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2018-2019学年河南省洛阳市高二(下)期末数学试卷(文科)含详细解答

1、原命题: “设 a,b,cR,若 ab,则 ac2bc2”的逆命题、否命题、逆否命题 中真命题有( )个 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 4 (5 分)已知两个变量 X,Y 取值的 22 列联表如下: X1 X2 总计 Y1 60 20 80 Y2 10 10 20 总计 70 30 100 附: 参考公式:K2,na+b+c+d 临界值表(部分) : P(K2k0) 0.100 0.050 0.010 k0 2.706 3.841 6.635 由 22 列联表计算可得 K2的观测值约为 4.762,有下列说法: 有超过 95%的把握认为 X 与 Y 是有关的; 能在犯错误的概率不超过

2、 0.05 的前提下认为 X 与 Y 是有关的; 有超过 90%的把握认为 X 与 Y 是有关的; 能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 X 与 Y 是有关的: 其中正确的说法的个数为( ) 第 2 页(共 21 页) A0 B1 C2 D3 5 (5 分)设 x,y,z 均为正实数,ax+,by+,cz+,则 a,b,c 三个数( ) A至少有一个不小于 2 B都小于 2 C至少有一个不大于 2 D都大于 2 6 (5 分)为研究某种病菌在特定条件下随时间变化的繁殖规律,通过观察记录得到如下的 统计数据: 天数 x(天) 3 4 5 6 7 繁殖个数 y (万个) 2.5 3 4

3、4.5 6 若线性回归方程为 x+ ,则可预测当 x8 时,繁殖个数为( ) 参考公式及数据: , ;108.5,135, 5, 4 A6.5 B6.55 C7 D8 7 (5 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a113,S3S12,则 a8的值为( ) A B0 C D182 8 (5 分)已知实数 x,y 满足则 x2y+2 的最大值为( ) A5 B0 C2 D4 9 (5 分)过抛物线 x22py(p0)的焦点 F 作倾斜角为 30的直线交抛物线于 A,B 两 点,若+2,则实数 p 的值为( ) A B1 C D 10(5 分) 若函数 f (x) lnxax2在区间

4、(1, 2) 内单调递增, 则实数 a 的取值范围是 ( ) A (, B (,) C, D (,) 11 (5 分)已知点 A,B 是曲线 x2+4y21 上两点,且 OAOB(O 为坐标原点) ,则 第 3 页(共 21 页) +( ) A B1 C D5 12 (5 分)已知函数 f(x),若不等式 f(x)+m0 对任意实数 x 恒 成立,其中 m0则( ) Am 的最小值为 Bm 的最大值为 Cm 的最小值为 2 Dm 的最大值为 2 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)在极坐标系中,有点 A(2,)

5、,B(4,) ,则 A,B 两点间的距离为 14 (5 分)已知椭圆 C 的参数方程为( 为参数,R) ,则此椭圆的焦距为 15 (5 分)已知实数 x0,y0,且 x+2yxy,则 x+y 的最小值是 16 (5 分)已知点 F1,F2分别是双曲线 x21 的左,右焦点,点 P 为此双曲线左支 上一点,PF1F2的内切圆圆心为 G,若GPF1与GF1F2的面积分别为 S,S,则 的取值范围是 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 个小题,共个小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤 17 (10 分)已知曲线

6、C 的参数方程为( 为参数,R) ,直线 l 经过 P(0, 3)且倾斜角为 (1)求曲线 C 的普通方程; (2)直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AB|的值 18 (12 分)已知ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2+b2abc2 (1)若 sinAsinB,求 A; (2)若 c,求 a+2b 的最大值以及取得最大值时 sinA 的值 19 (12 分)已知数列an满足 a150,an+1an+2n, (nN*) (1)求an的通项公式; (2)已知数列bn的前 n 项和为 an,若 bm50,求正整数 m 的值 第 4 页(共 21 页) 20

7、 (12 分)如图,已知四棱锥 PABCD 的体积为 4,PA底面 ABCD,PABC2,底面 ABCD 为直角梯形,ABCD,ABCD,ABC90 (1)求证:ACPD; (2)若点 E 在棱 PB 上,且 PEPB,点 K 在直线 DB 上,且 PK平面 ACE,求 BK 的长 21 (12 分)已知函数 f(x)ax(3a+1)lnx+a,aR (1)若点(1,1)在 f(x)图象上,求 f(x)图象在点(1,1)处的切线方程; (2)若 a0,求 f(x)的极值 22 (12 分) 点 A (x1, y1) , B (x2, y2) 是椭圆 C:+y21 上两点, 点 M 满足+2 (

8、1)若点 M 在椭圆上,求证:x1x2+2y1y22; (2)若 x1x2+2y1y20,求点 M 到直线 x+y4 距离的取值范围 第 5 页(共 21 页) 2018-2019 学年河南省洛阳市高二(下)期末数学试卷(文科)学年河南省洛阳市高二(下)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 AxR|x2x120,BxR|x24,则 AB 等于(

9、) A (2,4) B (3,4) C (3,2)(2,4) D (,+) 【分析】先分别求出集合 A,B,由此能求出 AB 【解答】解:集合 AxR|x2x120x|3x4, BxR|x24x|x2 或 x2, ABx|2x4x|3x2(3,2)(2,4) 故选:C 【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解 能力,是基础题 2 (5 分)已知 i 为虚数单位,则复数等于( ) Ai B5+i C12i D1 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解: 故选:C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题 3 (5 分)原命题: “

10、设 a,b,cR,若 ab,则 ac2bc2”的逆命题、否命题、逆否命题 中真命题有( )个 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】先写出原命题的逆命题,否命题,再判断真假即可,这里注意 c2的取值在判 断逆否命题的真假时,根据原命题和它的逆否命题具有相同的真假性判断原命题的真假 即可 【解答】解:逆命题:设 a,b,cR,若 ac2bc2,则 ab;由 ac2bc2可得 c20, 第 6 页(共 21 页) 能得到 ab,所以该命题为真命题; 否命题:设 a,b,cR,若 ab,则 ac2bc2;c20,由 ab 可以得到 ac2bc2, 所以该命题为真命题; 因为原命题和它的逆否

11、命题具有相同的真假性,所以只需判断原命题的真假即可; c20 时,ac2bc2,所以由 ab 得到 ac2bc2,所以原命题为假命题,即它的逆否命 题为假命题; 为真命题的有 2 个 故选:C 【点评】考查原命题,逆命题,否命题,逆否命题的概念,以及原命题和它的逆否命题 的真假关系 4 (5 分)已知两个变量 X,Y 取值的 22 列联表如下: X1 X2 总计 Y1 60 20 80 Y2 10 10 20 总计 70 30 100 附: 参考公式:K2,na+b+c+d 临界值表(部分) : P(K2k0) 0.100 0.050 0.010 k0 2.706 3.841 6.635 由

12、22 列联表计算可得 K2的观测值约为 4.762,有下列说法: 有超过 95%的把握认为 X 与 Y 是有关的; 能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为 X 与 Y 是有关的; 有超过 90%的把握认为 X 与 Y 是有关的; 能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 X 与 Y 是有关的: 其中正确的说法的个数为( ) A0 B1 C2 D3 【分析】题目的条件中已经给出这组数据的观测值,我们只要把所给的观测值同节选的 第 7 页(共 21 页) 观测值表进行比较,发现它大于 3.841,即可判断结论 【解答】解:由 22 列联表计算可得 K2的观测值约为 4.762, 4.

13、7623.841,可得有超过 95%的把握认为 X 与 Y 是有关的,正确; 能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为 X 与 Y 是有关的,正确; 有超过 90%的把握认为 X 与 Y 是有关的,正确; 能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 X 与 Y 是有关的,由可得错误 故选:D 【点评】本题考查独立性检验的应用,本题有创新的地方就是给出了观测值,只要进行 比较就可以,是一个基础题 5 (5 分)设 x,y,z 均为正实数,ax+,by+,cz+,则 a,b,c 三个数( ) A至少有一个不小于 2 B都小于 2 C至少有一个不大于 2 D都大于 2 【分析】根据基本不等

14、式,利用反证法思想,可以确定 x+,y+至少有一个不小于 2, 从而可以得结论 【解答】解:由题意,x,y 均为正实数, x+y+4, 当且仅当 xy 时,取“”号 若 x+2,y+2,则结论不成立, x+,y+至少有一个不小于 2 a,b,c 至少有一个不小于 2 故选:A 【点评】本题的考点是不等式的大小比较,考查基本不等式的运用,考查了反证法思想, 难度不大 6 (5 分)为研究某种病菌在特定条件下随时间变化的繁殖规律,通过观察记录得到如下的 统计数据: 天数 x(天) 3 4 5 6 7 繁殖个数 y2.5 3 4 4.5 6 第 8 页(共 21 页) (万个) 若线性回归方程为 x

15、+ ,则可预测当 x8 时,繁殖个数为( ) 参考公式及数据: , ;108.5,135, 5, 4 A6.5 B6.55 C7 D8 【分析】由已知数据求得 与 的值,得到线性回归方程,取 x8 求得 y 值即可 【解答】解:108.5,235, 5, 4, , 40.8550.25 线性回归方程为 取 x8,得 6.55 故选:B 【点评】本题考查线性回归方程,考查计算能力,是基础题 7 (5 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a113,S3S12,则 a8的值为( ) A B0 C D182 【分析】根据 a113,S3S12,推出 S12S30a4+a5+a120,所以

16、a4+a122a8 0,所以 a80 【解答】解:数列an是等差数列,a113,S3S12, 所以 S12S30a4+a5+a120, 所以 a4+a122a80,所以 a80 故选:B 【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和,等差数列的性质,属于基础题 第 9 页(共 21 页) 8 (5 分)已知实数 x,y 满足则 x2y+2 的最大值为( ) A5 B0 C2 D4 【分析】作出不等式组对应的平面区域,设 ux2y+2,利用 u 的几何意义,进行平移 即可得到结论 【解答】 解:作出实数 x,y 满足对应的平面区域如图:由解得 M(1, 3) , 由条件可知:ux2y+2 过点 N(

17、2,0)时 u4, x2y+2 的最大值为:4 故选:D 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 9 (5 分)过抛物线 x22py(p0)的焦点 F 作倾斜角为 30的直线交抛物线于 A,B 两 点,若+2,则实数 p 的值为( ) A B1 C D 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程,点斜式设出直线的方程,代入抛物线方程,运 用韦达定理,利用抛物线的定义,解方程即可得到所求值 【解答】解:抛物线 x22py(p0)的焦点 F(0,) ,准线方程为 y, 第 10 页(共 21 页) 设直线的方程为:x(y) ,再设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)

18、 , 由,可得 3y25py+p20, 可得 y1+y2,y1y2, +2, 解得 p1 故选:B 【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义 是解题的关键 10(5 分) 若函数 f (x) lnxax2在区间 (1, 2) 内单调递增, 则实数 a 的取值范围是 ( ) A (, B (,) C, D (,) 【分析】求出函数的导数,问题转化为 a,在(1,2)恒成立,求出的最小 值,从而求出 a 的范围即可 【解答】解:f(x)2ax, 若 f(x)在区间(1,2)是单调递增区间, 则 f(x)0 在 x(1,2)恒成立, 故 a, , 故 a, 故选:

19、A 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题 11 (5 分)已知点 A,B 是曲线 x2+4y21 上两点,且 OAOB(O 为坐标原点) ,则 +( ) A B1 C D5 第 11 页(共 21 页) 【分析】先计算 OA 斜率为 0 的情况,当 OA 斜率存在且不为 0 时,设斜率为 k,联立方 程组得出 A 点坐标,计算|OA|2,|OB|2,再计算结果 【解答】解: (1)若 OA 斜率为 0,则|OA|1,|OB|,+5, (2) 若 OA 有斜率且不为 0, 设直线 OA 的方程为 ykx, 则直线 OB 的方程为 yx, 联立方程组,解得 x

20、2,故 y2, |OA|2x2+y2, 将替换 k 可得:|OB|2, +5 综上,+5, 故选:D 【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系,属于中档题 12 (5 分)已知函数 f(x),若不等式 f(x)+m0 对任意实数 x 恒 成立,其中 m0则( ) Am 的最小值为 Bm 的最大值为 Cm 的最小值为 2 Dm 的最大值为 2 【分析】根据分段函数的表达式,结合不等式恒成立,分别求出 m 的取值范围即可 【解答】解:当 x0 时,由 f(x)+m0 得 2mxex1+m0,得 m(1+2xex)1, 设 h(x)1+2xex,则 h(x)2(x+1)ex, 当 x0 时, 由 h(

21、x)0 得1x0,此时 h(x)为增函数, 由 h(x)0 得 x1,此时 h(x)为减函数, 第 12 页(共 21 页) 即当 x1 时,函数 h(x)取得极小值 h(1)10, 即当 x0 时,h(x)1, 则 m(1+2xex)1,得 m, 则 1, 则 m, 当 x0 时,由 f(x)+m0 得 2x24x+m0,得 m2x2+4x, 设 g(x)2x2+4x,则 g(x)2(x1)2+2, 当 x0,g(x)2,此时 m2, 综上 m, 即 m 的最小值为, 故选:A 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题,利用分段函数的表达式分别求出 m 的取值范 围是解决本题的关键 二、填空题:

22、本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)在极坐标系中,有点 A(2,) ,B(4,) ,则 A,B 两点间的距离为 2 【分析】根据题意,将 A、B 的坐标由极坐标化为直角坐标,进而由两点间距离公式计算 可得答案 【解答】解:根据题意,在极坐标系中,有点 A(2,) ,B(4,) , 则在直角坐标系下,A (,1) ,B(0,4) |AB|2 AB 两点间的距离为 2; 故答案为:2 【点评】本题考查极坐标下距离的计算,可以转化为直角坐标系的坐标,在进行计算 14 (5 分)已知椭圆 C 的参数方程为( 为参数,R) ,则此椭圆

23、的焦距为 8 【分析】根据题意,将椭圆的参数方程变形为标准方程,分析其中 a、b 的值,计算可得 第 13 页(共 21 页) c 的值,由焦距的意义分析可得答案 【解答】解:根据题意,椭圆 C 的参数方程为( 为参数,R) , 则其直角坐标系下的标准方程为+1, 其中 a5,b3,则 c216,即 c4,故椭圆的焦距 2c8; 故答案为:8 【点评】本题考查椭圆的参数方程以及椭圆的几何意义,属于基础题 15 (5 分)已知实数 x0,y0,且 x+2yxy,则 x+y 的最小值是 3+2 【分析】由已知可得,从而有 x+y(x+y) () ,展开后利用基本不等式 可求 【解答】解:x0,y0

24、,且 x+2yxy, , x+y(x+y) ()3+, 当且仅当且,即 y1+,x时取等号, 故答案为:3+2 【点评】本题主要考查了利用 1 的代换配凑基本不等式的应用条件求解最值,属于基础 试题 16 (5 分)已知点 F1,F2分别是双曲线 x21 的左,右焦点,点 P 为此双曲线左支 上一点,PF1F2的内切圆圆心为 G,若GPF1与GF1F2的面积分别为 S,S,则 的取值范围是 (,+) 【分析】设切点分别为 M,N,Q,由圆的切线的性质,以及双曲线的定义可得 G 的横坐 标为a,由三角形的面积公式,可得所求面积的比值,由 P 的位置可得所求范围 【解答】解:如图设切点分别为 M,

25、N,Q, 则PF1F2的内切圆的圆心 G 的横坐标与 Q 横坐标相同 由双曲线的定义,PF1PF22a 由圆的切线性质 PF2PF1F2NF1MF2QF1Q2a, 第 14 页(共 21 页) F1Q+F2QF1F22c, F2Qc+a,OQa,Q 横坐标为a 双曲线 x21 的 a1,b,c2, 可设 G(1,t) ,t0, 设 PF1m(m1) , 可得, 故答案为: (,+) 【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质,考查三角形的内切圆的性质,以及化简 整理的运算能力,属于中档题 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 个小题,共个小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明

26、过程或演算分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤 17 (10 分)已知曲线 C 的参数方程为( 为参数,R) ,直线 l 经过 P(0, 3)且倾斜角为 (1)求曲线 C 的普通方程; (2)直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AB|的值 【分析】 (1)把曲线 C 的参数方程变形,利用平方关系消去参数,可得普通方程; (2)写出直线 l 的参数方程的标准形式,代入曲线 C 的普通方程,化为关于 t 的一元二 次方程,利用根与系数的关系及参数 t 的几何意义求解 第 15 页(共 21 页) 【解答】解: (1)由,得 代入 sin2+cos21 中,得()2+()

27、21, 整理得曲线 C 的普通方程为(x2)2+y29; (2)直线 l 经过 P(0,3)且倾斜角为, 直线 l 的参数方程为, 代入(x2)2+y9 并整理得,t25t+40 (5)2160 设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t25,t1t24 |AB|t1t2| 【点评】本题考查参数方程化普通方程,考查直线参数方程中参数 t 的几何意义的应用, 是中档题 18 (12 分)已知ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2+b2abc2 (1)若 sinAsinB,求 A; (2)若 c,求 a+2b 的最大值以及取得最大值时 sinA 的值 【分析

28、】 (1)由已知可得 a2+b2abc2,利用余弦定理可求 cosC,结合范围 0C ,可求 C,利用正弦定理可得 ab可得 AB,利用三角形的内角和定理可求 A 的值 (2)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用可求 a+2b2sin(A+) ,利用正弦函数 第 16 页(共 21 页) 的性质即可求解 【解答】解: (1)a2+b2abc2, cos C, 0C, C, sinAsinB,可得:ab可得 AB A (2)由正弦定理,得:a2sinA,b2sinB a+2b2(sinA+2sinB)2sinA+2sin(A)2(2sinA+cosA)2 (sinA+cosA) ,其中 A(0,)

29、 , 令锐角 满足,则 a+2b2sin(A+) , A(0,) , A+ 当 A+时,sin( A+)取得最大值 1,相应取得 a+2b 的最大值 2,此时 A ,sinAsin()cos 【点评】本题主要考查了余弦定理,正弦定理,三角形的内角和定理,三角函数恒等变 换的应用,正弦函数的图象和性质的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档 题 19 (12 分)已知数列an满足 a150,an+1an+2n, (nN*) (1)求an的通项公式; (2)已知数列bn的前 n 项和为 an,若 bm50,求正整数 m 的值 【分析】 (1)当 n2 时,an(anan1)+(an1an2)

30、+(a3a2)+(a2a1) +a1,运用等差数列的求和公式,计算可得所求通项公式; (2)运用数列的递推式,可得 bn,解方程可得所求 m 的值 第 17 页(共 21 页) 【解答】解(1)当 n2 时,an(anan1)+(an1an2)+(a3a2)+(a2 a1)+a1 2(n1)+2(n2)+22+21+502+50n2n+50 又 a150121+50, an的通项公式为 ann2n+50,nN* (2)b1a150, 当 n2 时,bnanan1n2n+50(n1)2(n1)+502n2, 即 bn; 当 m2 时,令 bm50,得 2m250,解得 m26 又 b150, 则

31、正整数 m 的值为 1 或 26 【点评】本题考查数列恒等式的运用,以及等差数列的通项公式和求和公式,考查方程 思想和运算能力,属于中档题 20 (12 分)如图,已知四棱锥 PABCD 的体积为 4,PA底面 ABCD,PABC2,底面 ABCD 为直角梯形,ABCD,ABCD,ABC90 (1)求证:ACPD; (2)若点 E 在棱 PB 上,且 PEPB,点 K 在直线 DB 上,且 PK平面 ACE,求 BK 的长 【分析】 (1)由 ACAD,ACPA,根据线面垂直的判定定理可得 AC平面 PAD,根 据线面垂直的性质可得 ACPD; (2)设 ACBDO,连结 EO,先证明 PKE

32、O,BOEBKP,且相似比为, 进一步求出 BKBO 即可 第 18 页(共 21 页) 【解答】 (1)证明:设 ABx,则(2x+x)224,解得 x2 在梯形 ABCD 中,AC2,AD2,CD2AC2+AD2 ACAD PA底面 ABCD,AC平面 ABCD,ACPA 又 PA,AD平面 PAD,且 PAADA,AC平面 PAD PD平面 PAD, ACPD (2)设 ACBDO,连结 EO PK平面 ACE,PK平面 PBD,且平面 PDB平面 ACEEO, PKEO BOEBKP,且相似比为 在PBD 中,BD2,BOBD BKBO 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定和性质,考查

33、了线面平行的性质,属中档题 21 (12 分)已知函数 f(x)ax(3a+1)lnx+a,aR (1)若点(1,1)在 f(x)图象上,求 f(x)图象在点(1,1)处的切线方程; (2)若 a0,求 f(x)的极值 【分析】 (1)通过(1,1)在 f(x)图象上,解得 a1求出函数的导数,利用切线 的斜率求解切线方程即可 (2)f(x)ax(3a+1)lnx+a 定义域为(0,+) ,求出导函数,求出极值点, 判断导函数的符号,判断函数的单调性,然后求解函数的极值即可 【解答】解: (1)(1,1)在 f(x)图象上,a(3a+1)ln13+a1 第 19 页(共 21 页) 解得 a1

34、 f(x)x4lnx2+1,f(x), f(1)0,即 f(x)图象在点(1,1)处的切线斜率为 0, f(x)图象在点(1,1)处的切线方程为 y1 (2)f(x)ax(3a+1)lnx+a 定义域为(0,+) , f(x)a+ 当 a0 时,x(0,+) ,ax10 令 f(x)0 得 x3 当 0x3 时,f(x)0,f (x)单调递增; 当 x3 时,f(x)0,f (x)单调递减 函数 f (x)在 x3 处取得极大值:f(3)4a(3a+1)1n31,没有极小值 【点评】本题考查函数的导数的应用,函数的极值以及切线方程的求法,函数的单调性 的判断与应用,考查分析问题解决问题的能力

35、22 (12 分) 点 A (x1, y1) , B (x2, y2) 是椭圆 C:+y21 上两点, 点 M 满足+2 (1)若点 M 在椭圆上,求证:x1x2+2y1y22; (2)若 x1x2+2y1y20,求点 M 到直线 x+y4 距离的取值范围 【分析】 (1)设点 M(x0,y0) ,由+2,可得,代入椭圆方程, 得+( y1+2y2)21,结合 A,B 是椭圆 C:+y21 上的点,整理可得 x1x2+2y1y22; (2)由 x1x2+2y1y20,得到+y02+( y1+2y2)25,即点 M 在椭圆 上求出与直线 x+y4 平行且与椭圆相切的直线方程再由两平 行线间的距离

36、公式求点 M 到直线 x+y4 距离的取值范围 【解答】 (1)证明:设点 M(x0,y0) ,由+2, 第 20 页(共 21 页) 可得: (x0,y0)(x1,y1)+2(x2,y2) , 即, 点 M 在椭圆上,+y021 将代入上式得+( y1+2y2)21, 展开并整理得+y12+2x22+4y22+2x1x2+4y1y21 点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)在椭圆 C:+y21 上, +y121 且+y221 1+4+2x1x2+4y1y21,即 x1x2+2y1y22; (2)解:x1x2+2y1y20, +y02+( y1+2y2)2+y12+2x22+4y22+2x1x2+4y1y25 即点 M 在椭圆上 设与直线 x+y4 平行且与椭圆相切的直线方程为 x+y 联立,消去 y 并整理得 3x24x+22100 令判别式0,即 16234(2210)0,解得 点 M 到直线 x+y4 距离的最大值为, 最小值为, 点 M 到直线 x+y4 距离的取值范围是, 【点评】本题是直线与椭圆综合问题,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查逻辑思维 能力与推理论证能力,体现了整体运算思想方法,属难题