1、2020 年年 4 月江苏省合作联盟学校高三数学模拟试卷月江苏省合作联盟学校高三数学模拟试卷 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位分，请将答案填写在答题卷相应的位 置上 ）置上 ） 1满足 1|z1+i| 3的复数 z 在复平面上对应的点构成的图形的面积为 2对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，若一批电子元件中 寿命在 100300 小时的电子元件的数量为 400， 则寿命在 500600 小时的电子元件的数 量为 3根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 4若以连续掷两
2、次骰子分别得到的点数 m，n 作为点 P 的横、纵坐标，则点 P 在直线 2x y10 上方的概率为 5若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为“黄金圆锥” ，已知一黄金圆锥 的侧面积为 ，则这个圆锥的高为 6在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 a2，b2，c2成等差数列，则 cosB 的最小值为 7 已知函数 yex的图象在点(，)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1， 其中 kN*， a10，则 a1+a3+a5 8关于 x 的不等式 ax2+bx+c0 的解集为（1，2） ，则关于 x 的不等式2: +cbx 的解 集为 9记 Sk1k+2k+3
3、k+nk，当 k1，2，3，时，观察下列等式： S1= 1 2 2 + 1 2n， S2= 1 3 3 + 1 2 2+ 1 6n， S3= 1 4 4 + 1 2 3+ 1 4 2， S4= 1 5 5 + 1 2 4+ 1 3 3 1 30n， S5An6+ 1 2 5+ 5 12 4+ 2， 可以推测，AB 10设 P 为 y= 1 4x 22 图象 C 上任意一点，l 为 C 在点 P 处的切线，则坐标原点 O 到 l 距离 的最小值为 11已知函数() = 2 + 2， 1 + 1，1 ，若x1，x2R，x1x2，使得 f（x1）f（x2）成 立，则实数 a 的取值范围是 12直线
4、y3x+2与圆心为 D 的圆（x1）2+（y3）21 交于 A，B 两点，直线 AD， BD 的倾斜角分别为 ，则 tan（+） 13 在平面直角坐标系xOy中， 直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆 2 2 + 2= 1(1)上， 其中 A （0， 1） 为直角顶点 若该三角形的面积的最大值为27 8 ， 则实数 a 的值为 14若 xi0（i1，2，3，4，5） ， 5 1 = 1，则 minmaxx1+x2，x2+x3，x3+x4，x4+x5 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文分，请在答题纸指定区域内作答，
5、解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ）字说明、证明过程或演算步骤 ） 15如图甲，在平面四边形 ABCD 中，已知A45，C90，ADC105，AB BD，现将四边形 ABCD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BDC（如图乙） ，设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点 （1）求证：DC平面 ABC； （2）设 CDa，求三棱锥 ABFE 的体积 16已知函数 f（x）Asin（x+） ，xR（其中0，0，0 2)的图象与 x 轴的 交点中，相邻两个交点之间的距离为 2，且图象上一个最低点为( 2 3 ， 2) （1）求 f（x）的解析式； （2）当 12 ， 2时，求 f（x）
6、的最大值及相应的 x 的值 17如图，某校打算在长为 1 千米的主干道 AB 一侧的一片区域内临时搭建一个强基计划高 校咨询和宣传台，该区域由直角三角形区域 ACB（ACB 为直角）和以 BC 为直径的半 圆形区域组成，点 P（异于 B，C）为半圆弧上一点，点 H 在线段 AB 上，且满足 CH AB已知PBA60，设ABC，且 18， 3） 初步设想把咨询台安排在线段 CH，CP 上，把宣传海报悬挂在弧CP 和线段 CH 上 （1） 若为了让学生获得更多的咨询机会， 让更多的省内高校参展， 打算让 CH+CP 最大， 求该最大值； （2） 若为了让学生了解更多的省外高校， 贴出更多高校的海报
7、， 打算让弧 CP 和线段 CH 的长度之和最大，求此时的 的值 18已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率 = 3 2 ，椭圆 C 的上、下顶点分别为 A1， A2， 左、 右顶点分别为 B1， B2， 左、 右焦点分别为 F1， F2 原点到直线 A2B2的距离为25 5 （1）求椭圆 C 的方程； （2）P 是椭圆上异于 A1，A2的任一点，直线 PA1，PA2，分别交 x 轴于点 N，M，若直线 OT 与以 MN 为直径的圆 G 相切， 切点为 T 证明： 线段 OT 的长为定值， 并求出该定值 19已知函数 f（x）= 1 2x 22 3ax 3，函数 g（x）f（x）
8、+2ex（x1） ，函数 g（x）的导函数 为 g（x） （1）当函数 yf（x）在区间（1，+）时为减函数，求 a 的范围； （2）若 ae（e 为自然对数的底数） ， 求函数 g（x）的单调区间； 证明：g（x）1+lnx 20设数列an，对任意 nN*都有（kn+b） （a1+an）+p2（a1+a2+an） ， （其中 k、b、p 是常数） （1）当 k0，b3，p4 时，求 a1+a2+a3+an； （2）当 k1，b0，p0 时，若 a33，a915，求数列an的通项公式； （3）若数列an中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数 列” 当 k1，b0，p0
9、时，设 Sn是数列an的前 n 项和，a2a12，试问：是否存 在这样的 “封闭数列” an， 使得对任意 nN*， 都有 Sn0， 且 1 12 1 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 11 18若存在，求数列an的首项 a1 的所有取值；若不存在，说明理由 三、附加题，共三、附加题，共 40 分， 【选做题】本题包括分， 【选做题】本题包括 A，B 两小题，每小题两小题，每小题 10 分共计分共计 20 分，解答时分，解答时 应写出文字说明，证明过程或演算步骤应写出文字说明，证明过程或演算步骤A.选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21已知矩阵 M= 1 0 01 （1）求矩阵
10、M 的特征值和特征向量； （2）设 = 2 3，求 M 99 B选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 = = （t 为参数） ，点 A（1，0） ，B（3， 3） ，若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点，x 轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立 极坐标系 （1）求直线 AB 的极坐标方程； （2）求直线 AB 与曲线 C 交点的极坐标 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过分，解答时应写出文字说明，证明过 程或演算步骤程或演算步
11、骤 23过直线 y1 上的动点 A（a，1）作抛物线 yx2的两切线 AP，AQ，P，Q 为切点 （1）若切线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值 （2）求证：直线 PQ 过定点 24对有 n（n4）个元素的总体1，2，3，n进行抽样，先将总体分成两个子总体1， 2，3，m和m+1，m+2，n（m 是给定的正整数，且 2mn2） ，再从每个 子总体中各随机抽取 2 个元素组成样本 用 Pij表示元素 i和 j 同时出现在样本中的概率 （1）求 P1n的表达式（用 m，n 表示） ； （2）求所有 Pij（1ijn）的和 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小
12、题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位分，请将答案填写在答题卷相应的位 置上 ）置上 ） 1满足 1|z1+i| 3的复数 z 在复平面上对应的点构成的图形的面积为 2 复数 z 在复平面上对应的点构成的图形为：以（1，1）为圆心，以 1，3为半径的圆 构成的圆环，结合圆的面积公式可求 设 aa+bi， 则由 1|z1+i| 3可得，1（a1）2+（b+1）23， 即复数 z 在复平面上对应的点构成的图形为：以（1，1）为圆心，以 1，3为半径的 圆构成的圆环， 面积为 32 故答案为：2 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合的解题思想方
13、法，关键是对题 意的理解，属中档题 2对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，若一批电子元件中 寿命在 100300 小时的电子元件的数量为 400， 则寿命在 500600 小时的电子元件的数 量为 300 根据小矩形的面积等于这一组的频率，先求出电子元件的寿命在某时段的频率，再乘以 样本容量即可求出符号条件的数量 寿命在 100300 小时的电子元件的频率是( 1 200 + 3 200) 100 = 1 5， 故样本容量是400 1 5 = 2000， 从而寿命在 500600 小时的电子元件的数量为： 2000 ( 3 2000 100) = 300； 故答案为：3
14、00 本题主要考查了频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处 理能力和运用意识 3根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 205 根据已知中的程序代码，可知本程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模 拟程序的运行过程，分析各个变量的变化规律，可得答案 模拟程序语言的运行过程，得： I1， 满足条件 I100，执行循环体 I3，S9 满足条件 I100，执行循环体 I5，S13 满足条件 I100，执行循环体 I99，S201 满足条件 I100，执行循环体 I101，S2101+3205 此时，不满足条件 I100，退出循环，输出 S 的值为 205 故
15、答案为：205 本题考查了程序语言的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程，以便得出输出的 结果，是基础题目 4若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m，n 作为点 P 的横、纵坐标，则点 P 在直线 2x y10 上方的概率为 1 4 基本事件总数 N6636，由点 P（m，n）在直线 2xy10 上方，得 2mn1 0，利用列举法求出满足条件的点（m，n）有 9 个，由此能求出点 P 在直线 2xy10 上方的概率 以连续掷两次骰子分别得到的点数 m，n 作为点 P 的横、纵坐标， 基本事件总数 N6636， 点 P（m，n）在直线 2xy10 上方， 2mn10， 满足条件的点（m，n）有
16、 9 个，分别为： （1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （1，5） ， （1，6） ， （2，4） ， （2，5） ， （2，6） ， （3，6） ， 则点 P 在直线 2xy10 上方的概率为 p= 9 36 = 1 4 故答案为：1 4 本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 5若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为“黄金圆锥” ，已知一黄金圆锥 的侧面积为 ，则这个圆锥的高为 1 设出圆锥的底面半径、高和母线，由题意列出关系，即可求出圆锥的高 设出圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线为 L， 由题意可知：h2Lr，并且1
17、2 2rL， 所以 h21， 解得 h1 故答案为：1 本题考查了旋转体的侧面积与等比中项的应用问题，是基础题 6在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 a2，b2，c2成等差数列，则 cosB 的最小值为 1 2 利用等差数列的性质，结合基本不等式，即可求得 cosB 的最小值 a2，b2，c2成等差数列， 2b2a2+c2， = 2+22 2 = 2 2 2 2+2 = 1 2（当且仅当 ac 时等号成立） ac 时，cosB 的最小值为1 2 故答案为：1 2 本题考查等差数列的性质，考查基本不等式的运用，正确运用等差数列的性质是关键 7 已知函数 yex的图象在点(
18、，)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1， 其中 kN*， a10，则 a1+a3+a5 6 先利用导数求出曲线在点(，)处的切线，求出切线与横轴交点的横坐标，得到数列 递推式，看出数列是一个等差数列，从而求出所求 yex， yex， yex在点（ak，eak）处的切线方程是： yeakeak（xak） ， 整理，得 eakxyakeak+eak0， 切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1， ak+1ak1， an是首项为 a10，公差 d1 的等差数列， a1+a3+a50246 故答案为：6 本题主要考查了切线方程以及数列和函数的综合，本题解题的关键是写出数列递推式， 求出两个项之
19、间的关系，得到数列是一个等差数列，属于中档题 8关于 x 的不等式 ax2+bx+c0 的解集为（1，2） ，则关于 x 的不等式2: +cbx 的解 集为 （，0） 根据不等式 ax2+bx+c0 的解集为（1，2） ，推出 a0，ba，c2a，代入后面 不等式可解得 关于 x 的不等式 ax2+bx+c0 的解集为（1，2） ， 0 1 + 2 = 1 2 = ，ba，c2a， 不等式2: +cbx 可化为： 2aax， 又 a0，1 2x， 2;2:1 0， 解得：x0， 故答案为（，0） 本题考查了一元二次不等式的解法，属中档题 9记 Sk1k+2k+3k+nk，当 k1，2，3，时，
20、观察下列等式： S1= 1 2 2 + 1 2n， S2= 1 3 3 + 1 2 2+ 1 6n， S3= 1 4 4 + 1 2 3+ 1 4 2， S4= 1 5 5 + 1 2 4+ 1 3 3 1 30n， S5An6+ 1 2 5+ 5 12 4+ 2， 可以推测，AB 1 4 通过观察归纳出：各等式右边各项的系数和为 1；最高次项的系数为该项次数的倒数；列 出方程求出 A，B 的值，进一步得到 AB 根据所给的已知等式得到： 各等式右边各项的系数和为 1； 最高次项的系数为该项次数的 倒数； 所以 A= 1 6， + 1 2 + 5 12 + = 1 解得 B= 1 12， 所以
21、 AB= 1 6 + 1 12 = 1 4， 故答案为：1 4 本题考查通过观察、归纳猜想结论，并据猜想的结论解决问题，属于基础题 10设 P 为 y= 1 4x 22 图象 C 上任意一点，l 为 C 在点 P 处的切线，则坐标原点 O 到 l 距离 的最小值为 2 设出切点 P 坐标，由导数求得 C 在点 P 处的切线方程，由点到直线的距离公式写出坐标 原点 O 到 l 距离，再由基本不等式求最小值 设 P（0， 1 40 2 2） ， 由 y= 1 4x 22，得 = 1 2 ， |0= 1 2 0， 则 C 在点 P 处的切线方程为： 1 4 02+ 2 = 1 2 0( 0)， 整理
22、得：20 4 02 8 = 0 坐标原点 O 到 l 距离 d= |028| 402+16 = 1 2 02+8 02+4 = 1 2 02+4+4 02+4 = 1 2 (02+ 4 + 4 02+4) 2 当且仅当02+ 4 = 4 2+4，即 x 00 时上式等号成立 坐标原点 O 到 l 距离的最小值为 2 故答案为：2来源:学科网 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了点到直线的距离公式，训练 了利用基本不等式求最值，是中档题 11已知函数() = 2 + 2， 1 + 1，1 ，若x1，x2R，x1x2，使得 f（x1）f（x2）成 立，则实数 a 的取值范围是 （，
23、1）（2，+） 由题意可得，若x1，x2R，x1x2，使得 f（x1）f（x2）成立，则说明 f（x）在 R 上 不单调，分 a0 及 a0 两种情况分布求解即可求得结论 若x1，x2R，x1x2，使得 f（x1）f（x2）成立，则说明 f（x）在 R 上不单调 当 a0 时，f（x）= 2， 1 1，1 满足题意 其其图象如图所示，满足题意 当 a0 时，函数 yx2+2ax 的对称轴 xa0，其图象如图所示，满足题意 当 a0 时，函数 yx2+ax 的对称轴 xa0，其图象如图所示，要使得 f（x）在 R 上不单调 则只要二次函数的对称轴 xa1，或 1 12+ 2 1 1 + 1 0a
24、1 或 a2， 综合得：a 的取值范围是（，1）（2，+） 故答案为： （，1）（2，+） 本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 12直线 y3x+2与圆心为 D 的圆（x1）2+（y3）21 交于 A，B 两点，直线 AD， BD 的倾斜角分别为 ，则 tan（+） 3 4 设直线 y3x+2的倾斜角为 ，则 tan3，由图象及三角形的外角与不相邻的内角关 系， 可知： DAB， 2+ ， 再利用圆的性质建立两个倾斜角的等量关系， 化简整理即可求出 设直线 y3x+2的倾斜角为 ，则 tan3 由图象及三角形的外角与不相邻的内角关系， 可知：DAB，2+ 由圆的性质可
25、知，直线 AD，BD 过圆心，三角形 ABD 是等腰三角形， 12， +， 故 +2， tan（+）tan2= 23 19 = 3 4 故答案为： 3 4 本题主要考查了圆的方程与直线方程的位置关系，直线的倾斜角，三角形的角的关系， 直线和圆的方程的应用，属于中档题 13 在平面直角坐标系xOy中， 直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆 2 2 + 2= 1(1)上， 其中 A（0，1）为直角顶点若该三角形的面积的最大值为27 8 ，则实数 a 的值为 3 设直线 AB 的方程为 ykx+1， （k0） 将直线 AB 方程与椭圆消去 y，解得 B 的坐标， 再用两点之间距离公式，可以算出 AB
26、长关于 a、k 的表达式，同理可得 AC 长关于 a、k 的表达式，从而得到 RtABC 的面积 S 关于 a、k 的表达式，根据基本不等式进行讨论， 可得ABC 的面积 S 的最大值为 4 (2;1)，最后结合题意解关于 a 的方程，即可得到实 数 a 的值 设直线 AB 的方程为 ykx+1 则直线 AC 的方程可设为 y= 1 x+1， （k0） 由 = + 1 2 2 + 2= 1消去 y，得（1+a 2k2）x2+2a2kx0，所以 x0 或 x=22 1+22 A 的坐标（0，1） ， B 的坐标为（ ;22 1:22，k ;22 1:22 +1） ，即 B（ ;22 1:22，
27、1;22 1:22） 因此，AB=(0 22 1+22) 2+ (1 12 2 1+22) 2 = 1 + 2 |22| 1:22， 同理可得：AC= 1 + 1 2 |2 2 | 1: 2 2 RtABC的面积为S= 1 2 ABAC= 2 + 2+ 1 2 24 1:4:2(2: 1 2) = 24|:1 | 1:4:2(2: 1 2) 令 t= | + 1 |，得 S= 24 1+4+2(22) = 24 (21)2 +2 t= | + 1 | 2，SABC 24 2(21) 2 2 = 4 (21) 当且仅当 2;1 = ，即 t= 21 时，ABC 的面积 S 有最大值为 4 (2;
28、1) = 27 8 解之得 a3 或 a= 3+297 16 a= 3+297 16 时，t= 21 2 不符合题意， a3 故答案为：3 本题在椭圆上求内接直角三角形面积的最大值问题，着重考查了椭圆的简单几何性质和 利用基本不等式讨论函数的最值等知识，属于中档题 14若 xi0（i1，2，3，4，5） ， 5 1 = 1，则 minmaxx1+x2，x2+x3，x3+x4，x4+x5 1 3 因为 x2+x3，x3+x4的地位相同，x4+x5，x2+x5地位相同，故只要讨论其一，假设 x2+x3最 大，设为 a，则 a+x1+x4+x51，然后分析取得最值的条件可求 因为 x2+x3，x3+
29、x4的地位相同，x4+x5，x2+x5地位相同，故只要讨论其一， 假设 x2+x3最大，设为 a，则 a+x1+x4+x51， 要使得 a 最小，则其余数尽可能大，x1+x2最大取 a，最大取 x1x3，来源:学科网 剩下的 x4+x5也要尽可能的大，取 x4+x5a，则 a+a+x31，x2+x3a， 要使 x3尽可能大，则 x3a，x20， 故 a= 1 3 故答案为：1 3 本题主要考查了函数最值的求解，考查了逻辑推理的能力 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
30、字说明、证明过程或演算步骤 ）字说明、证明过程或演算步骤 ） 15如图甲，在平面四边形 ABCD 中，已知A45，C90，ADC105，AB BD，现将四边形 ABCD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BDC（如图乙） ，设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点 （1）求证：DC平面 ABC； （2）设 CDa，求三棱锥 ABFE 的体积 （1）先证明 AB底面 BDC，可得 ABCD，又 DCBC，从而证明 DC平面 ABC （2）由（1）知 EF平面 ABC，求得= 3 2 2，代入体积公式;= ;= 1 3 进行运算可得答案 （1）证明：在图甲中，ABBD，且A45， ADB45，
31、ABC90 即 ABBD 在图乙中，平面 ABD平面 BDC，且平面 ABD平面 BDCBD， AB底面 BDC，ABCD又DCB90， DCBC，且 ABBCB，DC平面 ABC （2）E、F 分别为 AC、AD 的中点，EFCD， 又由（1）知，DC平面 ABC，EF平面 ABC， ;= ;= 1 3 ，在图甲中，ADC105，BDC60， DBC30， 由 CDa 得 = 2， = 3， = 1 2 = 1 2 ，= 1 2 = 1 2 2 3 = 32， = 3 2 2，;= 1 3 3 2 2 1 2 = 3 12 3 本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，求出AEB
32、的面积，确定棱 锥的高为 EF 是解题的关键 16已知函数 f（x）Asin（x+） ，xR（其中0，0，0 2)的图象与 x 轴的 交点中，相邻两个交点之间的距离为 2，且图象上一个最低点为( 2 3 ， 2) （1）求 f（x）的解析式； （2）当 12 ， 2时，求 f（x）的最大值及相应的 x 的值 （1）由题意得 A2，由周期 = 2 = ，可求 ，则有 f（x）2sin（2x+） ，然后将 (2 3 ， 2)代入结合已知0 2，可求 = 6，从而可求函数 f（x） 来源:学科网 ZXXK （2）由 x 的范围可求 2x+ 6的范围，结合正弦型函数的性质可求函数函数的最大值 （1）由
33、题意得 A2，周期 = 2 = ，得 2，此时 f（x）2sin（2x+） ， 将(2 3 ， 2)代入上式得2 = 2(4 3 + )， 即(4 3 + ) = 1，0 2， 解得 = 6，所以 f（x）= 2(2 + 6)； （2）因为 12， 2，所以 3 2 + 6 7 6 ， 所以，当且仅当2 + 6 = 2，即 = 6时，(2 + 6) = 1， 即有 f（x）的最大值为 2 本题主要考查三角函数的图象与性质，考查运算求解的能力 17如图，某校打算在长为 1 千米的主干道 AB 一侧的一片区域内临时搭建一个强基计划高 校咨询和宣传台，该区域由直角三角形区域 ACB（ACB 为直角）
34、和以 BC 为直径的半 圆形区域组成，点 P（异于 B，C）为半圆弧上一点，点 H 在线段 AB 上，且满足 CH AB已知PBA60，设ABC，且 18， 3） 初步设想把咨询台安排在线段 CH，CP 上，把宣传海报悬挂在弧 CP 和线段 CH 上 （1） 若为了让学生获得更多的咨询机会， 让更多的省内高校参展， 打算让 CH+CP 最大， 求该最大值； （2） 若为了让学生了解更多的省外高校， 贴出更多高校的海报， 打算让弧 CP 和线段 CH 的长度之和最大，求此时的 的值 （1）利用直角三角形的边角关系求出 BC、CH 和 CP 的表达式，再计算 CH+CP 的最大 值； （2）取线段
35、 BC 的中点 O，连接 OP，计算 和线段 CH 的长度之和 y，构造函数，利用 导数判断函数的单调性，从而求得弧 CP 和线段 CH 的长度之和最大时对应 的值 （1）在 RtACB 中，BC1coscos， 在 RtCBH 中，CHcossinsincos； 在 RtCBP 中，CPcossin（ 3 ） ； 所以 CH+CPsincos+cossin（ 3 ） sincos+cos（ 3 2 cos 1 2sin） = 1 2sincos+ 3 2 cos2 = 1 4sin2+ 3 2 1+2 2 = 1 2sin（2+ 3）+ 3 4 ， 因为 18 ， 3） ，所以 4 9 2+
36、 3 ， 所以当且仅当 2+ 3 = 2，即 = 12时，CH+CP 最大，最大值为 2:3 4 千米； （2）取线段 BC 的中点 O，连接 OP，如图所示， 则COP2CBP2（ 3 ）= 2 3 2； 由（1）知，CO= 1 2BC= 1 2cos，所以 的长为1 2cos （ 2 3 2）= 3coscos； 由（1）知，CHsincos，所以 和线段 CH 的长度之和为 y= 3coscos+sincoscos（ 3 +sin） ， 18， 3） ； 设 f（）= 3 +sin， 18， 3） ，g（）cos， 18， 3） ， 则 yf（）g（） ； 因为 f（）1+cos， 18
37、， 3） ， 所以 f（）1+cos0， 所以函数 f（）在区间 18， 3）上单调递减， 所以 3 2 f（）f（ 18） ，易知函数 g（）在区间 18， 3）上也是单调递减函数； 所以 g（）g（ 18） ，所以 f（）g（）f（ 18） g（ 18） ； 所以当且仅当 = 18时，弧 CP 和线段 CH 的长度之和最大 本题考查了三角函数模型应用问题，运算求解能力与转化思想，是难题 18已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率 = 3 2 ，椭圆 C 的上、下顶点分别为 A1， A2， 左、 右顶点分别为 B1， B2， 左、 右焦点分别为 F1， F2 原点到直线 A2B
38、2的距离为25 5 （1）求椭圆 C 的方程； （2）P 是椭圆上异于 A1，A2的任一点，直线 PA1，PA2，分别交 x 轴于点 N，M，若直线 OT 与以 MN 为直径的圆 G 相切， 切点为 T 证明： 线段 OT 的长为定值， 并求出该定值 （1）设 a2m，c= 3m，则 bm直线 A2B2方程为 mx2my2m20由点到直线 距离公式能求出 m1由此能求出椭圆方程 （2）由 A1（0，1）A2（0，1） ，设 P（x0，y0） ，分别求出直线 PA1和直线 PA2，法一： 设圆 G 的圆心为（1 2（ 0 0:1 0 0;1） ，0） ，利用圆的性质能证明线段 OT 的长度为定值
39、 2；法二：由切割线定理得 OT2OMON4从而得到线段 OT 的长度为定值 2 （1）因为椭圆 C 的离心率 e= 3 2 ，故设 a2m，c= 3m，则 bm 直线 A2B2方程为 bxayab0，即 mx2my2m20 所以 22 2:42 = 25 5 ，解得 m1 所以 a2，b1，椭圆方程为 2 4 +y21 证明： （2）由（1）可知 A1（0，1）A2（0，1） ，设 P（x0，y0） ， 直线 PA1：y1= 01 0 x，令 y0，得 xN= 0 01，（6 分） 直线 PA2：y+1= 0+1 0 x，令 y0，得 xM= 0 0+1，（7 分） 解法一：设圆 G 的圆心
40、为（1 2（ 0 0:1 0 0;1） ，0） ，（9 分） 则 r21 2（ 0 0:1 0 0;1） 0 01 2=1 4（ 0 0:1 + 0 0;1） 2（11 分） OG2= 1 4（ 0 0:1 0 0;1） 2 OT2OG2r2= 1 4（ 0 0:1 0 0;1） 21 4（ 0 0:1 + 0 0;1） 2= 02 102（13 分） 而0 2 4 +y021，所以 x024（1y02） ，所以 OT24，（15 分） 所以 OT2，即线段 OT 的长度为定值 2 解法二：OMON|（ 0 01） 0 0:1|= 02 102， 而0 2 4 +y021，所以 x024（1y
41、02） ，所以 OMON4 由切割线定理得 OT2OMON4 所以 OT2，即线段 OT 的长度为定值 2 本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、圆、点到直线距 离公式、切割线定理等知识点的合理运用 19已知函数 f（x）= 1 2x 22 3ax 3，函数 g（x）f（x）+2ex（x1） ，函数 g（x）的导函数 为 g（x） （1）当函数 yf（x）在区间（1，+）时为减函数，求 a 的范围； （2）若 ae（e 为自然对数的底数） ， 求函数 g（x）的单调区间； 证明：g（x）1+lnx （1）求导得 f（x）x2ax2x（2ax+1） ，利用直线的性质，求 a 的范围 （2）求导，得 g（x）x（12ex+2ex） ，只需判断后一表达式的正负一般都是构 造函数，利用求极值的方法判断 把恒成立问题转化为最值问题，通过求导，判断函数的极值，求出最值 （1）由函数 yf（x）在区间（1，+）时为减函数 f（x）x2ax2x（2ax+1）0 x（1，+） a0 且2a1+10 a 1 2 （2）g（x）= 1 2x 22 3ex 3+2ex（x1） g（x）x（12ex+2ex） 令 h（x）12ex+2ex h（x）2e+