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2018-2019学年北京市大兴区高二(下)期末数学试卷(含详细解答)

1、甲和乙两人各投篮一次,已知甲投中的概率是 0.8,乙投中的概率是 0.6,则恰有 一人投中的概率为( ) A0.44 B0.48 C0.88 D0.98 6 (5 分)已知直线 ykx+2(kR)与椭圆+1 恒有公共点,则实数 t 的取值范围 是( ) A (0,4 B4,9) C (9,+) D4,9)(9,+) 7 (5 分)已知 MN 是平面 的斜线段,M 为斜足,若动点 P,且MNP 的面积为定值, 则动点 P 的轨迹为( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D直线 8 (5 分)已知 F 为抛物线 C:x22py(1p2)的焦点,F 关于原点的对称点为 F,点 M 在抛物线 C 上,给出

2、下列三个结论: 使得MFF为等腰三角形的点 M 有且仅有 6 个: 使得|+|1 的点 M 有且仅有 2 个: 使得|的点 M 有且仅有 4 个 其中正确结论的个数为( ) 第 2 页(共 18 页) A0 B1 C2 D3 二、填空题(共二、填空题(共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 30 分)分) 9 (5 分)椭圆+1 的离心率为 10 (5 分)在(1x)7的展开式中,x3的系数为 11 (5 分)与双曲线y21 有共同渐近线的一个双曲线方程是 12 (5 分)随机变量 , 的分布列如表所示,则 D()和 D()的大小关系是 0 1 P 0 1 P 13 (5 分)

3、5 位同学排成一排照相,若甲与乙相邻,则不同的排法有 种 14 (5 分)如图,AB,AC,ABBD 且 AB1,BD3,AC5,CD |+| ; 线段 BD 与平面 所成角的正弦值为 三、解答题(共三、解答题(共 6 小题,满分小题,满分 80 分)分) 15 (13 分)已知复数在 z1a+i,z21i,aR ()当 a1 时,求 z1的值: ()若 z1z2是纯虚数,求 a 的值; 第 3 页(共 18 页) ()若在复平面上对应的点在第二象限,求 a 的取值范围 16 (13 分)从分别印有数字 0,3,5,7,9 的 5 张卡片中,任意抽出 3 张组成三位数 求可以组成多少个大于 5

4、00 的三位数; 求可以组成多少个三位数; 若印有 9 的卡片,既可以当 9 用,也可以当 6 用,求可以组成多少个三位数 17 (13 分)端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有 6 个粽子,其中豆沙粽 1 个, 肉粽 2 个,白粽 3 个,这三种粽子的外观完全相同 ()从中不放回地任取 3 个,记 X 表示取到的肉粽个数,求 X 的分布列和 E(X) ()从中有放回地任取 3 个,记 Y 表示取到的肉粽个数,求 P(Y2) ()比较 E(X)与 E(Y)的大小(只需写出结论) 18 (13 分)已知斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F,且与抛物线交于 A,B 两 点

5、 ()求线段 AB 的长: ()已知点 M(4,0) ,证明:直线 AM 与直线 BM 不垂直 19 (14 分)如图, 在三棱柱 ABCA1B1C1中 CC1底面 ABCCACB CACBCC1 1D,E 分别是 AA1,A1B1的中点 ()求证:C1EBD; ()求二面角 A1BDC1的大小: ()线段 C1,E 上是否存在点 F,使 A1F平面 C1BD?若存在,求的值;若不 存在,说明理由 第 4 页(共 18 页) 20 (14 分)已知椭圆 C:+y21 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,设 M,N 是椭圆 C 上位 于 x 轴上方的两动点,且直线 MF1与直线 NF2平行,MF2

6、与 NF1交于点 D ()求 F1和 F2的坐标: ()求|MF1|NF2|的最小值: ()求证:|DF1|+|DF2|是定值 第 5 页(共 18 页) 2018-2019 学年北京市大兴区高二(下)期末数学试卷学年北京市大兴区高二(下)期末数学试卷 参考参考答案与试题解析答案与试题解析 一、选择题(共一、选择题(共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 40 分)分) 1 (5 分)双曲线1 的实轴长为( ) A1 B2 C2 D4 【分析】根据题意,由双曲线的方程求出 a 的值,即可得双曲线与 x 轴的交点,由实轴 的定义计算可得答案 【解答】解:根据题意,双曲线1,其中

7、a,b2,其焦点在 x 轴上, 则该双曲线与 x 轴的交点为(,0)与(,0) , 则实轴长 2a2; 故选:C 【点评】本题考查双曲线的标准方程以及双曲线实轴的定义,属于基础题 2 (5 分)+( ) A12 B14 C15 D16 【分析】利用组合数公式计算即可得答案 【解答】解:根据公式可得, , 原题等于 16 故选:D 【点评】本题考查了组合公式的计算,属于基础题 3 (5 分)复数(1+i)ia+i,则实数 a( ) A2 B1 C1 D2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件求得 a 值 【解答】解:(1+i)i1+ia+i, a1 第 6 页(共 18 页

8、) 故选:B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,是基础题 4 (5 分)设随机变量 XN(,2) ,则 P(X)( ) A B C D 【分析】直接由正态分布曲线的对称性得答案 【解答】解:随机变量 XN(,2) , 可得正态分布曲线的对称轴为 x, 由正态分布曲线的对称性可得: 则 P(X) 故选:C 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量 和的应用,考查曲线的对称性,属于基础题 5 (5 分)甲和乙两人各投篮一次,已知甲投中的概率是 0.8,乙投中的概率是 0.6,则恰有 一人投中的概率为( ) A0.44 B0.48 C0.8

9、8 D0.98 【分析】利用相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式直接求解 【解答】解:甲和乙两人各投篮一次,甲投中的概率是 0.8,乙投中的概率是 0.6, 设事件 A 表示“甲投中” ,事件 B 表示“乙投中” , 则 P(A)0.8,P(B)0.6, 则恰有一人投中的概率为: P(A )+P( B)P(A)P( )+P( )P(B) 0.80.4+0.20.6 0.44 故选:A 【点评】本题考查概率的求法,考查相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式等基础 知识,考查运算求解能力,是基础题 6 (5 分)已知直线 ykx+2(kR)与椭圆+1 恒有公共点,则实数 t 的取值范围 是( )

10、 第 7 页(共 18 页) A (0,4 B4,9) C (9,+) D4,9)(9,+) 【分析】根据题意,分析可得直线 ykx+2(kR)恒过定点(0,2) ,分析椭圆与 y 轴 正半轴的交点,结合直线与椭圆的位置关系分析可得,解可得 t 的取值范围, 即可得答案 【解答】解:根据题意,直线 ykx+2(kR)恒过定点(0,2) , 椭圆+1 与 y 轴正半轴的交点为(0,) , 若直线 ykx+2(kR)与椭圆+1 恒有公共点,必有, 解可得 t4 且 t9, 则 t 的取值范围为4,9)(9,+) ; 故选:D 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系,涉及直线恒过定点的问题,属于基础题

11、 7 (5 分)已知 MN 是平面 的斜线段,M 为斜足,若动点 P,且MNP 的面积为定值, 则动点 P 的轨迹为( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D直线 【分析】因为MNP 的面积为定值,且 MN 长为定值,所以点 P 到直线 MN 的距离为定 值,从而,点 P 在以 MN 为轴的圆柱的侧面上,又直线 MN 是平面 的斜线,且点 P 在 平面 内运动,所以,点 P 在平面 与以 MN 为轴的圆柱斜交的交线上,根据平面与圆 柱面交线的性质,得到的轨迹是椭圆 【解答】解:因为MNP 的面积为定值,且 MN 长为定值, 所以点 P 到直线 MN 的距离为定值, 从而,点 P 在以 MN 为轴的

12、圆柱的侧面上, 又直线 MN 是平面 的斜线,且点 P 在平面 内运动, 所以,点 P 在平面 与以 MN 为轴的圆柱斜交的交线上, 根据平面与圆柱面交线的性质,得到的轨迹是椭圆 故选:A 【点评】本题主要考查点线面的位置关系,圆锥曲线的定义性质,从定性的角度考虑即 第 8 页(共 18 页) 可 8 (5 分)已知 F 为抛物线 C:x22py(1p2)的焦点,F 关于原点的对称点为 F,点 M 在抛物线 C 上,给出下列三个结论: 使得MFF为等腰三角形的点 M 有且仅有 6 个: 使得|+|1 的点 M 有且仅有 2 个: 使得|的点 M 有且仅有 4 个 其中正确结论的个数为( ) A

13、0 B1 C2 D3 【分析】MFF为等腰三角形,考虑两边相等,结合图形,可得有 4 个点,可判断; 由抛物线的定义和解方程可判断 【解答】解:抛物线的焦点 F(0,) ,准线方程为 y, 由MFF为等腰三角形,若 FFMF,则 M 有两个点; 若 MFMF,则不存在,若 MFFF,则 M 有两个点, 则使得MFF为等腰三角形的点 M 有且仅有 4 个,即错误; 设 M(m,n) ,可得 m22pn,|MF|MK|n+, |+|1 即为+n+1, 移项平方可得 n0,与 n0 矛盾,即错误; |即|MK|,可得MKF为等腰直角三角形, 由可得 n,mp,可得 M 有且只有两个,即错误 故选:A

14、 第 9 页(共 18 页) 【点评】本题考查抛物线的方程和性质,考查联立方程以及分类讨论思想方法,以及运 算能力,属于中档题 二、填空题(共二、填空题(共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 30 分)分) 9 (5 分)椭圆+1 的离心率为 【分析】求出椭圆的长轴与焦距,然后求解离心率即可 【解答】解:椭圆,可得 a2,c1 所以椭圆的离心率为: 故答案为: 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,基本知识的考查 10 (5 分)在(1x)7的展开式中,x3的系数为 35 【分析】根据题意,写出(1x)7的展开式的通项 Tr+1C7r(x)r(1)rC7rxr, 令 r3,计算

15、可得 T4(1)3C73x335x3,即可得答案 【解答】解:根据题意, (1x)7的展开式的通项为 Tr+1C7r(x)r(1)rC7rxr, 令 r3 可得:T4(1)3C73x335x3, 即 x3的系数为35; 故答案为:35 【点评】本题考查二项式定理的应用,注意二项式定理的形式,属于基础题 11 (5 分)与双曲线y21 有共同渐近线的一个双曲线方程是 y21, (答案不 唯一) 第 10 页(共 18 页) 【分析】根据题意,求出双曲线y21 的渐近线方程,据此分析可得答案 【解答】解:根据题意,双曲线y21,其渐近线方差为 yx, 则与双曲线y21 有共同渐近线的一个双曲线方程

16、 y21, 故答案为:y21, (答案不唯一) 【点评】本题考查双曲线的几何性质,涉及双曲线的渐近线的计算,属于基础题 12 (5 分)随机变量 , 的分布列如表所示,则 D()和 D()的大小关系是 D() D() 0 1 P 0 1 P 【分析】分别求出两个变量的平均数和方差,由此能求出结果 【解答】解:E(), D(), E(), D()(0)2+(1)2 D()D() 故答案为:D()D() 【点评】本题考查两个离散型随机变量的方差的大小的判断,考查离散型随机变量、数 学期望、方差等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 13 (5 分)5 位同学排成一排照相,若甲与乙相邻,则不同的排法

17、有 48 种 【分析】由排列组合中的捆绑问题得:不同的排法有48 种,得解 【解答】解:由相邻问题捆绑法得: 5 位同学排成一排照相,若甲与乙相邻,则不同的排法有48 种, 第 11 页(共 18 页) 故答案为:48 【点评】本题考查了排列组合中的捆绑问题,属中档题 14 (5 分)如图,AB,AC,ABBD 且 AB1,BD3,AC5,CD |+| ; 线段 BD 与平面 所成角的正弦值为 【分析】|+| 过 D 作 DO 于点 O, 则与所成角的余弦值就是线段 BD 与平面 所成角的正 弦值, 与所成角的余弦值,利用|+|2|2,即可求解 【解答】解:+,|+| 过 D 作 DO 于点

18、O, 则与所成角的余弦值就是线段 BD 与平面 所成角的正 弦值, 与所成角的余弦值, |+|,|+|2|2, (+)2()2,+2+2+2, 25+1+10+251cos90+253cos+213cos9015, cos,线段 BD 与平面 所成角的正弦值为 故答案为:, 第 12 页(共 18 页) 【点评】本题考查了空间向量的应用,属于中档题 三、解答题(共三、解答题(共 6 小题,满分小题,满分 80 分)分) 15 (13 分)已知复数在 z1a+i,z21i,aR ()当 a1 时,求 z1的值: ()若 z1z2是纯虚数,求 a 的值; ()若在复平面上对应的点在第二象限,求 a

19、 的取值范围 【分析】 ()把 a1 代入,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案; ()利用复数代数形式的减法运算化简,再由实部为 0 求解; ()利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部小于 0 且虚部大于 0 求解 【解答】解: ()当 a1 时,z1(1+i) (1+i)1+i+i12i; ()由 z1z2(a+i)(1i)a1+2i 是纯虚数,得 a10,即 a1; ()由在复平面上对应的点在第二象限, 得,即1a1 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,考查复数的代数表 示法及其几何意义,是基础题 16 (13 分)从分别印有数字 0,3,5,7,9 的 5 张

20、卡片中,任意抽出 3 张组成三位数 求可以组成多少个大于 500 的三位数; 求可以组成多少个三位数; 若印有 9 的卡片,既可以当 9 用,也可以当 6 用,求可以组成多少个三位数 【分析】首位是 5、7、9 的三位数都大于 500即可求解 第 13 页(共 18 页) 共有三位数:448 个 求出有数字 9 的三位数个数即可 【解答】解:首位是 5、7、9 的三位数都大于 500 故大于 500 的三位数有:336 个; 共有三位数:448 个 取出的三张卡片中有 0 也有 9:有2212 种情况, 取出的三张卡片中有 9 但没有 0:C32A3318 种情况 印有 9 的卡片,既可以当

21、9 用,也可以当 6 用,可以组成 48+3078 个三位数 【点评】本题考查排列、组合的实际应用,注意依据题意进行分情况讨论,一定做到不 重不漏 17 (13 分)端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有 6 个粽子,其中豆沙粽 1 个, 肉粽 2 个,白粽 3 个,这三种粽子的外观完全相同 ()从中不放回地任取 3 个,记 X 表示取到的肉粽个数,求 X 的分布列和 E(X) ()从中有放回地任取 3 个,记 Y 表示取到的肉粽个数,求 P(Y2) ()比较 E(X)与 E(Y)的大小(只需写出结论) 【分析】 () 由题意得 X 的可能取值为 0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出

22、 的分布列、期望值 ()由题意得 Y 的可能取值为 0,1,2、3,则 YB(3,) ,即可求解 P(Y2 ()求得 E(Y) ,即可比较 【解答】解: () 由题意得 X 的可能取值为 0,1,2, P (X0) P (X1) P (X2) X 的分布列为: X 0 1 2 P E(X)0+1+21 第 14 页(共 18 页) ()由题意得 Y 的可能取值为 0,1,2、3, 则 YB(3,) ,P(Y2)+ ()E(X)E(Y) 【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、期望值的求法,是中档 题,解题时要认真审题,注注意排列组合知识的合理运用 18 (13 分)已知斜率为

23、1 的直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F,且与抛物线交于 A,B 两 点 ()求线段 AB 的长: ()已知点 M(4,0) ,证明:直线 AM 与直线 BM 不垂直 【分析】 ()联立方程,利用弦长公式直接求解 ()由x1x24(x1+x2)+16+y1y2124+16+4 30证明结论 【解答】解: ()设过点 F 且斜率为 1 的直线方程为:yx1, A(x1,y1) ,B(x2,y2) x26x+10 x1+x26,x1x21, |AB|8 () ,y1y24 x1x24(x1+x2)+16+y1y2124+16+430 直线 AM 与直线 BM 不垂直 【点评】本题考查了直线

24、与抛物线的位置关系,向量数量积运算,属于中档题 19 (14 分)如图, 在三棱柱 ABCA1B1C1中 CC1底面 ABCCACB CACBCC1 1D,E 分别是 AA1,A1B1的中点 ()求证:C1EBD; ()求二面角 A1BDC1的大小: ()线段 C1,E 上是否存在点 F,使 A1F平面 C1BD?若存在,求的值;若不 第 15 页(共 18 页) 存在,说明理由 【分析】 ()易得 C1EAA1,C1E面 A1ABB1,即可证明 C1EBD; ()由()可知 C1E面 A1BD,过 E 作 EODB 于 O,连接 C1O,可得C1OE 就 是二面角 A1BDC1的平面角解C1

25、OE 即可求解 ()如图 2,令 C1BCB1M取 C1B1的中点 H,连接 MH,HE,设 A1HC1EF, A1H平面 C1BD,可得 A1F平面 C1BD,在利用相似求解 【解答】解: ()如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,CACBE 是 A1B1的中点, C1EA1B1 CC1底面 ABC,C1EAA1, 又 AA1A1B1A1,C1E面 A1ABB1, 又 BD面 A1ABB1,C1EBD; ()由()可知 C1E面 A1BD,过 E 作 EODB 于 O,连接 C1O,可得C1OE 就 是二面角 A1BDC1的平面角 CACBCACB1,C1E 在C1DB 中,BD,可得,即

26、C1DDB, 故, 二面角 A1BDC1的大小, ()如图 2,令 C1BCB1M取 C1B1的中点 H,连接 MH,HE,设 A1HC1EF, 易得 HEA1C1,A1HDMA1H平面 C1BD 可得 A1F平面 C1BD,此时, 第 16 页(共 18 页) 故线段 C1E 上存在点 F,使 A1F平面 C1BD,此时的值为 【点评】本题考查了空间线线垂直、线面平行的证明,及二面角的求解,属于专题 20 (14 分)已知椭圆 C:+y21 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,设 M,N 是椭圆 C 上位 于 x 轴上方的两动点,且直线 MF1与直线 NF2平行,MF2与 NF1交于点 D (

27、)求 F1和 F2的坐标: ()求|MF1|NF2|的最小值: ()求证:|DF1|+|DF2|是定值 【分析】 ()由题设知 c1,即可求 F1和 F2的坐标 ()设 MF1与 NF2的方程分别为 x+1my,x1my,与椭圆方程联立,求出|MF1|、 |NF2|的表达式,可得|MF1|NF2|即可, () 利用直线 AF1与直线 BF2平行, 点 B 在椭圆上知, 可得|DF1|, 同理|DF2|即|DF1|+|DF2| 第 17 页(共 18 页) 由得,|MF1|+|NF2|,|MF1|NF2|, 可得|DF1|+|DF2|为定值 【解答】解: () 可得 c1,椭圆 C:+y21 的

28、左焦点为 F1,右焦点为 F2, F1(1,0) ,F2(1,0) : ()直线 MF1与直线 NF2平行,设 MF1与 NF2的方程分别为 x+1my,x1 my 设 M(x1,y1) ,M(x2,y2) ,y10,y20, 由,可得(m2+2)y22my10 y1, |MF1|0y1| 同理|NF2| |MF1|NF2|1, 当 m0 时,|MF1|NF2|的取得最小值,最小值为 ()直线 AF1与直线 BF2平行,即 DF1 由点 B 在椭圆上知,NF1+NF22,|DF1|, 同理|DF2| |PF1|+|PF2| 第 18 页(共 18 页) 由得,|MF1|+|NF2|,|MF1|NF2|, |DF1|+|DF2|(定值) 【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力, 属于难题