1、已知等差数列an中，a27，a415，则前 10 项的和 S10（ ） A100 B210 C380 D400 2 （5 分）已知 a，bR，下列命题正确的是（ ） A若 ab，则|a|b| B若 ab，则 C若|a|b，则 a2b2 D若 a|b|，则 a2b2 3（5 分） 已知数列an） 的通项公式为， 则下列各数中不是数列中的项的是 （ ） A2 B40 C56 D90 4 （5 分）不等式 2x+3x20 的解集是（ ） Ax|3x1 Bx|1x3 Cx|1x3 Dx|x3 5 （5 分）抛物线 y2x2的焦点到其准线的距离为（ ） A2 B1 C D 6 （5 分）下列说法正确的是
2、（ ） 数列 1，3，5，7 与数列 7，3，5，1 是同一数列；数列 0，1，2，3的一个通项公 式为 ann1； 数列 0，1，0，1没有通项公式； 数列是递增数列 A B C D 7 （5 分）已知 F 为双曲线 C：1 的左焦点，P，Q 为双曲线 C 上的点，若线段 PQ 的长等于 16，点 A（5，0）在线段 PQ 上，则PQF 的周长为（ ） A44 B34 C32 D46 8 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的一条渐近线方程为 y，且它的 一个焦点在抛物线 y224x 的准线上，则双曲线的方程为（ ） A1 B1 第 2 页（共 18 页） C1 D1 9 （5 分）若抛物线
3、 y23x 的焦点是 F，准线是 l，点 M（3，m） （m0）是抛物线上的一 点则经过点 F，M 且与 l 相切的圆共有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D4 个 10 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，抛物线上的两个动点 A，B 始终满足 AFB60，过弦 AB 的中点 H 作抛物线的垂线 HN，垂足为 N，则的取值范围 是（ ） A （0， B （，+ C1，+ D （0，1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 9 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 45 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上） 11 （5 分）已知抛物线 y22a
4、x 过点（1，4） ，则抛物线的焦点坐标为 12 （5 分）函数 yx1+（x0）的最小值为 此时 x 13 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3+3S20，则公比 q 14 （5 分）双曲线1 的焦点坐标为 ，渐近线方程是 15 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和 Sn3n1，则数列an的通项公式是 16 （5 分）如果关于 x 的不等式 2kx2+kx0 对一切实数 x 都成立，那么 k 的取值范围 是 17 （5 分）河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5m 时，水面宽为 8m，一小船宽 4m， 高 2m，载货后穿露出水面上的部分高 0.75m，则水面上涨到与抛
5、物线形拱桥拱顶相距 m 时，小船开始不能通航 18 （5 分）已知数列an满足：a11，a22，则数列an的 前 2n 项和 S2n 19 （5 分）已知椭圆 M：+1（ab0） ，双曲线 N：1若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 则椭 圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 第 3 页（共 18 页） 三、解答题：版大题有三、解答题：版大题有 4 小题，共小题，共 55 分解答应写出分解答应写出文字证明，证明过程或演算步骤文字证明，证明过程或演算步骤 20 （14 分）已知等差数列an中，a125，且 a1，a11，a13成等
6、比数列 （1）求an的通项公式； （2）若数列an的公差小于零，求数列an的前 n 项和 Sn的表达式及其最大值； （3）求 a1+a4+a7+a3n2 21 （13 分）解关于 x 的不等式 ax222xax（aR） 22 （13 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的 短半轴为半径的圆与直线 yx+20 相切 （）求椭圆 C 的方程； （）设 P（2，0） ，A，B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点 G 23 （15 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的一个焦点为 F（1，
7、0） ，离心率为， A 为椭圆 C 的左顶点，P，Q 为椭圆 C 上异于 A 的两个动点，直线 AP，AQ 与直线 l：x 4 分别交于 M，N 两点 （）求椭圆 C 的方程； （）若PAF 与PMF 的面积之比为，求 M 的坐标； （）设直线 l 与 x 轴交于点 R，若 P，F，Q 三点共线，判断MFR 与FNR 的大小关 系，并说明理由 第 4 页（共 18 页） 2019-2020 学年北京八十中高二（上）期中数学试卷学年北京八十中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 5
8、0 分）分） 1 （5 分）已知等差数列an中，a27，a415，则前 10 项的和 S10（ ） A100 B210 C380 D400 【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前 n 项和公式，代 入 n10 得出结果 【解答】解：d，a13， S10 210， 故选：B 【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算 时不出错，问题可解 2 （5 分）已知 a，bR，下列命题正确的是（ ） A若 ab，则|a|b| B若 ab，则 C若|a|b，则 a2b2 D若 a|b|，则 a2b2 【分析】对于错误的情况，只需举出反例，而对于 C，
9、D 需应用同向正的不等式两边平 方后不等号方向不变这一结论 【解答】解：A错误，比如 34，便得不到|3|4|； B错误，比如 34，便得不到； C错误，比如|3|4，得不到 32（4）2； D正确，a|b|，则 a0，根据不等式的性质即可得到 a2b2 故选：D 【点评】考查若 ab，对 a，b 求绝对值或求倒数其不等号方向不能确定，而只有对于同 向正的或非负的不等式两边同时平方后不等号方向不变 3（5 分） 已知数列an） 的通项公式为， 则下列各数中不是数列中的项的是 （ ） A2 B40 C56 D90 第 5 页（共 18 页） 【分析】利用通项公式即可得出 【解答】解：由数列an）
10、的通项公式为， n2 时，a22n8 时，a856n10 时，a1090 令40，无整数解 则下列各数中不是数列中的项的是 B 故选：B 【点评】本题考查了数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 4 （5 分）不等式 2x+3x20 的解集是（ ） Ax|3x1 Bx|1x3 Cx|1x3 Dx|x3 【分析】对 2x+3x20 因式分解，得（x3） （x+1）0，然后根据“大于取两边，小 于取中间“得到不等式的解集 【解答】解：因为 2x+3x20，所以（x3） （x+1）0， 所以1x3， 所以不等式的解集为x|1x3 故选：B 【点评】本题考查了一元二次不等式
11、的解法，属基础题 5 （5 分）抛物线 y2x2的焦点到其准线的距离为（ ） A2 B1 C D 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可求得抛物线 y2x2的焦点到其准线的距离 【解答】解：抛物线 y2x2化为标准方程为 x2y 抛物线 y2x2的焦点到其准线的距离为 故选：D 【点评】本题考查抛物线的性质，将抛物线方程化为标准方程是解题的关键 6 （5 分）下列说法正确的是（ ） 数列 1，3，5，7 与数列 7，3，5，1 是同一数列；数列 0，1，2，3的一个通项公 式为 ann1； 第 6 页（共 18 页） 数列 0，1，0，1没有通项公式； 数列是递增数列 A B C D 【分析】
12、根据题意，结合数列的定义，依次分析命题，即可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于、数列 1，3，5，7 与数列 7，5，3，1 中顺序不同，不是同一数列，故错误； 对于、数列 0，1，2，3，的通项公式是 ann1，故正确； 对于、数列 0，1，0，1它的一个通项公式为：an，故错误； 对于、数列是递增数列，故正确 故选：B 【点评】本题考查命题的真假的判断，数列的定义，关键是理解数列的定义，是基础题 7 （5 分）已知 F 为双曲线 C：1 的左焦点，P，Q 为双曲线 C 上的点，若线段 PQ 的长等于 16，点 A（5，0）在线段 PQ 上，则PQF 的周长为（ ） A44
13、B34 C32 D46 【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义求解 【解答】解：双曲线 C：1 的左焦点 F（5，0） ，点 A（5，0）是双曲线 的右焦点， 双曲线图象如图： |PF|AP|2a6， |QF|QA|2a6， 而|PQ|16， + 得：|PF|+|QF|PQ|12， 周长为：|PF|+|QF|+|PQ|12+2|PQ|44 故选：A 第 7 页（共 18 页） 【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线定义的应用，是中档题 8 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的一条渐近线方程为 y，且它的 一个焦点在抛物线 y224x 的准线上，则双曲线的方程为（ ） A1 B
14、1 C1 D1 【分析】由题意可得：，c6，联立解出即可得出 【解答】解：由题意可得：，c6， 联立解得：a3，b3 双曲线的方程为：1， 故选：C 【点评】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 9 （5 分）若抛物线 y23x 的焦点是 F，准线是 l，点 M（3，m） （m0）是抛物线上的一 点则经过点 F，M 且与 l 相切的圆共有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D4 个 【分析】根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线的方程，求出 M 的坐标，利用 MF 的中 垂线经过圆的圆心，结合抛物线的定义，判断圆的个数即可 第 8 页（共 18 页）
15、 【解答】解：抛物线 y23x 的焦参数 p，所以 F（，0） ，直线 l：x，即 x+ 0， 点 M（3，m） （m0）是抛物线上的一点 可得点 M（3，3） 、经过点 M、F（，0） ，且与直线 l 相切的圆的圆心为 G， 如图：由抛物线的定义以及圆的性质可知：GNl 于 N，GNGFGM， 所以满足条件的圆有两个 故选：C 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质和圆的性质的应用考查了数形结合以及转 化思想的应用，圆与圆锥曲线的位置关系，是中档题 10 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，抛物线上的两个动点 A，B 始终满足 AFB60，过弦 AB 的中点 H 作抛物线的
16、垂线 HN，垂足为 N，则的取值范围 是（ ） A （0， B （，+ C1，+ D （0，1 【分析】设|AF|a，|BF|b，连接 AF、BF由抛物线定义得 2|HN|a+b，由余弦定理 可得|AB|2（a+b）23ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题 答案 【解答】解：设|AF|a，|BF|b， 由抛物线定义，得|AF|AQ|，|BF|BP| 在梯形 ABPQ 中，2|HN|AQ|+|BP|a+b 由余弦定理得， 第 9 页（共 18 页） |AB|2a2+b22abcos60a2+b2ab， 配方得，|AB|2（a+b）23ab， 又ab（） 2， （a+b）
17、23ab（a+b）2（a+b）2（a+b）2， 得到|AB|（a+b） 1， 故选：D 【点评】本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的 应用等知识，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 9 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 45 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上） 11 （5 分）已知抛物线 y22ax 过点（1，4） ，则抛物线的焦点坐标为 （4，0） 【分析】利用抛物线经过的点，求出 a，然后求解抛物线的焦点坐标 【解答】解：抛物线 y22ax 过点（1，4） ， 可得 162a，解得 a8 所以抛物线方程为：y
18、216x， 抛物线的焦点坐标（4，0） 故答案为： （4，0） 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题 12 （5 分）函数 yx1+（x0）的最小值为 3 此时 x 2 【分析】由 x0，结合基本不等式 yx+1即可求解 第 10 页（共 18 页） 【解答】解：x0， 由基本不等式可得 yx+13， 当且仅当 x即 x2 时，函数取得最小值 3 故答案为：3；2 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题 13 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3+3S20，则公比 q 2 【分析】由题意可得，q1，由 S3+3S20，代入等比数列的求和公式可求
19、 q 【解答】解：由题意可得，q1 S3+3S20 q3+3q240 （q1） （q+2）20 q1 q2 故答案为：2 【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比 q 是否为 1 14 （5 分）双曲线1 的焦点坐标为 （，0） ，渐近线方程是 y x 【分析】利用双曲线方程直接求解双曲线的焦点坐标以及渐近线方程 【解答】解：双曲线1 可得 a，b2，双曲线的焦点坐标为（，0） ， 双曲线的渐近线方程为：yx 故答案为： （，0） ；yx 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题 15 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和 Sn3n1，则数
20、列an的通项公式是 第 11 页（共 18 页） 【分析】由数列的前 n 项和求得首项，再由 anSnSn1（n2）求数列的通项公式 【解答】解：由 Sn3n1，得； 当 n2 时， 验证 a12 适合上式， 故答案为： 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和，训练了利用数列的和求通项，是基础题 16 （5 分）如果关于 x 的不等式 2kx2+kx0 对一切实数 x 都成立，那么 k 的取值范围 是 （3，0 【分析】根据不等式 2kx2+kx0 对一切实数 x 都成立，讨论 k0 和 k0 时，即可 求出 k 的取值范围 【解答】解：不等式 2kx2+kx0 对一切实数 x 都成立， k0
21、 时，不等式化为0 恒成立， k0 时，应满足， 解得3k0 综上，不等式 2kx2+kx0 对一切实数 x 都成立的 k 的取值范围是（3，0 故答案为： （3，0 【点评】本题考查了分类讨论思想的应用问题，也考查了不等式恒成立的问题，是中档 题 17 （5 分）河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5m 时，水面宽为 8m，一小船宽 4m， 高 2m， 载货后穿露出水面上的部分高 0.75m， 则水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2 m 时，小船开始不能通航 【分析】建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为 x22py （p0） ，将代入 B 坐 标代入得 p 的值，当船两侧与抛物线接触时
22、不能通过，由此能求出结果 第 12 页（共 18 页） 【解答】解：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为 y 轴建立如图的平面直角坐标 系，使得抛物线开口向下； 设拱桥型抛物线方程为 x22py （p0） ； A（2，y1） ，B（4，5） 将 B（4，5）代入抛物线方程 得 p1.6； 所以抛物线方程为 x23.2y； 当船两侧与抛物线接触时不能通过， 由 223.2y1， 得 y11.25， （因为船露出水面的部分高 0.75 米） ； 所以 h|y1|+0.752 米 故水面上涨到与抛物线拱顶距 2 米时，小船开始不能通行 故答案为：2 【点评】本题考查抛物线的应用，解题时要认真审题，
23、恰当地建立坐标系，合理地进行 等价转化是中档题 18 （5 分）已知数列an满足：a11，a22，则数列an的 前 2n 项和 S2n 2n1+ 【分析】奇数项成等比数列，用等比数列求和公式求出奇数项之和，用等差数列求和公 式求出偶数项之和，再相加 第 13 页（共 18 页） 【解答】解：当 n 为奇数时，an+22an，奇数项成等比数列，首项为 1，公比为 2， a1+a3+a5+a2n12n1， 当 n 为偶数时，an+2an3，偶数项成等差数列，首项为 2，公差为 3，a2+a4+a6+ +a2n2n+3 S2n2n1+ 故答案为：2n1+ 【点评】本题考查了数列的求和，属中档题 19
24、 （5 分）已知椭圆 M：+1（ab0） ，双曲线 N：1若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 则椭 圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 2 【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率； 利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可 【解答】解：椭圆 M：+1（ab0） ，双曲线 N：1若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 可得椭圆的焦点坐标（c，0） ，正六边形的一个顶点（，） ，可得：， 可得，可得 e48e2+40，e（0，1） ， 解得
25、 e 同时，双曲线的渐近线的斜率为，即， 可得：，即， 可得双曲线的离心率为 e2 故答案为：；2 【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 第 14 页（共 18 页） 三、解答题：版大题有三、解答题：版大题有 4 小题，共小题，共 55 分解答应写出文字证明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字证明，证明过程或演算步骤 20 （14 分）已知等差数列an中，a125，且 a1，a11，a13成等比数列 （1）求an的通项公式； （2）若数列an的公差小于零，求数列an的前 n 项和 Sn的表达式及其最大值； （3）求 a1+a4+a7+a3n2 【分析】 （1）设等差数列
26、的公差为 d，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质， 解方程可得公差，进而得到所求通项公式； （2）由题意可得 d2，a125，运用等差数列的求和公式，可得 Sn，再由二次函数 的最值求法可得所求最大值； （3）讨论 d0 和 d2，运用等差数列的求和公式计算可得所求和 【解答】解： （1）等差数列an的公差设为 d，a125，且 a1，a11，a13成等比数列， 可得 a1a13a112，即 25（25+12d）（25+10d）2， 解得 d0 或 d2， 则 an25 或 an252（n1）272n； （2）数列an的公差小于零，可得 d2，a125， 数列an的前 n 项和 Sn2
27、5n+n（n1）（2）n2+26n （n13）2+169， 可得 n13 时，Sn取得最大值 169； （3）当 d0 时，a1+a4+a7+a3n225+25+2525n； 当 d0 时，a1+a4+a7+a3n225+19+（6n+31） n（256n+31）28n3n2 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，数列的 和的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题 21 （13 分）解关于 x 的不等式 ax222xax（aR） 【分析】对 a 分类：a0，a0，2a0，a2，a2，分别解不等式，求解取 交集即可 【解答】解：原不等式变形为 ax2+（a2
28、）x20 a0 时，x1； a0 时，不等式即为（ax2） （x+1）0， 第 15 页（共 18 页） 当 a0 时，x或 x1； 由于（1），于是 当2a0 时，x1； 当 a2 时，x1； 当 a2 时，1x 综上，当 a0 时，x1；当 a0 时，x或 x1；当2a0 时，x1； 当 a2 时，x1；当 a2 时，1x 【点评】本题考查不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题 22 （13 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的 短半轴为半径的圆与直线 yx+20 相切 （）求椭圆 C 的方程； （）设 P（2，0） ，A，B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的
29、任意两个不同的点，连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点 G 【分析】 （1）由离心率得 a，c 关系，表示出圆的方程 x2+y2b2，则圆心到直线的距离 d b，则可求出 a，b； （2）表示出 PB 方程并与椭圆方程联立，表示出 AE 方程，利用根与系数关系可求出点 G 坐标 【解答】解： （1）e，所以 c2a2，设以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径 的圆方程为 x2+y2b2，则圆心到直线的距离 db， 解得 b22，所以 a24，椭圆 C 的方程为， （2）设 B（x1，y1） ，E（x2，y2） ，A（x1，y1） 由题知 PB 斜率肯定存在，设
30、直线 PB 方程为 yk（x+2） ，联立， 第 16 页（共 18 页） 整理得（1+2k2）x2+8k2x+16k240，则 x1+x2，x1x2， 直线 AE 的方程为：yy2，令 y0，则 x， 将，代入得 x，所以 G（，0） ， 故直线 AE 过定点 G（，0） ， 【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线过定点问题，属于综合题，属于中档题 23 （15 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的一个焦点为 F（1，0） ，离心率为， A 为椭圆 C 的左顶点，P，Q 为椭圆 C 上异于 A 的两个动点，直线 AP，AQ 与直线 l：x 4 分别交于 M，N 两点 （）求椭圆 C 的方程； （
31、）若PAF 与PMF 的面积之比为，求 M 的坐标； （）设直线 l 与 x 轴交于点 R，若 P，F，Q 三点共线，判断MFR 与FNR 的大小关 系，并说明理由 【分析】 （）由题意得 c1，结合离心率求得 a，再由隐含条件求得 b，则椭圆方程可 求； （） 由PAF 与PMF 的面积之比为， 可得， 设 M （4， m） （m0） ， P （x0， y0） ，则（x0+2，y0）（6，m） ，求得 x01，y0将其代入椭圆方程，解得 m 9则 M 的坐标可求； （）设 M（4，m） ，N（4，n） ，P（x0，y0） ，分析可得 m0，n0直线 AM 的方程 为 y （x+2） 联立直线
32、方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得 P 的坐标，利用利 用对称性可得，若 P，F，Q 三点共线，则MFRFNR 【解答】 （）解：由题意得 c1，又，解得 a2，c1 a2b2c2，b23 椭圆 C 的方程为； 第 17 页（共 18 页） （）解：PAF 与PMF 的面积之比为， |AP|PM|，则， 设 M（4，m） （m0） ，P（x0，y0） ， 则（x0+2，y0）（6，m） ， 解得 x01， 将其代入，解得 m9 M 的坐标为（4，9）或（4，9） ； （）证明：设 M（4，m） ，N（4，n） ，P（x0，y0） ， 若 m0，则 P 为椭圆 C 的右顶点，由 P，F，Q
33、三点共线知，Q 为椭圆 C 的左顶点，不 符合题意 m0同理 n0 直线 AM 的方程为 y（x+2） 由消去 y，整理得（27+m2）x2+4m2x+（4m2108）0 （4m2）24（27+m2） （4m2108）0 成立 由，解得 得 P（，） 当|m|3 时，|n|3，即直线 PQx 轴 由椭圆的对称性可得|MR|FR|NR|3 又MRFNRF90， MFRFNR45 当|m|3 时，|n|3， 第 18 页（共 18 页） 直线 FP 的斜率，同理 P，F，Q 三点共线，得 mn9 在 RtMRF 和 RtNRF 中，tanMFR，tanFNR， tanMFRtanFNR MFR，FNR 均为锐角， MFRFNR 综上，若 P，F，Q 三点共线，则MFRFNR 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力， 是中档题