1、已知命题 p：xR，x2+20，则命题 p 的否定是（ ） AxR，x2+20 BxR，x2+20 CxR，x2+20 DxR，x2+20 2 （4 分）已知 ab0，则下列不等式中正确的是（ ） A|a|b| B Cab Da2b2 3 （4 分）已知 a，bR+，且 ab2，那么下列结论一定成立的是（ ） Aa+b4 Ba+b4 Ca2+b24 Da2+b24 4 （4 分） “a5”是“a3”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 （4 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 S37a1，则数列an的公比为（ ） A2 B3
2、C2 或3 D2 或 3 6 （4 分）若函数 f（x）sinx+，则 f（x）的导函数 f（x）（ ） Acosx+x 2 Bcosxx 2 Ccosx+x 2 Dcosxx 2 7 （4 分）已知函数 f（x）xlnx 的导函数为 f（x） ，若 f（x0）1，则 x0的值为（ ） A1 B2 Ce D0 8 （4 分）已知函数 f（x）的导函数 f（x）的图象如图所示，则关于 f（x）的结论正确的是 （ ） A在区间（2，2）上为减函数 B在 x2 处取得极小值 C在区间（，2） ， （2，+）上为增函数 D在 x0 处取得极大值 第 2 页（共 13 页） 9 （4 分）化简式子（ ）
3、 A B C D 10 （4 分）已知函数 yf（x）是可导函数如图，直线 ykx+2 是曲线 yf（x）在（3，1） 处的切线，令，g（x）是 g（x）的导函数，则 g（3）（ ） A B C D0 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 11 （4 分）已知数列an满足 an+13an，且 a11，那么 a4 12 （4 分）函数 yx+2（x0）的最小值为 13 （4 分）已知函数 f（x）alnx+x 在（0，2）上是减函数，在（2，+）上是增函数， 那么 a 的值为 14 （4 分）等差数列an中，若 a3+a1110，则 a6+a7+a
4、8 15 （4 分）若不等式 ax2+bx20 的解集是（，2）（1，+） ，则 a+b 16 （4 分）已知数列an是公比为 q 的等比数列，Sn是数列an的前 n 项和 （1）如果 a14，那么 q ； （2）如果若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量” ，在下列关于an的 三组量中，一定能成为数列an的“基本量”的是 （写出所有符合要求的组号） S1与 a3； S2与 S3； q 与 S3； 三、解答题共三、解答题共 4 个小题，共个小题，共 36 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17 （8 分）已知函数 f（x）ax+1（aR
5、） ，f（x）是 f（x）的导函数，且 f（2） 0 （）求 a 的值； （）求函数 f（x）在区间3，3上的最值 第 3 页（共 13 页） 18 （8 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a1+a50，a22 （）求数列an的通项公式； （）求 Sn的最大值及相应的 n 的值 19 （10 分）已知等差数列an满足 a1+a210，a4a32等比数列bn满足 b2a3，b3 a7 （）求数列an的通项公式； （）设 cnan+bn，求数列cn的前 n 项和 Sn 20 （10 分）已知函数 f（x）exx2（1+a）x+1（aR） （）若 a1 时，求曲线 yf（x）在（0，f（0
6、） ）处的切线方程； （）求函数 f（x）的单调区间 第 4 页（共 13 页） 2019-2020 学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（B 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题共一、单选题共 10 小题；每小题小题；每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）已知命题 p：xR，x2+20，则命题 p 的否定是（ ） AxR，x2+20 BxR，x2+20 CxR，x2+20 DxR，x2+20 【分析】直接利用特称命题的
7、否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题 p：xR，x2+20，则命题 p 的否定是：xR，x2+20 故选：D 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查 2 （4 分）已知 ab0，则下列不等式中正确的是（ ） A|a|b| B Cab Da2b2 【分析】 根据 ab0， 根据不等式的性质即可判断每个选项的正误， 从而找出正确选项 【解答】解：ab0， |a|b|，ab，a2b2 故选：B 【点评】本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题 3 （4 分）已知 a，bR+，且 ab2，那么下列结论一定成立的是（
8、） Aa+b4 Ba+b4 Ca2+b24 Da2+b24 【分析】根据重要不等式可得 a2+b22ab4，从而得到正确选项 【解答】解：因为 a，bR+，且 ab2， 所以 a2+b22ab4， 当且仅当 ab时取等号， 故选：C 【点评】本题考查了重用不等式和不等式的基本性质，属基础题 4 （4 分） “a5”是“a3”的（ ） 第 5 页（共 13 页） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由 a5 不能得到 a3，由 a3a5结合充分必要条件的判定得答案 【解答】解：由 a5 不能得到 a3，如 a4； 反之，a3a5 a5”是“a3
9、”的必要而不充分条件 故选：B 【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查逻辑思维能力，是基础题 5 （4 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 S37a1，则数列an的公比为（ ） A2 B3 C2 或3 D2 或 3 【分析】根据等比数列的通项公式表示出 S3等于前三项相加，让其值等于 7a1，根据 a1 不等于 0，消去 a1得到关于 q 的方程，求出方程的解即可得到 q 的值 【解答】解：由 S37a1， 则 a1+a2+a37a1，即 a1+a1q+a1q27a1， 由 a10，化简得：1+q+q27，即 q2+q60， 因式分解得： （q2） （q+3）0， 解得 q2 或
10、 q3， 则数列an的公比 q 的值为 2 或3 故选：C 【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质， 是一道基础题 6 （4 分）若函数 f（x）sinx+，则 f（x）的导函数 f（x）（ ） Acosx+x 2 Bcosxx 2 Ccosx+x 2 Dcosxx 2 【分析】进行基本初等函数的求导即可 【解答】解： 故选：D 【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题 7 （4 分）已知函数 f（x）xlnx 的导函数为 f（x） ，若 f（x0）1，则 x0的值为（ ） A1 B2 Ce D0 第 6 页（共 13 页） 【分
11、析】可以求出导函数 f（x）lnx+1，根据 f（x0）1 即可得出 lnx0+11，解 出 x0即可 【解答】解：f（x）lnx+1， f（x0）lnx0+11， lnx00，x01 故选：A 【点评】本题考查了基本初等函数和积的函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础 题 8 （4 分）已知函数 f（x）的导函数 f（x）的图象如图所示，则关于 f（x）的结论正确的是 （ ） A在区间（2，2）上为减函数 B在 x2 处取得极小值 C在区间（，2） ， （2，+）上为增函数 D在 x0 处取得极大值 【分析】结合图象求出函数的单调区间和极值点即可 【解答】解：由图象得：f（x）在（，2）递
12、减，在（2，2）递增，在（2，+） 递减， 故 f（x）在 x2 取极小值，在 x2 取极大值， 故选：B 【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，是 一道常规题 9 （4 分）化简式子（ ） A B C D 【分析】直接利用数列求和的方法：裂项消项法求解即可 【解答】解：因为， 第 7 页（共 13 页） 所以1+ 故选：C 【点评】本题考查数列的求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题 10 （4 分）已知函数 yf（x）是可导函数如图，直线 ykx+2 是曲线 yf（x）在（3，1） 处的切线，令，g（x）是 g（x）的导函数，则 g（3）（ ）
13、A B C D0 【分析】由题意可得 f（3）3k+21，f（3）k，求得 k，求出 g（x）的导数，计算 可得所求值 【解答】解：直线 ykx+2 是曲线 yf（x）在 x3 处的切线， 可得 f（3）3k+21，f（3）k， 即有 k，f（3）， g（x），可得 g（x）， 则 g（3）， 故选：A 【点评】本题考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于 基础题 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 11 （4 分）已知数列an满足 an+13an，且 a11，那么 a4 27 【分析】 由已知可得数列an是以 1 为首
14、项， 以 3 为公比的等比数列， 结合等比数列的 通 第 8 页（共 13 页） 项公式可求 【解答】解：an+13an，且 a11， 数列an是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列， 那么 a43327 故答案为：27 【点评】本题主要考查了等比数列的定义及通项公式的求解，属于基础试题 12 （4 分）函数 yx+2（x0）的最小值为 6 【分析】利用基本不等式的性质即可得出 【解答】解：x0， 函数 yx+22+222+26 当且仅当 x，x0，即 x2 时，上式取等号 故答案为：6 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求函数在给定区域上的最小值，属于基础题 13 （4 分）已知函数
15、f（x）alnx+x 在（0，2）上是减函数，在（2，+）上是增函数， 那么 a 的值为 2 【分析】求出函数的导数，得到关于 a 的方程，解出即可 【解答】解：f（x）+1， 由题意得：f（2）0， 即+10，解得：a2， a2 时，f（x）2lnx+x， （x0） ， f（x）1， 令 f（x）0，解得：x2， 令 f（x）0，解得：x2， 故 f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+）上是增函数， a2 符合题意， 故答案为：2 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题 14 （4 分）等差数列an中，若 a3+a1110，则 a6+a7+a8 15
16、 第 9 页（共 13 页） 【分析】根据等差中项的性质，a3+a1110，可得 a75，易得 a6+a7+a8的值 【解答】解：依题意，a3+a11102a7， 所以 a75， 所以 a6+a7+a83a715 故答案为：15 【点评】本题考查了等差中项的性质，考查分析解决问题的能力，属于基础题 15 （4 分）若不等式 ax2+bx20 的解集是（，2）（1，+） ，则 a+b 2 【分析】利用一元二次不等式和对应方程的关系，由根与系数的关系求出 a、b 的值，再 求和 【解答】解：不等式对应方程 ax2+bx20 的实数根为2 和 1， 由根与系数的关系知， 解得 a1，b1， 所以 a
17、+b2 故答案为：2 【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题 16 （4 分）已知数列an是公比为 q 的等比数列，Sn是数列an的前 n 项和 （1）如果 a14，那么 q 2 ； （2）如果若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量” ，在下列关于an的 三组量中，一定能成为数列an的“基本量”的是 （写出所有符合要求的组号） S1与 a3； S2与 S3； q 与 S3； 【分析】 （1）数列an是公比为 q 的等比数列，带入即可； （2）分别根据已知条件判断 数列是否唯一即可 【解答】解： （1）数列an是公比为 q 的等比数列，a1a1q34， 所以
18、 q38，q2 故答案为2 （2）S1a1，因为 a3a1q2，可以确定 q2，q 有两个值，不唯一； 第 10 页（共 13 页） 若 q1，则可唯一确定，若 q 不为 1，S2a1+a2，S3a1+a2+a3 ， 由，得到关于 q 的一元二次方程，无法具体确定 q； 已知 q，带入 S3可求出 a1，所以唯一确定了数列 故答案为： 【点评】 （1）考察等比数列的基本性质； （2）本题分别根据已知条件判断了，首项，公 比是否唯一确定，唯一的为正确选项，中档题 三、解答题共三、解答题共 4 个小题，共个小题，共 36 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明
19、过程 17 （8 分）已知函数 f（x）ax+1（aR） ，f（x）是 f（x）的导函数，且 f（2） 0 （）求 a 的值； （）求函数 f（x）在区间3，3上的最值 【分析】 （）利用导数的运算法则可得 f（x）x2a，令 f（2）0，解得 a （）由（I）可得：，令 f（x）0，解得 x列出 表格如下，利用单调性可得极值点、极值，与区间端点函数比较即可得出最值 【解答】解： （）， f（x）x2a， f（2）4a0，a4 （）由（I）可得：， 令 f（x）x240，解得 x2列出表格如下： x （， 2） 2 （2，2） 2 （2， +） f（x） + 0 0 + 第 11 页（共 13
20、 页） f（x） 极大值 极小值 又 所以函数 f（x）在区间3，3上的最大值为，最小值为 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题 18 （8 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a1+a50，a22 （）求数列an的通项公式； （）求 Sn的最大值及相应的 n 的值 【分析】 （）将 a1+a50，a22 转化为基本量 a1，d 的方程组，解得 a1，d，即可得到 数列an的通项公式； （）由（）将 a1，d 代入签 n 项和公式，结合二次函数的对称轴和开口方向，以及 n 的取值范围，即可得到 Sn的最大值及相
21、应的 n 的值 【解答】解： （）在等差数列an中，a1+a50，a22， 解得， ana1+（n1）d62n； （） ， 当 n2 或 n3 时，Sn有最大值是 6 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，前 n 项和公式，二次函数的性质等，考查了 分解解决问题的能力，属于基础题 19 （10 分）已知等差数列an满足 a1+a210，a4a32等比数列bn满足 b2a3，b3 a7 （）求数列an的通项公式； （）设 cnan+bn，求数列cn的前 n 项和 Sn 【分析】 （）利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求数列an的通项公式； （）化简 cnan+bn，利用等差数列以及等比数列求
22、和公式求数列cn的前 n 项和 Sn 第 12 页（共 13 页） 【解答】解： （）在等差数列an中，由题意可知， 解得， an2n+2 （）在等比数列bn中，由题意可知， 解得， ， ， （4+6+2n+2）+22+24+2n+1 n2+3n+2n+24 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及 计算能力，是中档题 20 （10 分）已知函数 f（x）exx2（1+a）x+1（aR） （）若 a1 时，求曲线 yf（x）在（0，f（0） ）处的切线方程； （）求函数 f（x）的单调区间 【分析】 （）代入 a 的值，求出函数的导数，计算 f（0） ，f（
23、0） ，求出切线方程即可； （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可 【解答】解： （）当 a1 时，f（x）ex（x2+1） ， f（x）ex（x2+2x+1）f（0）1， 又 f（0）1，所以切点坐标为（0，1） ， 故切线方程为：xy+10； （）f（x）exx2（1+a）x+1（定义域为 R） f（x）exx2+（1a）xaex（xa） （x+1） ， 第 13 页（共 13 页） ex0，令 f（x）0，解得 xa 或 x1， （1）当 a1 时，f（x）0，所以函数 f（x）在 R 上单调递增， （2）当 a1 时，x，f（x） ，f（x）的变化如下表： x （，1） 1 （1，a） a （a，+） f（x） + 0 0 + f（x） 极大值 极小值 函数 f（x）的单调递增区间为 （，1） ， （a，+） ，单调递减区间为（1，a） ， 当 a1 时，x，f（x） ，f（x）的变化如下表： x （，a） a （a，1） 1 （1， +） f（x） + 0 0 + f（x） 极大值 极小值 函数 f（x）的单调递增区间为（，a） ， （1，+） ，单调递减区间为（a，1） 【点评】本题考查了切线方程，函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想， 转化思想，是一道常规题