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2018-2019学年北京市人大附中高二(下)期末数学试卷(含详细解答)

1、已知集合 A1,2,3,4,5,且 ABA,则集合 B 可以是( ) Ax|2x1 Bx|x21 Cx|log2x1 D1,2,3 2 (5 分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)上单调递增的是( ) Ayx2+x Bylnx2 Cyx Dycosx 3 (5 分) “是“”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 (5 分)设命题 p:x(0,+) ,lnxx1,则p 为( ) Ax(0,+) ,lnxx1 Bx0(0,+) ,lnx0x01 Cx(0,+) ,lnxx1 Dx0(0,+) ,lnx0x01 5 (5 分)函数 f(x)x35

2、 的零点所在的区间是( ) A (1,2) B (2,3) C (3,4) D (4,5) 6 (5 分)已知 alog26,blog37,c0.30.1,则 a,b,c 的大小关系是( ) Acba Babc Cbca Dcab 7 (5 分)已知ABC 中,A,B,C 的对边的长分别为 a,b,c,A120,a, ABC 的面积为,则 c+b( ) A4.5 B4 C5 D6 8 (5 分)已知函数 f(x)2cos(x+) (0)满足:f()f() ,且在区 间(,)内有最大值但没有最小值,给出下列四个命题: P1:f(x)在0,2上单调递减; P2:f(x)的最小正周期是 4; P3:

3、f(x)的图象关于直线 x对称; P4:f(x)的图象关于(,0)对称 其中的真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 第 2 页(共 21 页) 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分)分) 9 (5 分)函数 y的定义域是 10 (5 分)在ABC 中,A,B,C 的对边的长分别为 a,b,c,已知 a1,sinA,sinC ,则 c 11 (5 分)设 tan,tan 是方程 x23x+20 的两个根,则 tan(+)的值为 12 (5 分)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线,为了解自己记忆一组单词的情 况,她记录了随

4、后一个月的有关数据,绘制散点图,拟合了记忆保持量与时间(天)之 间的函数关系: 某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论: 随着时间的增加,小菲的单词记忆保持量降低; 9 天后,小菲的单词记忆保持量低于 40%; 26 天后,小菲的单词记忆保持量不足 20% 其中正确的结论序号有 (注:请写出所有正确结论的序号) 13 (5 分)函数 f(x)sin(x+)+cos(x)最大值为 14 (5 分)设 A,B 是 R 中两个子集,对于 xR,定义: 若 AB则对任意 xR,m(1n) ; 若对任意 xR,m+n1,则 A,B 的关系为 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 3 小题,每题小题,

5、每题 10 分,共分,共 30 分,解答应写出文字说明、证明过程或分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤演算步骤. 第 3 页(共 21 页) 15 (10 分)已知函数 f(x)x3x2+1 (1)求函数 f(x)在(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的单调区间和极值 16 (10 分)甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1x10) ,每小 时可获得的利润是 100(5x+1)元 (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?

6、并求 此最大利润 17 (10 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 asinBbcosCccosB ()判断ABC 的形状; ()若,求 f(A)的取值范围 卷(共卷(共 6 道题,满分道题,满分 24 分)一、选择题(本大题共分)一、选择题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 6 分,共分,共 24 分请把分请把 所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸的相应位置上)所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸的相应位置上) 18 (6 分)在ABC 中,角 A,B,C 对边的边长分别为 a,b,c,给出下列四个结论: 以为边长的三角形一定存在; 以为边长的三角形一定

7、存在; 以 a2,b2,c2为边长的三角形一定存在; 以为边长的三角形一定存在 那么,正确结论的个数为( ) A0 B1 C2 D3 19 (6 分)如图,点 A,B 是函数 y在第 I 象限的图象上两点且满足OAB90且|AO| |AB|,则AOB 的面积等于( ) A B C D 第 4 页(共 21 页) 20 (6 分)已知函数 f(x)(aR) ,若存在 x00,1,使得 f(f(x0) )x0, 则 a 的取值范围是( ) A1,e B0,1 C (,0 D (,1 21 (6 分)已知圆 C:x2+y21,直线 l:ykx+b(kb0) ,1 和 C 交于 A、B 两点,以 Ox

8、 为始边,逆时针旋转到 OA、OB 为终角分别为 和 给出如下 3 个命题: 当 k 为常数,b 为变数时,sin(+)是定值; 当 k 为变数,b 为常数时,sin(+)是定值; 当 k 和 b 都是变数时,sin(+)是定值 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 2 小题,满分小题,满分 26 分请把结果填在答题纸中)分请把结果填在答题纸中) 22 (13 分)已知函数 f(x)ax(2a+1)lnx,g(x)2alnx,其中 aR (1)当 a0 时,求 f(x)的单调区间 (2)若存在 x,e2,使得不等式 f(x)g(x)成立,

9、求 a 的取值范围 23 (13 分) 设 A 是一个由 0 和 1 构成的 m 行 n 列的数表, 且 A 中所有数字之和不小于, 所有这样的数表构成的集合记为 S(m,n) 记 Ri(A)为 A 的第 i 行各数之和(1im) ,j(A)为 A 的第 j 列各数之和(1jn) K(A)为 R1(A) ,R2(A) ,Rm(A) ,C1(A) ,C2(A) ,n(A)中的最大 值 (1)对如下数表 A,求 K(A)的值 1 1 0 0 0 0 1 1 (2)设数表 AS(4,4) ,求 K(A)的最小值; (3)已知 t 为正整数,对于所有的 AS(6,t) ,若 Ri(A)5(1i6) ,

10、且 A 的任意 两行中最多有 2 列各数之和为 2求 t 的值 第 5 页(共 21 页) 2018-2019 学年北京市人大附中高二(下)期末数学试卷学年北京市人大附中高二(下)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(共一、选择题(共 8 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 40 分)分) 1 (5 分)已知集合 A1,2,3,4,5,且 ABA,则集合 B 可以是( ) Ax|2x1 Bx|x21 Cx|log2x1 D1,2,3 【分析】由 ABA 可得出 AB,可分别求出选项 A,B,C 的各集合,看是否满足 A 是该集合的子集即可 【解答】解:AB

11、A; AB,且 A1,2,3,4,5; Ax|2x1x|x0,满足 Ax|x0; Bx|x21x|x1,或 x1,不满足 Ax|x1,或 x1; Cx|log2x1x|x2,不满足 Ax|x2; D不满足 A1,2,3 故选:A 【点评】考查列举法的定义,交集的定义及运算,子集的定义,指数函数和对数函数的 单调性 2 (5 分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)上单调递增的是( ) Ayx2+x Bylnx2 Cyx Dycosx 【分析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案 【解答】解:根据题意,依次分析选项: 对于 A,yx2+x,为二次函数,不是偶函数,不符

12、合题意; 对于 B,ylnx2,既是偶函数又在区间(0,+)上单调递增,符合题意; 对于 C,y,为奇函数,不符合题意; 对于 D,ycosx,为余弦函数,是偶函数但在(0,+)上不是单调函数,不符合题意; 故选:B 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断,关键是掌握常见函数的奇偶性与单调 性,属于基础题 第 6 页(共 21 页) 3 (5 分) “是“”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据所给的角和角的正弦值,看两者能不能互相推出,根据特殊角的三角函数, 得到前者可以推出后者,而后者不能推出前者,得到结论 【解答】解:当 时,则

13、 当 时,或,kZ 故 反之不能推出 所以前者是后者的充分不必要条件 故选:A 【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断,解题的关键是对于三角函数 中给值求角和给角求值的问题能够熟练掌握,本题是一个基础题 4 (5 分)设命题 p:x(0,+) ,lnxx1,则p 为( ) Ax(0,+) ,lnxx1 Bx0(0,+) ,lnx0x01 Cx(0,+) ,lnxx1 Dx0(0,+) ,lnx0x01 【分析】全称命题的否定是特称命题,写出结果即可 【解答】解:由全称命题的否定是特称命题可知命题 p:x(0,+) ,lnxx1, 则p 是:p:x0(0,+) ,lnx0x01 故选

14、:D 【点评】本题考查含有一个量词的命题的否定是基本知识的考查 5 (5 分)函数 f(x)x35 的零点所在的区间是( ) A (1,2) B (2,3) C (3,4) D (4,5) 【分析】求得 f(1)f(2)0,根据函数零点的判定定理可得函数 f(x)的零点所在的 区间 【解答】解:由函数 f(x)x35 可得 f(1)1540,f(2)8530, 故有 f(1)f(2)0, 根据函数零点的判定定理可得,函数 f(x)的零点所在区间为(1,2) , 第 7 页(共 21 页) 故选:A 【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,属于基本知识的考查 6 (5 分)已知 alog

15、26,blog37,c0.30.1,则 a,b,c 的大小关系是( ) Acba Babc Cbca Dcab 【分析】可以看出,从而可得出 a,b,c 的大小关系 【解答】解:log26log242,1log33log37log392,0.30.10.301; cba 故选:A 【点评】考查对数函数、指数函数的单调性,以及增函数和减函数的定义 7 (5 分)已知ABC 中,A,B,C 的对边的长分别为 a,b,c,A120,a, ABC 的面积为,则 c+b( ) A4.5 B4 C5 D6 【分析】由三角形的面积公式可求 bc 的值,根据余弦定理可求 b+c 的值 【解答】解:A120,a

16、, ABC 的面积为bcsinAbc, bc4, 由余弦定理 a2b2+c22bccosA,可得:21b2+c2+bc(b+c)2bc(b+c)24, 即(b+c)225, c+b5 故选:C 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式,余弦定理在解三角形中的应用,考查了转 化思想,属于基础题 8 (5 分)已知函数 f(x)2cos(x+) (0)满足:f()f() ,且在区 间(,)内有最大值但没有最小值,给出下列四个命题: P1:f(x)在0,2上单调递减; P2:f(x)的最小正周期是 4; P3:f(x)的图象关于直线 x对称; 第 8 页(共 21 页) P4:f(x)的图象关于(,0

17、)对称 其中的真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【分析】由题意可得:cos(+)1(0) ,可得 0且 2,解得 k,可得 f(x) ,即可判断出结论 【解答】解:函数 f(x)2cos(x+) (0)满足:f()f() ,且在 区间(,)内有最大值但没有最小值, cos (+) 1 (0) , 解得 0 且2, 即 1k 解得 k1, f(x)2cos(x+) (0) 对于 P1:由 x0,2,则(x+),f(x)在此区间上不具有单调性, 因此不正确; 对于 P2:T4f(x)的最小正周期是 4,因此正确; 对于 P3:f()2cos(+)2cos2,因此函数 f(x)的图象关于

18、直 线 x不对称,因此不正确; 对于 P4:f()2cos(+)0f(x)的图象关于(,0) 对称,因此正确 综上可得:只有 P2,P4正确 其中的真命题的个数是 2 故选:B 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分)分) 第 9 页(共 21 页) 9 (5 分)函数 y的定义域是 2,+) 【分析】根据二次根式和对数函数的定义与性质,列出不等式求得解集即可 【解答】解:由题意,令 log4(x1)0, 得 x11, 解得 x2, 所

19、以函数 y的定义域是2,+) 故答案为:2,+) 【点评】本题考查了对数函数的性质与应用问题,是基础题 10 (5 分)在ABC 中,A,B,C 的对边的长分别为 a,b,c,已知 a1,sinA,sinC ,则 c 3 【分析】由已知利用正弦定理即可求解 【解答】解:a1,sinA,sinC, 由正弦定理,可得:,可得:c3 故答案为:3 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题 11 (5 分)设 tan,tan 是方程 x23x+20 的两个根,则 tan(+)的值为 3 【分析】由 tan,tan 是方程 x23x+20 的两个根,利用根与系数的关系分别求出 tan

20、+tan 及 tantan 的值,然后将 tan(+)利用两角和与差的正切函数公式化简后, 将 tan+tan 及 tantan 的值代入即可求出值 【解答】解:tan,tan 是方程 x23x+20 的两个根, tan+tan3,tantan2, 则 tan(+) 故答案为:3 【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式,以及根与系数的关系,利用了整体代 入的思想,熟练掌握公式是解本题的关键 12 (5 分)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线,为了解自己记忆一组单词的情 况,她记录了随后一个月的有关数据,绘制散点图,拟合了记忆保持量与时间(天)之 第 10 页(共 21 页) 间的函数

21、关系: 某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论: 随着时间的增加,小菲的单词记忆保持量降低; 9 天后,小菲的单词记忆保持量低于 40%; 26 天后,小菲的单词记忆保持量不足 20% 其中正确的结论序号有 (注:请写出所有正确结论的序号) 【分析】由分段函数可得函数的单调性,可判断;由 f(9)的值可判断;由 f(26) 的值可判断 【解答】解:, 可得 f(x)随着 x 的增加而减少,故正确; 当 1x30 时,f(x)+x, f(9)+90.35, 9 天后,小菲的单词记忆保持量低于 40%,故正确; f(26)+26,故错误 故答案为: 【点评】本题考查分段函数的图象和性质,主要是单调

22、性和函数的取值范围的求法,考 第 11 页(共 21 页) 查判断能力和运算能力,属于基础题 13 (5 分)函数 f(x)sin(x+)+cos(x)最大值为 【分析】 由已知利用三角函数恒等变换的应用可求 f (x) sin (x+) ,其中 tan,利用正弦函数的性质可求其最大值 【解答】解:f(x)sin(x+)+cos(x) (sinx+cosx)+cosx+sinx sinx+cosx sin(x+),其 中 tan, 函数 f(x)sin(x+)+cos(x)最大值为 故答案为: 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质,考查了计算能 力和转化思想,属于基础

23、题 14 (5 分)设 A,B 是 R 中两个子集,对于 xR,定义: 若 AB则对任意 xR,m(1n) 0 ; 若对任意 xR,m+n1,则 A,B 的关系为 ARB 【分析】由 AB由 xA 时,m0,可得 m(1n) xA 时,必有 xB,可得 mn 1 对任意 xR,m+n1,则 m,n 的值一个为 0,另一个为 1,可得:xA 时,必有 xB, 或 xB 时,必有 xA,即可得出 A,B 的关系 【解答】解:AB则 xA 时,m0,m(1n)0 xA 时,必有 xB,mn1,m(1n)0 综上可得:m(1n)0 第 12 页(共 21 页) 对任意 xR,m+n1,则 m,n 的值

24、一个为 0,另一个为 1,即 xA 时,必有 xB, 或 xB 时,必有 xA, A,B 的关系为 ARB 故答案为:0,ARB 【点评】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 3 小题,每题小题,每题 10 分,共分,共 30 分,解答应写出文字说明、证明过程或分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤演算步骤. 15 (10 分)已知函数 f(x)x3x2+1 (1)求函数 f(x)在(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的单调区间和极值 【分析】 (1)求出导数,根据

25、导数几何意义即可求函数 f(x)在(1,f(1) )处的切线方 程 (2)求出导数,令 f(x)0,由函数单调区间和极值的定义求出 【解答】解: (1)f(x)x3x2+1, f(x)3x22x, kf(1)1,切点为(1.1) , 函数 f(x)在(1,f(1) )处的切线方程为 y1x1 即 xy0 (2)f(x)3x22x, 令 f(x)0 得,x0,x, 当 x0 或 x时,f(x)0, 当 0时,f(x)0, 故函数 f(x)的单调递增区间为: (,0) , (,+) ; 函数 f(x)的单调递减区间为: (0,) 第 13 页(共 21 页) 由草图知: 当 x0 时,函数 f(x

26、)取极大值为 f(0)1 当 x时,函数 f(x)取极小值为 f() 综上,函数 f(x)的单调递增区间为: (,0) , (,+) , 函数 f(x)的单调递减区间为: (0,) 当 x0 时,函数 f(x)取极大值为 f(0)1 当 x时,函数 f(x)取极小值为 f() 【点评】本题考查导数的几何意义,利用导数求函数单调区间极值的方法,属于基础题 16 (10 分)甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1x10) ,每小 时可获得的利润是 100(5x+1)元 (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900

27、 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求 此最大利润 【分析】 (1)求出生产该产品 2 小时获得的利润,建立不等式,即可求 x 的取值范围; (2)确定生产 900 千克该产品获得的利润函数,利用配方法,可求最大利润 【解答】解: (1)生产该产品 2 小时获得的利润为 100(5x+1)2200(5x+1) 根据题意,200(5x+1)3000,即 5x214x30 x3 或 x 1x10,3x10; 第 14 页(共 21 页) (2)设利润为 y 元,则生产 900 千克该产品获得的利润为 y100(5x+1) 90000()9104+ 1x10,x6 时,取得最

28、大利润为457500 元 故甲厂应以 6 千克/小时的速度生产,可获得最大利润为 457500 元 【点评】本题考查函数模型的建立,考查解不等式,考查函数的最值,确定函数的模型 是关键 17 (10 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 asinBbcosCccosB ()判断ABC 的形状; ()若,求 f(A)的取值范围 【分析】 (I)由已知得 sinAsinBsinBcosC+cosBsinCsin(B+C)sinA,可得, 即可 ()化简,由 cosA(0,1) ,可得 f(A)的取值范围为 【解答】解: (I)因为 asinBbcosCccosB, 则 s

29、inAsinBsinBcosCsinCcosB, 所以 sinAsinBsinBcosC+cosBsinCsin(B+C)sinA, 所以 sinB1, 因为B 为ABC 内角,所以, 则ABC 为直角三角形 ()cos2x(cosx)2 f(A)(cosA)2 因为,所以 cosA(0,1) , 则当时,f(A)取得最小值; 当 cosA1 时,f(A)取得最大值,但 cosA1, 第 15 页(共 21 页) 所以 f(A)的取值范围为 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变形函数最值,熟练掌握定理及公式是解本题 的关键属于中档题 卷(共卷(共 6 道题,满分道题,满分 24 分)一、选择题

30、(本大题共分)一、选择题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 6 分,共分,共 24 分请把分请把 所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸的相应位置上)所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸的相应位置上) 18 (6 分)在ABC 中,角 A,B,C 对边的边长分别为 a,b,c,给出下列四个结论: 以为边长的三角形一定存在; 以为边长的三角形一定存在; 以 a2,b2,c2为边长的三角形一定存在; 以为边长的三角形一定存在 那么,正确结论的个数为( ) A0 B1 C2 D3 【分析】,比如 a2,b2,c1 时,以为边长的三角形 不存在; ,由+bc,可得 a+b+2c,即,可判定 ,

31、当ABC 中为直角三角形时,不妨设 c 为斜边,则 a2+b2c2,以 a2,b2,c2为边 长的三角形一定不存在; ,由此可判定 【解答】解:对于,比如 a2,b2,c1 时,以为边长 的三角形不存在,故错; 对于,a+bc,a+b+2c,即,可得正确 对于,当ABC 中为直角三角形时,不妨设 c 为斜边,则 a2+b2c2,以 a2,b2,c2 为边长的三角形一定不存在,故错; 对于,由此可判定正确; 故选:C 【点评】本题考查了三角形中三边的长度制约条件,属于中档题 19 (6 分)如图,点 A,B 是函数 y在第 I 象限的图象上两点且满足OAB90且|AO| 第 16 页(共 21

32、页) |AB|,则AOB 的面积等于( ) A B C D 【分析】设直线 OA 的方程为:ykx(不妨设 k1) ,倾斜角为 ,直 线 OB 的斜率为:tan()联立,解得 A 坐标联立, 解得 B,根据OAB90,利用斜率相互垂直的关系解得 k,进而得出面积 【解答】解:设直线 OA 的方程为:ykx(不妨设 k1) ,倾斜角为 , 直线 OB 的斜率为:tan() 联立,解得 x,y,A(,) 联立,解得 x,y, B(,) , OAB90|, () , 化为:k4k3k110,k1 化为:k2k10,k1 解得 k AOB 的面积 S(k+) 故选:D 【点评】本题考查了函数的性质、曲

33、线的交点、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角 形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 第 17 页(共 21 页) 20 (6 分)已知函数 f(x)(aR) ,若存在 x00,1,使得 f(f(x0) )x0, 则 a 的取值范围是( ) A1,e B0,1 C (,0 D (,1 【分析】由存在 x00,1,使得 ff(x0)x0,又函数 f(x)单调递增,则必有 f(x0) x0化为:ex+xax2,即 exx2+xa,由函数 h(x)exx2+x 在0,1的值域即可 得出 【解答】解:由存在 x00,1,使得 ff(x0)x0,又函数 f(x)单调递增, 则必有 f(x0

34、)x0, (证明:假设 f(x0)x0,则 f(f(x0) )f(x0)x0,与已知矛 盾) 由 x0f(x0)化为:ex+xax2,即 aexx2+x,x0,1, 函数 h(x)exx2+x,x0,1,h(x)ex+12x0函数 h(x)exx2+x 在0,1单调递增 h(0)h(x)h(1) ,1h(x)e,1ae, 故选:A 【点评】本题考查了指数函数与二次函数的单调性、数形结合方法、不等式的解法与性 质,考查了推理能力与计算能力,属于难题 21 (6 分)已知圆 C:x2+y21,直线 l:ykx+b(kb0) ,1 和 C 交于 A、B 两点,以 Ox 为始边,逆时针旋转到 OA、O

35、B 为终角分别为 和 给出如下 3 个命题: 当 k 为常数,b 为变数时,sin(+)是定值; 当 k 为变数,b 为常数时,sin(+)是定值; 当 k 和 b 都是变数时,sin(+)是定值 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 【分析】 设 A (x1, y1) , B (x2, y2) 利用三角函数的定义可得则 sin, cos, sin, cos 直 线方程与圆的方程联立化为: (1+k2)x2+2kbx+b210,利用根与系数的关系及其 sin (+)sincos+cossin即可得出结论 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 siny1,cos

36、x1,siny2,cosx2 第 18 页(共 21 页) 联立,化为: (1+k2)x2+2kbx+b210, x1+x2,x1x2 sin(+)sincos+cossiny1x2+x1y2 (kx1+b)x2+x1(kx2+b)2kx1x2+b(x1+x2) 2kb 因此只有 k 为常数,b 为变数时,sin(+)是定值, 而 k 变数时,sin(+)不是定值 只有正确 故选:B 【点评】本题考查了三角函数的定义、直线与圆相交问题、一元二次方程的根与系数的 关系、和差公式、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 2 小题,满分小题

37、,满分 26 分请把结果填在答题纸中)分请把结果填在答题纸中) 22 (13 分)已知函数 f(x)ax(2a+1)lnx,g(x)2alnx,其中 aR (1)当 a0 时,求 f(x)的单调区间 (2)若存在 x,e2,使得不等式 f(x)g(x)成立,求 a 的取值范围 【分析】 (1)求出原函数的导函数 f(x)a,然后分 a,a,0a三种情况求解函数的单调区间; (2)把 f(x)g(x)转化为 axlnx0,分离参数 a 得 a,构造函数 h(x) 第 19 页(共 21 页) ,求函数 h(x)在,e2上的最小值得 a 的取值范围 【解答】解: (1)f(x)a 当 a时,f(x

38、)0 恒成立,函数 f(x)在(0,+)上为增函数; 当 a时,当 x(0,) , (2,+)时,f(x)0,函数 f(x)为增函数; 当 x(,2)时,f(x)0,f(x)为减函数; 当 0a时,当 x(0,2) , (,+)时,f(x)0,函数 f(x)为增函数; 当 x(2,)时,f(x)0,f(x)为减函数 综上,当 a时,函数 f(x)在(0,+)上单调递增; 当 a时,函数 f(x)在 (0,) , (2,+)上单调递增,在(,2)上单调递减; 当 0a时,函数 f(x)在(0,2) , (,+)上单调递增,在(2,)上单调递 减 (2)f(x)g(x)等价于 ax(2a+1)ln

39、x2alnx,即 axlnx0, 分离参数 a 得,a 令 h(x), 若存在 x,e2,使不等式 f(x)g(x)成立, 即 ah(x)min h(x), 当 x(0,e)时,h(x)0,h(x)为增函数;当 x(e,+)时,h(x)0, h(x)为减函数 而 h()e,h(e2) h(x)在,e2上的最小值为e, ae 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,考查 第 20 页(共 21 页) 了数学转化思想方法,是压轴题 23 (13 分) 设 A 是一个由 0 和 1 构成的 m 行 n 列的数表, 且 A 中所有数字之和不小于, 所有这样的数表构成的集

40、合记为 S(m,n) 记 Ri(A)为 A 的第 i 行各数之和(1im) ,j(A)为 A 的第 j 列各数之和(1jn) K(A)为 R1(A) ,R2(A) ,Rm(A) ,C1(A) ,C2(A) ,n(A)中的最大 值 (1)对如下数表 A,求 K(A)的值 1 1 0 0 0 0 1 1 (2)设数表 AS(4,4) ,求 K(A)的最小值; (3)已知 t 为正整数,对于所有的 AS(6,t) ,若 Ri(A)5(1i6) ,且 A 的任意 两行中最多有 2 列各数之和为 2求 t 的值 【分析】 (1)计算出 R1(A)R2(A)2,C1(A)C2(A)C3(A)C4(A) 1

41、,根据定义求得 K(A)2; (2)由题意可得,A 中所有数字之和不小于,即至少有 8 个 1,而要使 K(A) 最小,则 A 中只有 8 个 1; (3)先计算出 A 中所有数字之和为 5630,则,解得 6t10,然后分别 就 t6,7,8,9,10 时就 A 的任意两行中数字之和为 2 的列数进行分析,可得出 t 的值 【解答】解: (1)由题意可得 R1(A)R2(A)2,C1(A)C2(A)C3(A) C4(A)1, K(A)2; (2)由题意可得,A 中所有数字之和不小于,即至少有 8 个 1, 而要使 K(A)最小,则 A 中只有 8 个 1,此时如表排列 K(A)min2, 1

42、 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 第 21 页(共 21 页) 1 0 0 1 下面说明 K(A)min2, 当某行某列全都是 0 时,则其他 3 行(或 3 列)1 的个数分别为: (0,4,4) , (1,3, 4) , (2,2,4) , (2,3,3) ,此时 K(A)min3; 当某行某列只有 1 个 1 时,则其他 3 行(或 3 列)1 的个数分别为: (0,3,4) , (1, 2,4) , (1,3,3) , (2,2,3) ,此时 K(A)min3; 当某行某列只有 2 个 1 时,则其他 3 行(或 3 列)1 的个数分别为: (0,2,4) , (0, 3,

43、3) , (1,2,3) , (2,2,2) ,此时 K(A)min3; 故 K(A)min2; (3)Ri(A)5(1i6) ,故 A 中所有数字之和为 5630, 由题意可得,解得 6t10, 当 t6 时,每行中仅有 1 列为 0,任意两行中至多有 5 列和为 2,舍去; 当 t7 时,每行中仅有 2 列为 0,任意两行中至多有 3 列和为 2,舍去; 当 t8 时,如下表所示,每行中仅有 3 列为 0,任意两行中至多有 2 列和为 2,符合 题意; 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 当 t9 或 t10 时,不成立; 综上所述,t8 【点评】本题主要考查了进行简单的演绎推理,以及对新定义的理解,同时考查了分析 问题的能力,推理能力与分类讨论的数学思想,属于难题