1、已知集合 A1，2，3，4，5，且 ABA，则集合 B 可以是（ ） Ax|2x1 Bx|x21 Cx|log2x1 D1，2，3 2 （5 分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（ ） Ayx2+x Bylnx2 Cyx Dycosx 3 （5 分） “是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）设命题 p：x（0，+） ，lnxx1，则p 为（ ） Ax（0，+） ，lnxx1 Bx0（0，+） ，lnx0x01 Cx（0，+） ，lnxx1 Dx0（0，+） ，lnx0x01 5 （5 分）函数 f（x）x35
2、 的零点所在的区间是（ ） A （1，2） B （2，3） C （3，4） D （4，5） 6 （5 分）已知 alog26，blog37，c0.30.1，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acba Babc Cbca Dcab 7 （5 分）已知ABC 中，A，B，C 的对边的长分别为 a，b，c，A120，a， ABC 的面积为，则 c+b（ ） A4.5 B4 C5 D6 8 （5 分）已知函数 f（x）2cos（x+） （0）满足：f（）f（） ，且在区 间（，）内有最大值但没有最小值，给出下列四个命题： P1：f（x）在0，2上单调递减； P2：f（x）的最小正周期是 4； P3：
3、f（x）的图象关于直线 x对称； P4：f（x）的图象关于（，0）对称 其中的真命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 第 2 页（共 21 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 9 （5 分）函数 y的定义域是 10 （5 分）在ABC 中，A，B，C 的对边的长分别为 a，b，c，已知 a1，sinA，sinC ，则 c 11 （5 分）设 tan，tan 是方程 x23x+20 的两个根，则 tan（+）的值为 12 （5 分）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情 况，她记录了随
4、后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之 间的函数关系： 某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： 随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； 9 天后，小菲的单词记忆保持量低于 40%； 26 天后，小菲的单词记忆保持量不足 20% 其中正确的结论序号有 （注：请写出所有正确结论的序号） 13 （5 分）函数 f（x）sin（x+）+cos（x）最大值为 14 （5 分）设 A，B 是 R 中两个子集，对于 xR，定义： 若 AB则对任意 xR，m（1n） ； 若对任意 xR，m+n1，则 A，B 的关系为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，每题小题，
5、每题 10 分，共分，共 30 分，解答应写出文字说明、证明过程或分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤演算步骤. 第 3 页（共 21 页） 15 （10 分）已知函数 f（x）x3x2+1 （1）求函数 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程； （2）求函数 f（x）的单调区间和极值 16 （10 分）甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 1x10） ，每小 时可获得的利润是 100（5x+1）元 （1）要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围； （2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？
6、并求 此最大利润 17 （10 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 asinBbcosCccosB （）判断ABC 的形状； （）若，求 f（A）的取值范围 卷（共卷（共 6 道题，满分道题，满分 24 分）一、选择题（本大题共分）一、选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分请把分请把 所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸的相应位置上）所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸的相应位置上） 18 （6 分）在ABC 中，角 A，B，C 对边的边长分别为 a，b，c，给出下列四个结论： 以为边长的三角形一定存在； 以为边长的三角形一定
7、存在； 以 a2，b2，c2为边长的三角形一定存在； 以为边长的三角形一定存在 那么，正确结论的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 19 （6 分）如图，点 A，B 是函数 y在第 I 象限的图象上两点且满足OAB90且|AO| |AB|，则AOB 的面积等于（ ） A B C D 第 4 页（共 21 页） 20 （6 分）已知函数 f（x）（aR） ，若存在 x00，1，使得 f（f（x0） ）x0， 则 a 的取值范围是（ ） A1，e B0，1 C （，0 D （，1 21 （6 分）已知圆 C：x2+y21，直线 l：ykx+b（kb0） ，1 和 C 交于 A、B 两点，以 Ox
8、 为始边，逆时针旋转到 OA、OB 为终角分别为 和 给出如下 3 个命题： 当 k 为常数，b 为变数时，sin（+）是定值； 当 k 为变数，b 为常数时，sin（+）是定值； 当 k 和 b 都是变数时，sin（+）是定值 其中正确命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 2 小题，满分小题，满分 26 分请把结果填在答题纸中）分请把结果填在答题纸中） 22 （13 分）已知函数 f（x）ax（2a+1）lnx，g（x）2alnx，其中 aR （1）当 a0 时，求 f（x）的单调区间 （2）若存在 x，e2，使得不等式 f（x）g（x）成立，
9、求 a 的取值范围 23 （13 分） 设 A 是一个由 0 和 1 构成的 m 行 n 列的数表， 且 A 中所有数字之和不小于， 所有这样的数表构成的集合记为 S（m，n） 记 Ri（A）为 A 的第 i 行各数之和（1im） ，j（A）为 A 的第 j 列各数之和（1jn） K（A）为 R1（A） ，R2（A） ，Rm（A） ，C1（A） ，C2（A） ，n（A）中的最大 值 （1）对如下数表 A，求 K（A）的值 1 1 0 0 0 0 1 1 （2）设数表 AS（4，4） ，求 K（A）的最小值； （3）已知 t 为正整数，对于所有的 AS（6，t） ，若 Ri（A）5（1i6） ，
10、且 A 的任意 两行中最多有 2 列各数之和为 2求 t 的值 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年北京市人大附中高二（下）期末数学试卷学年北京市人大附中高二（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分） 1 （5 分）已知集合 A1，2，3，4，5，且 ABA，则集合 B 可以是（ ） Ax|2x1 Bx|x21 Cx|log2x1 D1，2，3 【分析】由 ABA 可得出 AB，可分别求出选项 A，B，C 的各集合，看是否满足 A 是该集合的子集即可 【解答】解：AB
11、A； AB，且 A1，2，3，4，5； Ax|2x1x|x0，满足 Ax|x0； Bx|x21x|x1，或 x1，不满足 Ax|x1，或 x1； Cx|log2x1x|x2，不满足 Ax|x2； D不满足 A1，2，3 故选：A 【点评】考查列举法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，指数函数和对数函数的 单调性 2 （5 分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（ ） Ayx2+x Bylnx2 Cyx Dycosx 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，yx2+x，为二次函数，不是偶函数，不符
12、合题意； 对于 B，ylnx2，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增，符合题意； 对于 C，y，为奇函数，不符合题意； 对于 D，ycosx，为余弦函数，是偶函数但在（0，+）上不是单调函数，不符合题意； 故选：B 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调 性，属于基础题 第 6 页（共 21 页） 3 （5 分） “是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据所给的角和角的正弦值，看两者能不能互相推出，根据特殊角的三角函数， 得到前者可以推出后者，而后者不能推出前者，得到结论 【解答】解：当 时，则
13、 当 时，或，kZ 故 反之不能推出 所以前者是后者的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题的关键是对于三角函数 中给值求角和给角求值的问题能够熟练掌握，本题是一个基础题 4 （5 分）设命题 p：x（0，+） ，lnxx1，则p 为（ ） Ax（0，+） ，lnxx1 Bx0（0，+） ，lnx0x01 Cx（0，+） ，lnxx1 Dx0（0，+） ，lnx0x01 【分析】全称命题的否定是特称命题，写出结果即可 【解答】解：由全称命题的否定是特称命题可知命题 p：x（0，+） ，lnxx1， 则p 是：p：x0（0，+） ，lnx0x01 故选
14、：D 【点评】本题考查含有一个量词的命题的否定是基本知识的考查 5 （5 分）函数 f（x）x35 的零点所在的区间是（ ） A （1，2） B （2，3） C （3，4） D （4，5） 【分析】求得 f（1）f（2）0，根据函数零点的判定定理可得函数 f（x）的零点所在的 区间 【解答】解：由函数 f（x）x35 可得 f（1）1540，f（2）8530， 故有 f（1）f（2）0， 根据函数零点的判定定理可得，函数 f（x）的零点所在区间为（1，2） ， 第 7 页（共 21 页） 故选：A 【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基本知识的考查 6 （5 分）已知 alog
15、26，blog37，c0.30.1，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acba Babc Cbca Dcab 【分析】可以看出，从而可得出 a，b，c 的大小关系 【解答】解：log26log242，1log33log37log392，0.30.10.301； cba 故选：A 【点评】考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义 7 （5 分）已知ABC 中，A，B，C 的对边的长分别为 a，b，c，A120，a， ABC 的面积为，则 c+b（ ） A4.5 B4 C5 D6 【分析】由三角形的面积公式可求 bc 的值，根据余弦定理可求 b+c 的值 【解答】解：A120，a
16、， ABC 的面积为bcsinAbc， bc4， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA，可得：21b2+c2+bc（b+c）2bc（b+c）24， 即（b+c）225， c+b5 故选：C 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转 化思想，属于基础题 8 （5 分）已知函数 f（x）2cos（x+） （0）满足：f（）f（） ，且在区 间（，）内有最大值但没有最小值，给出下列四个命题： P1：f（x）在0，2上单调递减； P2：f（x）的最小正周期是 4； P3：f（x）的图象关于直线 x对称； 第 8 页（共 21 页） P4：f（x）的图象关于（，0
17、）对称 其中的真命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由题意可得：cos（+）1（0） ，可得 0且 2，解得 k，可得 f（x） ，即可判断出结论 【解答】解：函数 f（x）2cos（x+） （0）满足：f（）f（） ，且在 区间（，）内有最大值但没有最小值， cos （+） 1 （0） ， 解得 0 且2， 即 1k 解得 k1， f（x）2cos（x+） （0） 对于 P1：由 x0，2，则（x+），f（x）在此区间上不具有单调性， 因此不正确； 对于 P2：T4f（x）的最小正周期是 4，因此正确； 对于 P3：f（）2cos（+）2cos2，因此函数 f（x）的图象关于
18、直 线 x不对称，因此不正确； 对于 P4：f（）2cos（+）0f（x）的图象关于（，0） 对称，因此正确 综上可得：只有 P2，P4正确 其中的真命题的个数是 2 故选：B 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 第 9 页（共 21 页） 9 （5 分）函数 y的定义域是 2，+） 【分析】根据二次根式和对数函数的定义与性质，列出不等式求得解集即可 【解答】解：由题意，令 log4（x1）0， 得 x11， 解得 x2， 所
19、以函数 y的定义域是2，+） 故答案为：2，+） 【点评】本题考查了对数函数的性质与应用问题，是基础题 10 （5 分）在ABC 中，A，B，C 的对边的长分别为 a，b，c，已知 a1，sinA，sinC ，则 c 3 【分析】由已知利用正弦定理即可求解 【解答】解：a1，sinA，sinC， 由正弦定理，可得：，可得：c3 故答案为：3 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题 11 （5 分）设 tan，tan 是方程 x23x+20 的两个根，则 tan（+）的值为 3 【分析】由 tan，tan 是方程 x23x+20 的两个根，利用根与系数的关系分别求出 tan
20、+tan 及 tantan 的值，然后将 tan（+）利用两角和与差的正切函数公式化简后， 将 tan+tan 及 tantan 的值代入即可求出值 【解答】解：tan，tan 是方程 x23x+20 的两个根， tan+tan3，tantan2， 则 tan（+） 故答案为：3 【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代 入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键 12 （5 分）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情 况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之 第 10 页（共 21 页） 间的函数
21、关系： 某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： 随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； 9 天后，小菲的单词记忆保持量低于 40%； 26 天后，小菲的单词记忆保持量不足 20% 其中正确的结论序号有 （注：请写出所有正确结论的序号） 【分析】由分段函数可得函数的单调性，可判断；由 f（9）的值可判断；由 f（26） 的值可判断 【解答】解：， 可得 f（x）随着 x 的增加而减少，故正确； 当 1x30 时，f（x）+x， f（9）+90.35， 9 天后，小菲的单词记忆保持量低于 40%，故正确； f（26）+26，故错误 故答案为： 【点评】本题考查分段函数的图象和性质，主要是单调
22、性和函数的取值范围的求法，考 第 11 页（共 21 页） 查判断能力和运算能力，属于基础题 13 （5 分）函数 f（x）sin（x+）+cos（x）最大值为 【分析】 由已知利用三角函数恒等变换的应用可求 f （x） sin （x+） ，其中 tan，利用正弦函数的性质可求其最大值 【解答】解：f（x）sin（x+）+cos（x） （sinx+cosx）+cosx+sinx sinx+cosx sin（x+），其 中 tan， 函数 f（x）sin（x+）+cos（x）最大值为 故答案为： 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，考查了计算能 力和转化思想，属于基础
23、题 14 （5 分）设 A，B 是 R 中两个子集，对于 xR，定义： 若 AB则对任意 xR，m（1n） 0 ； 若对任意 xR，m+n1，则 A，B 的关系为 ARB 【分析】由 AB由 xA 时，m0，可得 m（1n） xA 时，必有 xB，可得 mn 1 对任意 xR，m+n1，则 m，n 的值一个为 0，另一个为 1，可得：xA 时，必有 xB， 或 xB 时，必有 xA，即可得出 A，B 的关系 【解答】解：AB则 xA 时，m0，m（1n）0 xA 时，必有 xB，mn1，m（1n）0 综上可得：m（1n）0 第 12 页（共 21 页） 对任意 xR，m+n1，则 m，n 的值
24、一个为 0，另一个为 1，即 xA 时，必有 xB， 或 xB 时，必有 xA， A，B 的关系为 ARB 故答案为：0，ARB 【点评】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，每题小题，每题 10 分，共分，共 30 分，解答应写出文字说明、证明过程或分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤演算步骤. 15 （10 分）已知函数 f（x）x3x2+1 （1）求函数 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程； （2）求函数 f（x）的单调区间和极值 【分析】 （1）求出导数，根据
25、导数几何意义即可求函数 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方 程 （2）求出导数，令 f（x）0，由函数单调区间和极值的定义求出 【解答】解： （1）f（x）x3x2+1， f（x）3x22x， kf（1）1，切点为（1.1） ， 函数 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程为 y1x1 即 xy0 （2）f（x）3x22x， 令 f（x）0 得，x0，x， 当 x0 或 x时，f（x）0， 当 0时，f（x）0， 故函数 f（x）的单调递增区间为： （，0） ， （，+） ； 函数 f（x）的单调递减区间为： （0，） 第 13 页（共 21 页） 由草图知： 当 x0 时，函数 f（x
26、）取极大值为 f（0）1 当 x时，函数 f（x）取极小值为 f（） 综上，函数 f（x）的单调递增区间为： （，0） ， （，+） ， 函数 f（x）的单调递减区间为： （0，） 当 x0 时，函数 f（x）取极大值为 f（0）1 当 x时，函数 f（x）取极小值为 f（） 【点评】本题考查导数的几何意义，利用导数求函数单调区间极值的方法，属于基础题 16 （10 分）甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 1x10） ，每小 时可获得的利润是 100（5x+1）元 （1）要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围； （2）要使生产 900
27、 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求 此最大利润 【分析】 （1）求出生产该产品 2 小时获得的利润，建立不等式，即可求 x 的取值范围； （2）确定生产 900 千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润 【解答】解： （1）生产该产品 2 小时获得的利润为 100（5x+1）2200（5x+1） 根据题意，200（5x+1）3000，即 5x214x30 x3 或 x 1x10，3x10； 第 14 页（共 21 页） （2）设利润为 y 元，则生产 900 千克该产品获得的利润为 y100（5x+1） 90000（）9104+ 1x10，x6 时，取得最
28、大利润为457500 元 故甲厂应以 6 千克/小时的速度生产，可获得最大利润为 457500 元 【点评】本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型 是关键 17 （10 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 asinBbcosCccosB （）判断ABC 的形状； （）若，求 f（A）的取值范围 【分析】 （I）由已知得 sinAsinBsinBcosC+cosBsinCsin（B+C）sinA，可得， 即可 （）化简，由 cosA（0，1） ，可得 f（A）的取值范围为 【解答】解： （I）因为 asinBbcosCccosB， 则 s
29、inAsinBsinBcosCsinCcosB， 所以 sinAsinBsinBcosC+cosBsinCsin（B+C）sinA， 所以 sinB1， 因为B 为ABC 内角，所以， 则ABC 为直角三角形 （）cos2x（cosx）2 f（A）（cosA）2 因为，所以 cosA（0，1） ， 则当时，f（A）取得最小值； 当 cosA1 时，f（A）取得最大值，但 cosA1， 第 15 页（共 21 页） 所以 f（A）的取值范围为 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变形函数最值，熟练掌握定理及公式是解本题 的关键属于中档题 卷（共卷（共 6 道题，满分道题，满分 24 分）一、选择题
30、（本大题共分）一、选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分请把分请把 所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸的相应位置上）所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸的相应位置上） 18 （6 分）在ABC 中，角 A，B，C 对边的边长分别为 a，b，c，给出下列四个结论： 以为边长的三角形一定存在； 以为边长的三角形一定存在； 以 a2，b2，c2为边长的三角形一定存在； 以为边长的三角形一定存在 那么，正确结论的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】，比如 a2，b2，c1 时，以为边长的三角形 不存在； ，由+bc，可得 a+b+2c，即，可判定 ，
31、当ABC 中为直角三角形时，不妨设 c 为斜边，则 a2+b2c2，以 a2，b2，c2为边 长的三角形一定不存在； ，由此可判定 【解答】解：对于，比如 a2，b2，c1 时，以为边长 的三角形不存在，故错； 对于，a+bc，a+b+2c，即，可得正确 对于，当ABC 中为直角三角形时，不妨设 c 为斜边，则 a2+b2c2，以 a2，b2，c2 为边长的三角形一定不存在，故错； 对于，由此可判定正确； 故选：C 【点评】本题考查了三角形中三边的长度制约条件，属于中档题 19 （6 分）如图，点 A，B 是函数 y在第 I 象限的图象上两点且满足OAB90且|AO| 第 16 页（共 21
32、页） |AB|，则AOB 的面积等于（ ） A B C D 【分析】设直线 OA 的方程为：ykx（不妨设 k1） ，倾斜角为 ，直 线 OB 的斜率为：tan（）联立，解得 A 坐标联立， 解得 B，根据OAB90，利用斜率相互垂直的关系解得 k，进而得出面积 【解答】解：设直线 OA 的方程为：ykx（不妨设 k1） ，倾斜角为 ， 直线 OB 的斜率为：tan（） 联立，解得 x，y，A（，） 联立，解得 x，y， B（，） ， OAB90|， （） ， 化为：k4k3k110，k1 化为：k2k10，k1 解得 k AOB 的面积 S（k+） 故选：D 【点评】本题考查了函数的性质、曲
33、线的交点、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角 形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 第 17 页（共 21 页） 20 （6 分）已知函数 f（x）（aR） ，若存在 x00，1，使得 f（f（x0） ）x0， 则 a 的取值范围是（ ） A1，e B0，1 C （，0 D （，1 【分析】由存在 x00，1，使得 ff（x0）x0，又函数 f（x）单调递增，则必有 f（x0） x0化为：ex+xax2，即 exx2+xa，由函数 h（x）exx2+x 在0，1的值域即可 得出 【解答】解：由存在 x00，1，使得 ff（x0）x0，又函数 f（x）单调递增， 则必有 f（x0
34、）x0， （证明：假设 f（x0）x0，则 f（f（x0） ）f（x0）x0，与已知矛 盾） 由 x0f（x0）化为：ex+xax2，即 aexx2+x，x0，1， 函数 h（x）exx2+x，x0，1，h（x）ex+12x0函数 h（x）exx2+x 在0，1单调递增 h（0）h（x）h（1） ，1h（x）e，1ae， 故选：A 【点评】本题考查了指数函数与二次函数的单调性、数形结合方法、不等式的解法与性 质，考查了推理能力与计算能力，属于难题 21 （6 分）已知圆 C：x2+y21，直线 l：ykx+b（kb0） ，1 和 C 交于 A、B 两点，以 Ox 为始边，逆时针旋转到 OA、O
35、B 为终角分别为 和 给出如下 3 个命题： 当 k 为常数，b 为变数时，sin（+）是定值； 当 k 为变数，b 为常数时，sin（+）是定值； 当 k 和 b 都是变数时，sin（+）是定值 其中正确命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】 设 A （x1， y1） ， B （x2， y2） 利用三角函数的定义可得则 sin， cos， sin， cos 直 线方程与圆的方程联立化为： （1+k2）x2+2kbx+b210，利用根与系数的关系及其 sin （+）sincos+cossin即可得出结论 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 则 siny1，cos
36、x1，siny2，cosx2 第 18 页（共 21 页） 联立，化为： （1+k2）x2+2kbx+b210， x1+x2，x1x2 sin（+）sincos+cossiny1x2+x1y2 （kx1+b）x2+x1（kx2+b）2kx1x2+b（x1+x2） 2kb 因此只有 k 为常数，b 为变数时，sin（+）是定值， 而 k 变数时，sin（+）不是定值 只有正确 故选：B 【点评】本题考查了三角函数的定义、直线与圆相交问题、一元二次方程的根与系数的 关系、和差公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 2 小题，满分小题
37、，满分 26 分请把结果填在答题纸中）分请把结果填在答题纸中） 22 （13 分）已知函数 f（x）ax（2a+1）lnx，g（x）2alnx，其中 aR （1）当 a0 时，求 f（x）的单调区间 （2）若存在 x，e2，使得不等式 f（x）g（x）成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）求出原函数的导函数 f（x）a，然后分 a，a，0a三种情况求解函数的单调区间； （2）把 f（x）g（x）转化为 axlnx0，分离参数 a 得 a，构造函数 h（x） 第 19 页（共 21 页） ，求函数 h（x）在，e2上的最小值得 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）a 当 a时，f（x
38、）0 恒成立，函数 f（x）在（0，+）上为增函数； 当 a时，当 x（0，） ， （2，+）时，f（x）0，函数 f（x）为增函数； 当 x（，2）时，f（x）0，f（x）为减函数； 当 0a时，当 x（0，2） ， （，+）时，f（x）0，函数 f（x）为增函数； 当 x（2，）时，f（x）0，f（x）为减函数 综上，当 a时，函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a时，函数 f（x）在 （0，） ， （2，+）上单调递增，在（，2）上单调递减； 当 0a时，函数 f（x）在（0，2） ， （，+）上单调递增，在（2，）上单调递 减 （2）f（x）g（x）等价于 ax（2a+1）ln
39、x2alnx，即 axlnx0， 分离参数 a 得，a 令 h（x）， 若存在 x，e2，使不等式 f（x）g（x）成立， 即 ah（x）min h（x）， 当 x（0，e）时，h（x）0，h（x）为增函数；当 x（e，+）时，h（x）0， h（x）为减函数 而 h（）e，h（e2） h（x）在，e2上的最小值为e， ae 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查 第 20 页（共 21 页） 了数学转化思想方法，是压轴题 23 （13 分） 设 A 是一个由 0 和 1 构成的 m 行 n 列的数表， 且 A 中所有数字之和不小于， 所有这样的数表构成的集
40、合记为 S（m，n） 记 Ri（A）为 A 的第 i 行各数之和（1im） ，j（A）为 A 的第 j 列各数之和（1jn） K（A）为 R1（A） ，R2（A） ，Rm（A） ，C1（A） ，C2（A） ，n（A）中的最大 值 （1）对如下数表 A，求 K（A）的值 1 1 0 0 0 0 1 1 （2）设数表 AS（4，4） ，求 K（A）的最小值； （3）已知 t 为正整数，对于所有的 AS（6，t） ，若 Ri（A）5（1i6） ，且 A 的任意 两行中最多有 2 列各数之和为 2求 t 的值 【分析】 （1）计算出 R1（A）R2（A）2，C1（A）C2（A）C3（A）C4（A） 1
41、，根据定义求得 K（A）2； （2）由题意可得，A 中所有数字之和不小于，即至少有 8 个 1，而要使 K（A） 最小，则 A 中只有 8 个 1； （3）先计算出 A 中所有数字之和为 5630，则，解得 6t10，然后分别 就 t6，7，8，9，10 时就 A 的任意两行中数字之和为 2 的列数进行分析，可得出 t 的值 【解答】解： （1）由题意可得 R1（A）R2（A）2，C1（A）C2（A）C3（A） C4（A）1， K（A）2； （2）由题意可得，A 中所有数字之和不小于，即至少有 8 个 1， 而要使 K（A）最小，则 A 中只有 8 个 1，此时如表排列 K（A）min2， 1
42、 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 第 21 页（共 21 页） 1 0 0 1 下面说明 K（A）min2， 当某行某列全都是 0 时，则其他 3 行（或 3 列）1 的个数分别为： （0，4，4） ， （1，3， 4） ， （2，2，4） ， （2，3，3） ，此时 K（A）min3； 当某行某列只有 1 个 1 时，则其他 3 行（或 3 列）1 的个数分别为： （0，3，4） ， （1， 2，4） ， （1，3，3） ， （2，2，3） ，此时 K（A）min3； 当某行某列只有 2 个 1 时，则其他 3 行（或 3 列）1 的个数分别为： （0，2，4） ， （0， 3，
43、3） ， （1，2，3） ， （2，2，2） ，此时 K（A）min3； 故 K（A）min2； （3）Ri（A）5（1i6） ，故 A 中所有数字之和为 5630， 由题意可得，解得 6t10， 当 t6 时，每行中仅有 1 列为 0，任意两行中至多有 5 列和为 2，舍去； 当 t7 时，每行中仅有 2 列为 0，任意两行中至多有 3 列和为 2，舍去； 当 t8 时，如下表所示，每行中仅有 3 列为 0，任意两行中至多有 2 列和为 2，符合 题意； 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 当 t9 或 t10 时，不成立； 综上所述，t8 【点评】本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及对新定义的理解，同时考查了分析 问题的能力，推理能力与分类讨论的数学思想，属于难题