1、用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个角不大于 60”时，应假设（ ） A三角形的三个内角都不大于 60 B三角形的三个内角都大于 60 C三角形的三个内角至多有一个大于 60 D三角形的三个内角至少有两个大于 60 2（5 分） 设复数 za+bi （i 为虚数单位） ， a， bR， 且b+i， 则复数 z 的模等于 （ ） A10 B C5 D 3 （5 分） 论语学路篇中说： “名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼 乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无 所措手足 ”上述推理用的是（ ） A类比推理 B归纳推理 C演绎推理 D一次三段
2、论 4 （5 分）某同学根据一组 x，y 的样本数据，求出线性回归方程 x+ 和相关系数 r，下 列说法正确的是（ ） Ay 与 x 是函数关系 B 与 x 是函数关系 Cr 只能大于 0 D|r|越接近 1，两个变量相关关系越弱 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 5 （5 分）点 M 的直角坐标是（1，） ，则点 M 的极坐标为（ ） A B C D 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 6若关于 x 的不等式|ax3|7 的解集为x|5x2，则 a 的值为（ ） A4 B4 C2 D2 7 （5 分）雷达图（RadarChart） ，又可称为戴布拉图，蜘蛛网图（Sp
3、iderChart） ，是财务分 第 2 页（共 25 页） 析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析，如图为甲、乙两人五个方面的数据雷 达图，则下列说法不正确的是（ ） A甲、乙两人在能力方面的表现基本相同 B甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙 C在培训与销售两个方面甲的综合表现优子乙 D甲在这五个方面的综合表现优于乙 8 （5 分）已知（）b（）a1，则下列不等式中一定成立的是（ ） Alogab+logba2 Blogab+logba2 Clogab+logba2 Dlogab+logba2 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 9 （5 分）圆 5cos5sin
4、 的圆心坐标是（ ） A （5，） B （5，） C （5，） D （5，） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 10函数 y4+3的最大值为（ ） A5 B8 C10 D12 11 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输出的 a 值大于 2019，那么判断框内的条件为 第 3 页（共 25 页） （ ） Ak10？ Bk10？ Ck9 Dk9？ 12 （5 分）某校有 A、B、C、D 四个社团，其中学生甲、乙、丙、丁四人在不同的四个社 团中，在被问及在哪个社团时，甲说： “我没有参加 A 和 B 社团” 乙说： “我没有参加 A 和 D 社团” 丙说： “我也没有参加 A 和 D 社
5、团” 丁说： “如果乙不参加 B 社团，我就不 参加 A 社团” 则参加 B 社团的人是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 13 （5 分）在同一平面直角坐标系中满足由曲线 x2+y21 变成曲线的一 个伸缩变换为（ ） A B C D 14 （5 分）在矩形 ABCD 中，对角线 AC 分别与 AB，AD 所成的角为 ，则 sin2+sin2 1， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， 对角线 AC1与棱 AB， AD， AA1所成的角分别为 1， 2，3，与平面 AC，平面 AB1，平面 AD1所成的角分别为 1，2，3，则下列说法正确 的是（ ） 第 4 页（共 25 页） sin21+s
6、in22+sin231 sin21+sin22+sin232 cos21+cos22+cos231 sin21+sin22+sin231 A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 15 （5 分）已知复数 z1在复平面内对应的点为 A，复数 z2在复平面内对应的点为 B， 若向量与虚轴垂直，则 z2的虚部为 16 （5 分）恩格尔系数（EngelsCoefficient）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重， 恩格尔系数越小，消费结构越完整，生活水平越高，某学校社会调查小组得到如下数据： 年个人消费支 出总额 x/万元 1 1.5 2 2.5 3
7、 恩格尔系数 y 0.9 0.7 0.5 2.5 0.1 若 y 与 x 之间有线性相关关系， 某人年个人消费支出总额为 2.6 万元， 据此估计其恩格尔 系数为 参考数据：4，22.5 参考公式：对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （x3，y3） ，（xn，yn） ，其回归直线 x+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， 17 （5 分）观察下列几个三角恒等式 tan10tan20+tan20tan60+tan60tan101 第 5 页（共 25 页） tan13tan35+tan35tan42+tan42tan131 tan5tan100+tan100tan（15）+ta
8、n（15）tan51 一般的，若 tan，tan，tan 均有意义，你可以归纳出结论： 18 （5 分）已知函数 f（x），如果对任意 tR，f（3t2+2t）+f（k22t2）0 恒 成立，则满足条件的 k 的取值范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 1 小题小题,共共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19 （10 分）已知 i 是虚数单位，且复数 z 满足（z+2） （3+i）10 （）求 z 及 z2； （）若 z （a+2）i 是纯虚数，求实数 a 的值 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 20
9、 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x3，圆 C2： （x2）2+（y1）21，以 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （）求 C1，C2的极坐标方程； （）若直线 C3的极坐标方程为 （R） ，设 C2，C3的交点为 A，B，求C2AB 的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 21已知函数 f（x）|x2| （）求不等式 f（x）6|2x+1|的解集； （）设 a，b（2，+） ，若 f（a）+（b）6，求的最小值 22 （12 分）2019 年 4 月 22 日是第 50 个世界地球日，半个世纪以来，这一呼吁热爱地球环 境的运动已经演变为席卷全球的绿色
10、风暴，让越来越多的人认识到保护环境、珍惜自然 对人类未来的重要性今年，自然资源部地球日的主题是“珍爱美丽地球，守护自然资 源” 某中学举办了以“珍爱美地球，守护自然资源”为主题的知识竞赛赛后从该校高 一和高二年级的参赛者中随机抽取 100 人，将他们的竞赛成绩分为 7 组：30，40） ，40， 50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100，并得到如下频率分布表： 分组 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 频率 0.02 0.05 0.1 0.18 0.3 0.22 0.13 现规定， “竞
11、赛成绩80 分”为“优秀” “竞赛成绩80 分”为“非优秀” 第 6 页（共 25 页） （）请将下面的 22 列联表补充完整； （）判断是否有 99%的把握认为“竞赛成绩与年级有关”？ 优秀 非优秀 合计 高一 50 高二 15 合计 100 附：独立性检验界值 P（K2k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 K2，其中 na+b+c+d 选修选修 4-4；坐标系与参数方程；坐标系与参数方程 23 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ，曲线 C 的 参数方程为（ 为参数） （）
12、已知在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为（3，） ，判断点 P 与直线 l 位置关系； （）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 24设函数 f（x）|x+3|+|2xa|1，aR （）若不等式 f（x）+|x+3|3 对任意的 xR 成立，求实数 a 的取值范围； （）当 a6 时，函数 （x）2（|x+3|x）f（x）有三个不同的零点，求 a 的取 值范围 25 （12 分）设 f（x）3ax2+2bx+c，若 a+b+c0，f（0）0
13、，f（1）0 求证：a0， 26 （12 分）某老小区建成时间较早，没有集中供暖，随着人们生活水平的日益提高热力公 司决定在此小区加装暖气该小区的物业公司统计了近五年（截止 2018 年年底）小区居民 有意向加装暖气的户数，得到如下数据 第 7 页（共 25 页） 年份编号 x 1 2 3 4 5 年份 2014 2015 2016 2017 2018 加装户数 y 34 95 124 181 216 （）若有意向加装暖气的户数 y 与年份编号 x 满足线性相关关系求 y 与 x 的线性回归 方程并预测截至 2019 年年底，该小区有多少户居民有意向加装暖气； （）2018 年年底郑州市民生工
14、程决定对老旧小区加装暖气进行补贴，该小区分到 120 个名额物业公司决定在 2019 年度采用网络竞拍的方式分配名额， 竞拍方案如下： 截至 2018 年年底已登记在册的居民拥有竞拍资格；每户至多申请一个名额，由户主在竞拍 网站上提出申请并给出每平方米的心理期望报价；根据物价部门的规定，每平方米的 初装价格不得超过 300 元；申请阶段截止后，将所有申请居民的报价自高到低排列， 排在前 120 位的业主以其报价成交；若最后出现并列的报价，则认为申请时问在前的 居民得到名额，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的 50 位 居民进行调查统计了他们的拟报竞价，得到如图所示的频率
15、分布直方图： （1）求所抽取的居民中拟报竞价不低于成本价 180 元的人数； （2）如果所有符合条件的居民均参与竞拍，请你利用样本估计总体的思想预测至少需要 报价多少元才能获得名额（结果取整数） 参考公式对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （x3，y3） ，（xn，yn） ，其回归直线 x+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为， ， 第 8 页（共 25 页） 2018-2019 学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（文科）学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 4 小题小题,每小题每小题
16、5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个角不大于 60”时，应假设（ ） A三角形的三个内角都不大于 60 B三角形的三个内角都大于 60 C三角形的三个内角至多有一个大于 60 D三角形的三个内角至少有两个大于 60 【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可 【解答】解：用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于 60， 第一步应假设结论不成立， 即假设三个内角都大于 60 故选：B 【点评】此题主要考查了反
17、证法的步骤，熟记反证法的步骤： （1）假设结论不成立； （2） 从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立 2（5 分） 设复数 za+bi （i 为虚数单位） ， a， bR， 且b+i， 则复数 z 的模等于 （ ） A10 B C5 D 【分析】由已知结合复数相等的条件求得 a，b 的值，再由复数模的计算公式求解 【解答】解：由b+i，得 a3ii（b+i）1+bi， a1，b3 z13i， 则|z| 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数模的求法，是 基础题 3 （5 分） 论语学路篇中说： “名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼
18、 乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无 第 9 页（共 25 页） 所措手足 ”上述推理用的是（ ） A类比推理 B归纳推理 C演绎推理 D一次三段论 【分析】演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎” ，得出具体陈述或个 别结论的过程，演绎推理是从一般到特殊的推理，题目中所给的这种推理符合演绎推理 的形式 【解答】解：演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎” ，得出具体陈述 或个别结论的过程，演绎推理可以帮助我们发现结论，题目中所给的这种推理符合演绎 推理的形式， 故选：C 【点评】本题考查演绎推理的意义，是一个基础题，这种题目可
19、以单独出现，但是单独 出现的几率不大，通过这个题目同学们要掌握几种推理的特点，学会选择 4 （5 分）某同学根据一组 x，y 的样本数据，求出线性回归方程 x+ 和相关系数 r，下 列说法正确的是（ ） Ay 与 x 是函数关系 B 与 x 是函数关系 Cr 只能大于 0 D|r|越接近 1，两个变量相关关系越弱 【分析】由两个变量线性相关的概念逐一核对四个选项得答案 【解答】解：由两变量 x，y 具有线性相关关系，可知 y 与 x 不是函数关系，故 A 错误； 求出线性回归方程 x+ ，其中 与 x 是函数关系，故 B 正确； 相关系数可能大于 0，也可能小于 0，故 C 错误； |r|越接
20、近 1，两个变量相关关系越强，故 D 错误 故选：B 【点评】本题考查两个变量的线性相关性，是基础题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 5 （5 分）点 M 的直角坐标是（1，） ，则点 M 的极坐标为（ ） A B C D 第 10 页（共 25 页） 【分析】利用 cosx，siny，2x2+y2，先将点 M 的直角坐标是后化 成极坐标即可 【解答】解：由于 2x2+y2，得：24，2， 由 cosx 得：cos，结合点在第二象限得：， 则点 M 的极坐标为 故选：C 【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即 利用 cosx，siny
21、，2x2+y2，进行代换即得 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 6若关于 x 的不等式|ax3|7 的解集为x|5x2，则 a 的值为（ ） A4 B4 C2 D2 【分析】去掉绝对值，根据不等式的解集列方程组求出 a 的值 【解答】解：不等式|ax3|7 可化为7ax37， 4ax10， 由该不等式的解集为x|5x2知， ， 解得 a 的值为2 故选：C 【点评】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，是基础题 7 （5 分）雷达图（RadarChart） ，又可称为戴布拉图，蜘蛛网图（SpiderChart） ，是财务分 析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析，如图为甲、
22、乙两人五个方面的数据雷 达图，则下列说法不正确的是（ ） 第 11 页（共 25 页） A甲、乙两人在能力方面的表现基本相同 B甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙 C在培训与销售两个方面甲的综合表现优子乙 D甲在这五个方面的综合表现优于乙 【分析】对比两人在雷达图中的相应数据，即可得到结论 【解答】解：由雷达图可知，乙在培训方面的数据大于甲、乙在销售方面的数据小于甲， 显然 C 选项的分析不正确 故选：C 【点评】本题考查考生对统计图表的应用，考查数据处理能力，属于中档题 8 （5 分）已知（）b（）a1，则下列不等式中一定成立的是（ ） Alogab+logba2 Blogab+log
23、ba2 Clogab+logba2 Dlogab+logba2 【分析】利用指数函数的单调性，可得 b1a0，故有 logab0，logba0，由基本 不等式可得logablogba2，从而得出结论 【解答】解：已知（）b（）a1，b1a0，logab0，logba0， logab0，logba0 再由基本不等式可得logablogba2，即 logab+logba2， 故选：D 【点评】本题主要考查指数函数的单调性，基本不等式的应用，属于中档题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 9 （5 分）圆 5cos5sin 的圆心坐标是（ ） 第 12 页（共 25 页） A （5
24、，） B （5，） C （5，） D （5，） 【分析】利用，极坐标的定义即可得出 【解答】解：原式可化为：25cos5sin x2+y25x5y 配方为（x）2+（y+）225 圆心的坐标为 5， 圆心的极坐标为 故选：D 【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，属于基础题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 10函数 y4+3的最大值为（ ） A5 B8 C10 D12 【分析】直接利用柯西不等式求解即可 【 解 答 】 解 ： 由 柯 西 不 等 式 有 ， ，当且仅当“”时取等号，即函数 y4+3的最大 值为 10 故选：C 【点评】本题主要考查柯西不等式的运用，考查运算求解能
25、力，属于基础题 11 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输出的 a 值大于 2019，那么判断框内的条件为 第 13 页（共 25 页） （ ） Ak10？ Bk10？ Ck9 Dk9？ 【分析】由循环结果，结合最后的 a2019，可得所求判断框的内容 【解答】解：模拟程序可得起始 a1，k1， 第一次变为 a6，k3， 第二次变为 a33，k5， 第三次变为 a170，k7， 第四次变为 a857，k9， 第五次变为 a4294，k11， 不满足 k10，输出 a2019， 故选：A 【点评】本题考查程序框图的判断框的求法，注意运用分析每次循环的情况，考查运算 能力，属于基础题 12 （
26、5 分）某校有 A、B、C、D 四个社团，其中学生甲、乙、丙、丁四人在不同的四个社 团中，在被问及在哪个社团时，甲说： “我没有参加 A 和 B 社团” 乙说： “我没有参加 A 和 D 社团” 丙说： “我也没有参加 A 和 D 社团” 丁说： “如果乙不参加 B 社团，我就不 参加 A 社团” 则参加 B 社团的人是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】有乙、丙的说法知甲和丁参加了 A、D 社团，又由甲说知，甲参加了 D 社团， 则丁参加了 A 社团，根据丁的说法知乙参加了 B 社团 第 14 页（共 25 页） 【解答】解：有乙、丙的说法知甲和丁参加了 A、D 社团， 又由甲说知，甲参
27、加了 D 社团， 则丁参加了 A 社团， 根据丁的说法知乙参加了 B 社团 故选：B 【点评】本题考查合情推理，属于容易题 13 （5 分）在同一平面直角坐标系中满足由曲线 x2+y21 变成曲线的一 个伸缩变换为（ ） A B C D 【分析】直接利用关系式的变换的应用求出结果 【解答】解：设伸缩变换为（0，0） ， 由曲线 x2+y21 变成曲线， 整理得：， 故：3，2 所以： 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：变换变量，变换前的关系式和变换后的关系式的转换的 应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础性题 14 （5 分）在矩形 ABCD 中，对角线 AC 分别与 AB，AD
28、 所成的角为 ，则 sin2+sin2 1， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， 对角线 AC1与棱 AB， AD， AA1所成的角分别为 1， 2，3，与平面 AC，平面 AB1，平面 AD1所成的角分别为 1，2，3，则下列说法正确 的是（ ） 第 15 页（共 25 页） sin21+sin22+sin231 sin21+sin22+sin232 cos21+cos22+cos231 sin21+sin22+sin231 A B C D 【分析】设 ABa，ADb，AA1c，AC1l，且 l2a2+b2+c2，由线线和线面角的定义， 以及同角的平方关系，即可得到所求结论 【解答】解：
29、设 ABa，ADb，AA1c，AC1l，且 l2a2+b2+c2， 可得 sin1，sin2，sin3， 则 sin21+sin22+sin232， cos21+cos22+cos233（sin21+sin22+sin23）1， sin1，sin2，sin3， 可得 sin21+sin22+sin231， 则错误；正确 故选：D 【点评】本题考查空间线线和线面所成角，考查化简运算能力，属于基础题 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 15 （5 分）已知复数 z1在复平面内对应的点为 A，复数 z2在复平面内对应的点为 B， 若向量与虚轴垂直，则 z2的虚部为
30、 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得 A，再由已知可得 A，B 的纵坐标相等求 第 16 页（共 25 页） 得答案 【解答】解：z1，A（） ， 向量与虚轴垂直，且复数 z2在复平面内对应的点为 B， z2的虚部为 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 16 （5 分）恩格尔系数（EngelsCoefficient）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重， 恩格尔系数越小，消费结构越完整，生活水平越高，某学校社会调查小组得到如下数据： 年个人消费支 出总额 x/万元 1 1.5 2 2.5 3 恩格尔系数 y 0.9 0.7
31、 0.5 2.5 0.1 若 y 与 x 之间有线性相关关系， 某人年个人消费支出总额为 2.6 万元， 据此估计其恩格尔 系数为 0.356 参考数据：4，22.5 参考公式：对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （x3，y3） ，（xn，yn） ，其回归直线 x+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， 【分析】由已知求得 ， 的值，进一步求得 与 的值，得到线性回归方程，取 x2.6 求得 y 值即可 【解答】解：，0.94 又4，22.5， ， 第 17 页（共 25 页） 则 y 关于 x 的线性回归方程为 取 x2.6，得 故答案为：0.356 【点评】本题考查线性回归
32、方程的求法，考查计算能力，是基础题 17 （5 分）观察下列几个三角恒等式 tan10tan20+tan20tan60+tan60tan101 tan13tan35+tan35tan42+tan42tan131 tan5tan100+tan100tan（15）+tan（15）tan51 一般的，若 tan，tan，tan 均有意义，你可以归纳出结论： +90，则 tantan+tantan+tantan1 【分析】观察所给 3 个等式可得：当 +90时，tantan+tantan+tantan1 【解答】解：观察所给 3 个等式可得：当 +90时，tantan+tantan+tantan 1
33、故答案为：+90，则 tantan+tantan+tantan1 【点评】本题考查归纳推理，属于一般题型 18 （5 分）已知函数 f（x），如果对任意 tR，f（3t2+2t）+f（k22t2）0 恒 成立，则满足条件的 k 的取值范围是 k1 或 k1 【分析】判断 f（x）为 R 上的奇函数和减函数，化 f（3t2+2t）+f（k22t2）0，即为 f （3t2+2t）f（k22t2）f（2t2k2） ，应用单调性和参数分离，以及二次函数的最值， 解不等式可得所求范围 【解答】解：函数 f（x），即 f（x）， 可得 f（x）f（x） ，可得 f（x）为奇函数； 且 f（x）+，可得 f
34、（x）在 R 上递减， 则 f（3t2+2t）+f（k22t2）0，即为 f（3t2+2t）f（k22t2）f（2t2k2） ， 即有 3t2+2t2t2k2，可得 k2t22t， 由t22t（t+1）2+11，则 k21，解得 k1 或 k1 第 18 页（共 25 页） 故答案为：k1 或 k1 【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，考查不等式恒成立问题解法， 属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 1 小题小题,共共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19 （10 分）已知 i 是虚数单位，且复数 z
35、满足（z+2） （3+i）10 （）求 z 及 z2； （）若 z （a+2）i 是纯虚数，求实数 a 的值 【分析】 （）把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案； （）利用复数代数形式的乘除运算化简 z （a+2）i，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求 得 a 值 【解答】解： （）由（z+2） （3+i）10，得 ， z2（1i）22i； （）z（a+2i）（1i） （a+2i）（2+a）+（2a）i， ，解得 a2 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 20 （12 分）在直角坐标系
36、xOy 中，直线 C1：x3，圆 C2： （x2）2+（y1）21，以 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （）求 C1，C2的极坐标方程； （）若直线 C3的极坐标方程为 （R） ，设 C2，C3的交点为 A，B，求C2AB 的面积 【分析】 （）由 xcos，ysin，以及 2x2+y2，可得 C1，C2的极坐标方程； （）将代入 C2的极坐标方程，可得|AB|，可得直角C2AB 的面积 【解答】解： （）因为 xcos，ysin，所以 C1的极坐标方程为 cos3， 圆 C2： （x2）2+（y1）21 即为 x2+y24x2y+40， 可得 C2的极坐标方程为 24cos2
37、sin+40 （）将代入 24cos2sin+40，得， 第 19 页（共 25 页） 解得故，即 由于 C2的半径为 1，所以直角C2AB 的面积为 【点评】本题考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线和圆的位置关系，考查运算能力， 属于基础题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 21已知函数 f（x）|x2| （）求不等式 f（x）6|2x+1|的解集； （）设 a，b（2，+） ，若 f（a）+（b）6，求的最小值 【分析】 （）原不等式等价于|x2|+|2x+1|6，然后去绝对值分别解不等式即可； （）由 f（a）+（b）6 可得 a+b10，然后利用基本不等式可求出的最小值 【解答
38、】解： （）原不等式等价于|x2|+|2x+1|6， 等价于 解得， 所以原不等式的解集为； （）a，b（2，+） ，f（a）+f（b）6 即 a2+b26，a+b10， ， 当且仅当即取等号 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，考查了转化思想，属中 档题 22 （12 分）2019 年 4 月 22 日是第 50 个世界地球日，半个世纪以来，这一呼吁热爱地球环 境的运动已经演变为席卷全球的绿色风暴，让越来越多的人认识到保护环境、珍惜自然 对人类未来的重要性今年，自然资源部地球日的主题是“珍爱美丽地球，守护自然资 源” 某中学举办了以“珍爱美地球，守护自然资源”为主题的知识
39、竞赛赛后从该校高 一和高二年级的参赛者中随机抽取 100 人，将他们的竞赛成绩分为 7 组：30，40） ，40， 第 20 页（共 25 页） 50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100，并得到如下频率分布表： 分组 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 频率 0.02 0.05 0.1 0.18 0.3 0.22 0.13 现规定， “竞赛成绩80 分”为“优秀” “竞赛成绩80 分”为“非优秀” （）请将下面的 22 列联表补充完整； （）判断是否有 99%的把握认为“竞赛成绩与年级有
40、关”？ 优秀 非优秀 合计 高一 50 高二 15 合计 100 附：独立性检验界值 P（K2k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 K2，其中 na+b+c+d 【分析】 （）由频率分布表列出 22 列联表， （）由独立性检验界值及 K2的运算公式可得解 【解答】解： （）由频率分布表可得： 成绩优秀总人数： （0.22+0.13）10035 人， 则 22 列联表为： 优秀 非优秀 合计 高一 20 50 70 高二 15 15 30 合计 35 65 100 （）因为 故没有 99%的把握认为“竞赛成绩与年级有关”
41、【点评】本题考查了独立性检验，属基础题 选修选修 4-4；坐标系与参数方程；坐标系与参数方程 第 21 页（共 25 页） 23 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ，曲线 C 的 参数方程为（ 为参数） （）已知在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为（3，） ，判断点 P 与直线 l 位置关系； （）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值 【分析】 （）直接把直线的参数方程中的参数消去，即可得到直线的普通方程，化点 P 为直角坐标，代入直线
42、方程可得点 P 在直线 l 上； （）设点 Q 的坐标为，写出点到直线的距离公式，利用三角函 数求最值 【解答】解： （）由直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ， 消去参数 t，可得直线 l 的普通方程为 x2y+60， 把极坐标系下的点化为直角坐标得点（0，3） ， 点 P 的直角坐标满足直线 l 的方程 x2y+60， 点 P 在直线 l 上； （）点 Q 在曲线 C 上，可设点 Q 的坐标为， 从而点 Q 到直线 l 的距离为， 由此得，当时，d 取得最小值，且最小值为 【点评】本题考查解得曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角 函数求最值，是中档题 选修选修 4
43、-5：不等式选讲：不等式选讲 24设函数 f（x）|x+3|+|2xa|1，aR （）若不等式 f（x）+|x+3|3 对任意的 xR 成立，求实数 a 的取值范围； （）当 a6 时，函数 （x）2（|x+3|x）f（x）有三个不同的零点，求 a 的取 值范围 【分析】 （）不等式 f（x）+|x+3|3 对任意的 xR 成立，则（|2x+6|+|2xa|）min4， 第 22 页（共 25 页） 求出|2x+6|+|2xa|的最小值可得 a 的取值范围； （）将 （x）去绝对值符号后，得到的是一个分段函数，可以用数形结合来分析，根 据函数 （x）有三个不同的零点可得，（3）0 且，从而得到
44、 a 的范围 【解答】解： （）原式即|2x+6|+|2xa|4 恒成立， 即（|2x+6|+|2xa|）min4，|2x+6|+|2xa|（2x+6）（2xa）|a+6|， |a+6|4，解得 a10 或 a2， a 的取值范围为（，102，+） （）（x）|x+3|2xa|2x+1 有三个零点， 即 （3）0 且，解得 1a8 a 的取值范围为（1，8） 【点评】本题考查了绝对值不等式恒成立和零点存在定理，考查了转化思想和运算能力， 属中档题 25 （12 分）设 f（x）3ax2+2bx+c，若 a+b+c0，f（0）0，f（1）0 求证：a0， 【分析】先将 f（0）0，f（1）0，利用函数式中的 a，b，c 进行表示，再结合等式关 系利用不等式的基本性质即可得到 a 和的范围即可 【解答】证明：f（0）0，c0， 又f（1）0，即 3a+2b+c0 而 a+b+c0 即 bac 代入式， 3a2a2c+c0，即 ac0， ac ac0又a+bc0，a+b0 1+0， 1 第 23 页（共 25 页） 又 cab，代入式得， 3a+2bab0，2a+b0， 2+0， 2故21 【点评】本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，考查运算求解 能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题