1、已知函数 f（x）xlnx+x21，则 f（1）为（ ） A0 B1 C2 D3 7 （5 分）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏它用九个圆环相连成串，以解 开为胜据明代杨慎丹铅总录记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，又合而 为一” 在某种玩法中，用 an表示解下 n（n9，nN*）个圆环所需的移动最少次数， an满足 a11， 且 an， 则解下 4 个圆环所需的最少移动次数为 （ ） 第 2 页（共 19 页） A7 B10 C12 D22 8 （5 分）已知实数 x，y 满足，则 z2x+y 的最小值为（ ） A6 B7 C8 D 9 （5 分） “方程表示的曲线为椭圆”是“
2、1m7”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10 （5 分）若函数 f（x）的导函数 f（x）的图象如图所示，则函数 yxf（x）的图象 可能是（ ） A B C D 11 （5 分）若an是等差数列，首项 a10a2018+a20190，a2018a20190，则使前 n 项和 Sn0 成立的最大正整数 n 是（ ） A2018 B2019 C4036 D4037 12 （5 分）设函数 f（x）x33x2+2x，若 x1，x2（x1x2）是函数 g（x）f（x）+x 的两个极值点，现给出如下结论： 第 3 页（共 19 页） 若 02，则 f（
3、x1）f（x2） ； 若4x0，则 f（x1）f（x2） ； 若 4，则 f（x1）f（x2） 其中正确的结论个数为（ ） A0 B1 C2 D3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）401 是等差数列5，9，13，的第 项 14 （5 分）某市在进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测 量得到这个三角形区域的三条边分别为 700m，300m，800m，这个区域的面积是 m2 15 （5 分）已知 F1、F2是椭圆的两焦点，过 F2且垂直于 y 轴的直 线与椭圆交于 A、B 两点，若ABF
4、1为直角三角形，则该椭圆离心率的值为 16 （5 分） 已知 a， b 为正实数， 直线 yxa 与曲线相切于点 （x0， y0） ，则的最小值是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题共小题共 70 分分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17 （10 分）已知an是首项为 2 的等比数列，各项均为正数，且 a2+a312 （）求数列an的通项公式； （）设，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分） 在三角形 ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 已知 （ac） （sinA+sinC） b（si
5、nAsinB） （）求角 C 的大小； （）已知，求ABC 面积的最大值 19 （ 12 分 ）已知命题 p：方程有 两个不相 等的实数 根；命 题 （）若p 为假命题，求实数 m 的取值范围； （）若 pq 为真命题，pq 为假命题，求实数 m 的取值范围 第 4 页（共 19 页） 20 （12 分） 郑州市城市生活垃圾分类管理办法已经政府常务会议审议通过，自 2019 年 12 月 1 日起施行垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置 的一种科学管理方法所谓垃圾其实都是资源，当你放错了位置时它才是垃圾某企业 在市科研部门的支持下进行研究，把厨余垃圾加工处理为一种可销售
6、的产品已知该企 业每周的加工处理量最少为 75 吨最，多为 100 吨，周加工处理成本 y（元）与周加工处 理量 x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理一吨厨 余垃圾得到的产品售价为 16 元 （）该企业每周加工处理量为多少吨时，才能使每吨产品的平均加工处理成本最低？ （）该企业每周能否获利？如果获利，求出利润的最大值；如果不获利，则需要市政 府至少补贴多少元才能使该企业不亏损？ 21 （12 分）设椭圆（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F2的直线 交椭圆于 A，B 两点，若椭圆 C 的离心率为，ABF1的周长为 8 （）求椭圆 C 的方程； （）已知直线 l：ykx+
7、2 与椭圆 C 交于 M、N 两点，是否存在实数 k 使得以 MN 为直 径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 22 （12 分）已知函数 f（x） （）求 f（x）的单调区间； （）当 a0 时，若存在 x01，e，使得 f（x0）g（x0）成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科）学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题；本大题共一、选择题；本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小
8、题所给出的四个选项中，在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）关于 x 的不等式 x24x50 的解集是（ ） Ax|x5 或 x1 Bx|x5 或 x1 Cx|1x5 Dx|1x5 【分析】根据解一元二次不等式的解法求出不等式的解集即可 【解答】解：x24x50， （x5） （x+1）0， 解得：x5 或 x1， 故不等式的解集是x|x5 或 x1， 故选：B 【点评】本题考查了解一元二次不等式，考查转化思想，是一道基础题 2 （5 分）命题“x（2，0） ，x2+2x0”的否定是（ ） Ax0（2，0） ，x02+2x00 Bx0（2
9、，0） ，x02+2x00 Cx0（2，0） ，x02+2x00 Dx0（2，0） ，x02+2x00 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“x（2，0） ，x2+2x0” 的否定是：x0（2，0） ，x02+2x00 故选：D 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查 3 （5 分）在ABC 中，a6，b10，sinA，则 sinB（ ） A B C D1 【分析】在ABC 中，利用正弦定理即可求出结果 【解答】解：在ABC 中，a6，b10，sinA， 由正弦定理得：， 第 6 页（共 19
10、页） sinB， 故选：B 【点评】本题主要考查了正弦定理，是基础题 4 （5 分）焦点为 F1（0，2） ，F2（0，2） ，长轴长为 10 的椭圆的标准方程为（ ） A B C D 【分析】根据题意，分析椭圆的焦点位置以及 c 的值，由长轴长可得 a 的值，计算可得 b 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，要求椭圆的焦点为 F1（0，2） ，F2（0，2） ， 则椭圆的焦点在 y 轴上且 c2； 又由椭圆的长轴长为 10，即 2a10，则 a5， 则 b2a2c221， 故要求椭圆的方程为+1； 故选：D 【点评】本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆的几何性质，属于基础题 5 （5 分）已
11、知抛物线 y24x 上一点 M 到焦点的距离为 3，则点 M 到 y 轴的距离为（ ） A B1 C2 D4 【分析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距 离相等，进而利用点到直线的距离求得 x 的值，代入抛物线方程求得 y 值，即可得到所 求点的坐标 【解答】解：抛物线方程为 y24x 焦点为 F（1，0） ，准线为 l：x1， 设所求点坐标为 M（x，y） 作 MQl 于 Q 根据抛物线定义可知 M 到准线的距离等于 M、Q 的距离， 即 x+13，解之得 x2， 第 7 页（共 19 页） 代入抛物线方程求得 y4， 故点 M 坐标为： （2，y） 即点
12、M 到 y 轴的距离为 2 故选：C 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛 物线的定义来解决 6 （5 分）已知函数 f（x）xlnx+x21，则 f（1）为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】对函数 f（x）求导，最后代入 x1 就可以 【解答】解：f（x）xlnx+x21， f（x）lnx+1+2x， f（1）ln1+1+213 故选：D 【点评】本题目是在考函数的求导运算，比较简单，是基础性题目 7 （5 分）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏它用九个圆环相连成串，以解 开为胜据明代杨慎丹铅总录记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，又合
13、而 为一” 在某种玩法中，用 an表示解下 n（n9，nN*）个圆环所需的移动最少次数， an满足 a11， 且 an， 则解下 4 个圆环所需的最少移动次数为 （ ） 第 8 页（共 19 页） A7 B10 C12 D22 【分析】根据已知规律和递归式，推导出 a4的值即可 【解答】解：根据题意， a22a111； a32a2+24； a42a317； 即解下 4 个圆环最少移动 7 次； 故选：A 【点评】本题比较新颖，考查学生对于递归式的掌握和理解，属基础题 8 （5 分）已知实数 x，y 满足，则 z2x+y 的最小值为（ ） A6 B7 C8 D 【分析】作出不等式组对应的平面区域
14、，利用 z 的几何意义即可得到结论 【解答】解：由 z2x+y，得 y2x+z 作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象可知当直线 y2x+z 过点 A 时，直线 y2x+z 的在 y 轴的截距最小，此时 z 最小， 由得 A（2，2） ， 此时 z6， 故选：A 第 9 页（共 19 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 9 （5 分） “方程表示的曲线为椭圆”是“1m7”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】求出“方程表示的曲线为椭圆”等价结论，即可求解 【解答】解： “方程表示的曲线为椭圆”
15、等价于1m7 且 m4； “方程表示的曲线为椭圆”是“1m7”的充分不必要条件； 故选：A 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的简单性质，是基础题 10 （5 分）若函数 f（x）的导函数 f（x）的图象如图所示，则函数 yxf（x）的图象 可能是（ ） 第 10 页（共 19 页） A B C D 【分析】根据 f（x）的图象得到当 x2 时，f（x）0，x2 时，f（x）0， 然后讨论 x 的范围得到函数 yxf（x）取值是否对应进行排除即可 【解答】解：由 f（x）的图象知，当 x2 时，f（x）0，x2 时，f（x） 0， 即当 x0 时，yxf（x）0，排除 B，C
16、， 当 x2 时，yxf（x）0，排除 A， 故选：D 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数符号的一致性进行排除是解决 本题的关键 11 （5 分）若an是等差数列，首项 a10a2018+a20190，a2018a20190，则使前 n 项和 Sn0 成立的最大正整数 n 是（ ） A2018 B2019 C4036 D4037 【分析】根据等差数列的前 n 项和，变形后，根据等差中项的性质，结合 a2018，a2019的 情况即可求得 【解答】解：an是等差数列，首项 a10a2018+a20190，a2018a20190， 所以an是递减的等差数列，且 a20180，a20
17、190， 当 m+np+q 时（m，n，p，qN*） ，am+anap+aq得， a2018+a2019a1+a40360，2a2019a1+a40370， S40360，S40370， 第 11 页（共 19 页） 所以使前 n 项和 Sn0 成立的最大正整数 n 是 4036 故选：C 【点评】本题考查了等差数列的性质，等差数列的前 n 项和公式，属于基础题 12 （5 分）设函数 f（x）x33x2+2x，若 x1，x2（x1x2）是函数 g（x）f（x）+x 的两个极值点，现给出如下结论： 若 02，则 f（x1）f（x2） ； 若4x0，则 f（x1）f（x2） ； 若 4，则 f（
18、x1）f（x2） 其中正确的结论个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】先求导，可得 f（x）有两解 x1，x2， （x1x2） ，分别画出 yf（x） ， yf（x）与 y的图象如图所示，结合图象即可判断 【解答】解：令 g（x）f（x）+0，即 f（x）， 则 f（x） 有两解 x1，x2， （x1x2） ， 因为 f（x）3x26x+2， 当 02 时，则10，分别画出 yf（x） ，yf（x）与 y的 图象如图所示： 此时 f（x1）f（x2） ，故错误； 若40 时，则 02，分别画出 yf（x） ，yf（x）与 y的 图象如图所示： 第 12 页（共 19 页） 此时 f（x
19、1）f（x2） ，故错误； 若 4 时，则2，则分别画出 yf（x） ，yf（x）与 y的图象 如图所示： 此时 f（x1）f（x2） ，故正确， 故选：B 【点评】本题考查了导数和函数的极值的关系，考查了转化能力和数形结合的能力，属 于难题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）401 是等差数列5，9，13，的第 100 项 【分析】求出首项 a15，公差 d（9）（5）4，从而 an5+（n1） （4）4n1，由此能求出结果 【解答】解：等差数列5，9，13中， 首项 a15，公差 d（9）（5）4， an
20、5+（n1）（4）4n1， an4n1401，n100 故401 是等差数列5，9，13的第 100 项 故答案为：100 第 13 页（共 19 页） 【点评】本题考查等差数列的某一项的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差 数列的性质的合理运用 14 （5 分）某市在进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测 量得到这个三角形区域的三条边分别为 700m，300m，800m，这个区域的面积是 m2 【分析】利用余弦定理可得其中三角形一个内角，再利用三角形面积计算公式即可得出 【解答】解：设 800cm 所对的角为 ，则 cos， sin 这个区域的面积 S30070
21、060000m2 故答案为：60000 【点评】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 15 （5 分）已知 F1、F2是椭圆的两焦点，过 F2且垂直于 y 轴的直 线与椭圆交于 A、B 两点，若ABF1为直角三角形，则该椭圆离心率的值为 【分析】把 xc 代入椭圆方程求得 A，B 点的纵坐标，由2c，即可求得 e2+2e1 0，即可求得椭圆的离心率 【解答】解：F1、F2是椭圆， 过 F2且垂直于 y 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点，若ABF1为直角三角形， 2c，即 a2c22ac， 由 e，化为 e2+2e10，由 0e1， 解得 e1 故答案为
22、： 【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，椭圆离心率的求法，考查计算能力，属于基础 题 第 14 页（共 19 页） 16 （5 分） 已知 a， b 为正实数， 直线 yxa 与曲线相切于点 （x0， y0） ，则的最小值是 4 【分析】由题意列式求得 a+b1，然后结合 1 的代换利用基本不等式求最值 【解答】解：由题意，得 a+b1，又 a，b 为正实数， （） （a+b）2+ 当且仅当 ab时，上式等号成立 的最小值是 4 故答案为：4 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求 最值，是中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题共小题共
23、 70 分分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17 （10 分）已知an是首项为 2 的等比数列，各项均为正数，且 a2+a312 （）求数列an的通项公式； （）设，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （）设an的公比为 q，q0，运用等比数列的通项公式解方程可得 q，进而 得到所求通项公式； （）求得 bn，运用数列的裂项相消求和，可得所求和 【解答】解： （）设an的公比为 q，由 a2+a312， 得 q+q26，q3 或 q2 又an的各项均为正数，q0，q2， （ ）， 【点评】本题考查等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，属
24、于中档题 18 （12 分） 在三角形 ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 已知 （ac） （sinA+sinC） 第 15 页（共 19 页） b（sinAsinB） （）求角 C 的大小； （）已知，求ABC 面积的最大值 【分析】 （）由正弦定理化简已知等式可得：a2+b2c2ab，利用余弦定理可求 cosC 的值，结合 C 的范围可求 C 的值 （）由已知利用余弦定理，基本不等式可求 ab 的最大值，进而根据三角形的面积公式 即可求解 【解答】解： （）由（ac） （sinA+sinC）b（sinAsinB） ， 结合正弦定理得： （ac） （a+c）b
25、（ab） ， 可得：a2+b2c2ab， 所以 又 （）由余弦定理得， 又， 可得：aba2+b2122ab12 所以：ab12，当且仅当 ab 时取等号， 所以：ABC 的面积，即ABC 面积的最大值为 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三 角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 19 （ 12 分 ）已知命题 p：方程有 两个不相 等的实数 根；命 题 （）若p 为假命题，求实数 m 的取值范围； （）若 pq 为真命题，pq 为假命题，求实数 m 的取值范围 【分析】 （）根据复合命题真假关系，求出命题为真命题的等价条件即可 （）根据复合命题真假
26、关系进行转化求解即可 【解答】解： （）若p 为假命题，则 p 为真命题，则应有84m0，解得 m2 （）若 q 为真命题，则有 m10，即 m1， 因为 pq 为真命题，pq 为假命题， 第 16 页（共 19 页） 则 p，q 应一真一假 当 p 真 q 假时，有，得 m1； 当 p 假 q 真时，有，得 m2 综上，m 的取值范围是m|m2 或 m1 【点评】本题主要考查复合命题真假关系，结合复合命题之间的关系进行转化是解决本 题的关键比较基础 20 （12 分） 郑州市城市生活垃圾分类管理办法已经政府常务会议审议通过，自 2019 年 12 月 1 日起施行垃圾分类是对垃圾收集处置传统
27、方式的改革，是对垃圾进行有效处置 的一种科学管理方法所谓垃圾其实都是资源，当你放错了位置时它才是垃圾某企业 在市科研部门的支持下进行研究，把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品已知该企 业每周的加工处理量最少为 75 吨最，多为 100 吨，周加工处理成本 y（元）与周加工处 理量 x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理一吨厨 余垃圾得到的产品售价为 16 元 （）该企业每周加工处理量为多少吨时，才能使每吨产品的平均加工处理成本最低？ （）该企业每周能否获利？如果获利，求出利润的最大值；如果不获利，则需要市政 府至少补贴多少元才能使该企业不亏损？ 【分析】 （）利用基本不等式即可求出
28、结果； （）设该单位每月获利为 S，则，利用二次函数的性质即 可求出 S 的最大值，从而得到需要市政府至少补贴多少元才能使该企业不亏损 【解答】解： （）由题意可知， 每吨平均加工成本为： 当且仅当即 x90 时，才能使每吨的平均加工成本最低，最低成本为 30 元； （）设该单位每月获利为 S，则， x75，100，当 x75 时，Smax1125， 故该企业不获利，需要市政府每周至少补贴 1125 元，才能不亏损 【点评】本题主要考查了二次函数的实际运用，以及基本不等式，是中档题 第 17 页（共 19 页） 21 （12 分）设椭圆（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F2的直线
29、交椭圆于 A，B 两点，若椭圆 C 的离心率为，ABF1的周长为 8 （）求椭圆 C 的方程； （）已知直线 l：ykx+2 与椭圆 C 交于 M、N 两点，是否存在实数 k 使得以 MN 为直 径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 【分析】本题第（1）题由题意可得，解出 a、c 值，进一步计算可得椭圆 C 的标 准方程； 第 （2） 题可以先假设存在这样的实数 k， 使得以 MN 为直径的圆恰好经过原点 联 立直线与椭圆方程，消去 y，整理得一元二次方程，则0，通过计算初步判断 k 的取 值范围，再根据韦达定理有根据以 MN 为直径的 圆过原点，可知，即x1x
30、2+y1y20再计算 代入 x1x2+y1y20 进行计算看 k 值是否存在 【解答】解： （1）由题意，可知 ，解得 a24，c21，b2a2c2413 椭圆 C 的标准方程为 （2）由题意，假设存在这样的实数 k，使得以 MN 为直径的圆恰好经过原点 设 M（x1，y1） 、N（x2，y2） ， 联立 消去 y，整理得（3+4k2）x2+16kx+40 则（16k）216（3+4k2）48（4k21）0，解得 k，或 k 第 18 页（共 19 页） 又以 MN 为直径的圆过原点， ，即 x1x2+y1y20 又 ， 解得 k 故存在 k，使得以 MN 为直径的圆恰好经过坐标原点 【点评】
31、本题主要考查椭圆的基础知识和直线与椭圆综合问题，考查了方程思想和转化 思想，逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题 22 （12 分）已知函数 f（x） （）求 f（x）的单调区间； （）当 a0 时，若存在 x01，e，使得 f（x0）g（x0）成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （I）先求 f（x）的定义域及导数，然后结合导数与单调性的关系即可求解； （2）由题意可得在1，e上的最小值小于 0，对函数求导，然后结 合导数与单调性的关系，结合 a 的范围求解 h（x）的最小值，可求 【解答】解： （I）f（x）的定义域为， 当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）单调递减； 当 a
32、0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）单调递增； （2）在1，e上存在一点 x0，即 f（x0）g（x0）成立， 即函数在1，e上的最小值小于 0， 因为， 当 1+ae 即 ae1 时，h（x）在1，e上单调递减， h（x）在1，e上的最小值为 h（e） ， 由 第 19 页（共 19 页） 得， ， ， 当 1+a1，即 a0 时，h（x）在1，e上单调递增， h（x）的最小值为 h（1） ，h（1）1+1+a0 得 a2， 当 11+ae，即 0ae1 时，的 h（x）的最小值为 h（1+a） ， 0h（a+1）1， 0aln（1+a）a， 故 h（1+a）2+aaln（1+a）2 此时 h（1+a）0 不成立 综上讨论可得，所求 a 的范围是 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及最值，要注意题目中最值与存在 性问题的转化关系与恒成立与最值转化关系的不同