1、如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几 何体的体积为（ ） A6 B9 C12 D18 5 （5 分）已知 ， 是平面，m，n 是直线，下列命题中不正确的是（ ） A若 m，m，n，则 mn B若 m，m，则 C若 ，m，m，则 m D若 m，m，则 6 （5 分）设函数的最小正周 期为 ，且 f（x）f（x） ，则（ ） A B 第 2 页（共 22 页） C D 7 （5 分）在ABC 中， “sinAsinB”是“cosAcosB” （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）设点 B 为O 上任意一
2、点，AO 垂直于O 所在的平面，且 AOOB，对于O 所在的平面内任意两条相互垂直的直线 a，b，有下列结论： 当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 30角； 当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 60角； 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45； 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60 其中正确结论的序号为（ ） A B C D 二、填空题： （本二、填空题： （本大题共大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分 ）把正确答案填在题中横线上分 ）把正确答案填在题中横线上 9 （5 分）已知，则 tan 10 （5 分）在平面直角坐
3、标系 xOy 中，角 与角 均以的 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称若，则 cos2 等于 11 （5 分）要得到函数的图象，只需将函数 ysin2x 的图象向 平 移 个单位 12 （5 分）能说明命题“在ABC 中，若 acosAbcosB，则这个三角形一定是等腰三角形” 为假命题的一组 A，B 的值为 13 （5 分）如图所示，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75；从 C 点 测得MCA60已知山高 BC500m，则山高 MN m 第 3 页（共 22 页） 14 （5 分）如图
4、，在边长为 2 正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 BC 的中点，点 P 在正方 体表面上移动，且满足 B1PD1E，则点 B1和满足条件的所有点 P 构成的图形的面积 是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 15 （13 分）已知函数 f（x）2sinxcosx2cos2x （）求 f（x）的最小正周期； （）当时，求 f（x）的单调递增区间 16 （13 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，ACCB2，且 ACCB，AA1 底面 ABC，E 为 A
5、B 中点，点 P 为 B1B 上一点 （）求证：BC1平面 A1CE； （）求二面角 A1CEB 的余弦值； （）设 BPa，若 APA1C，写出 a 的值（不需写过程） 第 4 页（共 22 页） 17 （13 分）在ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 abcosC+csinB （）求 B； （）若，求ABC 的面积 18 （14 分）如图，ABC 是等腰直角三角形，CAB90，AC2a，E，F 分别为 AC， BC 的中点，以 EF 为折线将CEF 折起，得到如图所示的四棱锥 CABFE， （）求证：AB平面 AEC； （）当四棱锥 CABFE 体积取最大值时， （i
6、）写出最大体积； （ii）求 CF 与平面 CAB 所成角的大小 19 （13 分）定义：T（x，y）cosxcosy+sinxsiny，其中 x，yR （）设，求 f（x）在区间的最小值； （ ） 设， 其 中aR 求 当 时，g（x）的最大值（用含有 a 的代数式表示） 20（14 分） 如图所示的几何体中， 2CC13AA16， CC1平面 ABCD， 且 AA1平面 ABCD， 正方形 ABCD 的边长为 2，E 为棱 A1D 中点，平面 ABE 分别与棱 C1D，C1C 交于点 F， G 第 5 页（共 22 页） （）求证：ABFG； （）求证：平面 A1C1D平面 ABE； （）
7、求 CG 的长 第 6 页（共 22 页） 2018-2019 学年北京市通州区高二（下）期末数学试卷学年北京市通州区高二（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目合题目 要求的一项要求的一项 1 （5 分）已知，且 （0，） ，则 tan 等于（ ） A B C D 【分析】由已知直接利用同角三角函数基本关系式求解 【解答】解：，且 （0，） ， sin tan 故选：A 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数
8、基本关系式的应用，是基础 题 2 （5 分）R，下列各式中与 sin 相等的是（ ） Asin（） B Csin（+） Dsin（） 【分析】直接利用三角函数的诱导公式得答案 【解答】解：sin（）sin； sin（+）sin；sin（）sin 与 sin 相等的是 sin（） 故选：D 【点评】本题考查三角函数的诱导公式，是基础题 3 （5 分）设角 的终边经过点（3，4） ，则的值等于（ ） A B C D 【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得 sin 和 cos 的值，利用两角差的余弦函 第 7 页（共 22 页） 数公式即可求解 【解答】解：角 的终边经过点 P（3，4） ， x3
9、，y4，r|OP|5， sin，cos， cos+sinsin+ 故选：B 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦函数公式在三角函数化 简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题 4 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几 何体的体积为（ ） A6 B9 C12 D18 【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可 【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为 3； 底面三角形斜边长为 6，高为 3 的等腰直角三角形， 此几何体的体积为 V6339 故选：B 【点评】本题考查三视图与几何体的关
10、系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力 5 （5 分）已知 ， 是平面，m，n 是直线，下列命题中不正确的是（ ） A若 m，m，n，则 mn B若 m，m，则 C若 ，m，m，则 m D若 m，m，则 第 8 页（共 22 页） 【分析】由线面平行的性质定理可判断 A；由面面垂直的判定定理可判断 B；由面面垂直 的性质定理和线面平行的判定定理可判断 C；由线面平行的性质和面面的位置关系可判 断 D 【解答】解：若 m，m，n，由线面平行的性质定理可得 mn，故 A 正确； m，m，由面面垂直的判定定理可得 ，故 B 正确； 若 ，m，在 内作一条直线 l 垂直于 、 的交线，即有 l，又
11、m， 可得 ml，由线面平行的判定定理可得 m，故 C 正确； 若 m，m，可得 或 、 相交，故 D 错误 故选：D 【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质， 推理能力，属于基础题 6 （5 分）设函数的最小正周 期为 ，且 f（x）f（x） ，则（ ） A B C D 【分析】由题意利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性 求得 ，再利用正弦图象的对称性，求得 的值，从而得出结论 【解答】解：函数 f（x）sin（x+）+cos（x+）sin（x+） 的最小 正周期为， 2，故 f（x）sin（2x+） ， f（x）f（x） ，si
12、n（x+）sin（x+） ， 即 sin（x+）sin（x） ， +2k，kZ 结合所给的选项， 故选：D 【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的周期性以及图象的对称性，属 于基础题 第 9 页（共 22 页） 7 （5 分）在ABC 中， “sinAsinB”是“cosAcosB” （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 ：在ABC 中， “sinAsinB” ，由正弦定理可得 ab，ABcosAcosB 【解答】解：在ABC 中， “sinAsinB” ，由正弦定理可得 ab，AB， 又 A，B（0，） ， cosAcosB
13、 在ABC 中， “sinAsinB”是“cosAcosB”的充要条件 故选：C 【点评】本题考查了充要条件的应用、正弦定理的应用、三角函数的单调性，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 8 （5 分）设点 B 为O 上任意一点，AO 垂直于O 所在的平面，且 AOOB，对于O 所在的平面内任意两条相互垂直的直线 a，b，有下列结论： 当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 30角； 当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 60角； 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45； 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60 其中正确结论的序号为（ ） A B C D
14、 【分析】不妨取O 的半径 R2 ：如图所示，取O 上的一点 C，使得ABC 为等边三角形，取 BC 的中点 D，AC 的中点 E，连接 OD，OE取直线 BC 为 a，OD 为直线 b可得ODE 为等边三角形， 即可判断出结论 ：不妨设直线 a 经过点 B，下面分类讨论： （i）取直线 OB 为 a 时； （ii）取直线 a OB 时； （iii）取直线 BD 为 a 时，OBD 为锐角分别得出直线 AB 与 a 所成角，即 可得出结论 【解答】解：不妨取O 的半径 R2 ：如图所示，取O 上的一点 C，使得ABC 为等边三角形，取 BC 的中点 D，AC 的中点 E，连接 OD，OE 取直
15、线 BC 为 a， OD 为直线 b 则 ODDEOE ODE 为等边三角形， ODE 第 10 页（共 22 页） 为 当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 60角 ：不妨设直线 a 经过点 B，下面分类讨论： （i）取直线 OB 为 a 时，可得直线 AB 与 a 所成角的为 45； （ii）取直线 aOB 时，可得直线 AB 与 a 所成角的为 90； （iii）取直线 BD 为 a 时，OBD 为锐角作 ODBD，D 为垂足，连接 AD，取 OD 为 b 可得 BDAD，因此ABD 为锐角，cosABD，因此 90ABD 45 综上可得：直线 AB 与 a 所成角的最小
16、值为 45； 因此：只有正确 故选：C 【点评】本题考查了空间角、空间线面、线线位置关系、分类讨论方法、数形结合方法， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分 ）把正确答案填在题中横线上分 ）把正确答案填在题中横线上 9 （5 分）已知，则 tan 3 第 11 页（共 22 页） 【分析】由已知利用两角差的正切函数公式即可求解 【解答】解：， 2+2tantan1， 解得 tan3 故答案为：3 【点评】本题主要考查了两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基 础题 10 （
17、5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以的 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称若，则 cos2 等于 【分析】由已知求得 sin，再由二倍角的余弦求解 【解答】解：由，且角 与角 的终边关于 y 轴对称， 得 sin cos212sin212 故答案为： 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查倍角公式的应用，是基础题 11 （5 分）要得到函数的图象，只需将函数 ysin2x 的图象向 左 平移 个单位 【分析】由条件利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，可得结论 【解答】解：ysin（2x+）sin2（x+），故只要将函数 ysin2x 的图象向左平 移个单位，
18、 故答案为： 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题 12 （5 分）能说明命题“在ABC 中，若 acosAbcosB，则这个三角形一定是等腰三角形” 为假命题的一组 A，B 的值为 30，60（答案不唯一，满足 A+B90就可以） 【分析】利用余弦定理代入化简即可得出 【解答】解：acosAbcosB， 第 12 页（共 22 页） ab， 化为： （a2+b2c2） （a+b） （ab）0， 解得 ab，或 a2+b2c2 符合要求的一组 A，B 的值答案不唯一（满足 A+B90） 故答案为：30，60（答案不唯一，满足 A+B90就可以） 【点评】本题考
19、查了余弦定理的应用、三角形形状的判定，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 13 （5 分）如图所示，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75；从 C 点 测得MCA60已知山高 BC500m，则山高 MN 750 m 【分析】利用直角三角形求出 AC，由正弦定理求出 AM，再利用直角三角形求出 MN 的 值 【解答】解：在 RtABC 中，CAB45，BC500m，所以 AC500m； 在AMC 中，MAC75，MCA60，从而AMC45， 由正弦定理得， 因此 AM500500m； 在 Rt
20、MNA 中，AM500m，MAN60， 由sin60， 得 MN500750m 故答案为：750 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档 第 13 页（共 22 页） 题 14 （5 分）如图，在边长为 2 正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 BC 的中点，点 P 在正方 体表面上移动，且满足 B1PD1E，则点 B1和满足条件的所有点 P 构成的图形的面积是 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，设出点 P 的坐标，利用 B1PD1E 得出 0，得出 x+2y2z20，根据点 P 在正方体的表面上，讨论 z0 与 z1 以及 x 0 与 x1 和
21、 y0、y1 时方程表示的图形，再由向量法求解 【解答】解：以 D 为坐标原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DD1所在直 线为 z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示； 则 D1（0，0，2） ，E（1，2，0） ，B1（2，2，2） ， 设点 P（x，y，z） ，则 （x2，y2，z2） ，（1，2，2） ， 又 B1PD1E，（x2）+2（y2）2（z2）0， 即 x+2y2z20 又点 P 在正方体的表面上， 当 z0 时，x+2y20，是线段 AM，点 M（0，1，0） ； 当 z1 时，x+2y40，是点 B1（2，2，2） ； 当 x0 时，2y2z20，是
22、线段 MN，点 N（0，2，1） ； 当 x1 时，2y2z10，是线段 AB1； 当 y0 时，x2z20，是点 A（2，0，0） ； 当 y1 时，x2z0，是线段 B1N 如图所示，点 P 的轨迹构成的图形是四边形 AB1NM MNAB1，AB12，MN， 第 14 页（共 22 页） A（2，0，0） ，M（0，1，0） ，B1（2，2，2） ，（2，1，0） ，（0，2，2） ， 点 M 到 AB1的距离 d|， 点 B1和满足条件的所有点 P 构成的图形的面积是： 故答案为： 【点评】本题考查了立体几何中的轨迹问题，考查了分析问题与解决问题的能力，解题 的关键建立空间直角坐标系，确
23、定点 P 所构成的轨迹，是中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 15 （13 分）已知函数 f（x）2sinxcosx2cos2x （）求 f（x）的最小正周期； （）当时，求 f（x）的单调递增区间 【分析】 （）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得 f（x） 的最小正周期 （）当时，利用正弦函数的单调性求得 f（x）的单调递增区间 【解答】解： （）f（x）2sinxcosx2cos2xsin2xcos2x1， 所以 f（x）的最小
24、正周期为 （）函数 ysinx 的单调递增区间为， 则，即（kZ） ， 第 15 页（共 22 页） 所以当时，f（x）的单调递增区间为 【点评】本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的周期性和单调性，属于基础题 16 （13 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，ACCB2，且 ACCB，AA1 底面 ABC，E 为 AB 中点，点 P 为 B1B 上一点 （）求证：BC1平面 A1CE； （）求二面角 A1CEB 的余弦值； （）设 BPa，若 APA1C，写出 a 的值（不需写过程） 【分析】 （）连接 AC1交 A1C 于 O，连接 EO，证明 EOBC1，推出 BC1平面 A1CE
25、（）以 CA，CB，CC1分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系求出平面 A1CE 的法向 量，平面 BCE 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角 A1CEB 的余弦值 （）利用条件写出结果即可 【解答】 （本小题满分 13 分） （）证明：连接 AC1交 A1C 于 O，连接 EO， 因为四边形 ACC1A1为矩形，AC1，A1C 为对角线， 所以 O 为 AC1中点，又因为 E 为 AB 中点， 所以 EOBC1， BC1平面 A1CE，EO平面 A1CE， 所以 BC1平面 A1CE （）解：因为 AA1底面 ABC，所以 CC1底面 ABC， 又 ACCB，所以以 CA，CB，C
26、C1分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 则，C（0，0，0） ，E（1，1，0） ，B（0，2，0）.， 第 16 页（共 22 页） ， 设平面 A1CE 的法向量为，则有，即 令 x1，则 由题意 CC1底面 ABC，所以为平面 BCE 的法向量， 所以， 又由图可知二面角 A1CEB 为钝二面角， 所以二面角 A1CEB 的余弦值为， （）解： 【点评】本题考查直线与平面的位置关系的综合应用，二面角的平面角的求法，空间距 离的求法，考查空间想象能力以及计算能力 17 （13 分）在ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 abcosC+csinB （）求 B； （）
27、若，求ABC 的面积 【分析】 （）由正弦定理及题设，结合 sinAsin（B+C） ，推出 tanB1，求解 B 即可 （） （法一）直接利用余弦定理转化求解即可 （法二）由正弦定理得，然后通过两角和与差的三角函数，转化求解 A 的正 弦函数，然后求解三角形的面积 【解答】解： （）由正弦定理及题设得 sinAsinBcosC+sinCsinB， 第 17 页（共 22 页） 又 sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC， 所以 sinBcosB，即 tanB1， 所以 （） （法一）由余弦定理 b2a2+c22accosB 可得：a24a120， 解得 a6 或 a2（舍
28、） 由得 SABC6 （法二）由，得 BC 由正弦定理得 又， 所以 【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理，三角形的面积的求法，考查 计算能力 18 （14 分）如图，ABC 是等腰直角三角形，CAB90，AC2a，E，F 分别为 AC， BC 的中点，以 EF 为折线将CEF 折起，得到如图所示的四棱锥 CABFE， （）求证：AB平面 AEC； （）当四棱锥 CABFE 体积取最大值时， （i）写出最大体积； （ii）求 CF 与平面 CAB 所成角的大小 【分析】 （）证明 EFAE，EFCE得到 EF平面 AEC然后证明 AB平面 AEC （） （i）CABFE 最大体积
29、为 （ii）以 EA、EF、EC所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 CAB 的一个法向量，通过空间向量的数量积求解 CF 与平面 CAB 所成角的正弦值为，得到 第 18 页（共 22 页） 结果 【解答】 （本小题满分 14 分） 证明： （）因为ABC 是等腰直角三角形，CAB90，E，F 分别为 AC，BC 的中 点， 所以 EFAE，EFCE 又因为 AECEE， 所以 EF平面 AEC 由于 EFAB， 所以有 AB平面 AEC 解： （） （i）CABFE 最大体积为 （ii）因为四棱锥 CABFE 体积取最大值，所以 EC平面 ABFE 分别以 EA
30、、EF、EC所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则 C （0， 0， a） ， A （a， 0， 0） ， B （a， 2a， 0） ， F （0， a， 0） ， 设平面 CAB 的一个法向量为，由得， 取 x1，得 y0，z1 由此得到 所以 所以 CF 与平面 CAB 所成角的正弦值为 所以 CF 与平面 CAB 所成角的大小为 第 19 页（共 22 页） 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查 空间想象能力以及计算能力 19 （13 分）定义：T（x，y）cosxcosy+sinxsiny，其中 x，yR （）设，求 f（x
31、）在区间的最小值； （ ） 设， 其 中aR 求 当 时，g（x）的最大值（用含有 a 的代数式表示） 【分析】 （）由题意可得，结合范围，可得 ，利用余弦函数的图象和性质即可求解； （II）利用三角函数恒等变换的应用可得 g（x），结合 ，可得 sinx1，1，利用二次函数的性质分类讨论即可求解 【解答】解： （）由于cos2xcos+sin2xsin， 可得， 因为 所以有， 所以当时，f（x）最小，最小值为 （II） ， 因为，所以 sinx1，1， 当 a1 时，sinx1，g（x）取最大值，最大值为； 当1a1 时，sinxa，g（x）取最大值，最大值为； 当 a1 时，sinx1，
32、g（x）取最大值，最大值为 【点评】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用以及二次函 第 20 页（共 22 页） 数的性质，考查了函数思想和转化思想，属于中档题 20（14 分） 如图所示的几何体中， 2CC13AA16， CC1平面 ABCD， 且 AA1平面 ABCD， 正方形 ABCD 的边长为 2，E 为棱 A1D 中点，平面 ABE 分别与棱 C1D，C1C 交于点 F， G （）求证：ABFG； （）求证：平面 A1C1D平面 ABE； （）求 CG 的长 【分析】 （）运用线面平行的判定定理和性质定理，即可得证； （）证得 AB平面 AA1D，再证 A1D平
33、面 ABE，再由面面垂直的判定定理，即可得 证； （）以 AB，AD，AA1分别 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设，且 0， 1，求得 G 的坐标，分别运用面面垂直的定义和面面平行的性质，计算可得所求值 【解答】解： （）证明：因为 ABCD 为正方形， 所以 ABCD 又 AB平面 C1CD，CD平面 C1CD， 所以 AB平面 C1CD 又平面 ABE平面 C1CDFG， 所以 ABFG； （）证明：因为 AA1平面 ABCD， 所以 AA1AB 因为 ABCD 是正方形， 第 21 页（共 22 页） 所以 ABAD， 所以 AB平面 AA1D， 所以 ABA1D 因为 E 为棱 A
34、1D 中点，且， 所以 AEA1D， 所以 A1D平面 ABE 又 A1D平面 A1C1D， 所以平面 A1C1D平面 ABE （）解：法一、以 AB，AD，AA1分别 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设，且 0，1，则 G（2，2，3） ， 由（）可知 A1D平面 ABE，BG平面 ABE， 所以 A1DBG， 所以，即， 所以 法二、以 AB，AD，AA1分别 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 可证平面 A1AD平面 BCC1 平面 ABE平面 A1ADAE，平面 ABE平面 BCC1BG 所以有 AEBG， 设，且 0，1，则 G（2，2，3）， 所以， 所以 第 22 页（共 22 页） 【点评】本题考查线线平行的判定和面面垂直的判定，考查线面平行的性质定理和线面 垂直的判定定理，考查空间坐标的运用和向量的坐标运算，属于中档题