1、九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “今有五人分五钱，令上 二人所得与下三人等问各得几何 ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱， 甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数 列 问五人各得多少钱？” （ “钱” 是古代的一种重量单位） 这个问题中， 甲所得为 （ ） A钱 B钱 C钱 D钱 7 （5 分）如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一 点 C，测出 AC 的距离为 50m，ACB45，CAB105后，就可以计算出 A、B 两 点的距离为（ ） 第 2 页（共 19 页） Am Bm Cm
2、Dm 8 （5 分）若变量 x、y 满足约束条件，则（x2）2+y2的最小值为（ ） A B C D5 9 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a123，S612a8，则使 Sn达到最大值的 n 是（ ） A10 B11 C12 D13 10 （5 分）已知实数 x，y 满足如果目标函数 zxy 的最小值为1，则 实数 m 等于（ ） A7 B5 C4 D3 11（5 分） 若 x0， y0， 且+1， x+2ym2+7m 恒成立， 则实数 m 的取值范围是 （ ） A （8，1） B （，8）（1，+） C （，1）（8，+） D （1，8） 12 （5 分）已知数列an满足
3、a1+a3+n2+n（nN*） ，设数列bn满足： bn，数列bn的前 n 项和为 Tn，若 Tn（nN*）恒成立，则实数 的 取值范围为（ ） A，+） B （，+） C，+） D （，+） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）在ABC 中，a4，b5，c6，则 14 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S1，2S2，3S3成等差数列，则等比数列 an的公比为 15 （5 分）已知数列an满足 a120，an+1an2n，则的最小值为 16 （5 分）设二次函数 f（x）ax24x+c（xR
4、）的值域为0，+） ，则的最大 值为 第 3 页（共 19 页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，且 cos2A+sin（ A）+10 （1）求角 A 的大小； （2）若ABC 的面积 S3，b3求 sinC 的值 18 （12 分）设函数 f（x）mx2mx1 （1）若对于一切实数 x，f（x）0 恒成立，求 m 的取值范围； （2）对于 x1，3，f（x）0 恒成立，求 m 的取
5、值范围 19 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 Sn+2n2an （1）证明：数列an+2是等比数列并求数列an的通项公式 an； （2） 若数列bn满足 bnlog2（an+2） ， 设 Tn是数列的前 n 项和 求证： 20 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 （1）求角 C 的大小， （2）若 c2，求使ABC 面积最大时 a，b 的值 21 （12 分）某单位有员工 1000 名，平均每人每年创造利润 10 万元为了增加企业竞争力， 决定优化产业结构，调整出 x（xN*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年 创造利润为万
6、元（a0） ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x% （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，则最 多调整出多少名员工从事第三产业？ （2） 若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润条件下， 若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 a 的取 值范围是多少？ 22 （12 分）已知公差不为 0 的等差数列an的首项为 1，前 n 项和为 Sn，且数列是等 差数列 （1）求数列an的通项公式； 第 4 页（共 19 页） （2）设 lgbn（nN*） ，问：b1，bk，bm（k，m
7、 均为正整数，且 1km）能否成 等比数列？若能，求出所有的 k 和 m 的值；若不能，请说明理由 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年河南省洛阳一高高二（上）学年河南省洛阳一高高二（上）9 月月考数学试卷月月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求一个是符合题目要求的的. 1 （5 分）函数 f（x）log2（x2+2x3）的定义域是（ ） A3，1 B （3，1） C （，31，+）
8、 D （，3）（1，+） 【分析】利用对数函数的真数大于 0 求得函数定义域 【解答】解：由题意得：x2+2x30，即（x1） （x+3）0 解得 x1 或 x3 所以定义域为（，3）（1，+） 故选：D 【点评】本题主要考查函数的定义域的求法属简单题型高考常考题型 2 （5 分）ABC 中，AB4，AC3，A60，则ABC 的面积为（ ） A B3 C D 【分析】由已知利用三角形面积公式即可计算得解 【解答】解：AB4，AC3，A60， SABCABACsinA433 故选：C 【点评】本题主要考查了三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题 3 （5 分）设等比数列an的前 n 项和为
9、 Sn若 S23，S415，则 S6（ ） A31 B32 C63 D64 【分析】由等比数列的性质可得 S2，S4S2，S6S4成等比数列，代入数据计算可得 【解答】解：S2a1+a2，S4S2a3+a4（a1+a2）q2，S6S4a5+a6（a1+a2）q4， 所以 S2，S4S2，S6S4成等比数列， 即 3，12，S615 成等比数列， 可得 1223（S615） ， 解得 S663 第 6 页（共 19 页） 故选：C 【点评】本题考查等比数列的性质，得出 S2，S4S2，S6S4成等比数列是解决问题的 关键，属基础题 4 （5 分）在ABC，a，b，B，则 A 等于（ ） A B
10、C D或 【分析】由 a，b 及 sinB 的值，利用正弦定理即可求出 sinA 的值，根据 A 的范围，利用 特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数 【解答】解：由正弦定理可得：sinA ab A， 故选：B 【点评】此题考查学生灵活运用正弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础 题 5 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边为 a，b，c，且，则角 c 为（ ） A B C D 【分析】利用余弦定理求出 cosC 和 C 的值 【解答】解：ABC 中， a2+b2c2ab， cosC； 又 C（0，） ， 角 C 故选：B 【点评】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题 6
11、 （5 分） 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “今有五人分五钱，令上 第 7 页（共 19 页） 二人所得与下三人等问各得几何 ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱， 甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数 列 问五人各得多少钱？” （ “钱” 是古代的一种重量单位） 这个问题中， 甲所得为 （ ） A钱 B钱 C钱 D钱 【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a2d，ad，a，a+d，a+2d，由 题意求得 a6d，结合 a2d+ad+a+a+d+a+2d5a5 求得 a1，则答案可求 【解答】解：依题意设甲、乙、丙
12、、丁、戊所得钱分别为 a2d，ad，a，a+d，a+2d， 则由题意可知，a2d+ada+a+d+a+2d，即 a6d， 又 a2d+ad+a+a+d+a+2d5a5，a1， 则 a2da2 故选：B 【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题 7 （5 分）如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一 点 C，测出 AC 的距离为 50m，ACB45，CAB105后，就可以计算出 A、B 两 点的距离为（ ） Am Bm Cm Dm 【分析】依题意在 A，B，C 三点构成的三角形中利用正弦定理，根据 AC，ACB，B 的 值求得 AB 【解答】解：由
13、正弦定理得， ， 故 A，B 两点的距离为 50m， 故选：A 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生对基础知识的综合应用 第 8 页（共 19 页） 8 （5 分）若变量 x、y 满足约束条件，则（x2）2+y2的最小值为（ ） A B C D5 【分析】作出不等式组对应的平面区域，设 z（x2）2+y2，利用距离公式进行求解即 可 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域， 设 z（x2）2+y2，则 z 的几何意义为区域内的点到定点 D（2，0）的距离的平方， 由图象知 CD 的距离最小，此时 z 最小 由得，即 C（0，1） ， 此时 z（x2）2+y24+15， 故选：D
14、【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及两点间的距离公 式，利用数形结合是解决此类问题的基本方法 9 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a123，S612a8，则使 Sn达到最大值的 n 是（ ） A10 B11 C12 D13 【分析】S612a8，所以12（a1+7d） ，又 a123，所以 d2，所以令 ana1+（n1）d252n0，得 n12，令 an0 得，n13，即可得到结论 【解答】解：依题意，S612a8， 所以12（a1+7d） ， 第 9 页（共 19 页） 又 a123，所以 d2， 令 ana1+（n1）d252n0，得 n12，
15、令 an0 得，n13， 即 a120，a130， 所以使 Sn达到最大值的 n 是 12， 故选：C 【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和，等差数列的通项公式，属于基础题 10 （5 分）已知实数 x，y 满足如果目标函数 zxy 的最小值为1，则 实数 m 等于（ ） A7 B5 C4 D3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 zxy 的最小值是1，确定 m 的取值 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由目标函数 zxy 的最小值是1， 得 yxz， 即当 z1 时， 函数为 yx+1， 此时对应的平面区域在直线 yx+1 的下方， 由，解得，即 A（2，3）
16、， 同时 A 也在直线 x+ym 上，即 m2+35， 故选：B 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件求出 m 的值是解决本题的关键，利用 数形结合是解决此类问题的基本方法 第 10 页（共 19 页） 11（5 分） 若 x0， y0， 且+1， x+2ym2+7m 恒成立， 则实数 m 的取值范围是 （ ） A （8，1） B （，8）（1，+） C （，1）（8，+） D （1，8） 【分析】利用“乘 1 法”及其基本不等式可得 x+2y 的最小值，解出不等式即可得出 【解答】解：x0，y0，且+1， x+2y（x+2y） （+）4+4+28，当且仅当 x2y4 时取等号 x+2
17、ym2+7m 恒成立， 8m2+7m， 解得：8m1 则实数 m 的取值范围是（8，1） 故选：A 【点评】本题考查了“乘 1 法”及其基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题 12 （5 分）已知数列an满足 a1+a3+n2+n（nN*） ，设数列bn满足： bn，数列bn的前 n 项和为 Tn，若 Tn（nN*）恒成立，则实数 的 取值范围为（ ） A，+） B （，+） C，+） D （，+） 【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的 和，最后利用函数的单调性求出结果 【解答】解：数列an满足 a1+a3+n2+
18、n， 当 n2 时，a1+a3+（n1）2+（n1） ， 得：， 故：， 数列bn满足：bn， 则：， 第 11 页（共 19 页） ， 由于 Tn（nN*）恒成立， 故：， 整理得：， 当 n1 时， 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）在ABC 中，a4，b5，c6，则 1 【分析】利用余弦定理求出 cosC，cosA，即可得出结论 【解答】解：ABC 中，a4，
19、b5，c6， cosC，cosA sinC，sinA， 1 故答案为：1 【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础 14 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S1，2S2，3S3成等差数列，则等比数列 an的公比为 【分析】先根据等差中项可知 4S2S1+3S3，利用等比数列的求和公式用 a1和 q 分别表 示出 S1，S2和 S3，代入即可求得 q 【解答】解：等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，2S2，3S3成等差数列， ana1qn 1，又 4S 2S1+3S3，即 4（a1+a1q）a1+3（a1+a1q+a1q2） ， 解 第 12 页（共
20、 19 页） 故答案为： 【点评】本题主要考查了等比数列的性质属基础题 15 （5 分）已知数列an满足 a120，an+1an2n，则的最小值为 8 【分析】首先求出函数的关系式，进一步利用对勾函数的性质的应用求出结果 【解答】解：数列an满足 a120，an+1an2n， 则 anan12（n1） ，an1an22（n2） ，a2a121， 所以把上面各式相加得 ana12（1+2+3+n1） ， 整理得， 所以1， 由于函数 f（n）为对勾函数，由于 n 为自然数，故当 n4 时函数取最小值 所以最小值为， 故答案为：8 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，对勾函数的
21、性质的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 16 （5 分）设二次函数 f（x）ax24x+c（xR）的值域为0，+） ，则的最大 值为 【分析】由于二次函数 f（x）ax24x+c 的值域为0，+） ，所以 a0，且0，从 而得到 a，c 的关系等式，再利用 a，c 的关系等式解出 a，把转化为只含一个 变量的代数式利用均值不等式进而求解 【解答】解：因为二次函数 f（x）ax24x+c 的值域为0，+） ， 所以ac4c， 所以1+ 由于 a+12（当且仅当 a6 时取等号） 所以 1+1+ 第 13 页（共 19 页） 故答案为： 【点评】本题主要考查了基本不
22、等式的应用，以及二次函数的性质，同时考查了计算能 力，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，且 cos2A+sin（ A）+10 （1）求角 A 的大小； （2）若ABC 的面积 S3，b3求 sinC 的值 【分析】 （1） 利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 cosA 的值， 结合 A 的范围， 可求 A 的值 （2）利用三角形的面积公式可求 bc 的值，从而解得
23、c 的值，由余弦定理可求 a 的值， 由正弦定理可求 sinC 的值 【解答】解： （1）cos2A+sin（A）+10 cos2AcosA+10，可得：2cos2AcosA0，解得：cosA，或 cosA0， ABC 为锐角三角形， cosA， 可得：A （2）SABCbcsinAbc3，可得：bc12， 又 b3，可得：c4， 在ABC 中， 由余弦定理可知， a2b2+c22bccosA16+9234251213， a， 在ABC 中， 由正弦定理可知：， 可得： sinC 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理，正 弦定理在解三角形中的综合应用，考查了
24、计算能力和转化思想，属于基础题 18 （12 分）设函数 f（x）mx2mx1 （1）若对于一切实数 x，f（x）0 恒成立，求 m 的取值范围； 第 14 页（共 19 页） （2）对于 x1，3，f（x）0 恒成立，求 m 的取值范围 【分析】 （1）利用函数恒成立问题的解决方法列出关于实数 m 的不等式是解决本题的关 键，要注意对二次项次数的讨论，是二次不等式问题要注意二次不等式与二次函数之间 的互相转化； （2）函数在区间上恒成立问题，要转化为函数在给定区间上的最值问题，通过求解函数 的最值，列出关于实数 m 的不等式，达到求解该题的目的 【解答】解： （1）要使 mx2mx10 恒成
25、立， 若 m0，显然10； 若 m0，则有4m0 4m0 （2）当 m0 时，f（x）10 显然恒成立；当 m0 时，该函数的对称轴是 x， f（x）在 x1，3上是单调函数 当 m0 时，由于 f（1）10，要使 f（x）0 在 x1，3上恒成立，只要 f（3） 0 即可 即 9m3m10 得 m，即 0m； 当 m0 时，若0，由（1）知显然成立，此时4m0；若0，则 m4， 由于函数 f（x）0 在 x1，3上恒成立，只要 f（1）0 即可，此时 f（1）10 显然成立，综上可知：m 【点评】本题考查函数恒成立问题的解决思路和方法，考查函数与不等式的综合问题， 考查二次函数与二次不等式的
26、互相转化问题，考查学生的转化与化归的思想和方法、解 不等式的思想，考查学生分析问题解决问题的能力 19 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 Sn+2n2an （1）证明：数列an+2是等比数列并求数列an的通项公式 an； （2） 若数列bn满足 bnlog2（an+2） ， 设 Tn是数列的前 n 项和 求证： 【分析】 （1）由 Sn+2n2an，知 Sn2an2n当 n1 时，S12a12，则 a12，当 n 2 时， Sn12an12 （n1） ， 故 an2an1+2， 由此能够证明数列an+2是等比数列 并 能求出数列an的通项公式 an 第 15 页（共 19
27、页） （2） 由 bnlog2（an+2） n+1， 得， 故， 由此利用错位相减法能够求出 Tn，并证明 【解答】证明： （1）由 Sn+2n2an得 Sn2an2n 当 nN*时，Sn2an2n， 当 n1 时，S12a12，则 a12， 则当 n2，nN*时，Sn12an12（n1） ，得 an2an2an12， 即 an2an1+2， an+22（an1+2） ， an+2是以 a1+2 为首项，以 2 为公比的等比数列 an+242n 1， an2n+12 （2）证明：由 bnlog2（an+2）n+1， 得， 则， ，得 ， 所以 第 16 页（共 19 页） 【点评】本题考查等比
28、数列的证明和求数列an的通项公式 an，解题时要认真 审题，注意构造法和错位相减法的合理运用 20 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 （1）求角 C 的大小， （2）若 c2，求使ABC 面积最大时 a，b 的值 【分析】 （1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用 两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据 sinA 不为 0 求出 cosC 的值，即可确 定出 C 的度数； （2）利用余弦定理列出关系式，将 c 与 cosC 的值代入并利用基本不等式求出 ab 的最大 值，进而确定出三角形 ABC 面积的最大值，以及此
29、时 a 与 b 的值即可 【解答】解： （1）A+CB，即 cos（A+C）cosB， 由正弦定理化简已知等式得：， 整理得：2sinAcosC+sinBcosCsinCcosB，即2sinAcosCsinBcosC+cosBsinCsin （B+C）sinA， sinA0， cosC， C 为三角形内角， C； （）c2，cosC， 由余弦定理得：c2a2+b22abcosC，即 4a2+b2+ab2ab+ab3ab， ab， （当且仅当 ab 时成立） ， SabsinCab， 当 ab 时，ABC 面积最大为，此时 ab， 则当 ab时，ABC 的面积最大为 【点评】此题考查了正弦、余弦
30、定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟 练掌握定理及公式是解本题的关键 第 17 页（共 19 页） 21 （12 分）某单位有员工 1000 名，平均每人每年创造利润 10 万元为了增加企业竞争力， 决定优化产业结构，调整出 x（xN*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年 创造利润为万元（a0） ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x% （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，则最 多调整出多少名员工从事第三产业？ （2） 若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润条件下， 若要求调整出的员
31、工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 a 的取 值范围是多少？ 【分析】 （1）根据题意可列出 10（1000x） （1+0.2x%）101000，进而解不等式求 得 x 的范围，确定问题的答案 （2） 根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的 年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求 a 的范围 【解答】解： （1）由题意，得 10（1000x） （1+0.2x%）101000， 即 x2500x0，又 x0，所以 0x500 即最多调整 500 名员工从事第三产业 （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的
32、员工的年总利润为万元， 则， 所以， 所以，即恒成立 因为， 当且仅当，即 x500 时等号成立，所以 a5， 又 a0，所以 0a5所以 a 的取值范围为（0，5 【点评】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用考查了学生综合运用所学 知识，解决实际问题的能力 第 18 页（共 19 页） 22 （12 分）已知公差不为 0 的等差数列an的首项为 1，前 n 项和为 Sn，且数列是等 差数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设 lgbn（nN*） ，问：b1，bk，bm（k，m 均为正整数，且 1km）能否成 等比数列？若能，求出所有的 k 和 m 的值；若不能，请说明理由 【分析
33、】 （1）根据等差数列的定义与通项公式、前 n 项和公式，结合题意求出通项 an； （2）假设存在正整数组 k 和 m，使 b1、bk，bm成等比数列，得出 lgb1，lgbklg，bm成等 差数列，由此求出满足条件的正整数 k 和 m 的值 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d（d0） ， 因为 a11，所以 a21+d，a31+2d，从而 S22+d， S33+3d，因为数列是等差数列， 所以 2+，即1+， 化简得 d2d0，而 d0，所以 d1； 故 ana1+（n1）dn； （2）假设存在正整数组 k 和 m，使 b1、bk、bm成等比数列， 则 lgb1，lgbk，lgbm成等差数列， 于是+， 所以 m3m（）（*） ； 易知 k2，m3 满足（*） ； 因为 k3，且 kN*时，0； 数列（k3，kN）为递减数列， 于是0， 所以，当 k3 时，不存在正整数 k 和 m 满足（*） ； 综上，当且仅当 k2，m3 时，b1，bk，bm成等比数列 第 19 页（共 19 页） 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的定义、通项公式与前 n 项和公式的应用问题， 是综合性题目