1、湖南省衡阳市湖南省衡阳市 2020 届高三第一次联考（一模）届高三第一次联考（一模） （文科）数学试题（文科）数学试题 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1已知集合 |(1)(1)0Axxx，|2 , x By yxR，则AB（ ） A( 1,0 B( 1,1) C(0,1) D 2在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为(1, 1)，则z的实部与虚部的和是（ ） A2 B0 C1 i D1 i 3已知 1
2、3 2 2 log 3,2 ,2abc ，则a、b、c的大小关系为（ ） Aacb Bcab Ccba Dabc 4研究机构对 20 岁至 50 岁人体脂肪百分比(%)y和年龄x（岁）的关系进行了研究通过样本数据，求得 回归方程0.580.45yx现有下列说法： 某人年龄为 70 岁，有较大的可能性估计他的体内脂肪含量约 40.15%； 年龄每增加一岁，人体脂肪百分比就增加 0.45%； 20 岁至 50 岁人体脂肪百分比(%)y和年龄x（岁）成正相关 上述三种说法中正确的有（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 5若|2a ，| 2b ，且()aba，则ab（ ） A2 2 B2 C
3、0 D2 6程序框图所示的算法来自于九章算术 若输入a的值为 8，b的值为 6，则执行该程序框图输出的结 果为（ ） A1 B2 C3 D4 7已知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长 为 1 的等腰直角三角形（如图所示） 则此几何体的表面积为（ ） A426 B46 C24 2 D4 8在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为 22 2222 4 ( , )(1)1(1)1 0 xy Ax y xyxy x 或 ，若 点( , )x yA，则zxy的最大值是（ ） A21 B2 C12 D2 2 9已知命题p：函数 f(x)的定义域为R，命
4、题q：存在实数x满足lnaxx，若pq为真，则实数a的 取值范围是（ ） A 1 2, e B 1 ,2 e C2,) D(,2 10已知 1 F， 2 F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点，过点 1 F与双曲线的一条渐近线平行 的直线交双曲线的另一条渐近线于点M，若 120MFMF，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A(1, 2) B( 3,) C(1,2) D(2,) 11已知A是函数( )sin 2020cos 2020 63 f xxx 的最大值，若存在实数 12 ,x x使得对任意实 数x总有 12 ( )f xf xf x成立，则 12 A xx
5、的最小值为（ ） A 2020 B 1010 C 505 D 4040 12如图，矩形ABCD中，22BCAB，N为边BC的中点，将ABN绕直线AN翻转成 1 B AN （ 1 B 平面ABCD） ，M为线段 1 B D的中点，则在ABN翻折过程中，与平面 1 B AN垂直的直线必与 直线CM垂直；线段CM的长恒为 5 2 异面直线CM与 1 NB所成角的正切值为 3 3 当三棱锥的体积 最大时，三棱锥 1 BAND外接球的体积是 4 3 上面说法正确的所有序号是（ ） A B C D 第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两个部分第（本卷包括必考题和选考题两个部分第（13）题）题-第（第（21）题
6、为必考题，每个考生都必须作答第（）题为必考题，每个考生都必须作答第（22）题）题 -第（第（23）题为选考题，考生根据要求作答）题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题每小题小题每小题 5 分，满分分，满分 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 13在区间0, 上随机地取一个数x，则事件“ 2 sin 2 x ”发生的概率为_ 14设抛物线 2 4yx的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A、B，若点(2, )Mt满足 1 () 2 OMOAOB，则|AB _ 15在ABC中，内角A、B、C所对的边分
7、别为a、b、c，若 2 2sinsincossinABCC，则（1） 22 2 ab c _， （2）C的最大弧度数为_ 16己知直线1yx上有两点 11 ( ,)A a b、 22 (,)B a b且满足 2222 12121122 2 a ab babab若 12 aa，| 2 2AB 则这样的点A共有_个 三、解答题：本大题必做题三、解答题：本大题必做题 5 个，每题个，每题 12 分，选做题两个只选做一个，分，选做题两个只选做一个，10 分，满分分，满分 70 分解答应写出文分解答应写出文 字说明，证明过程或推演步骤字说明，证明过程或推演步骤 17已知ABC的三个内角A、B、C的对边分
8、别为a、b、c，且sin()sin 3 aACbA （1）求角A的大小； （2）若三边b，a，c的长成等比数列，ABC的面积为3，求, ,a b c的长 18 2020 年 1 月 22 日，国新办发布消息：新型冠状病毒来源于武汉一家海鲜市场非法销售的野生动专 家通过全基因组比对发现此病毒与 2003 年的非典冠状病毒以及此后的中东呼吸综合征冠状病毒，分别达到 70%和 40%的序列相似性这种新型冠状病毒对人们的健康生命带来了严重威胁因此，某生物疫苗研究所 加紧对新型冠状病毒疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统 计数据如下： 未感染病毒 感染病毒 总计 未
9、注射疫苗 20 x A 注射疫苗 30 y B 总计 50 50 100 现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为 2 5 （1）求22列联表中的数据x，y，A，B的值； （2）能否有 99.9%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效？ 附： 2 2 () , ()()()() n adbc Knabcd ab ac cd bd 2 0 P Kk 0.05 0.01 0.005 0.001 0 k 3.841 6.635 7.879 10.828 19已知在四棱锥CABED中，DEAB，ACBC，24BCAC，2ABDE，DADC且 平面DAC 平面ABCD （1）设点
10、F为线段BC的中点，试证明EF 平面ABC； （2）若直线BE与平面ABC所成的角为 60 ，求四棱锥 CABED的体积 20 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ， 左右焦点分别为 1 F、 2 F，A为椭圆上一点， 1 AF 与y轴交于点B， 2 |ABF B， 2 | 4 OB （1）求椭圆C的方程； （2） 设直线 1: 1lxmy与椭圆C相交于M、N两点， 过M作与y轴垂直的直线 2 l， 点K坐标为 3 ,0 2 ， 试问直线NK与直线 2 l交点的横坐标是否为定值，请说明理由 21 若 方 程( )f xx有 实 数 根 0 x， 则 称 0
11、 x为 函 数( )f x的 一 个 不 动 点 已 知 函 数 ln ( )(1)ln xx f xeaxax （e为自然对数的底数）aR （1）当0a 时( )f x是否存在不动点？并证明你的结论； （2）若ae，求证( )f x有唯一不动点 请考生在（请考生在（22） （） （23）两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题）两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题 目计分，作答时请用目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22选修 4-4：坐标系与参数方程 心形线是
12、由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的 轨迹，因其形状象心形而得名在极坐标系Ox中，方程(1 sin )(0)aa表示的曲线 1 C就是一条心 形线，如图，以极轴 x O所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线 2 C的参数方 程为 3 1 3 3 xt yt (t为参数） （1）求曲线 2 C的极坐标方程； （2）若曲线 1 C与 2 C相交于A、O、B三点，求线段AB的长 23选修 4-5；不等式选讲 已知函数( )|6|f xxxm的定义域为R （1）求实数m的取值范围； （2）设t为m的最大值，实数, ,a b c满足
13、 222 abct，试证明 222 111 1 111abc 衡阳市衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题届高三第一次联考理科数学试题 衡阳市衡阳市 2020 届高三第一次联考数学（文科）参考答案届高三第一次联考数学（文科）参考答案 1 【答案】C 【解析】依题意，( 1,1)A ，(0,)B ，所以(0,1)AB，故选 C 2 【答案】B 【解析】1zi ，所以复数z的实部是 1，虚部是1，其和为 0，故选 B 3 【答案】A 【解析】 1 3 2 2 3 log 3212 2 ，因此acb，故选 A 4 【答案】C 【解析】只有正确，故选 C 5 【答案】D 【解析】|2a ，|
14、2b ，()aba，因此 22 |2( 2)2ab，故选 D 6 【答案】B 【解析】程序框图所示的算法是更相减损术求最大公约数，通过计算可得2a ，故选 B 7 【答案】A 【解析】根据斜二侧画法可知，几何体的底面积是一个直角三角形，两直角边分别为 2、2，由此可计 算出该几何体的表面积为426，故选 A 8 【答案】C 【解析】 作直线0xy， 当直线上移与圆 22 (1)1xy的右上方相切时，zxy取最大值， 此时， 利用圆心(0,1)到直线0xyz的距离等于 1，解得z的最大值为12故选 C 9 【答案】D 【解析】若命题p为真，则22a ；若命题q为真，则 max ln1x a xe
15、 ；所以若pq为真，则 (,2a ，故选 D 10 【答案】D 【解析】不妨设过点 1( ,0)Fc与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为 a xyc b ，与另一条渐近线 b yx a 的交点为, 2 2 c bc M a ，由 120MFMF是 3 ,0 2222 cbccbc aa ，即有 2 2 3 b a ，又 因为 2 2 12 b e a ，故选 D 11 【答案】B 【解析】因为 311 ( )sin 2020cos 2020sin2020cos2020cos2020 63222 f xxxxxx 3 sin20203sin2020cos20202sin 2020 26 xxxx
16、 max ( )2Af x，周期 2 20201010 T ， 又 存 在 实 数 12 ,x x， 对 任 意 实 数x总 有 12 ( )f xf xf x成 立 ， 2max ( )2f xf x， 1min ( )2f xf x ， 12 A xx的最小值为 21010 T A ，故选 B 12 【答案】A 【解析】取 1 AB的中点K，AD的中点O，连接KM，KN， 1 OB，ON，显然CM平面 1 B AN，故 正确； 2 222 11 15 1 22 CMNKB NB K ，故正确； 1 KNB即为异面直线CM与 1 NB 所成角， 1 1 1 1 tan 2 B K KNB B
17、 N ， 故错误； 当三棱锥 1 BAND的体积最大时， 易证O为三棱锥 1 BAND 外接球球心，且1ROA，故正确，综上，正确，选 A 二填空题二填空题 13【答案】 1 2 【解析】在区间0,上， 2 sin 2 x ，则 3 0, 44 x ，因此其概率为 1 2 14 【答案】6 【解析】地物线 2 4yx的焦点(1,0)F，设 11 ,A x y， 22 ,B xy，直线AB过焦点(1,0)F， 12 |2ABxx，又 1 () 2 OMOAOB，则(2, )Mt为AB中点，所以| 426AB 15 【答案】2， 3 【解析】 2 2sinsincossinABCC， 22 222
18、22 2 2cos2 ab abCcabcc c ； 又 22222 1 cos 242 abcab C abab ，0C， 3 C ，当且仅当ab时取等号 16 【答案】2 【解析】由已知条件和数量积的定义可知 4 AOB 或 3 4 ，又| 2 2AB ，所以ABO的外接圆的半 径 |2 2 2 2 2sin 4 AB R ，设其圆心为C，则C点到直线1yx的距离为2，所以C点应在与直线 1yx平行且距离为2的两条平行直线1yx、3yx上，且C点到原点O的距离为 2；而原点 O到3yx的距离为 3 2 2 2 ，所以3yx上不存在这样的点C；而原点O到1yx的距离为 2 2 2 ，所以1y
19、x上存在两个符合条件的点C；每个C点都确定唯一一个点A，所以这样的点A共 有 2 个 三解答题三解答题 17 【解析】 （1）sin()sinsinsinsinsin 333 aACbAaBbAAA sin3costan3AAA 0A， 3 A （2）由ABC的面积为3得4bc ，又 2 4abc，2a 由余弦定理知： 222 2cos 3 abcbc 22 8bc 222 ()20bcbcbcbc 所以2bc 18 【解析】 （1）由已知条件可知：0.4 10040B ，10060AB，602040x ， 403010y . （2） 2 2 100(20 1030 40)10050 16.6
20、67 50 50 60 4063 K 显然16.66710.828 所以有 99.9%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效 19 【解析】 （1）证明：取AC的中点O，连接DO和OF， 在DAC中DADC，DOAC 由于平面DAC 平面ABC，且交线为AC，DO 平面ABC 又O，F分别为AC，BC的中点，ABOF且2ABOF 又DEAB，2ABDE，OFDE且OFDE 四边形DEFO为平行四边形EFDO， EF 平面ABC （2）方法一：EF 平面ABC，所以直线BE与平面ABC所成的角为60EBF， 由于 1 2 2 BFBC，2 3EFDO， 又EFDOE、F点到平面DAC的距离相
21、等，平面DAC 平面ABC，CFAC， CF 平面DACE点到平面DAC的距离等于 2 11 2 3242 34 3 33 C ABEDE DACE ABC VVV 方法二：EF 平面ABC，所以直线BE与平面ABC所成的角为60EBF， 由于 1 2 2 BFBC，2 3EFDO， 2ABDE， 1 2 ADEABE SS ， 1 2 C ADEC ABE VV 3 2 C ABEDC ABE VV 1 18 3 242 3 3 23 C ABE V 338 3 4 3 223 C ABEDC ABE VV 方法三： （也可以用等体积法求C点等平面ABED的距离，再求体积） 20【解析】（1
22、） 连接 2 AF， 由题意得 21 |ABF BFB， 所以BO为 12 F AF的中位线， 又因为 12 BOFF， 所以 212 AFFF，且 2 2 2 2| 2 b AFOB a ， 又 2 2 c e a ， 222 abc，得 2 2a ， 2 1b ， 故所求椭圆方程为 2 2 1 2 x y （2）设 11 ,M x y， 22 ,N xy由 2 2 1 1 2 xmy x y 得 22 2210mymy 1212 22 21 , 22 m yyy y mm 直线NK的方程： 2 2 3 3 2 2 y yx x ， 令 1 yy，则有 12122 1222 222 313
23、1 2 3222 22 2 m yxymyy yyy m x yyy 222 2 2 22 2 mm y mm y NK与 2 l交点的横坐标为定值 2 21 【解析】 （1）当0a 时，( )f x不存在不动点 证明：由( )f xx可得：ln0 x e axax x ， 令( )ln x e F xaxax x ，(0,)x， 则 22 (1) ( ) x xx xeax xeea F xa xxx ， 0,(0,)ax，0 x eax 当(0,1)x时，( )0F x，( )F x在(0,1)上单调递减， 当(1,)x时，( )0F x，( )F x在(1,)上单调递增， 所以 min
24、( )(1)0F xFea所以方程ln0 x e axax x 无实数根 故( )f x不存在不动点 （2）当aee 时，( )ln x e F xexex x ，(0,)x， 则 22 (1) ( ) x xx xeex xeee F xe xxx ， 再令( ) x g xeex，( ) x g xee 当(0,1)x时，( )0g x，( )g x在(0,1)上单调递减， 当(1,)x时，( )0g x，( )g x在(1,)上单调递增， ( )(1)0g xg 故当(0,1)x时，( )0F x，( )F x在(0,1)上单调递减， 当(1,)x时，( )0F x，( )F x在(1,
25、)上单调递增， 所以 min ( )(1)ln10F xFeee 所以ln0 x e exex x 有唯一实数根 0 1x ， 故( )f x有唯一不动点 22 【解析】 （1）由 3 1 3 3 xt yt ， （t为参数） ，消参数t化简得善通方程：30xy， 令cosxsiny，即3 cossin0化简得tan3，即 3 即得曲线 2 C的极坐标方程为() 3 R （2）由已知，不妨设, 3 A A ， 4 , 3 B B ， 于是 3 1sin1 32 A aa ， 43 1sin1 32 B aa ， 故| 2ABa 23 【解析】 （1）由题意知，|6|xxm恒成立， 又|6| |(6)| 6xxxx， 所以实数m的取值范围是6m （2）由（1）可知， 222 6abc，所以 222 1119abc 从而 222 222222 1111111 111 1119111 abc abcabc 222222 222222 11111111 3(36)1 91111119 bacacb abacbc ， 当且仅当 222 1113abc ，即 222 2abc时等号成立，证毕