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2019-2020学年北京市丰台区高二(上)期中数学试卷(b卷)含详细解答

1、已知命题 p:xR,x2+20,则命题 p 的否定是( ) AxR,x2+20 BxR,x2+20 CxR,x2+20 DxR,x2+20 2 (4 分)已知 ab0,则下列不等式中正确的是( ) A|a|b| B Cab Da2b2 3 (4 分)已知 a,bR+,且 ab2,那么下列结论一定成立的是( ) Aa+b4 Ba+b4 Ca2+b24 Da2+b24 4 (4 分) “a5”是“a3”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 (4 分)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 S37a1,则数列an的公比为( ) A2 B3

2、C2 或3 D2 或 3 6 (4 分)若函数 f(x)sinx+,则 f(x)的导函数 f(x)( ) Acosx+x 2 Bcosxx 2 Ccosx+x 2 Dcosxx 2 7 (4 分)已知函数 f(x)xlnx 的导函数为 f(x) ,若 f(x0)1,则 x0的值为( ) A1 B2 Ce D0 8 (4 分)已知函数 f(x)的导函数 f(x)的图象如图所示,则关于 f(x)的结论正确的是 ( ) A在区间(2,2)上为减函数 B在 x2 处取得极小值 C在区间(,2) , (2,+)上为增函数 D在 x0 处取得极大值 第 2 页(共 13 页) 9 (4 分)化简式子( )

3、 A B C D 10 (4 分)已知函数 yf(x)是可导函数如图,直线 ykx+2 是曲线 yf(x)在(3,1) 处的切线,令,g(x)是 g(x)的导函数,则 g(3)( ) A B C D0 二、填空题共二、填空题共 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分分 11 (4 分)已知数列an满足 an+13an,且 a11,那么 a4 12 (4 分)函数 yx+2(x0)的最小值为 13 (4 分)已知函数 f(x)alnx+x 在(0,2)上是减函数,在(2,+)上是增函数, 那么 a 的值为 14 (4 分)等差数列an中,若 a3+a1110,则 a6+a7+a

4、8 15 (4 分)若不等式 ax2+bx20 的解集是(,2)(1,+) ,则 a+b 16 (4 分)已知数列an是公比为 q 的等比数列,Sn是数列an的前 n 项和 (1)如果 a14,那么 q ; (2)如果若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量” ,在下列关于an的 三组量中,一定能成为数列an的“基本量”的是 (写出所有符合要求的组号) S1与 a3; S2与 S3; q 与 S3; 三、解答题共三、解答题共 4 个小题,共个小题,共 36 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 17 (8 分)已知函数 f(x)ax+1(aR

5、) ,f(x)是 f(x)的导函数,且 f(2) 0 ()求 a 的值; ()求函数 f(x)在区间3,3上的最值 第 3 页(共 13 页) 18 (8 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,a1+a50,a22 ()求数列an的通项公式; ()求 Sn的最大值及相应的 n 的值 19 (10 分)已知等差数列an满足 a1+a210,a4a32等比数列bn满足 b2a3,b3 a7 ()求数列an的通项公式; ()设 cnan+bn,求数列cn的前 n 项和 Sn 20 (10 分)已知函数 f(x)exx2(1+a)x+1(aR) ()若 a1 时,求曲线 yf(x)在(0,f(0

6、) )处的切线方程; ()求函数 f(x)的单调区间 第 4 页(共 13 页) 2019-2020 学年北京市丰台区高二(上)期中数学试卷(学年北京市丰台区高二(上)期中数学试卷(B 卷)卷) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题共一、单选题共 10 小题;每小题小题;每小题 4 分,共分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题分在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 (4 分)已知命题 p:xR,x2+20,则命题 p 的否定是( ) AxR,x2+20 BxR,x2+20 CxR,x2+20 DxR,x2+20 【分析】直接利用特称命题的

7、否定是全称命题写出结果即可 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以:命题 p:xR,x2+20,则命题 p 的否定是:xR,x2+20 故选:D 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查 2 (4 分)已知 ab0,则下列不等式中正确的是( ) A|a|b| B Cab Da2b2 【分析】 根据 ab0, 根据不等式的性质即可判断每个选项的正误, 从而找出正确选项 【解答】解:ab0, |a|b|,ab,a2b2 故选:B 【点评】本题考查了不等式的性质,考查了计算能力,属于基础题 3 (4 分)已知 a,bR+,且 ab2,那么下列结论一定成立的是(

8、) Aa+b4 Ba+b4 Ca2+b24 Da2+b24 【分析】根据重要不等式可得 a2+b22ab4,从而得到正确选项 【解答】解:因为 a,bR+,且 ab2, 所以 a2+b22ab4, 当且仅当 ab时取等号, 故选:C 【点评】本题考查了重用不等式和不等式的基本性质,属基础题 4 (4 分) “a5”是“a3”的( ) 第 5 页(共 13 页) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由 a5 不能得到 a3,由 a3a5结合充分必要条件的判定得答案 【解答】解:由 a5 不能得到 a3,如 a4; 反之,a3a5 a5”是“a3

9、”的必要而不充分条件 故选:B 【点评】本题考查充分必要条件的判定,考查逻辑思维能力,是基础题 5 (4 分)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 S37a1,则数列an的公比为( ) A2 B3 C2 或3 D2 或 3 【分析】根据等比数列的通项公式表示出 S3等于前三项相加,让其值等于 7a1,根据 a1 不等于 0,消去 a1得到关于 q 的方程,求出方程的解即可得到 q 的值 【解答】解:由 S37a1, 则 a1+a2+a37a1,即 a1+a1q+a1q27a1, 由 a10,化简得:1+q+q27,即 q2+q60, 因式分解得: (q2) (q+3)0, 解得 q2 或

10、 q3, 则数列an的公比 q 的值为 2 或3 故选:C 【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值,掌握等比数列的性质, 是一道基础题 6 (4 分)若函数 f(x)sinx+,则 f(x)的导函数 f(x)( ) Acosx+x 2 Bcosxx 2 Ccosx+x 2 Dcosxx 2 【分析】进行基本初等函数的求导即可 【解答】解: 故选:D 【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式,考查了计算能力,属于基础题 7 (4 分)已知函数 f(x)xlnx 的导函数为 f(x) ,若 f(x0)1,则 x0的值为( ) A1 B2 Ce D0 第 6 页(共 13 页) 【分

11、析】可以求出导函数 f(x)lnx+1,根据 f(x0)1 即可得出 lnx0+11,解 出 x0即可 【解答】解:f(x)lnx+1, f(x0)lnx0+11, lnx00,x01 故选:A 【点评】本题考查了基本初等函数和积的函数的求导公式,考查了计算能力,属于基础 题 8 (4 分)已知函数 f(x)的导函数 f(x)的图象如图所示,则关于 f(x)的结论正确的是 ( ) A在区间(2,2)上为减函数 B在 x2 处取得极小值 C在区间(,2) , (2,+)上为增函数 D在 x0 处取得极大值 【分析】结合图象求出函数的单调区间和极值点即可 【解答】解:由图象得:f(x)在(,2)递

12、减,在(2,2)递增,在(2,+) 递减, 故 f(x)在 x2 取极小值,在 x2 取极大值, 故选:B 【点评】本题考查了函数的单调性,极值问题,考查导数的应用以及数形结合思想,是 一道常规题 9 (4 分)化简式子( ) A B C D 【分析】直接利用数列求和的方法:裂项消项法求解即可 【解答】解:因为, 第 7 页(共 13 页) 所以1+ 故选:C 【点评】本题考查数列的求和的方法,考查转化思想以及计算能力,是中档题 10 (4 分)已知函数 yf(x)是可导函数如图,直线 ykx+2 是曲线 yf(x)在(3,1) 处的切线,令,g(x)是 g(x)的导函数,则 g(3)( )

13、A B C D0 【分析】由题意可得 f(3)3k+21,f(3)k,求得 k,求出 g(x)的导数,计算 可得所求值 【解答】解:直线 ykx+2 是曲线 yf(x)在 x3 处的切线, 可得 f(3)3k+21,f(3)k, 即有 k,f(3), g(x),可得 g(x), 则 g(3), 故选:A 【点评】本题考查导数的几何意义,直线方程的运用,考查方程思想和运算能力,属于 基础题 二、填空题共二、填空题共 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分分 11 (4 分)已知数列an满足 an+13an,且 a11,那么 a4 27 【分析】 由已知可得数列an是以 1 为首

14、项, 以 3 为公比的等比数列, 结合等比数列的 通 第 8 页(共 13 页) 项公式可求 【解答】解:an+13an,且 a11, 数列an是以 1 为首项,以 3 为公比的等比数列, 那么 a43327 故答案为:27 【点评】本题主要考查了等比数列的定义及通项公式的求解,属于基础试题 12 (4 分)函数 yx+2(x0)的最小值为 6 【分析】利用基本不等式的性质即可得出 【解答】解:x0, 函数 yx+22+222+26 当且仅当 x,x0,即 x2 时,上式取等号 故答案为:6 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求函数在给定区域上的最小值,属于基础题 13 (4 分)已知函数

15、f(x)alnx+x 在(0,2)上是减函数,在(2,+)上是增函数, 那么 a 的值为 2 【分析】求出函数的导数,得到关于 a 的方程,解出即可 【解答】解:f(x)+1, 由题意得:f(2)0, 即+10,解得:a2, a2 时,f(x)2lnx+x, (x0) , f(x)1, 令 f(x)0,解得:x2, 令 f(x)0,解得:x2, 故 f(x)在(0,2)上是减函数,在(2,+)上是增函数, a2 符合题意, 故答案为:2 【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道常规题 14 (4 分)等差数列an中,若 a3+a1110,则 a6+a7+a8 15

16、 第 9 页(共 13 页) 【分析】根据等差中项的性质,a3+a1110,可得 a75,易得 a6+a7+a8的值 【解答】解:依题意,a3+a11102a7, 所以 a75, 所以 a6+a7+a83a715 故答案为:15 【点评】本题考查了等差中项的性质,考查分析解决问题的能力,属于基础题 15 (4 分)若不等式 ax2+bx20 的解集是(,2)(1,+) ,则 a+b 2 【分析】利用一元二次不等式和对应方程的关系,由根与系数的关系求出 a、b 的值,再 求和 【解答】解:不等式对应方程 ax2+bx20 的实数根为2 和 1, 由根与系数的关系知, 解得 a1,b1, 所以 a

17、+b2 故答案为:2 【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题,是基础题 16 (4 分)已知数列an是公比为 q 的等比数列,Sn是数列an的前 n 项和 (1)如果 a14,那么 q 2 ; (2)如果若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量” ,在下列关于an的 三组量中,一定能成为数列an的“基本量”的是 (写出所有符合要求的组号) S1与 a3; S2与 S3; q 与 S3; 【分析】 (1)数列an是公比为 q 的等比数列,带入即可; (2)分别根据已知条件判断 数列是否唯一即可 【解答】解: (1)数列an是公比为 q 的等比数列,a1a1q34, 所以

18、 q38,q2 故答案为2 (2)S1a1,因为 a3a1q2,可以确定 q2,q 有两个值,不唯一; 第 10 页(共 13 页) 若 q1,则可唯一确定,若 q 不为 1,S2a1+a2,S3a1+a2+a3 , 由,得到关于 q 的一元二次方程,无法具体确定 q; 已知 q,带入 S3可求出 a1,所以唯一确定了数列 故答案为: 【点评】 (1)考察等比数列的基本性质; (2)本题分别根据已知条件判断了,首项,公 比是否唯一确定,唯一的为正确选项,中档题 三、解答题共三、解答题共 4 个小题,共个小题,共 36 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明,演算步骤或证明

19、过程 17 (8 分)已知函数 f(x)ax+1(aR) ,f(x)是 f(x)的导函数,且 f(2) 0 ()求 a 的值; ()求函数 f(x)在区间3,3上的最值 【分析】 ()利用导数的运算法则可得 f(x)x2a,令 f(2)0,解得 a ()由(I)可得:,令 f(x)0,解得 x列出 表格如下,利用单调性可得极值点、极值,与区间端点函数比较即可得出最值 【解答】解: (), f(x)x2a, f(2)4a0,a4 ()由(I)可得:, 令 f(x)x240,解得 x2列出表格如下: x (, 2) 2 (2,2) 2 (2, +) f(x) + 0 0 + 第 11 页(共 13

20、 页) f(x) 极大值 极小值 又 所以函数 f(x)在区间3,3上的最大值为,最小值为 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题 18 (8 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,a1+a50,a22 ()求数列an的通项公式; ()求 Sn的最大值及相应的 n 的值 【分析】 ()将 a1+a50,a22 转化为基本量 a1,d 的方程组,解得 a1,d,即可得到 数列an的通项公式; ()由()将 a1,d 代入签 n 项和公式,结合二次函数的对称轴和开口方向,以及 n 的取值范围,即可得到 Sn的最大值及相

21、应的 n 的值 【解答】解: ()在等差数列an中,a1+a50,a22, 解得, ana1+(n1)d62n; () , 当 n2 或 n3 时,Sn有最大值是 6 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,前 n 项和公式,二次函数的性质等,考查了 分解解决问题的能力,属于基础题 19 (10 分)已知等差数列an满足 a1+a210,a4a32等比数列bn满足 b2a3,b3 a7 ()求数列an的通项公式; ()设 cnan+bn,求数列cn的前 n 项和 Sn 【分析】 ()利用已知条件求出数列的首项与公差,然后求数列an的通项公式; ()化简 cnan+bn,利用等差数列以及等比数列求

22、和公式求数列cn的前 n 项和 Sn 第 12 页(共 13 页) 【解答】解: ()在等差数列an中,由题意可知, 解得, an2n+2 ()在等比数列bn中,由题意可知, 解得, , , (4+6+2n+2)+22+24+2n+1 n2+3n+2n+24 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,数列求和的方法,考查转化思想以及 计算能力,是中档题 20 (10 分)已知函数 f(x)exx2(1+a)x+1(aR) ()若 a1 时,求曲线 yf(x)在(0,f(0) )处的切线方程; ()求函数 f(x)的单调区间 【分析】 ()代入 a 的值,求出函数的导数,计算 f(0) ,f(

23、0) ,求出切线方程即可; ()求出函数的导数,通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可 【解答】解: ()当 a1 时,f(x)ex(x2+1) , f(x)ex(x2+2x+1)f(0)1, 又 f(0)1,所以切点坐标为(0,1) , 故切线方程为:xy+10; ()f(x)exx2(1+a)x+1(定义域为 R) f(x)exx2+(1a)xaex(xa) (x+1) , 第 13 页(共 13 页) ex0,令 f(x)0,解得 xa 或 x1, (1)当 a1 时,f(x)0,所以函数 f(x)在 R 上单调递增, (2)当 a1 时,x,f(x) ,f(x)的变化如下表: x (,1) 1 (1,a) a (a,+) f(x) + 0 0 + f(x) 极大值 极小值 函数 f(x)的单调递增区间为 (,1) , (a,+) ,单调递减区间为(1,a) , 当 a1 时,x,f(x) ,f(x)的变化如下表: x (,a) a (a,1) 1 (1, +) f(x) + 0 0 + f(x) 极大值 极小值 函数 f(x)的单调递增区间为(,a) , (1,+) ,单调递减区间为(a,1) 【点评】本题考查了切线方程,函数的单调性问题,考查导数的应用以及分类讨论思想, 转化思想,是一道常规题