1、已知函数 f（x）x+1（x1） ，则 f（x）有（ ） A最小值 2 B最大值 2 C最小值 0 D最大值 0 5 （5 分）已知椭圆 kx2+5y25 的一个焦点坐标是 F（2，0） ，则实数 k 的值为（ ） A B C D1 6 （5 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，若 ， ， ， M 为 PC 中点，则+（ ） A B+ C D + 7 （5 分） “m0，n0”是“方程+1 表示椭圆”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA12，则异面直
2、线 AD1与 DB1所成角的余弦值为（ ） 第 2 页（共 17 页） A B C D 9 （5 分）已知点 A 在直线 y4 上，动点 P 满足平行于 y 轴，且，则点 P 的轨 迹是（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 10 （5 分）已知直线 y2 与双曲线：1 的渐近线交于 M，N 两点，任取双曲 线上的一点 P，若+（，R） ，则（ ） A+ B C D 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 （5 分）已知命题 p：x0，sinx1，则p： 12 （5 分）已知向量 （1，2，5） ， （1，x，3） ，若 ，则实数 x 13
3、 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的离心率为，则该双曲线的渐近线 方程为 ；若（2，0）是它的一个焦点，则 a 14 （5 分）设 （x1，y1，z1） ， （x2，y2，z2） ，能说明“ ”是 假命题的一组向量为 ， 15 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，下表给出了 Sn的部分数据： n 1 2 3 4 Sn 1 则数列an的公比 q ，首项 a1 16（5 分） 已知数列an的通项公式为 an5n8， 则 a1+a3+a5+a2n+3 ； 若 9（m，nN*） ，则 m+n 的最小值为 三、解答题共三、解答题共 5 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证
4、明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （14 分）已知 f（x）（xa） （x2） （）当 a1 时，求不等式 f（x）0 的解集； 第 3 页（共 17 页） （）解关于 x 的不等式 f（x）0 18 （14 分）在等差数列an和等比数列bn中，a1b12，a2b2，a4b3 （）求数列an和bn的通项公式； （）设 cnan+bn，求数列cn的前 n 项和 Sn 19 （14 分）已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，过焦点 F（2，0）的直线 l 与抛物线 C 交于 不同的两点 A，B （）求抛物线 C 的方程及准线方程； （）求线段 AB 长的最小值 20 （
5、14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PDAD，PA2AD， ADBC，DBDC，AD2，BC6，ABC60 （）求证：PDBC； （）求二面角 DPAB 的余弦值； （）求证：AB平面 PCD 21 （14 分） 已知椭圆 M：+1 （ab0） 的一个焦点为 （， 0） ， 离心率为 设 椭圆 M 的长轴和短轴的一个端点分别为 A，B，以原点 O 为圆心，线段 AB 的长为半径作 圆 O （）求椭圆 M 和圆 O 的方程； （）设点 P 为圆 O 上任意一点，过点 P 分别作两条直线 l1，l2与椭圆 M 相切，求证： l1l2 第 4 页（共 17 页） 2
6、018-2019 学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （5 分）在空间直角坐标系中，已知点 A（1，0，1） ，B（3，2，1） ，则线段 AB 的中点的 坐标是（ ） A （1，1，1） B （2，1，1） C （1，1，2） D （1，2，3） 【分析】利用中点坐标公式直接求解 【解答】解：在空间直角坐标系中， 点 A（
7、1，0，1） ，B（3，2，1） ， 线段 AB 的中点的坐标是（2，1，1） 故选：B 【点评】本题考查线段中点坐标的求法，考查中点坐标公式等基础知识，考查运算求解 能力，考查函数与方程思想，是基础题 2 （5 分）若 ab0，则下列不等式中不成立的是（ ） A|a|b| B C Da2b2 【分析】由 ab0，可得 aab0，可得即可判断出 【解答】解：ab0， aab0， 因此 B 不正确 故选：B 【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题 3 （5 分）在等差数列an中，a15，a4+a70，则数列an中为正数的项的个数为（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】由已知结合等差数列
8、的通项公式求出 an，然后利用等差数列的通项公式即可求 解 第 5 页（共 17 页） 【解答】解：等差数列an中，a15，a4+a70， 5+3d+5+6d0， d， an5（n1）n+， ann+0 时， 解得 n5.5， 则an中为整数的项的个数为 5， 故选：B 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，属于基本运算的应用 4 （5 分）已知函数 f（x）x+1（x1） ，则 f（x）有（ ） A最小值 2 B最大值 2 C最小值 0 D最大值 0 【分析】根据基本不等式即可求出 【解答】解：x1， x10 f（x）x+1（x1）+22，当且仅当 x2 时取等号， 故函数 f（x
9、）有最小值 2， 故选：A 【点评】本题考查了不等式的应用，属于基础题 5 （5 分）已知椭圆 kx2+5y25 的一个焦点坐标是 F（2，0） ，则实数 k 的值为（ ） A B C D1 【分析】将椭圆方程化为标准方程，由题意可得焦点在 x 轴上，由 a2b2c2，解方程 即可得到所求值 【解答】解：椭圆 kx2+5y25 的一个焦点坐标是 F（2，0） ， 可得椭圆方程为+1， 且 c2，解得 k1， 故选：D 第 6 页（共 17 页） 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用椭圆的标准方程和基本量的关系，考查 方程思想和运算能力，属于基础题 6 （5 分）在四棱锥 PABCD 中，
10、底面 ABCD 为平行四边形，若 ， ， ， M 为 PC 中点，则+（ ） A B+ C D + 【分析】利用空间向量加法法则得+ （） （） ， 由此能求出结果 【解答】解：在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， ， ， ，M 为 PC 中点， + （）（） + + 故选：C 【点评】本题考查向量和的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 7 （5 分） “m0，n0”是“方程+1 表示椭圆”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用椭圆的性质求解 第 7 页（共 17 页） 【解答】
11、解：m0，n0，推导不出+1 为椭圆方程， +1 为椭圆方程m0，n0， “m0，n0”是“+1 为椭圆方程”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、不充分不必要条件的 判断，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用 8 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA12，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值 【解答】解：在长方体 AB
12、CDA1B1C1D1中，ABBC2，AA12 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， A（2，0，0） ，D1（0，0，2） ，D（0，0，0） ， B1（2，2，2） ， （2，0，2） ，（2，2，2） ， 设异面直线 AD1与 DB1所成角为 ， 则 cos 异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 故选：A 第 8 页（共 17 页） 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 9 （5 分）已知点 A 在直线 y4 上，动点 P 满足平行于 y 轴，且，则点
13、 P 的轨 迹是（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 【分析】设出 P 的坐标，利用已知条件，列出方程，转化求解即可 【解答】解：设 P（x，y） ，点 A 在直线 y4 上，A（x，4） ， 动点 P 满足平行于 y 轴，且，可得：，即 x24y 则点 P 的轨迹是：抛物线 故选：D 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，轨迹方程的求法，是基本知识的考查 10 （5 分）已知直线 y2 与双曲线：1 的渐近线交于 M，N 两点，任取双曲 线上的一点 P，若+（，R） ，则（ ） A+ B C D 【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得 M，N 两点的坐标，利用向量知识求出 P 的坐 标，
14、代入双曲线方程，即可得出结论 【解答】解：双曲线：1 的渐近线方程为 yx， 将直线 y2 代入 yx，可得 M（3，2） ，N（3，2） 第 9 页（共 17 页） +，R， P（3（） ，2+2） ， P 是双曲线：1 的点， （）2（+）21， 可得 故选：D 【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用， 确定 P 的坐标是关键 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 （5 分）已知命题 p：x0，sinx1，则p： x00，使得 sinx01 【分析】根据全称命题的否定是特称命题得到结论 【解答】解：
15、命题 p 为全称命题，则根据全称命题的否定是特此命题得：p：x00， 使得 sinx01 故答案为： ：x00，使得 sinx01 【点评】本题主要考查全称命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定 是全称命题 12 （5 分）已知向量 （1，2，5） ， （1，x，3） ，若 ，则实数 x 7 【分析】利用向量垂直的性质直接求解 【解答】解：向量 （1，2，5） ， （1，x，3） ， ， 12x+150， 解得实数 x7 故答案为：7 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力， 考查数形结合思想，是基础题 13 （5 分）已知双曲线1（a0，b
16、0）的离心率为，则该双曲线的渐近线 方程为 yx ；若（2，0）是它的一个焦点，则 a 第 10 页（共 17 页） 【分析】利用双曲线的离心率推出 b，a 的关系，然后求解双曲线的渐近线方程； 【解答】解：双曲线1（a0，b0）的离心率为， 可得 ab，则该双曲线的渐近线方程为：yx； 若（2，0）是它的一个焦点，可得 c2，则 a， 故答案为：yx； 【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 14 （5 分）设 （x1，y1，z1） ， （x2，y2，z2） ，能说明“ ”是 假命题的一组向量为 （1，2，0） ， （2，4，0） 【分析】 x1x2，y1y
17、2，z2z2，0 【解答】解：设 （x1，y1，z1） ， （x2，y2，z2） ， 能说明“ ”是假命题的一组向量为： （1，2，0） ， （2，4，0） 故答案为： （1，2，0） ， （2，4，0） 【点评】本题考查满足条件的向量的求法，考查向量平行的性质基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 15 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，下表给出了 Sn的部分数据： n 1 2 3 4 Sn 1 则数列an的公比 q ，首项 a1 2 【分析】先根据数列的递推公式 a2，a3，即可求出公比和首项 【解答】解：由 anSnSn1， 则 a3S3S2+1，a4S4S3， 第 11
18、 页（共 17 页） 则 q， a12， 故答案为：，2 【点评】本题考查了数列的递推公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 16 （5 分）已知数列an的通项公式为 an5n8，则 a1+a3+a5+a2n+3 5n2+12n+4 ； 若9（m，nN*） ，则 m+n 的最小值为 9 【分析】由数列的通项公式结合等差数列的求和公式，以及基本不等式和不等式的解法， 可得所求结论 【解答】解：数列an的通项公式为 an5n8， 可得 a1+a3+a5+a2n+3（3）+7+17+（10n+7） （3+10n+7） （n+2）5n2+12n+4； 若9，可得（5m8） （5n8）9mn， 化为
19、 5（m+n）2mn+8， 由 mn（）2，当且仅当 mn 取得等号， 即 5（m+n）（m+n）2+8， 解得 m+n8 或 m+n2， 由于 m，nN*，可得 m+n8，即 m+n 的最小值为 9 故答案为：5n2+12n+4，9 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查基本不等式的运用和不 等式的解法，考查运算能力，属于中档题 三、解答题共三、解答题共 5 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （14 分）已知 f（x）（xa） （x2） （）当 a1 时，求不等式 f（x）0 的解集； （）解
20、关于 x 的不等式 f（x）0 第 12 页（共 17 页） 【分析】 （）a1 时求出对应不等式的解集即可； （）讨论 a2、a2 和 a2 时，求出不等式的解集即可 【解答】解： （）a1 时，不等式 f（x）0 化为（x1） （x2）0， 解得 x1 或 x2， 不等式的解集为（，1）（2，+） ； （）关于 x 的不等式 f（x）0，即（xa） （x2）0； 当 a2 时，不等式化为（x2）20，不等式无解； 当 a2 时，解不等式（xa） （x2）0，得 2xa； 当 a2 时，解不等式（xa） （x2）0，得 ax2； 综上所述，a2 时，不等式无解， a2 时，不等式的解集为（2
21、，a） ， a2 时，不等式的解集为（a，2） 【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，是中档题 18 （14 分）在等差数列an和等比数列bn中，a1b12，a2b2，a4b3 （）求数列an和bn的通项公式； （）设 cnan+bn，求数列cn的前 n 项和 Sn 【分析】 （）等差数列an的公差设为 d，等比数列bn的公比设为 q，由等差数列和等 比数列的通项公式可得 d，q 的方程组，可得所求通项公式； （）求得 cnan+bn4 或 cnan+bn2n+2n，由数列的分组求和，结合等差数列和等 比数列的求和公式，计算即可得到所求和 【解答】解： （）等差数列a
22、n的公差设为 d，等比数列bn的公比设为 q， a1b12，a2b2，a4b3，即 2+d2q，2+3d2q2， 解得 d0，q1 或 d2q2， 可得 anbn2；或 an2n，bn2n； （）cnan+bn4 或 cnan+bn2n+2n， 数列cn的前 n 项和 Sn4n； 或 Sn（2+4+6+2n）+（2+4+2n） n（2+2n）+n2+n+2n+12 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组 第 13 页（共 17 页） 求和，考查运算能力，属于基础题 19 （14 分）已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，过焦点 F（2，0）的直线 l 与抛物线
23、 C 交于 不同的两点 A，B （）求抛物线 C 的方程及准线方程； （）求线段 AB 长的最小值 【分析】 （）依题意可设抛物线方程为 y22px（p0） ，由抛物线焦点坐标求得 p，则 抛物线方程可求，则准线方程可求 （）联立直线方程与抛物线方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系 结合抛物线的性质即可求出 【解答】解： （）设抛物线的方程为 y22px，由题意可得2，即 p4， 则抛物线方程为 y28x，其准线方程为 x2， （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 当直线 AB 的斜率存在时，设方程为 yk（x2） ， 与抛物线联立，消 y 可得 k2x（4k2+
24、8）x+4k20， （4k2+8）216k40 x1+x24+， |AB|x1+x2+p4+48+8， 当直线的斜率不存在时，此时直线 AB 的方程为 x2， 代入 y28x，解得 y4， |AB|8， 综上所述 AB 长的最小值为 8 【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题 20 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PDAD，PA2AD， ADBC，DBDC，AD2，BC6，ABC60 （）求证：PDBC； （）求二面角 DPAB 的余弦值； （）求证：AB平面 PCD 第 14 页（共 17 页） 【分析】 （）由平面
25、 PAD平面 ABCD，PDAD，得 PD平面 ABCD，由此能证明 PDBC （）取 BC 中点 E，连结 DE，则 DEAD，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DE 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明二面角 DPAB 的余弦值 （）推导出0，0，从而 ABPD，ABPC，由此能证明 AB平面 PCD 【解答】证明： （）在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD， 平面 PAD平面 ABCDAD，PDAD， PD平面 ABCD， BC平面 ABCD，PDBC 解： （）取 BC 中点 E，连结 DE，则 DEAD， 以 D 为原点，DA 为 x 轴
26、，DE 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 平面 PAD 的法向量 （1，0，0） ， A（2，0，0） ，B（3，0） ，P（0，0，2） ， （2，0，2） ，（3，2） ， 设平面 PAB 的法向量 （x，y，z） ， 则，设 z1，得 （，1，1） ， 设二面角 DPAB 的平面角为 ， 则 cos， 二面角 DPAB 的余弦值为 证明： （）C（3，0） ，（1，0） ，（0，0，2） ， 第 15 页（共 17 页） （3，2） ， 0，0， ABPD，ABPC， PDPCP，AB平面 PCD 【点评】本题考查线线垂直、线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查
27、空间 中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （14 分） 已知椭圆 M：+1 （ab0） 的一个焦点为 （， 0） ， 离心率为 设 椭圆 M 的长轴和短轴的一个端点分别为 A，B，以原点 O 为圆心，线段 AB 的长为半径作 圆 O （）求椭圆 M 和圆 O 的方程； （）设点 P 为圆 O 上任意一点，过点 P 分别作两条直线 l1，l2与椭圆 M 相切，求证： l1l2 【分析】 （）由椭圆的一个焦点为（，0） ，离心率为，列出方程组，求出 a， b1，c，由此能求出椭圆 M 的方程；求出 r|AB|2，由此能求 出圆 O 的方程 （）当点 P 的坐
28、标为（，1） ， （，1） ， （，1） ， （，1）时，则过 这四点分别作满足条件的直线 l1，l2，若一条直线斜率为 0，则另一条斜率不存在，则 l1 l2若直线 l1，l2斜率都存在，则设过 M 与椭圆只有一个公共点的直线方程为 yy0k （xx0） ，由，得（1+3k2）x2+6k（y0kx0）x+3（y0kx0）230， 第 16 页（共 17 页） 从而0，推导出（3x02） k2+2x0y0k+x30，设直线 l1，l2的斜率分别为 k1，k2，则 k1，k2满足（3x02） k2+2x0y0k+x30，由此能证明 l1l2 【解答】解： （）椭圆 M：+1（ab0）的一个焦点为
29、（，0） ，离心率 为， ，解得 a，b1，c， 椭圆 M 的方程为+y21 设椭圆 M 的长轴和短轴的一个端点分别为 A，B，以原点 O 为圆心，线段 AB 的长为半径 作圆 O， r|AB|2， 圆 O 的方程为 x2+y24 证明： （）当点 P 的坐标为（，1） ， （，1） ， （，1） ， （，1）时， 则过这四点分别作满足条件的直线 l1，l2，若一条直线斜率为 0，则另一条斜率不存在， 则 l1l2 若直线 l1，l2斜率都存在，则设过 M 与椭圆只有一个公共点的直线方程为 yy0k（x x0） ， 由，得3， 即（1+3k2）x2+6k（y0kx0）x+3（y0kx0）230， 则0， 化简得（3x02）k2+2x0y0k+1y0， 又4， （3x02）k2+2x0y0k+x30， 设直线 l1，l2的斜率分别为 k1，k2， 第 17 页（共 17 页） l1，l2与椭圆都只有一个公共点， k1，k2满足（3x02）k2+2x0y0k+x30， k1k21，l1l2 【点评】本题考查椭圆、圆的标准方程的求法，考查两直线垂直的证明，考查椭圆、圆、 直线方程、根的判别式、韦达定理、直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查化 归与转化思想，是中档题