b 没有公共点”是“直线 a，b 互为异面直线”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分） 已知正方体的棱长为 2 它的 8 个顶点都在一个球面上， 则此球的表面积是 （ ） A8 B12 C16 D20 6 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 7 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列命题： 若 m，n，且 mn，则 若 m，n且 mn，则 若 m，n，且 mn，则 若 m，n，且 mn，则 其中正确的命题是
2、（ ） A B C D 8 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为对角线 BD1的三等分点，P 到各顶点 第 2 页（共 19 页） 的距离的不同取值有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 二、填空题： （共二、填空题： （共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 30 分）分） 9 （5 分）直线 yx 被圆 x2+（y2）24 截得的弦长为 10 （5 分）设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 1，则以 F 为圆心，且与 1 相切的圆的方 程为 11 （5 分）已知点 P 是圆 x2+y22 上的动点，Q 是直线 1：3x4y+150 上的动点，则
3、|PQ| 的最小值为 12 （5 分）若正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为，D 为 BC 的中点，则 三棱锥 AB1DC1的体积为 13 （5 分）已知椭圆 C1：+1 及双曲线 C2：1，均以（2，0）为右焦点 且都经过点（2，3） ，则椭圆 C1与双曲线 C2的离心率之比为 14 （5 分）如图，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，M，N 分别为棱 AB 和 CD 的中点，一 个平面分别与棱 BC，BD，AD，AC 交于 E，F，G，H，且 MN平面 EFGH给出下列 六个结论： ACBD，AB平面 EFGH，平面 ABC平面 EFGH，四边形 EFGH 的周长 为
4、定值；四边形 EFGH 的面积有最大值；四边形 EFGH 一定是矩形，其中，所有正 确结论的序号是 第 3 页（共 19 页） 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 80 分）分） 15 （13 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sinAsinC，c （）求 a 的值； （）如果 cosA，求 b 的值及ABC 的面积 16 （13 分）已知椭圆 C：+1 的右顶点为 A上顶点为 B点 E 在椭圆 C 上，点 E 不在直线 AB 上 （1）求椭圆 C 的离心率和直线 AB 的方程； （2）若以 AE 为直径的圆经过点 B，求点 E 的坐标 17
5、（14 分） 如图， 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， 底面四边形 ABCD 是矩形， 平面 DCC1D1 平面 ABCDAD3，CDDD15，D1DC120，M，N 分别是线段 AD1，BD 的 中点 （1）求证：MN平面 DCC1D1； （2）求证：MN平面 ADC1； （3）求三棱锥 D1ADC1的体积 18 （13 分）已知函数 f（x）lnxx+1 （1）求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程： （2）若非零实数 a 使得 f（x）axax2对 x1，+）恒成立，求 a 的取值范 围 19 （14 分）已知 A，B，C 是抛物线 W：y24x 上的三个点，D 是
6、x 轴上一点 （1）当点 B 是 W 的顶点，且四边形 ABCD 为正方形时，求此正方形的面积； （2）当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 ABCD 是否可能为正方形，并说明理由 第 4 页（共 19 页） 20 （13 分）已知数列an满足：a1N*，且 an+1（n1，2） 集合 Man|nN*中的最小元素记为 m （1）若 a120，写出 m 和 a10的值： （2）若 m 为偶数，证明：集合 M 的所有元素都是偶数； （3）证明：当且仅当 ml 时，集合 M 是有限集 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年北京市清华附中高二（上）期末数学试卷学年北京市清华附中高二（
7、上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （共一、选择题： （共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 40 分）分） 1 （5 分）若两条直线 ax+2y10 与 x2y10 垂直，则 a 的值为（ ） A1 B1 C4 D4 【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解 【解答】解：两条直线 ax+2y10 与 x2y10 垂直， a40， 解得 a4 故选：C 【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 2 （5 分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） Ay2x B C D 【分析】通过双曲线的离心
8、率，推出 a、b 关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程 【解答】解：由双曲线的离心率，可知 ca， 又 a2+b2c2，所以 ba， 所以双曲线的渐近线方程为：yx 故选：B 【点评】本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力 3 （5 分）已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A（x0，y0）是 C 上一点，若|AF|x0，则 x0 等于（ ） A1 B2 C4 D8 【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出 【解答】解：抛物线 C：y2x 的焦点为 F（，0） 第 6 页（共 19 页） A（x0，y0）是 C 上一点，|AF|x0， x0x0+， 解得 x01 故选：
9、A 【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题 4 （5 分）在空间中， “直线 a，b 没有公共点”是“直线 a，b 互为异面直线”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用空间中两直线的位置关系直接求解 【解答】解： “直线 a，b 没有公共点”“直线 a，b 互为异面直线或直线 a，b 为平行 线” ， “直线 a，b 互为异面直线”“直线 a，b 没有公共点” ， “直线 a，b 没有公共点”是“直线 a，b 互为异面直线”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查空间中两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时
10、要注意充分条件、 必要条件、充要条件的性质的合理运用 5 （5 分） 已知正方体的棱长为 2 它的 8 个顶点都在一个球面上， 则此球的表面积是 （ ） A8 B12 C16 D20 【分析】由棱长为 2 的正方体的八个顶点都在同一个球面上，知球半径 R，由此能 求出球的表面积 【解答】解：棱长为 2 的正方体的八个顶点都在同一个球面上， 球半径 R， 球的表面积 S4（）212 故选：B 【点评】本题考查球的表面积的求法，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键 6 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ） 第 7 页（共 19 页） A1 B2 C3
11、D4 【分析】由已知中的三视图，画出几何体的直观图，进而可分析出该四棱锥的侧面中， 直角三角形的个数 【解答】解：由三视图知几何体为一四棱锥，其直观图如图： 由图可得：该棱锥的四个侧面均为直角三角形， 故该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 4 个， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是简单几何体的三视图，解决本题的关键是得到该几何体的 形状 7 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列命题： 若 m，n，且 mn，则 若 m，n且 mn，则 若 m，n，且 mn，则 若 m，n，且 mn，则 其中正确的命题是（ ） A B C D 【分析】直接利用线面垂直的判定和
12、性质的应用，面面垂直和面面平行的判定和性质的 应用求出结果 【解答】解：设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列命题： 对于选项若 m，n，且 mn，相当于直线 m 和 n 相当于平面 和 的法向量， 则 ，故正确 若 m，n且 mn，则 和 也可能相交故错误 第 8 页（共 19 页） 若 m，n，且 mn，则 和 也可能平行故错误 若 m，n，且 mn，则 ，故错误 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，面面垂直和面面平行的 判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 8 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B
13、1C1D1中，P 为对角线 BD1的三等分点，P 到各顶点 的距离的不同取值有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|3，即可得到各顶 点的坐标，利用两点间的距离公式即可得出 【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|3， 则 A（3，0，0） ，B（3，3，0） ，C（0，3，0） ，D（0，0，0） ，A1（3，0，3） ，B1（3， 3，3） ，C1（0，3，3） ，D1（0，0，3） ， （3，3，3） ， 设 P（x，y，z） ， （1，1，1） ， （2，2，1） |PA|PC|PB1
14、|， |PD|PA1|PC1|， |PB|， |PD1| 故 P 到各顶点的距离的不同取值有，3，共 4 个 第 9 页（共 19 页） 故选：B 【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系及两点间的距离公式是解题的关键 二、填空题： （共二、填空题： （共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 30 分）分） 9 （5 分）直线 yx 被圆 x2+（y2）24 截得的弦长为 【分析】确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线 yx 的距离，利用垂径定理构造直 角三角形，即可求得弦长 【解答】解：圆 x2+（y2）24 的圆心坐标为（0，2） ，半径为 2 圆心到直线 yx 的距离为 直线 yx
15、 被圆 x2+（y2）24 截得的弦长为 2 故答案为： 【点评】本题考查直线与圆相交，考查圆的弦长，解题的关键是求得圆心到直线 yx 的 距离，利用垂径定理构造直角三角形求得弦长 10 （5 分）设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 1，则以 F 为圆心，且与 1 相切的圆的方 程为 （x2）2+y216 【分析】由题意可知圆心坐标为（2，0） ，半径为 4，从而求出圆的方程 【解答】解：由题意可知焦点 F（2，0） ，准线 l 方程为 x2， 圆以 F 为圆心，且与准线 1 相切， 圆心坐标为（2，0） ，半径为 4， 所求圆的方程为： （x2）2+y216， 故答案为： （x2）2+
16、y216 【点评】本题主要考查了抛物线的性质，以及圆的方程，是中档题 11 （5 分）已知点 P 是圆 x2+y22 上的动点，Q 是直线 1：3x4y+150 上的动点，则|PQ| 的最小值为 3 第 10 页（共 19 页） 【分析】求出圆心到直线的距离 d，可得直线与圆相离，圆上的点到直线上的点的最小距 离为 dr 【解答】解：圆心到直线的距离 d3r，所以直线与相离， 所以圆上点到直线的距离的最小值为：3， 故答案为：3 【点评】考查直线与圆的位置关系的判断及圆上点到直线的最小距离，属于基础题 12 （5 分）若正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为，D 为 BC 的中
17、点，则 三棱锥 AB1DC1的体积为 1 【分析】由题意求出底面 B1DC1的面积，求出 A 到底面的距离，即可求解三棱锥的体积 【解答】解：正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为，D 为 BC 中点， 底面 B1DC1的面积：， A 到底面的距离就是底面正三角形的高： 三棱锥 AB1DC1的体积为：1 故答案为：1 【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键 13 （5 分）已知椭圆 C1：+1 及双曲线 C2：1，均以（2，0）为右焦点 且都经过点（2，3） ，则椭圆 C1与双曲线 C2的离心率之比为 1：4 【分析】由题意可得，c2，设都经过
18、点（2，3）为点 P，左、右焦点分别为 F1、F2， 则 F1（2，0） ，F2（2，0） ，P（2，3） ，所以 PF2F1F2，再利用勾股定理以及椭圆和 双曲线的定义，求出 a4，m1，从而求出椭圆 C1与双曲线 C2的离心率之比 【解答】解：由题意可得，c2，设都经过点（2，3）为点 P，左、右焦点分别为 F1、 F2，则 F1（2，0） ，F2（2，0） ，P（2，3） ， PF2F1F2，又|PF2|3，|F1F2|4， |PF1|5， |PF1|+|PF2|2a8，a4， 又|PF1|PF2|2m2，m1， 第 11 页（共 19 页） 椭圆 C1与双曲线 C2的离心率之比为，即
19、1：4， 故答案为：1：4 【点评】本题主要考查了椭圆与双曲线的离心率，是中档题 14 （5 分）如图，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，M，N 分别为棱 AB 和 CD 的中点，一 个平面分别与棱 BC，BD，AD，AC 交于 E，F，G，H，且 MN平面 EFGH给出下列 六个结论： ACBD，AB平面 EFGH，平面 ABC平面 EFGH，四边形 EFGH 的周长 为定值；四边形 EFGH 的面积有最大值；四边形 EFGH 一定是矩形，其中，所有正 确结论的序号是 【分析】利用正四面体的性质判断；利用直线与平面垂直的性质判断；平面是否垂 直判断；通过折叠与展开判断；求出四边形的面积
20、判断；判断四边形的形状判断 ； 【解答】解：在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，对棱垂直，所以ACBD，正确； M，N 分别为棱 AB 和 CD 的中点，可知 MNAB，MNCD，一个平面分别与棱 BC， BD，AD，AC 交于 E，F，G，H，且 MN平面 EFGH所以 ABEFFG，AB平面 EFGH，所以正确； 同时 CDGHEF，所以四边形 EFGH 一定是矩形，所以正确； 平面 ABN平面 EFGH，所以平面 ABC平面 EFGH 不正确，即不正确； 由比例关系可知：EF+EH 是定值，四边形 EFGH 的周长为定值 2，正确； 由基本不等式的形状，可知四边形 EFGH 的面积有
21、最大值 1；所以正确； 故答案为： 第 12 页（共 19 页） 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，空间几何体的直线与平面平面与平面的位 置关系的综合应用，是中档题 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 80 分）分） 15 （13 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sinAsinC，c （）求 a 的值； （）如果 cosA，求 b 的值及ABC 的面积 【分析】 （）由正弦定理得，由此能求出 a （）由余弦定理求出 b5，由此能求出ABC 的面积 【解答】 （本小题 9 分） 解： （）因为以及，（2 分） 所以， 因为（3 分） 所以
22、（4 分） （）因为 a2b2+c22bccosA 以及（5 分） 所以 b22b150，因为 b0，（6 分） 所以 b5（7 分） 因为，0A， 所以（8 分） 所以（9 分） 【点评】本题考查三角形中边长的求法，考查三角形面积的求法，考查三角形面积、正 弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思 想、函数与方程思想，是中档题 第 13 页（共 19 页） 16 （13 分）已知椭圆 C：+1 的右顶点为 A上顶点为 B点 E 在椭圆 C 上，点 E 不在直线 AB 上 （1）求椭圆 C 的离心率和直线 AB 的方程； （2）若以 AE 为直径的圆经过点
23、B，求点 E 的坐标 【分析】 （1）根据题意方程，求得 a 和 b，根据椭圆的离心率公式求得离心率，利用直线 的截距式方程求得 AB 的方程； （2）设 E 点坐标，根据 kABkBE1，及 E 在椭圆上，联立即可求得 E 点坐标 【解答】解： （1）由椭圆 C：+1 的方程，a4，b2，c2，则 A（4，0） ， B（0，2） 所以椭圆的离心率， 所以直线 AB：，即 x+2y40； （2）由题意可知：ABBE，设 E（x0，y0） ， 即 kABkBE1，则1，则 2x0（y02） ， 由，整理得 17y024y0600，解得：y02（舍去） ，y0， 则 x0， 所以 E（，） 【点评
24、】本题考查椭圆的性质，考查直线的截距式方程的应用，考查计算能力，属于中 档题 17 （14 分） 如图， 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， 底面四边形 ABCD 是矩形， 平面 DCC1D1 平面 ABCDAD3，CDDD15，D1DC120，M，N 分别是线段 AD1，BD 的 中点 （1）求证：MN平面 DCC1D1； （2）求证：MN平面 ADC1； （3）求三棱锥 D1ADC1的体积 第 14 页（共 19 页） 【分析】 （1）连结 AC、D1C，则 N 在 AC 上，推导出 MND1C，由此能证明 MN平面 DCC1D1 （2） 连结 DC1， 推导出 DC1D1C， ADC
25、D， 从而 AD平面 DCC1D1， 进而 ADCD1， CD1平面 ADC1，再则 MNCD1，能证明 MN平面 ADC1 （3）三棱锥 D1ADC1的体积为，由此能 求出结果 【解答】解： （1）证明：连结 AC、D1C，则 N 在 AC 上， M，N 分别是线段 AD1，BD 的中点，MND1C， MN平面 DCC1D1，D1C平面 DCC1D1， MN平面 DCC1D1 （2）证明：连结 DC1， 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面四边形 ABCD 是矩形，CDDD15， DC1D1C，ADCD， 平面 DCC1D1平面 ABCD平面 DCC1D1平面 ABCDCD AD平面
26、DCC1D1，CD1平面 DCC1D1，ADCD1， DC1ADD，CD1平面 ADC1， MNCD1，MN平面 ADC1 （3）解：AD平面 DCC1D1，点 A 到平面 DD1C1的距离为 AD3， CDDD15，D1DC120， 三棱锥 D1ADC1的体积为： 第 15 页（共 19 页） 【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中 线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 18 （13 分）已知函数 f（x）lnxx+1 （1）求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程： （2）若非零实数 a 使得 f（x）axax
27、2对 x1，+）恒成立，求 a 的取值范 围 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方 程； （2）根据题意可构造 g（x）f（x）（axax2） ，原问题可转化为求解函数的 最值，结合导数即可求解 【解答】解： （1）， 由题意可得，f（1）0，f（1）0， 故曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程 y0； （2）令 g（x）f（x）（axax2）lnxx+1ax+ax2+，x1， 则 g（x）， 因为 x1， 若 a0，则 ax10，易得函数 g（x）在1，+）上单调递减，显然不满足题意； 若 a0， （i）当即 a1 时，易得函数 g（
28、x）在在1，+）上单调递增，当 x1 时，g（x） 取得最小值 g（1）0， 解可得，1a1， 第 16 页（共 19 页） 从而可得，a1， （ii）当即 0a1 时，易得函数在1，）上单调递减，在）上单调递 增， 当 x时，g（x）取得极小也是最小值 g（）lna0， 解可得 a1， 故 0a1 综上可得，a 的范围（0，1 【点评】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性求解最值，体现 了分类讨论与转化思想的应用 19 （14 分）已知 A，B，C 是抛物线 W：y24x 上的三个点，D 是 x 轴上一点 （1）当点 B 是 W 的顶点，且四边形 ABCD 为正方形时，求此
29、正方形的面积； （2）当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 ABCD 是否可能为正方形，并说明理由 【分析】 （1）根据正方形的性质知 C 的坐标为（xc，xc） ，代入抛物线方程，解出 xc，即 可得到正方形的面积； （2）先假设四边形 ABCD 为正方形，设直线 AC 的方程为 ykx+m，曲直联立，得到韦 达定理，并依次求得 AC 中点 M 坐标、弦长 AC 以及点 B 的坐标和弦长 BD，再利用 kAC kBD1，得到 k 与 m 等量关系，然后利用|AC|BD|，得到 k 与 m 等量关系，联 立即可判定四边形 ABCD 是否可能为正方形 【解答】解： （1）当点 B 是 W 的
30、顶点时，设 AC 与 BD 相交于点 O，则 OCOB， 假设点 C 在 x 轴上方，则 C 的坐标为（xc，xc） ，代入抛物线方程得 xc4，此时正方形 的边长为， 所以正方形的面积为 （2）四边形 ABCD 不可能为正方形 当点 B 不是 W 的顶点时，直线 AC 的斜率一定存在，设其方程为 ykx+m，A、C 坐标分 别为（x1，y1） ， （x2，y2） ， 联 立， 则k2x2+ （ 2km 4 ） x+m2 0 ， 所 以， 第 17 页（共 19 页） ， 因此，AC 的中点 M 的坐标为， |AC|， 若四边形 ABCD 为正方形，则 BD 的中点也是 M， 因为点 D 在
31、x 轴上，所以 yD0，所以，代入 y24x，得，即 B， 所以，化简得 2k2+km+20， |BD|2|BM|22， 因为|AC|BD|，所以（1+k2） （1616km）4（4+4km+k2m2+4k2） ，化简得 8+4k2+km 0， 由得，k2+30，k 无解， 故四边形 ABCD 不可能为正方形 【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，充分利用正方形的性质和曲直联立是解 决本题的关键，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属于难题 20 （13 分）已知数列an满足：a1N*，且 an+1（n1，2） 集合 Man|nN*中的最小元素记为 m （1）若 a120，写出 m 和 a1
32、0的值： （2）若 m 为偶数，证明：集合 M 的所有元素都是偶数； （3）证明：当且仅当 ml 时，集合 M 是有限集 【分析】 （1）利用递推公式依次求出数列an的前 10 项，推导出集合 Man|nN*中 的最小元素 m6a1022 （2）推导出 an0，当 anm 时，或 an1m4，由 m 为偶数，得到 m2为偶 数，m4 为偶数，由此能证明若 m 为偶数，则集合 M 的所有元素都是偶数 第 18 页（共 19 页） （3）推导出 an0，当 anm1 时，an1121从而集合 M1由此能证明当且 仅当 ml 时，集合 M 是有限集 【解答】解： （1）解：数列an满足：a120，且
33、 an+1（n 1，2）集合 Man|nN*中的最小元素记为 m a220+424， a324+428， a428+432， a532+436， 6， a76+410， a810+414， a914+418， a1018+422， 集合 Man|nN*中的最小元素 m6a1022 （2） 证明： 数列an满足： a1N*， 且 an+1（n1， 2） ， 集合 Man|nN*中的最小元素 m 为偶数 an0，当 anm 时，或 an1m4， m 为偶数，m2为偶数，m4 为偶数， 若 m 为偶数，则集合 M 的所有元素都是偶数 （3） 证明： 数列an满足： a1N*， 且 an+1（n1， 2） ， 集合 Man|nN*中的最小元素 m 为偶数当且仅当 ml， an0，当 anm1 时，an1121 集合 M1 当且仅当 ml 时，集合 M 是有限集 【点评】本题考查数列的第 10 项和最小项的求法，考查数列中所有项都是偶、集合是有 限集的证明，考查数列的递推公式、等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算