1、设函数 f（x） 在 R 上可导，其导函数为 f（x） ，且函数 y（1x）f（x） 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A函数 f（x） 有极大值 f（2）和极小值 f（1） B函数 f（x） 有极大值 f（2）和极小值 f（2） C函数 f（x）有极大值 f（2）和极小值 f（1） 第 2 页（共 16 页） D函数 f（x） 有极大值 f（2）和极小值 f（2） 7 （4 分）若函数 y在（1，+）上单调递增，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca1 Da1 8 （4 分）函数 f（x）ax3bx2+cx 的图象如图所示，且 f（x）在 xx0与 x1 处取得极 值
2、，给出下列判断： c0； f（1）+f（1）0； 函数 yf（x）在区间（0，+）上是增函数 其中正确的判断是（ ） A B C D 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 9 （4 分）如果函数 f（x）cosx，那么 10 （4 分）已知 f（x）x33x，过点 P（2，2）作函数 yf（x）图象的切线，则切线方 程为 11 （4 分）已知 yf（x）是定义在 R 上的函数，且 f（1）1，f（x）1，则 f（x） x 的解集是 12 （4 分）将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起， 做成一个无盖
3、的正六棱柱容器当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最 大 13 （4 分）若函数 f（x）2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，则 f（x） 在1，1上的最大值与最小值的和为 14 （4 分）已知函数 f（x）x（lnxax）有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 4 小题，共小题，共 44 分解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （10 分）求下列函数的导数： 第 3 页（共 16 页） （1） （2）y（x2x）e1 x 16 （11 分）已知函数 f（x）2lnxx （1）写
4、出函数 f（x）的定义域，并求其单调区间； （2）已知曲线 yf（x）在点（x0，f（x0） ）处的切线为 l，且 l 在 y 轴上的截距是2， 求 x0 17 （11 分）已知函数 f（x）x2exb，其中 bR （）证明：对于任意 x1，x2（，0，都有 f（x1）f（x2）； （）讨论函数 f（x）的零点个数（结论不需要证明） 18 （12 分）已知函数 f（x）lnxx2，g（x）x2+x，mR，令 F（x）f（x）+g （x） （）求函数 f（x）的单调递增区间； （）若关于 x 的不等式 F（x）mx1 恒成立，求整数 m 的最小值； （）若 m1，且正实数 x1，x2满足 F（x
5、1）F（x2） ，求证：x1+x21 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年北京师大实验中学高二（下）学年北京师大实验中学高二（下）3 月月考数学试卷月月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题：本大题共一选择题：本大题共 8 小小题，每小题题，每小题 4 分，共分，共 32 分分 1 （4 分）下列求导运算正确的是（ ） A （x+）1+ B （3x）3xlog3x C （log2x） D （x2cosx）2sinx 【分析】直接利用导数的运算法则求解判断即可 【解答】解： （x+）1，所以 A 不正确； （3x）3xln3，所以 B 不正确； （log2x）
6、正确； （x2cosx）2xcosx2x2sinx，所以 D 不正确 故选：C 【点评】本题考查导数的运算法则的应用，是基础题 2 （4 分）函数 yx2在区间x0，x0+x上的平均变化率为 k1，在x0x，x0上的平均变 化率为 k2，则 k1与 k2的大小关系是（ ） Ak1k2 Bk1k2 Ck1k2 Dk1与 k2的大小关系不确定 【分析】直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解 【解答】 【解答】解：函数 yf（x）x2在 x0到 x0+x 之间的平均变化量为：yf （x0+x）f（x0）（x0+x）2（x0）2x（2x0+x） k12x0+x 函数 yf（x）x2在 x0x 到 x
7、0之间的平均变化量为：yf（x0）f（x0x） （x0）2（x0x）2x（2x0x） k22x0x 第 5 页（共 16 页） k1k22x，而x0，故 k1k2 故选：A 【点评】本题考查了函数的平均变化率的概念及的求法，解答此题的关键是熟记概念， 是基础题 3 （4 分）设函数 f（x）x3+（a1）x2+ax若 f（x）为奇函数，则曲线 yf（x）在点（0， 0）处的切线方程为（ ） Ay2x Byx Cy2x Dyx 【分析】 利用函数的奇偶性求出 a， 求出函数的导数， 求出切线的向量然后求解切线方程 【解答】解：函数 f（x）x3+（a1）x2+ax，若 f（x）为奇函数，f（x）
8、f（x） ， x3+（a1）x2ax（x3+（a1）x2+ax）x3（a1）x2ax 所以： （a1）x2（a1）x2 可得 a1，所以函数 f（x）x3+x，可得 f（x）3x2+1， 曲线 yf（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1， 则曲线 yf（x）在点（0，0）处的切线方程为：yx 故选：D 【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力 4 （4 分）已知某生产厂家的年利润 y（单位：万元）与年产量 x（单位：万件）的函数关 系式为 yx3+81x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ） A13 万件 B11 万件 C9 万件 D7 万件 【分析】
9、由题意先对函数 y 进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值 点和区间端点值代入已知函数，比较函数值的大小，求出最大值即最大年利润的年产量 【解答】解：令导数 yx2+810，解得 0x9； 令导数 yx2+810，解得 x9， 所以函数 yx3+81x234 在区间（0，9）上是增函数， 在区间（9，+）上是减函数， 所以在 x9 处取极大值，也是最大值 故选：C 【点评】本题考查导数在实际问题中的应用，属基础题 5 （4 分）函数 f（x）x+2cosx 在0，上的极小值点为（ ） 第 6 页（共 16 页） A0 B C D 【分析】可先利用导数判断函数的单调性，再利用单调性
10、求极值点 【解答】解：y12sinx0，得 x或 x， 故 yx+2cosx 在区间0，上是增函数，在区间，上是减函数，在， 是增函数 x是函数的极小值点， 故选：C 【点评】本题考查利用函数的单调性求最值、导数的应用、三角函数求值等，难度一般 6 （4 分）设函数 f（x） 在 R 上可导，其导函数为 f（x） ，且函数 y（1x）f（x） 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A函数 f（x） 有极大值 f（2）和极小值 f（1） B函数 f（x） 有极大值 f（2）和极小值 f（2） C函数 f（x）有极大值 f（2）和极小值 f（1） D函数 f（x） 有极大值 f（2）和极
11、小值 f（2） 【分析】利用函数的图象，判断导函数值为 0 时，左右两侧的导数的符号，即可判断极 值 【解答】解：由函数的图象可知，f（2）0，f（2）0， 并且当 x2 时，f（x）0， 当2x1，f（x）0，函数 f（x）有极大值 f（2） 又当 1x2 时，f（x）0， 当 x2 时，f（x）0，故函数 f（x）有极小值 f（2） 故选：D 【点评】本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应 用 第 7 页（共 16 页） 7 （4 分）若函数 y在（1，+）上单调递增，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca1 Da1 【分析】根据题意，设 t，则 y
12、t2+at，由复合函数的单调性判断方法分析可得 y t2+at 在（1，+）上也是增函数，结合二次函数的性质分析可得答案 【解答】解：根据题意，设 t，则 yt2+at， 又由 x1，则 t1，则（1，+）上为增函数， 函数 y在（1，+）上单调递增，则 yt2+at 在（1，+）上也是增函数， 必有1，解可得 a2； 故选：A 【点评】本题考查复合函数的单调性，关键是掌握复合函数单调性的判定方法，属于基 础题 8 （4 分）函数 f（x）ax3bx2+cx 的图象如图所示，且 f（x）在 xx0与 x1 处取得极 值，给出下列判断： c0； f（1）+f（1）0； 函数 yf（x）在区间（0
13、，+）上是增函数 其中正确的判断是（ ） A B C D 【分析】求出函数的导数，根据 f（x）在 xx0与 x1 处取得极值，求出 a，b，c 之间 的关系，即可得到结论 【解答】解：函数 f（x）ax3bx2+cx，且 f（x）在 xx0与 x1 处取得极值， a0，且 f（x）3ax22bx+c， 则 xx0与 x1 是方程 f（x）3ax22bx+c0 的两个不同的根， 即 1+x0，1x0， 第 8 页（共 16 页） 则 2b3a（1+x0） ，c3ax0， 由图象可知 x01，c3ax00，故不正确 f（1）+f（1）2b，且 2b3a（1+x0）0， f（1）+f（1）2b0，
14、故正确 f（x）3ax22bx+c3a（x1） （xx0）是开口向上，对称轴为 x 0 函数 yf（x）在区间（0，+）上是增函数，故正确 故正确的命题是， 故选：C 【点评】本题主要考查导数研究函数的应用，求出函数的导数，结合二次函数的性质， 判断 a，b，c 的大小是解决本题的关键 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 9 （4 分）如果函数 f（x）cosx，那么 【分析】 根据解析式求出和 f （x） ， 再求出， 代入 求解即可 【解答】解：由题意知，f（x）cosx， cos，f（x）sinx， sin ， 故答案为： 【
15、点评】本题考查了求导公式的应用，以及求函数值，属于基础题 10 （4 分）已知 f（x）x33x，过点 P（2，2）作函数 yf（x）图象的切线，则切线方 程为 y9x16 或 y2 【分析】求出导函数，得到切线的斜率为 9，设切点为（m，m33m） ，求出切线方程 与 已知条件结合，推出结果即可 【解答】解：y3+3x2 当点 A 为切点时，y|x29，得到切线的斜率为 9， 第 9 页（共 16 页） 所求的切线方程为 y9x16， 当 A 点不是切点时，设切点为（m，m33m） ， 则切线的斜率为 3m23，切线方程为 ym3+3m（3m23） （xm） ， 而切线过（2，2） ，2m3
16、+3m（3m23） （2m） ， 解得 m1 或 2（舍去） ， 切点为（1，2） ，斜率为 0，所求的切线方程为 y2， 故答案为：y9x16 或 y2 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力 11 （4 分）已知 yf（x）是定义在 R 上的函数，且 f（1）1，f（x）1，则 f（x） x 的解集是 （1，+） 【分析】构造函数 g（x）f（x）x，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论 【解答】解：设 g（x）f（x）x， 则 g（x）f（x）1， f（1）1，f（x）1， g（x）f（x）10，即 g（x）单调递增， 且 g（1）f（1）10， 当 x1
17、时，g（x）g（1） ， 即 f（x）x0， 则 f（x）x， 即 f（x）x 的解集是（1，+） ， 故答案为： （1，+） 【点评】本题主要考查不等式的解法，构造函数，利用函数的单调性是解决本题的关键 12 （4 分）将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起， 做成一个无盖的正六棱柱容器当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最 大 【分析】要求正六棱柱容器的容积最大，得需要得出容积表达式；由柱体的体积公式知， 底面积是正六边形，是六个全等小正的和，高是 Rt中 60角所对的直角边，由高和 底面积得出容积函数，用求导法可以求出最大值时的自变量取值 【解答】
18、解：如图，设底面六边形的边长为 x，高为 d，则 第 10 页（共 16 页） d； 又底面六边形的面积为： S6x2sin60； 所以，这个正六棱柱容器的容积为： VSd， 则对 V 求导，得 V，令 V0，得 x0 或 x， 当 0x时，V0，V 是增函数；当 x时，V0，V 是减函数； x时，V 有最大值 故答案为： 【点评】本题通过建立体积函数表达式，由求导的方法求函数最大值，是比较常用的解 题思路，也是中学数学的重要内容 13 （4 分）若函数 f（x）2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，则 f（x） 在1，1上的最大值与最小值的和为 3 【分析】推导出 f（x）
19、2x（3xa） ，x（0，+） ，当 a0 时，f（x）2x（3x a）0，f（0）1，f（x）在（0，+）上没有零点；当 a0 时，f（x）2x（3x a）0 的解为 x，f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增，由 f（x）只有 一个零点，解得 a3，从而 f（x）2x33x2+1，f（x）6x（x1） ，x1，1， 利用导数性质能求出 f（x）在1，1上的最大值与最小值的和 【解答】解：函数 f（x）2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点， f（x）2x（3xa） ，x（0，+） ， 当 a0 时，f（x）2x（3xa）0， 函数 f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）
20、1， 第 11 页（共 16 页） f（x）在（0，+）上没有零点，舍去； 当 a0 时，f（x）2x（3xa）0 的解为 x， f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增， 又 f（x）只有一个零点， f（）+10，解得 a3， f（x）2x33x2+1，f（x）6x（x1） ，x1，1， f（x）0 的解集为（1，0） ， f（x）在（1，0）上递增，在（0，1）上递减， f（1）4，f（0）1，f（1）0， f（x）minf（1）4，f（x）maxf（0）1， f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为： f（x）max+f（x）min4+13 【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算
21、及其应用，同时考查逻辑思维能力 和综合应用能力，是中档题 14（4 分） 已知函数 f （x） x （lnxax） 有两个极值点， 则实数 a 的取值范围是 【分析】f（x）xlnxax2（x0） ，f（x）lnx+12ax令 g（x）lnx+12ax，由 于函数 f（x）x（lnxax）有两个极值点g（x）0 在区间（0，+）上有两个实数 根g（x）当 a0 时，直接验证；当 a0 时，利用导数研究函 数 g（x）的单调性可得：当 x时，函数 g（x）取得极大值， 故要使 g（x）有两个不同解，只需要，解得即可 【解答】解：f（x）xlnxax2（x0） ，f（x）lnx+12ax 令 g（
22、x）lnx+12ax， 函数 f（x）x（lnxax）有两个极值点，则 g（x）0 在区间（0，+）上有两个实 数根 g（x）， 当 a0 时，g（x）0，则函数 g（x）在区间（0，+）单调递增，因此 g（x）0 在区间（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去 第 12 页（共 16 页） 当 a0 时，令 g（x）0，解得 x 令 g（x）0，解得，此时函数 g（x）单调递增； 令 g（x）0，解得，此时函数 g（x）单调递减 当 x时，函数 g（x）取得极大值 当 x 趋近于 0 与 x 趋近于+时，g（x）， 要使 g （x） 0 在区间 （0， +） 上有两个实数根， 则， 解得 实数
23、 a 的取值范围是 故答案为： 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推 理能力和计算能力，属于难题 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 4 小题，共小题，共 44 分解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （10 分）求下列函数的导数： （1） （2）y（x2x）e1 x 【分析】利用求导法则与导数公式求导即可 【解答】解： （1）由，得 y； （2）由 y（x2x）e （1x） ，得 y（2x1）e1 x+（x2x） （1）e1x（x23x+1） e1 x 【点评】本题考查了导数的运算法则，属基础题 1
24、6 （11 分）已知函数 f（x）2lnxx （1）写出函数 f（x）的定义域，并求其单调区间； （2）已知曲线 yf（x）在点（x0，f（x0） ）处的切线为 l，且 l 在 y 轴上的截距是2， 求 x0 【分析】 （1）直接求解函数的定义域，求出函数的导数，利用导函数的符号，求解函数 的单调区间即可 （2）利用函数的导数求出切线的斜率，得到切线方程，l 在 y 轴上的截距是2，求 x0 第 13 页（共 16 页） 【解答】解： （1）函数 yf（x）的定义域为： （0，+） f（x）2lnxx， 令 f（x）0，则 x2 当 x 在（0，+）上变化时，f（x） ，f（x）的变化情况如下
25、表 x （0，2） 2 （2，+） f（x） + 0 f（x） 极大值 函数 yf（x）的单调递增区间是（0，2） ，单调递减区间是（2，+） （2）由题意可知：f（x0）2lnx0x0， 曲线 yf（x）在点（x0，f（x0） ）处的切线的斜率为 切线方程为： 切线方程为 ykx2， 2lnx022 x01 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的单调性的求解，考查分 析问题解决问题的能力 17 （11 分）已知函数 f（x）x2exb，其中 bR （）证明：对于任意 x1，x2（，0，都有 f（x1）f（x2）； （）讨论函数 f（x）的零点个数（结论不需要证明） 【分析】
26、 （）利用导数转化为求解最大值，最小值的差证明 （）根据最大值为；f（2）b，f（x）的最小值为：b， 分类当 b0 时，当 b0 时，当 b时，当 0b时，当 b时，判断即可 【解答】解： （）f（x）的定义域 R，且 f（x）x（x+2）ex， 令 f（x）0 则 x10，或 x22， 第 14 页（共 16 页） f（x）x（x+2）ex， x （，2） 2 （2，0） f（x） + 0 f（x） 增函数 极大值 减函数 f（x）在区间（，0上的最大值为；f（2）b， x（，0，f（x）x2exbb， f（x）的最小值为：b， 对于任意 x1，x2（，0，都有 f（x1）f（x2）f（x
27、）最大值f（x）； （）f（x）x（x+2）ex，函数 f（x）x2exb， 当 b0 时，函数 f（x）x2exb0 恒成立，函数 f（x）的零点个数为：0 当 b0 时，函数 f（x）x2ex，函数 f（x）的零点个数为：1 当 b时，函数 f（x）的零点个数为；2， 当 0b时，函数 f（x）的零点个数为：3， 当 b时，函数 f（x）的零点个数为：1， 【点评】本题考查了综合解决函数零点问题，利用导数解决单调性，最值，分类讨论的 思想 18 （12 分）已知函数 f（x）lnxx2，g（x）x2+x，mR，令 F（x）f（x）+g （x） （）求函数 f（x）的单调递增区间； （）若关
28、于 x 的不等式 F（x）mx1 恒成立，求整数 m 的最小值； （）若 m1，且正实数 x1，x2满足 F（x1）F（x2） ，求证：x1+x21 【分析】 （）先求出函数的导数，从而得到函数的单调区间； （）令 G（x）F（x）（mx1）lnxmx2+（1m）x+1，则不等式 F（x） mx1 恒成立，即 G（x）0 恒成立，通过讨论 G（x）的单调性，从而求出 m 的范围； （）将 m1 代入函数表达式，得到关于 x1，x2的方程，令 tx1x20，则由 （t） tlnt，通过讨论函数的单调性，从而证出结论 【解答】解： （）f（x）的定义域为：x|x0， 第 15 页（共 16 页）
29、f（x）x， （x0） ， 由 f（x）0，得：0x1， 所以 f（x）的单调递增区间为（0，1） （）F（x）f（x）+g（x）lnxmx2+x，x0， 令 G（x）F（x）（mx1）lnxmx2+（1m）x+1， 则不等式 F（x）mx1 恒成立，即 G（x）0 恒成立 G（x）mx+（1m）， 当 m0 时，因为 x0，所以 G（x）0 所以 G（x）在（0，+）上是单调递增函数， 又因为 G（1）ln1m12+（1m）+1m+20， 所以关于 x 的不等式 G（x）0 不能恒成立， 当 m0 时，G（x）， 令 G（x）0，因为 x0，得 x， 所以当 x（0，）时，G（x）0；当 x
30、（，+）时，G（x）0， 因此函数 G（x）在 x（0，）是增函数，在 x（，+）是减函数， 故函数 G（x）的最大值为： G（）lnm+（1m）+1lnm， 令 h（m）lnm，因为 h（m）在 m（0，+）上是减函数， 又因为 h（1）0，h（2）ln20，所以当 m2 时，h（m）0， 所以整数 m 的最小值为 2 （）m1 时，F（x）lnx+x2+x，x0， 由 F（x1）F（x2） ，得 F（x1）+F（x2）0，即 lnx1+x1+lnx2+x20， 整理得：+（x1+x2）x1 x2ln（x1 x2） ， 第 16 页（共 16 页） 令 tx1x20，则由 （t）tlnt，得：（t）， 可知 （t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增， 所以 （t）（1）1， 所以+（x1+x2）1，解得：x1+x21，或 x1+x21， 因为 x1，x2为正整数，所以：x1+x21 成立 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查导数的应用，是一 道难题