1、已知 a，bR，定义区间a，b的长度为 ba，若关于 x 的不等式 mx2+2x+30 的解集长度为 4，则实数 m 的取值为（ ） A B C1 D1 4 （5 分）已知数列an的通项公式为 ann2n（R） ，若an为单调递增数列，则实数 的取值范围是（ ） AA（，3） B （，2） C （，1） D （，0） 5 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，则（ ） AS4+S8S12 BS82S4S12 CS4+S8S12S82 DS42+S82S4（S8+S12） 6 （5 分）ABC 的三边 a，b，c 的对角分别为 A，B，C，若 c5，b3，cosB， 则ABC 的面积为（
2、 ） A B C D10 7 （5 分）下列四个结论：若 ab0，且 c0，则； lg9lg111；若 1x+y2，2xy4，则 4x2y 的取值范围是6，15其中正 确的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 第 2 页（共 19 页） 8 （5 分）若实数 x，y 满足，则（x3）2+y2的最小值为（ ） A B C4 D13 9 （5 分）在平面四边形 ABCD 中，已知 CD1，ADB75，BDC45，ACD 30，ACB60，则 AB 的长为（ ） A1 B C D 10 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a7+a1120，公差 d 为整数，对任意 nN* 都有 SnS
3、5，则使 Sn0 成立的最小正整数 n 等于（ ） A5 B6 C10 D11 11（5 分） 关于 x 的不等式 x2ax+a+30 在区间0， 2上有解， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A （，37，+） B （，26，+） C0，4 D （，04，+） 12 （5 分）ABC 的三边 a，b，c 的对角分别为 A，B，C，若 B 是 A 与 C 的等差中项，b ，则 a+2c 的最大值为（ ） A4 B5 C3 D2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）在已知ABC 中，A，B，C 的对边分别为
4、 a，b，若 sinA+cosA，则ABC 的形状是 14 （5 分）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产 品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元 15 （5 分）将正整数按如图规律排列： 第 3 页（共 19 页） 第 i 行第 j 列的数字记为
5、aij，若 aij2018，则 i+j 16 （5 分）已知正数 x，y 满足 x+y+2xy40，则 x+y 的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤。步骤。 17 （10 分）解关于 x 的不等式：ax2（a2+1）x+a0， （1a1） 18 （12 分）在ABC 中，D 为 AC 上一点，且 DC2AD，AB，AD1，ABD， A 为锐角 （1）求ABC 面积； （2）求 BC 的长 19 （12 分）设数列an的各项为正数，前 n 项和为 Sn，
6、若对于任意的正整数 n 都有 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnan，求数列bn的前 n 项和 Tn 20 （12 分）某家用轿车的购车费 9.5 万元，保险费、保养费及换部分零件的费用合计每年 平均 4000 元，每年行车里程按 1 万公里，前 5 年性能稳定，每年的油费 5000 元，由于 磨损，从第 6 年开始，每年的油费以 500 元的速度增加，按这种标准，这种车开多少年 报废比较合算？ 21 （12 分）ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，D 为 AB 的中点，AB2， CD （1）求角 C 的最大值； （2）求 a+b 的取值范围 22 （12 分）数
7、列an的首项 a1，且，anan+12an+1+an0 第 4 页（共 19 页） （1）求证：数列为等比数列，并求an的通项公式； （2）设 bn2n（2an+1an） ，Tn为数列bn的前 n 项和，求证：Tn 第 5 页（共 19 页） 2018-2019 学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。合题目要求的。 1 （5
8、分）ABC 三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足（b+c） （bc）a（b a） ，则内角 C 等于（ ） A B C D 【分析】将已知等式变形后，用余弦定理可得 cosC 和 C 【解答】解：由（b+c） （bc）a（ba）得：a2+b2c2ab，即， cosC，C， 故选：B 【点评】本题考查了余弦定理属基础题 2 （5 分）ABC 的三边 a，b，c 的对角分别为 A，B，C，若 A：B：C1：1：4，则 等于（ ） A B C D 【分析】通过三角形的角的比求出三个角的大小，利用正弦定理求出即可 【解答】解：ABC 中，A+B+C，A：B：C1：1：4， AB，C，
9、 由正弦定理可得： 故选：C 【点评】本题考查正弦定理以及三角形的内角和的应用，属于基本知识的考查 3 （5 分）已知 a，bR，定义区间a，b的长度为 ba，若关于 x 的不等式 mx2+2x+30 的解集长度为 4，则实数 m 的取值为（ ） A B C1 D1 第 6 页（共 19 页） 【分析】根据韦达定理以及解集长度为 4 得到关于 m 的方程，解出即可 【解答】解：若关于 x 的不等式 mx2+2x+30 的解集长度为 4， 则 m0， 设方程 mx2+2x+30 的解是 x1，x2， 则 x1+x2，x1x2， |x1x2|4， 4， 16， 解得：m（舍）或 m1， 故选：C
10、【点评】本题考查了不等式问题，考查韦达定理以及转化思想，是一道常规题 4 （5 分）已知数列an的通项公式为 ann2n（R） ，若an为单调递增数列，则实数 的取值范围是（ ） AA（，3） B （，2） C （，1） D （，0） 【分析】由已知条件推导出 an+1an2n+10 恒成立，由此能求出实数 的取值范 围 【解答】解：数列an的通项公式为 ann2n（R） 数列an是递增数列， an+1an （n+1）2（n+1）（n2n） 2n+10 恒成立 2n+1 的最小值是 21+130 3 即实数 的取值范围是（，3） 故选：A 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时
11、要认真审题，注意单调性 的灵活运用 5 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，则（ ） 第 7 页（共 19 页） AS4+S8S12 BS82S4S12 CS4+S8S12S82 DS42+S82S4（S8+S12） 【分析】根据等比数列的求和公式，即可利用排除法判断即可 【解答】解：等比数列an的前 n 项和为 Sn，设首相为 a，公比为 q， 当 q1 时，S44a，S88a，S1212a，则 A 正确，B 不正确，C 不正确，D 正确， 当 q1 时，S4（1q4） ，S8（1q8） ，S12（1q12） ， 若 S4+S8（1q8+1q4）S12（1q12） ，解得 q1，故
12、 A 不一定成立， 故选：D 【点评】本题考查了等比数列的求和公式，考查了运算能力，属于基础题 6 （5 分）ABC 的三边 a，b，c 的对角分别为 A，B，C，若 c5，b3，cosB， 则ABC 的面积为（ ） A B C D10 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinB，利用余弦定理可求 a 的值，根 据三角形面积公式即可计算得解 【解答】解：c5，b3，cosB，可得：sinB， 由余弦定理 b2a2+c22accosB，可得：18a2+252a5，解得：a， SABCacsinB 故选：B 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三
13、角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 7 （5 分）下列四个结论：若 ab0，且 c0，则； lg9lg111；若 1x+y2，2xy4，则 4x2y 的取值范围是6，15其中正 确的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】对每个结论逐个分析，可知正确，错误故选 C 【解答】解：对于，ab0，c0，0，即，所以正 第 8 页（共 19 页） 确； 对于，17+217+27042，所以正确； 对于， lg9+lg112， lg9lg11 （） 2 （ ） 2 （ ） 21，所以正确； 对于，令 x+ya，xyb，则 x，y， 4x2y2a+2ba+ba+3b， 1a2，2b4， 7a+
14、3b14，即 4x2y 的取值范围是7，14，所以不正确 故选：C 【点评】本题考查了不等式的基本性质属基础题 8 （5 分）若实数 x，y 满足，则（x3）2+y2的最小值为（ ） A B C4 D13 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可得到结论 【解答】解：设 z（x3）2+y2，则 z 的几何意义为点（x，y）得定点 D（3，0）的距 离的平方， 出不等式组对应的平面区域如图： 由图象可知 BD 的距离最大， 点 D 到直线 3xy30 的距离最小， 此时 d， 则 zd2， 故选：B 第 9 页（共 19 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z
15、的几何意义以及点到直线的距离公式是 解决本题的关键，注意使用数形结合 9 （5 分）在平面四边形 ABCD 中，已知 CD1，ADB75，BDC45，ACD 30，ACB60，则 AB 的长为（ ） A1 B C D 【分析】首先利用三角形的内角和定理求出BCD 为直角三角形，将进一步求出 AD BC1，进一步利用余弦定理求出结果 【解答】解：如图所示： 在平面四边形 ABCD 中，已知 CD1，ADB75，BDC45，ACD30， ACB60， 则：BCD 为直角三角形， 故：CDBC1， 利用勾股定理得：BD 在ADC 中，由于ADB75，BDC45，ACD30， 解得：DAC30 故：A
16、DDC1 在ABD 中， 第 10 页（共 19 页） 利用余弦定理得：AB2AD2+BD22ADBDcosADB， 1+22， 34， 故：AB 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三角形内角和定理的应用，余弦定理的应用和三角函数 值得应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 10 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a7+a1120，公差 d 为整数，对任意 nN* 都有 SnS5，则使 Sn0 成立的最小正整数 n 等于（ ） A5 B6 C10 D11 【分析】根据题意，由等差数列的通项公式可得若 a7+a1120，则有 2a1+16d20，即 a1108d
17、，又由 SnS5，分析可得 a5a1+4d104d0，a6a1+5d103d0， 解可得 d 的值，进而可得首项 a1的值，由等差数列的通项公式可得 ana1+（n1）d 3n17，由等差数列的前 n 项和公式分析可得答案 【解答】解：根据题意，等差数列an中，a7+a1120， 则 2a1+16d20，即 a1108d， 对任意 nN*都有 SnS5，则有 a5a1+4d104d0，a6a1+5d103d0， 解可得：d， 又由公差 d 为整数，则 d3，则 a1108d14， 则 ana1+（n1）d3n17， 若 Sn0，则有 Snn0， 解可得 n或 n0， 又由 nN*，则 n11；
18、 即使 Sn0 成立的最小正整数 n 的值为 11； 故选：D 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和公式的应用，关键是求出公差 d 的值，属于基础 题 11（5 分） 关于 x 的不等式 x2ax+a+30 在区间0， 2上有解， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A （，37，+） B （，26，+） 第 11 页（共 19 页） C0，4 D （，04，+） 【分析】 根据题意，原问题可以转化为函数 f（x）x2ax+a+3 在0，2上与 x 轴有交点， 即在0，2上存在零点；分有 1 个零点与 2 个零点 2 种情况讨论 a 的取值范围，综合即可 得答案 【解答】解：根据题意，x2ax
19、+a+30 在区间0，2上有解，则函数 f（x）x2ax+a+3 在0，2上与 x 轴有交点，即在0，2上存在零点； 若函数 f（x）x2ax+a+3 在0，2上有 1 个零点，则有 f（0）f（2）0， 即（a+3） （7a）0， 解可得：a3 或 a7； 若函数 f（x）x2ax+a+3 在0，2上有 2 个零点，则有，此时无 解； 综合可得：a3 或 a7； 即实数 a 的取值范围是（，37，+） ； 故选：A 【点评】本题考查不等式的解法与应用问题，注意将原问题转化为函数的零点问题，属 于基础题 12 （5 分）ABC 的三边 a，b，c 的对角分别为 A，B，C，若 B 是 A 与
20、C 的等差中项，b ，则 a+2c 的最大值为（ ） A4 B5 C3 D2 【分析】先求得 B，由正弦定理得出 a2sinA，c2sinC，然后统一角度转化为三角函数 求最值问题即可 【解答】解：2BA+C，A+B+C，得 B，b， 由正弦定理得：2， a2sinA，c2sinC， 则 a+2c2sinA+4sinC2sinA+4sin （ A） 2 （2sinA+cosA） 2 sin （A+） ， 第 12 页（共 19 页） （其中 tan，（0，） ， 当 A 时，a+2c 的最大值是 2 故选：D 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，考查正弦定理的边化角，三角化简求最值，对 定理的
21、灵活运用为解题关键，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）在已知ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，若 sinA+cosA，则ABC 的形状是 直角三角形 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得 sinCsinAsinA+sinAcosC，由于 sinA0，可得 sin2C0，结合范围 2C（0，2） ，可求 C即可得解ABC 的形状 【解答】解：sinA+cosA，可得：csinA+ccosAa+b， 由正弦定理可得：sinCsinA+sinCco
22、sAsinA+sinB， sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC， 可得：sinCsinA+sinCcosAsinA+sinAcosC+cosAsinC， sinCsinAsinA+sinAcosC， sinA0， sinC1+cosC，即：sinCcosC1，两边平方可得：1sin2C1，可得：sin2C0， C（0，） ，2C（0，2） ， 2C，可得 C，即ABC 的形状是直角三角形 故答案为：直角三角形 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理在解三 角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 14 （5 分）某高科技企业生产产品 A 和
23、产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产 品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 216000 元 第 13 页（共 19 页） 【分析】设 A、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目 标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最
24、大值即可； 【解答】解： （1）设 A、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，获利为 z 元 由题意，得，z2100x+900y 不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100） ， 目标函数 z2100x+900y经过 A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100 60+900100216000 元 故答案为：216000 【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运 用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解 题的关键 15 （5 分）将正整数按如图规律排列： 第 14 页（共 19 页） 第 i 行
25、第 j 列的数字记为 aij，若 aij2018，则 i+j 66 【分析】先找到数的分布规律，求出第 n1 行结束的时候一共出现的数的个数，即可求 得结论 【解答】解：由排列的规律可得，第 n 行结束的时候共排了 1+2+3+nn（n+1）个 数， 前 63 行共有63642016 个数， 故若 aij2018，则 i64，j2， 故 i+j66， 故答案为：66 【点评】归纳推理的一般步骤是： （1）通过观察个别情况发现某些相同性质； （2）从已 知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） 16 （5 分）已知正数 x，y 满足 x+y+2xy40，则 x+y 的最小值为 2 【分
26、析】利用 x+y2进行代换、得出关于 x+y 的不等式，通过解不等式可确定最值 【解答】解：x+y2， 0x+y+2xy4x+y+2（）24令 tx+y， 整理可得，t2+2t80， （t2） （t+4）0 t0 t2，即 x+y2， 当且仅当 xy1 时，取得最小值 2 故答案为：2 【点评】本题考查基本不等式的应用，考查了转化、换元的思想，不等式解法 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤。步骤。 17 （10 分）解关于 x 的不等式：ax2（a2+1）x+a
27、0， （1a1） 【分析】根据题意，分 a0 与 a02 种情况讨论，分别求出不等式的解集，综合即可得 答案 【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论： ，当 a0 时，不等式为x0，即 x0， 第 15 页（共 19 页） 不等式的解集为x|x0； ，当 a0 时，若 ax2（a2+1）x+a（xa） （ax1）0， 该方程有 2 个根，x1，x2a， 当 0a1 时，a，则不等式的解集为x|xa 或 x， 当1a0 时，a，则不等式的解集为x|xa， 综合可得：当 0a1 时，不等式的解集为x|xa 或 x， 当 a0 时，不等式的解集为x|x0； 当1a0 时，不等式的解集为x|xa，
28、【点评】本题考查一元二次不等式的解法，涉及参数讨论，注意结合二次函数的性质进 行分析 18 （12 分）在ABC 中，D 为 AC 上一点，且 DC2AD，AB，AD1，ABD， A 为锐角 （1）求ABC 面积； （2）求 BC 的长 【分析】 （1）ABC 中，由正弦定理可得：sinADB，根据ADB 为三 角形的内角，A 为锐角，可得ADB，进而得出A利用面积计算公式即可得出 （2）ABC 中，由余弦定理可得 BC 【解答】 解： （1） ABC 中， 由正弦定理可得： sinADB ， ADB 为三角形的内角 ADB或， 又A 为锐角，ADB， A ABC 的面积 Ssin 第 16
29、页（共 19 页） （2）ABC 中，由余弦定理可得：BC22cos3 BC 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 19 （12 分）设数列an的各项为正数，前 n 项和为 Sn，若对于任意的正整数 n 都有 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnan，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式 （2）利用乘公比错位相减法求出数列的和 【解答】 解：（1） 数列an的各项为正数， 前 n 项和为 Sn， 若对于任意的正整数 n 都有 则：， 当 n1 时，解得：a11， 则： 得： （an+1+
30、an） （an+1an2）0， 由于：数列an的各项为正数， 故：an+1an2（常数） ， 所以：数列an是以 a11 为首项，2 为公差的等差数列 故：an2+2（n1）2n1 （2）由于 an2n1， 所以：， 所以， 得： 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数 第 17 页（共 19 页） 列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 20 （12 分）某家用轿车的购车费 9.5 万元，保险费、保养费及换部分零件的费用合计每年 平均 4000 元，每年行车里程按 1 万公里，前 5 年性能稳定，每年的油费 5000 元，由于 磨
31、损，从第 6 年开始，每年的油费以 500 元的速度增加，按这种标准，这种车开多少年 报废比较合算？ 【分析】设这种车开 x 年报废比较合算，当 x6 时，总费用为 y250x2+6750x+100000， 平均费用：250x+67502+675016750，当 250x ，即 x20 时，取最小值当 x5 时，平均费用： ， 由此得到这种车开 20 年报废比较合算 【解答】解：设这种车开 x 年报废比较合算， 当 x6 时，总费用为： y95000+4000x+5000x+5001+2+3+（x5） 95000+4000x+5000x+250（x4） （x5） 250x2+6750x+100
32、000， 平均费用： 250x+67502+675016750， 当 250x，即 x20 时，取最小值 当 x5 时，平均费用： 这种车开 20 年，平均使用费用最底，故这种车开 20 年报废比较合算 【点评】本题考查函数在生产生活中的应用，考查函数的性质等基础知识，考查运算求 解能力，考查化归与转化思想，是中档题 21 （12 分）ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，D 为 AB 的中点，AB2， CD （1）求角 C 的最大值； （2）求 a+b 的取值范围 【分析】 （1）分别在ADC 和BDC 中用余弦定理，得到 a2+b28，在用 cosC 的余弦 定理进行放缩
33、，可得； （2）利用（1）问中 a2+b28 以及 CDABaCD+AD，1a+1，得到 a+b 第 18 页（共 19 页） a+，然后求出取值范围 【解答】解： （1）在ADC 中，由余弦定理得：b2AD2+CD22ADCDcosADC4 2cosADC， 在BDC 中，由余弦定理得：a2BD2+CD22BDCDcosBDC42cosBDC ，ADC+BDC，cosADC+cosBDC0， a2+b28， cosC， 0C，ycosx 在（0，）上单调递减， 所以角 C 的最大值为 （2）CDABaCD+AD，1a+1，42a24+2， 由（1）知 a2+b28，得 b， a+ba+， （
34、a+b）28+2a8+2， 2a242，12（a+b）216， 2a+b4， 【点评】本题考查了余弦定理属中档题 22 （12 分）数列an的首项 a1，且，anan+12an+1+an0 （1）求证：数列为等比数列，并求an的通项公式； （2）设 bn2n（2an+1an） ，Tn为数列bn的前 n 项和，求证：Tn 【分析】 （1）直接利用递推关系式和构造新数列求出数列的通项公式 （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和 【解答】证明： （1）数列an的首项 a1，且 anan+12an+1+an0 则：， 第 19 页（共 19 页） 故：， 所以：数列是以为首项，2 为公比的等比数列 故：， 整理得：（首项符合通项） ， 故： （2）由（1）得：bn2n（2an+1an）， 则：+ ， 故：Tn 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型