1、要证明+2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（ ） A综合法 B分析法 C反证法 D归纳法 3 （5 分）设函数 f（x）在 x1 处存在导数为 2，则（ ） A2 B1 C D6 4 （5 分）若函数 yx3+log2x+e x，则 y（ ） Ax4+e x Bx4+e x C3x2+e x D3x2+e x 5 （5 分）由曲线 yex，ye x 以及 x1 所围成的图形的面积等于（ ） A2 B2e2 C D 6 （5 分）二维空间中圆的一维测度（周长）l2r，二维测度（面积）Sr2，观察发现 Sl；三维空间中球的二维测度（表面积）S4r2，三维测度（体积）Vr3，观 察发现 VS
2、 则由四维空间中 “超球” 的三维测度 V8r3， 猜想其四维测度 W （ ） A4r4 B4r2 C2r4 Dr4 7 （5 分）已知函数 f（x）axln x，若 f（x）1 在区间（1，+）内恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，1） B （，1 C （1，+） D1，+） 8 （5 分）有编号依次为 1，2，3，4，5，6 的 6 名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、 丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是 3 号就是 5 号；乙猜 6 号不可能；丙猜 2 号，3 号，4 号都不可能；丁猜是 1 号，2 号，4 号中的某一个若以上四位老师中只有 一位老师猜对，则猜对者是（
3、 ） A甲 B乙 C丙 D丁 9 （5 分）已知 alnb0，cd1， （a，b，c，dR） ，则（ac）2+（bd）2的最小值 第 2 页（共 17 页） 是（ ） A4 B2 C1 D 10 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（1）0，当 x0 时，有 f（x）xf （x）恒成立，则不等式 xf（x）0 的解集为（ ） A （，0）（0，1） B （，1）（0，1） C （1，0）（1，+） D （1，0）（0，1） 11 （5 分）y4cosxe|x|图象可能是（ ） A B C D 12 （5 分）设函数 f（x）ex（x1） ，函数 g（x）mxm（m0） ，若对
4、任意的 x12， 2，总存在而 x22，2，使得 f（x1）g（x2） ，则实数 m 的取值范围是（ ） A3e 2， B，e2 C，+） De2，+） 二、填空题二、填空题. 13 （5 分）sin2dx 14 （5 分）定义运算a1b2a2b1则函数 f（x）的图象在点（1，1） 处的切线方程是 15 （5 分）观察下列各式： 9413604 3451220 6553025 8836424 第 3 页（共 17 页） 7322106 根据规律，计算（574）（745） 16 （5 分）已知函数 f（x）e3x 1，g（x） +lnx，若 f（m）g（n） ，则 nm 的最小 值为 三、解答
5、题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17 （10 分）已知复数 z3+bi（bR） ，且（1+3i） z 为纯虚数 （1）求复数 z； （2）若 w，求复数 w 的模|w| 18 （12 分）已知函数 f（x）x3+bx2+cx+d 的图象过点 P（0，2） ，且在点 M（1，f（1） ） 处的切线方程为 6xy+70 （1）求 f（1）和 f（1）的值； （2）求函数 f（x）的解析式 19 （12 分）在数列an中，an+1 （1）计算 a2，a3，a4并猜想数列an的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想 20 （12
6、分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 640 米，余下工程只需要建两 端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相 邻两墩之间的桥面工程费用为（2+）x 万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为 点，且不考虑其他因素，设需要新建 n 个桥墩，记余下工程的费用为 y 万元 （）试写出 y 关于 x 的函数关系式： （注意： （n+1）x640） （）需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ 21 （12 分）已知 f（x）2ax（2+a）lnx（a0） （）当 a0 时，求 f（x）的极值； （）当 a0 时，讨论 f（x）的单调性 22 （12 分）
7、已知函数 f（x）x（a+lnx）有极小值e 2 （）求实数 a 的值； （）若 kZ，且对任意 x1 恒成立，求 k 的最大值 第 4 页（共 17 页） 2018-2019 学年河南省郑州市八校高二（下）期中数学试卷（理学年河南省郑州市八校高二（下）期中数学试卷（理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1 （5 分）复数的虚部是（ ） A1 Bi C1 Di 【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为 a+bi（a，bR）的形式， 即可得到
8、复数的虚部 【解答】解： i 复数的虚部是：1 故选：A 【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，考查计算能力，注意复 数的虚部是实数 2 （5 分）要证明+2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（ ） A综合法 B分析法 C反证法 D归纳法 【分析】要证+2，需证，即证，显然用分析法最 合理 【解答】解：用分析法证明如下：要证明+2， 需证， 即证 10+220， 即证5，即证 2125，显然成立， 故原结论成立 综合法： 10+2202 （5） 0， 故+2 第 5 页（共 17 页） 反证法：假设+2，通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论 从以上证法中，可知最合理的
9、是分析法 故选：B 【点评】本题考查分析法的应用，考查分析与判定思维能力，属于中档题 3 （5 分）设函数 f（x）在 x1 处存在导数为 2，则（ ） A2 B1 C D6 【 分 析 】 根 据 题 意 ， 由 极 限 的 性 质 可 得 f（1） ，据此分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）在 x1 处存在导数为 2，即 f（1）2， 则f（1）； 故选：C 【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的计算，属于基础题 4 （5 分）若函数 yx3+log2x+e x，则 y（ ） Ax4+e x Bx4+e x C3x2+e x D3x2+e x 【分析】根据导数运算法则，计算即
10、可 【解答】解：yx3+log2x+e x， y3x2+e x 故选：C 【点评】本题主要考查了导数的运算法则，属于基础题 5 （5 分）由曲线 yex，ye x 以及 x1 所围成的图形的面积等于（ ） A2 B2e2 C D 【分析】先求出曲线 yex，ye x 的交点，得到积分下限，利用定积分表示出图形面积， 最后利用定积分的定义进行求解即可 【解答】解：曲线 yex，ye x 的交点坐标为（0，1） 由曲线 yex，ye x 以及 x1 所围成的图形的面积 第 6 页（共 17 页） 就是：01（exe x）dx（ex+ex）| 01e+ 11e+2 故选：D 【点评】本题考查指数函数
11、的图象，定积分，考查计算能力，是基础题 6 （5 分）二维空间中圆的一维测度（周长）l2r，二维测度（面积）Sr2，观察发现 Sl；三维空间中球的二维测度（表面积）S4r2，三维测度（体积）Vr3，观 察发现 VS 则由四维空间中 “超球” 的三维测度 V8r3， 猜想其四维测度 W （ ） A4r4 B4r2 C2r4 Dr4 【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从 而得到 WV，从而求出所求 【解答】解：二维空间中圆的一维测度（周长）l2r，二维测度（面积）Sr2，观 察发现 Sl 三维空间中球的二维测度（表面积）S4r2，三维测度（体积）Vr3，观察
12、发现 V S 四维空间中“超球”的三维测度 V8r3，猜想其四维测度 W，则 WV8r3； W2r4 故选：C 【点评】本题考查类比推理，解题的关键是理解类比的规律，解题的关键主要是通过所 给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是低一维的测度，属于基础题 7 （5 分）已知函数 f（x）axln x，若 f（x）1 在区间（1，+）内恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，1） B （，1 C （1，+） D1，+） 【分析】化简不等式，得到 a在（1，+）内恒成立设 g（x），求 出函数的导数，利用函数的单调性化简求解即可 【解答】解：f（x）axln x，f（x）1 在（1，
13、+）内恒成立， a在（1，+）内恒成立 设 g（x）， x（1，+）时，g（x）0， 第 7 页（共 17 页） 即 g（x）在（1，+）上是减少的，g（x）g（1）1， a1，即 a 的取值范围是1，+） 故选：D 【点评】本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力 8 （5 分）有编号依次为 1，2，3，4，5，6 的 6 名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、 丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是 3 号就是 5 号；乙猜 6 号不可能；丙猜 2 号，3 号，4 号都不可能；丁猜是 1 号，2 号，4 号中的某一个若以上四位老师中只有 一位老师猜对，则猜对者是（ ） A甲
14、 B乙 C丙 D丁 【分析】根据题意，判断几号是第一名，甲、乙、丙、丁哪一个猜对 【解答】解：若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，甲猜错； 若乙猜对，则甲也猜对，与题意不符，故乙猜错，即 6 号是第一名； 则丙猜对，甲、乙、丁都猜错，与题意相符 综上，丙猜对，且获得第一名的选手号数是 6 故选：C 【点评】本题考查了简单的合情推理问题，是基础题 9 （5 分）已知 alnb0，cd1， （a，b，c，dR） ，则（ac）2+（bd）2的最小值 是（ ） A4 B2 C1 D 【分析】将点（b，a）是曲线 C：ylnx 上的点，点（d，c）是直线 l：yx+1 上的点； （ac）2+（bd）2可看
15、成曲线 C 上的点到直线 l 上的点的距离的平方然后将问题转 化为求曲线 C 上一点到直线 l 距离的最小值的平方，直接对函数 ylnx 求导，令导数为 零，可求出曲线 C 上到直线 l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小 距离，从而得出答案 【解答】解： （b，a）是曲线 C：ylnx 上的点， （d，c）是直线 l：yx+1 上的点； （ac）2+（bd）2可看成曲线 C 上的点到直线 l 上的点的距离的平方 对函数 ylnx 求导得，令 y1，得 x1， 所以，曲线 C 上一点到直线 l 上距离最小的点为（1，0） ， 第 8 页（共 17 页） 该点到直线 l 的距离为
16、 因此， （ac）2+（bd）2的最小值为 故选：B 【点评】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题 10 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（1）0，当 x0 时，有 f（x）xf （x）恒成立，则不等式 xf（x）0 的解集为（ ） A （，0）（0，1） B （，1）（0，1） C （1，0）（1，+） D （1，0）（0，1） 【分析】由已知当 x0 时总有 xf（x）f（x）成立，可判断函数 g（x）为减 函数，由 f（x）是定义在 R 上的奇函数，可得 g（x）为（，0）（0，+）上的 偶函数，根据函数 g（x）在（0，+）上的单调性和
17、奇偶性，结合 g（x）的图象，解不 等式即可 【解答】解：设 g（x），则 g（x）的导数为 g（x） 当 x0 时总有 xf（x）f（x）成立，即当 x0 时，g（x）0， 当 x0 时，函数 g（x）为减函数， 又g（x）g（x） 函数 g（x）为定义域上的偶函数 又g（1）0 函数 g（x）的图象如图：数形结合可得 xf（x）0 且，f（x）xg（x） （x0） ， 当 x0 时，x2g（x）0，g（x）0，0x1， 当 x0 时，x2g（x）0，g（x）0，x1， 所以不等式的解集为（，1）（0，1） 故选：B 第 9 页（共 17 页） 【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性
18、，并由函数的奇偶性和单调性解不 等式，属于综合题 11 （5 分）y4cosxe|x|图象可能是（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在（0，+）上的单调性即可得出结论 【解答】解：显然 y4cosxe|x|是偶函数，图象关于 y 轴对称， 当 x0 时，y4sinxex（4sinx+ex） ， 显然当 x（0，时，y0， 当 x（，+）时，exee34，而 4sinx4， y（4sinx+ex）0， y（4sinx+ex）0 在（0，+）上恒成立， y4cosxe|x|在（0，+）上单调递减 故选：D 【点评】本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值
19、等方面判断，属 于基础题 12 （5 分）设函数 f（x）ex（x1） ，函数 g（x）mxm（m0） ，若对任意的 x12， 第 10 页（共 17 页） 2，总存在而 x22，2，使得 f（x1）g（x2） ，则实数 m 的取值范围是（ ） A3e 2， B，e2 C，+） De2，+） 【分析】由题意可得 f（x）在2，2的值域包含于 g（x）的值域，运用导数和函数的 单调性，即可得到所求范围 【解答】解：f（x）ex（x1）的导数为 f（x）xex， 当 x0 时，f（x）递增；x0 时，f（x）递减， 即 x0 时，f（x）取得极小值，且为最小值1； 由 f（2）3e 2，f（2）e
20、2， 可得 f（x）在2，2的值域为1，e2， 由 g（x）mxm（m0）在2，2递增， 可得 g（x）的值域为3m，m， 由对任意的 x12，2，总存在而 x22，2，使得 f（x1）g（x2） ， 可得1，e23m，m， 即为3m1e2m， 解得 me2， 故选：D 【点评】本题考查任意存在性问题解法，注意运用转化思想，考查函数的值域的求法， 以及运算能力和推理能力，属于中档题 二、填空题二、填空题. 13 （5 分）sin2dx 【分析】根据函数的积分公式，即可得到结论 【解答】解：sin2dx（）， 故答案为：， 【点评】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，利用三角
21、函数 的关系是将函数进行化简是解决本题的关键，比较基础 第 11 页（共 17 页） 14 （5 分）定义运算a1b2a2b1则函数 f（x）的图象在点（1，1） 处的切线方程是 7x2y50 【分析】由新定义可得 f（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可 得所求切线方程 【解答】解：运算a1b2a2b1，函数 f（x）x3+x2x， f（x）x2+3x1，f（1）， 函数的图象在点（1，1）处的切线方程是 y1（x1） ， 即 7x2y50， 故答案为：7x2y50 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，化简运算能力，属 于基础题 15 （5 分）观察
22、下列各式： 9413604 3451220 6553025 8836424 7322106 根据规律，计算（574）（745） 708 【分析】先观察规律得前两位相乘得前两位数，后俩数相乘得后两位 【解答】解：观察得，9436，4104；3412，4520；7321，32 06 由此得 5743528，7452820 35282820708 故答案为 708 【点评】本题考查合情推理的规则的简单应用 第 12 页（共 17 页） 16 （5 分）已知函数 f（x）e3x 1，g（x） +lnx，若 f（m）g（n） ，则 nm 的最小 值为 【分析】根据 g（m）f（n）t 得到 m，n 的关
23、系，利用消元法转化为关于 t 的函数， 构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论 【解答】解：不妨设 f（m）g（n）t， e3m 1 +lnnt， （t0） 3m1lnt，m（1+lnt） ，ne， 故 nme（1+lnt） （t0） ， 令 h（t）e（1+lnt） （t0） ， h（t）e（t0） ， 易知 h（t）在（0，+）上是增函数， 且 h（）0， 当 t时，h（t）0， 当 0t时，h（t）0， 即当 t时，h（t）取得极小值同时也是最小值， 此时 h（）1（1+ln） 即 nm 的最小值为 故答案为： 【点评】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造
24、函数，求函数的导数， 利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17 （10 分）已知复数 z3+bi（bR） ，且（1+3i） z 为纯虚数 第 13 页（共 17 页） （1）求复数 z； （2）若 w，求复数 w 的模|w| 【分析】 （1）利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出 （2）利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】解： （1）复数 z3+bi（bR） ，且（1+3i） z 为纯虚数 即（1+3i） （3+bi）33b+（9+b）i
25、 为纯虚数，33b0，9+b0， 解得 b1 z3+i （2）w， 复数 w 的模|w| 【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题 18 （12 分）已知函数 f（x）x3+bx2+cx+d 的图象过点 P（0，2） ，且在点 M（1，f（1） ） 处的切线方程为 6xy+70 （1）求 f（1）和 f（1）的值； （2）求函数 f（x）的解析式 【分析】 （1）利用切线方程得到斜率，求出点的坐标即可 （2）利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可 【解答】解： （1）f（x）在点 M（1，f（1） ）处的切线方程为 6
26、xy+70 故点（1，f（1） ）在切线 6xy+70 上，且切线斜率为 6 得 f（1）1 且 f（1）6 （2）f（x）过点 P（0，2） d2 f（x）x3+bx2+cx+d f（x）3x2+2bx+c 由 f（1）6 得 32b+c6 又由 f（1）1，得1+bc+d1 第 14 页（共 17 页） 联立方程得 故 f（x）x33x23x+2 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的解析式的求法，考查计算能 力 19 （12 分）在数列an中，an+1 （1）计算 a2，a3，a4并猜想数列an的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想 【分析】 （1）根据，an+1可求
27、出 a2，a3，a4的值，根据前四项的值可猜想 数列an的通项公式； （2）根据数学归纳法的步骤进行证明即可 【解答】解： （1），an+1 a2，a3，a4 猜想数列an的通项公式为 an （2）n1 时，a1满足通项公式； 假设当 nk 时猜想成立，即，则， 当 nk+1 时猜想也成立 综合，对 nN*猜想都成立 【点评】本题主要考查了递推关系，以及数学归纳法的应用，同时考查了运算求解的能 力，属于中档题 20 （12 分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 640 米，余下工程只需要建两 端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相 邻两
28、墩之间的桥面工程费用为（2+）x 万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为 第 15 页（共 17 页） 点，且不考虑其他因素，设需要新建 n 个桥墩，记余下工程的费用为 y 万元 （）试写出 y 关于 x 的函数关系式： （注意： （n+1）x640） （）需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ 【分析】 （）由题意知（n+1）x640，求出 y 关于 x 的函数关系式即可； （）求 f（x）的导数，利用导数判断函数的单调性，求出它的最小值以及对应的桥墩 个数 【解答】解： （）设需要新建 n 个桥墩，且（n+1）x640，即 n1； 则 y 关于 x 的函数关系式为 yf（x）256n+（n+1
29、） （2+）x 256（1）+（1+1） （2+）x +640+1024； （）由（）知，f（x）+640+1024，f（x）+； 令 f（x）0，得512，解得 x64； 当 0x64 时 f（x）0，f（x）在区间（0，64）内为减函数； 当 64x640 时，f（x）0，f（x）在区间（64，640）内为增函数， 所以 f（x）在 x64 处取得最小值， 此时 n19，即需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 【点评】本题考查了根据实际问题选择函数模型的应用问题，也考查了用导数研究函数 的单调性和求最值的能力 21 （12 分）已知 f（x）2ax（2+a）lnx（a0） （）当 a0 时，
30、求 f（x）的极值； （）当 a0 时，讨论 f（x）的单调性 【分析】 （1）将 a0 代入 f（x）中，然后求导，得到 f（x）的单调区间，根据单调性确 定 f（x）的极值即可； （2）当 a0 时，对 f（x）求导，得到导函数的零点，然后分 0a2，a2 和 a2 三 种情况讨论 f（x）的单调性即可 【解答】解： （1）当 a0 时，f（x），则 f（x）， 第 16 页（共 17 页） 当 0x时，f（x）0，当 x时，f（x）0， f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减， ，无极小值； （2）当 a0 时，f（x）， 令 f（x）0，则 x或 x， 当 0a2 时，则
31、当 0x或 x时，f（x）0；当x时，f（x）0， f（x）的单调增区间为（0，）和（，+） ，单调减区间为（，） ； 当 a2 时，f（x），且仅当 x时，f（x）0， f（x）的单调增区间为（0，+） ； 当 a2 时，则 当 0x或 x时，f（x）0；当x时，f（x）0， f（x）的单调增区间为（0，）和（，+） ，单调减区间为（，） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了分类讨论思想，属中档 题 22 （12 分）已知函数 f（x）x（a+lnx）有极小值e 2 （）求实数 a 的值； （）若 kZ，且对任意 x1 恒成立，求 k 的最大值 【分析】 （）求函数的定义
32、域，利用极小值e 2，求实数 a 的值； （）利用导数求函数的最值即可 【解答】解： （）因为函数的定义域为（0，+） ， 函数的导数为 f（x）1+a+lnx，由 f（x）1+a+lnx0， 解得 xe 1a，即当 xe1a，时，函数取得极小值e2 即 f（e 1a）e1a（a1a）e1ae2， 所以解的 a1，即实数 a 的值为 1 第 17 页（共 17 页） （）当 a1 时，f（x）x（1+lnx） ，所以设， 则 令 h（x）x2lnx，x1 因为，所以函数 h（x）在（1，+）上单调递增， 又 h（3）1ln30，h（4）2ln422ln20， 所以 h（x）在（1，+）上存在唯一的一个实数根 x0，满足 x0（3，4） ，且 h（x0）0 ，即 x02lnx00，所以 lnx0x02 当 x（1，x0）时，h（x）0，此时 g（x）0， 当 x（x0，+）时，h（x）0，此时 g（x）0 所以在 x（1，x0）时，单调递减，在 x（x0，+）上单调递增， 所以.（3，4） 所以要使对任意 x1 恒成立，则 kg（x）minx0（3，4） ， 因为 kZ，所以要 k3，即 k 的最大值为 3 【点评】本题主要考查了函数的极值和导数之间的关系，以及根的存在性定理的应用， 综合性较强，运算量较大