1、下列判断正确的是（ ） A两圆锥曲线的离心率分别为 e1，e2，则“e1e21”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充 要条件 B命题“若 x21，则 x1 ”的否命题为“若 x21，则 x1 ” C若命题“pq”为假命题，则命题“pq”是假命题 D命题“xR，2xx2”的否定是“ ” 3 （5 分）设 x，y，z 均为正实数，ax+，by+，cz+，则 a，b，c 三个数（ ） A至少有一个不小于 2 B都小于 2 C至少有一个不大于 2 D都大于 2 4 （5 分）我国明代珠算家程大位的名著直指算法统宗中有如下问题今有白米一百八十 石， 令三人从上及和减率分之， 只云甲多丙米三十六石， 问： 各该若
2、干？” 其意思为： “今 有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲 比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为（ ） A96 石 B78 石 C60 石 D42 石 5 （5 分）有下列说法： 若某商品的销售量 5（件）关于销售价格 x（元/件）的线性回归方程为 y， 当销售价格为 10 元时，销售量一定为 300 件； 线性回归直线：定过样本点中心（） ； 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的值越接近于 1； 在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适， 与带状区域的宽度无关； 在线性回归模
3、型中，相关指数 R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接 近于 1，表示回归的效果越好； 第 2 页（共 21 页） 其中正确的结论有几个（ ） A1 B2 C3 D4 6 （5 分）在洛阳市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩 XN（90，2） ，已知 P （70X90）0.35，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于 110 分的概 率为（ ） A0.85 B0.70 C0.50 D0.15 7 （5 分）已知实数 x，y 满足，则的最大值为（ ） A5 B4 C D 8 （5 分） 已知双曲线（m0，n0）和椭圆有相同的焦点，则 的最小值为（ ） A2 B4 C6
4、D9 9 （5 分）设，则二项式展开式的所有项系数和为（ ） A1 B32 C243 D1024 10 （5 分）将 5 名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其 它两所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有几种（ ） A60 B80 C150 D360 11 （5 分）过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 作倾斜角为的直线交抛物线于 A，B 两 点，若，则实数 p 的值为（ ） A B1 C D2 12 （5 分）若函数 f（x）6xex2ax33ax2存在三个极值点，则 a 的取值范围为（ ） A （0，e） B （0，） C （e，+） D （，+） 二、填
5、空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）1999 年 10 月 1 日，在中华人民共和国建国 50 周年之际，中国人民银行陆续发 行了第五套人民币（1999 年版） ，第五套人民币纸币共有 1 元、5 元、10 元、20 元、50 元、100 元 6 种面额，现有这 6 种面额纸币各一张，一共可以组成 种币值 （用数 字作答） 第 3 页（共 21 页） 14 （5 分）设随机变量 B（2，p） ，B（4，p） ，若，则 P（3） 15 （5 分）已知曲线在 x1 处的切线与直线：x+3y+10 垂直，则实数 a 的值
6、为 16 （5 分）已知 F 是椭圆（ab0）的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，直 线 AF 与椭圆另一交点为 B，且，则椭圆的离心率为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤 17 （10 分） 已知ABC 三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 点 D 为 BC 边的中点， acosB （b+2c）cosA，AD1 （1）求 A； （2）求ABC 面积的最大值 18 （12 分）设 Sn为正项数列an的前 n 项和，且满足 an2+2an4
7、Sn+3 （1）求an的通项公式； （2）令 bn，若 Tnm 恒成立，求 m 的取值范围 19 （12 分） “微信运动”是手机 APP 推出的多款健康运动软件中的一款，某学校 140 名老 师均在微信好友群中参与了 “微信运动” ， 对运动 10000 步或以上的老师授予 “运动达人” 称号，低于 10000 步称为“参与者” ，为了解老师们运动情况，选取了老师们在 4 月 28 日的运动数据进行分析，统计结果如下： 运动达人 参与者 合计 男教师 60 20 80 女教师 40 20 60 合计 100 40 140 （1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过 0.05 的前提下认为获得
8、“运动达人”称号 与性别有关？ （2）从具有“运动达人号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取 10 人参加全国第 四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的 10 人中随机抽取 3 人作 为代表参加开幕式， 设抽取的 3 人中女教师人数为 X， 写出 X 的分布列并求出数学期望 E 第 4 页（共 21 页） （X） 参考公式：K2，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20 （12 分） 已知菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 交于点 0， AB4， BAD120， 将ACD 沿 A
9、C 折起，使点 D 到达点 P 位置，满足OPB 为等边三角形 （1）求证：ACPB； （2）求二面角 PBCA 的余弦值 21 （12 分）过抛物线 C：x22py（p0）的焦点 F 做直线 l 交抛物线于 A，B 两点，|AB| 的最小值为 2 （1）求抛物线 C 的标准方程； （2）过 A，B 分别做抛物线 C 的切线，两切线交于点 E，且直线 AE，BE 分别与 x 轴交 于点 P，Q，记EPQ 和0AB 的面积分别为 SEPQ和 SOAB，求证为定值 22 （12 分）已知函数 f（x）x2+2ax+2lnx（aR） （1）若 f（x）是单调函数，求 a 的取值范围； （2）若 f（
10、x）存在两个极值点 x1，x2，且 x2e，求|f（x1）f（x2）|的最小值 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（理科）学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）已知复数 z 满 z+zi2i（i 为虚数单位） ，则|z|（ ） A B2 C D1 【分析】根据复数模长的定义与运算性质，计算即可
11、【解答】解：复数 z 满 z+zi2i（i 为虚数单位） ， 则 z， 所以|z| 故选：C 【点评】本题考查了复数的模长计算问题，是基础题 2 （5 分）下列判断正确的是（ ） A两圆锥曲线的离心率分别为 e1，e2，则“e1e21”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充 要条件 B命题“若 x21，则 x1 ”的否命题为“若 x21，则 x1 ” C若命题“pq”为假命题，则命题“pq”是假命题 D命题“xR，2xx2”的否定是“ ” 【分析】由椭圆的离心率的范围，以及充分必要条件的定义，可判断 A；由否命题的定 义，既对条件否定也对结论否定，可判断 B；由复合命题的真假判断 C；由全称命题的 否定
12、为存在性命题，可判断 D 【解答】解：两圆锥曲线的离心率分别为 e1，e2，由椭圆的离心率介于（0，1） ，可得 “两圆锥曲线均为椭圆”可得“e1e21” ，反之不成立，故 A 错误； 命题“若 x21，则 x1 ”的否命题为“若 x21，则 x1” ，故 B 错误； 若命题“pq”为假命题，p，q 中至少有一个为假命题，则命题“pq”可真可假，故 C 错误； 第 6 页（共 21 页） 命题“xR，2xx2”的否定是“ ”故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查命题的否定和否命题的区别，充分必要条件的判断和复合命题的真假， 考查转化思想和判断能力，属于基础题 3 （5 分）设 x，y，z 均
13、为正实数，ax+，by+，cz+，则 a，b，c 三个数（ ） A至少有一个不小于 2 B都小于 2 C至少有一个不大于 2 D都大于 2 【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定 x+，y+至少有一个不小于 2， 从而可以得结论 【解答】解：由题意，x，y 均为正实数， x+y+4， 当且仅当 xy 时，取“”号 若 x+2，y+2，则结论不成立， x+，y+至少有一个不小于 2 a，b，c 至少有一个不小于 2 故选：A 【点评】本题的考点是不等式的大小比较，考查基本不等式的运用，考查了反证法思想， 难度不大 4 （5 分）我国明代珠算家程大位的名著直指算法统宗中有如下问题今有白米
14、一百八十 石， 令三人从上及和减率分之， 只云甲多丙米三十六石， 问： 各该若干？” 其意思为： “今 有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲 比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为（ ） A96 石 B78 石 C60 石 D42 石 【分析】设甲乙丙分得的米重量分别为 a1，a2，a3，则 a1+a2+a3180，且 a1a336， 解得 a260，d18，所以 a1 可求， 【解答】解：依题意，设甲乙丙分得的米重量分别为 a1，a2，a3， 则 a1+a2+a33a2180，且 a1a32d36， 解得 a260，d18，
15、第 7 页（共 21 页） 所以 a1a2d60+1878， 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和，等差数列的通项公式，等差数列的性质，属 于基础题 5 （5 分）有下列说法： 若某商品的销售量 5（件）关于销售价格 x（元/件）的线性回归方程为 y， 当销售价格为 10 元时，销售量一定为 300 件； 线性回归直线：定过样本点中心（） ； 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的值越接近于 1； 在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适， 与带状区域的宽度无关； 在线性回归模型中，相关指数 R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R
16、2越接 近于 1，表示回归的效果越好； 其中正确的结论有几个（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用线性回归方程的特点及两个变量的相关性与相关系数的关系逐一核对 5 个 命题得答案 【解答】解：对于，线性回归方程为，当销售价格为 10 元时，销售量近 似为 300 件，故错误； 对于，线性回归直线：定过样本点中心（） ，故正确； 对于，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的绝对值越接近于 1，故 错误； 对于，与带状区域的宽度有关，带状区域越窄，说明回归方程的预报精确度越高，故 错误； 对于，R2越接近于 1，表示回归的效果越好，故正确 正确的结论有 2 个 故选：B 【点评】
17、本题考查统计基本知识，主要考查了线性回归方程及两个变量的相关性，属于 第 8 页（共 21 页） 基础题 6 （5 分）在洛阳市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩 XN（90，2） ，已知 P （70X90）0.35，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于 110 分的概 率为（ ） A0.85 B0.70 C0.50 D0.15 【分析】 由已知可得， 求出P （90X1100） 0.35， 得P （X110） ， 再由对立事件的概率得答案 【解答】解：XN（90，2） ，90， 又 P（70X90）0.35，P（90X1100）0.35， P（X110）， 则 P（X110）
18、10.150.85 他的数学成绩小于 110 分的概率为 0.85 故选：A 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题 7 （5 分）已知实数 x，y 满足，则的最大值为（ ） A5 B4 C D 【分析】作出不等式组对应平面区域，利用 z 的几何意义即可得到结论 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 的几何意义为动点到定点 D（1，3）的斜率加 1， 由图象可知当动点位于 C 时，直线 PC 的斜率最大， 解得 C（0，1） 此时 z5， 故选：A 第 9 页（共 21 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用
19、，利用几何意义，以及直线的斜率公式是解决本 题的关键 8 （5 分） 已知双曲线（m0，n0）和椭圆有相同的焦点，则 的最小值为（ ） A2 B4 C6 D9 【分析】由题意可得 m+n1，利用“1”的代换结合基本不等式求最值 【解答】解：椭圆是焦点在 x 轴上的椭圆，且 c2541 双曲线（m0，n0）和椭圆有相同的焦点， m+n1（m0，n0） ， （） （m+n）5+ 当且仅当，即 m，n时取等号 的最小值为 9 故选：D 【点评】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题 9 （5 分）设，则二项式展开式的所有项系数和为（ ） 第 10 页（共 21 页） A
20、1 B32 C243 D1024 【分析】由定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数得 a cosx2，所以二项式（2x+）5展开式中令 x1 可得：二项式（2x+）5展开 式的所有项系数和为（2+1）5243，得解 【解答】解：因为 acosx2， 所以二项式（2x+）5展开式中令 x1 可得： 二项式（2x+）5展开式的所有项系数和为（2+1）5243， 故选：C 【点评】本题考查了定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数，属基础题 10 （5 分）将 5 名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其 它两所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有几种（ ） A6
21、0 B80 C150 D360 【分析】由题意可分若甲校分配 3 名教师，若甲校分配 2 名教师，根据分类计数原理可 得 【解答】解：若甲校分配 3 名教师，则乙、丙学校各分配一名，故有 C53A2220 种， 若甲校分配 2 名教师，则乙、丙学校有一个学校也分配 2 名，故有 C52C32A2260 种， 则不同的分配方案共有 20+6080 种， 故选：B 【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列，属于中档题 11 （5 分）过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 作倾斜角为的直线交抛物线于 A，B 两 点，若，则实数 p 的值为（ ） A B1 C D2 【分析】F（，
22、0） ，直线 AB 的参数方程为：（t 为参数） ，将其代入 y2 2px，根据参数 t 的几何意义可得 第 11 页（共 21 页） 【解答】解：F（，0） ，直线 AB 的参数方程为：（t 为参数） ，将其代入 y22px， 得 t24pt4p20， 设 A，B 对应的参数为 t1，t2， t1+t24p，t1t24p20， 1， p 故选：C 【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题 12 （5 分）若函数 f（x）6xex2ax33ax2存在三个极值点，则 a 的取值范围为（ ） A （0，e） B （0，） C （e，+） D （，+） 【分析】f（x）6（x+1）ex6ax26ax
23、6（x+1） （exax） 根据函数 f（x）6xex 2ax33ax2存在三个极值点， 可得 exax0 必有两个不等于1 的不等实数根 化为： 令 g（x）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出 【解答】解：f（x）6（x+1）ex6ax26ax 6（x+1） （exax） 函数 f（x）6xex2ax33ax2存在三个极值点， exax0 必有两个不等于1 的不等实数根 化为： 令 g（x） g（x） 可得函数 g（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减 x1 时，函数 g（x）取得极大值，g（1） ， 解得 ae 第 12 页（共 21 页） 则 a 的取值范围为（e，+
24、） 故选：C 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、数形结合 方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）1999 年 10 月 1 日，在中华人民共和国建国 50 周年之际，中国人民银行陆续发 行了第五套人民币（1999 年版） ，第五套人民币纸币共有 1 元、5 元、10 元、20 元、50 元、100 元 6 种面额，现有这 6 种面额纸币各一张，一共可以组成 63 种币值 （用数 字作答） 【分析】由题意分 6 类，根据分类
25、计数原理可得 【解答】解：第一类，选 1 种面额，有 6 种， 第二类，选 2 种面额，有 C6215 种， 第三类，选 3 种面额，有 C6320 种， 第四类，选 4 种面额，有 C6415 种， 第五类，选 5 种面额，有 C656 种， 第六类，选 6 种面额，有 C661 种， 根据分类计数原理可得 6+15+20+15+6+163 种， 故答案为：63 【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题 14 （5 分）设随机变量 B（2，p） ，B（4，p） ，若，则 P（3） 【分析】根据 E（）np求出 P，然后根据 P（3）P（3）+P（4） C （）3（）1+C （）4可求得 【
26、解答】解：E（）2p，p， 第 13 页（共 21 页） B（4，） ，P（3）P（3）+P（4）C （）3（）1+C （）4 + 故答案为： 【点评】本题考查了二项分布与 n 次独立重复试验的模型，属基础题 15 （5 分）已知曲线在 x1 处的切线与直线：x+3y+10 垂直，则实数 a 的值为 4 【分析】根据题意，求出曲线的导数，进而求出 y|x1a1，由导数的几何意义以及 直线互相垂直的判断方法可得 ka13，解可得 a 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，曲线，则 y+， 则有 y|x1a1， 则曲线在 x1 处的切线的斜率 ka1， 若曲线在 x1 处的切线与直线：x+3y+
27、10 垂直，则 ka13， 解可得 a4； 故答案为：4 【点评】本题考查利用导数分析切线的斜率，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题 16 （5 分）已知 F 是椭圆（ab0）的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，直 线 AF 与椭圆另一交点为 B，且，则椭圆的离心率为 【分析】根据三角形相似求出 B 点坐标，代入椭圆方程得出 a，c 的关系即可求出椭圆的 离心率 【解答】解：设 A 为椭圆上顶点，过 B 作 x 轴的垂线 BD，垂足为 D， 则， DFOF，BDOA， B（，） ， 代入椭圆方程可得：+1， 第 14 页（共 21 页） 故答案为： 【点评】本题考查了椭圆的简单性质，属于中档
28、题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤 17 （10 分） 已知ABC 三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 点 D 为 BC 边的中点， acosB （b+2c）cosA，AD1 （1）求 A； （2）求ABC 面积的最大值 【分析】 （1）根据正弦定理边化角可得； （2）根据向量数量积以及基本不等式，面积公式可得 【解答】 解：（1） 由 acosB （b+2c） cosA 以及正弦定理可得 sinAcosB （sinB+2sinC）
29、cosA， 得 sinAcosB+cosAsinB2sinCcosA， 得 sinC2sinCcosA， 0C，sinC0， cosA， 又 0A，A （2）点 D 为 BC 边的中点， 2+， 4 2（ +）2 2+2+2 ， 又 AD1，4b2+c2+2bccosb2+c2bcbc， bc4，当且仅当 bc 时等号成立 第 15 页（共 21 页） SABCbcsinAbc，当且仅当 bc 时等号成立， ABC 面积的最大值为 【点评】本题考查了三角形中的几何计算，属中档题 18 （12 分）设 Sn为正项数列an的前 n 项和，且满足 an2+2an4Sn+3 （1）求an的通项公式；
30、（2）令 bn，若 Tnm 恒成立，求 m 的取值范围 【分析】 （1）由已知和数列的性质，可推出此数列为等差数列，利用定义写出通项即可； （2） 首先将 bn变形成差的形式， Tn利用 bn这一特点可以消项化简， 解不等式的 m 范围 【解答】解： （1）由题 an2+2an4sn+3， 令 n1，得 a12+2a14s1+3，解得 a13， 当 n2 时，an12+2an14sn1+3， 得： （anan1） （anan12）0， an0，anan120， 即 anan12 an是以 3 为首项，2 为公差的等差数列， an3+2（n1）2n+1； （2）bn， Tn（）+（）+（） （）
31、， 若 Tnm 恒成立，则 m， m 的取值范围为，+） 【点评】本题属于一般题型，考察了数列的定义和基本性质，对式子的变形有所考察， 总体上属于中档题 19 （12 分） “微信运动”是手机 APP 推出的多款健康运动软件中的一款，某学校 140 名老 师均在微信好友群中参与了 “微信运动” ， 对运动 10000 步或以上的老师授予 “运动达人” 称号，低于 10000 步称为“参与者” ，为了解老师们运动情况，选取了老师们在 4 月 28 日的运动数据进行分析，统计结果如下： 第 16 页（共 21 页） 运动达人 参与者 合计 男教师 60 20 80 女教师 40 20 60 合计
32、100 40 140 （1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过 0.05 的前提下认为获得“运动达人”称号 与性别有关？ （2）从具有“运动达人号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取 10 人参加全国第 四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的 10 人中随机抽取 3 人作 为代表参加开幕式， 设抽取的 3 人中女教师人数为 X， 写出 X 的分布列并求出数学期望 E （X） 参考公式：K2，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】（1） 根据列联表数据得到 k1.1673.84
33、1， 从而不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关 （2）根据分层抽样方法得选取的 10 人中，男教师有 6 人，女教师有 4 人，由题意得 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（X） 【解答】解： （1）根据列联表数据得到： k1.1673.841， 不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关 （2）根据分层抽样方法得： 男教师有（人） ， 女教师有（人） ， 选取的 10 人中，男教师有 6 人，女教师有 4 人， 由题意得 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，
34、第 17 页（共 21 页） P（X0）， P（X1）， P（X2）， P（X3）， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P E（X） 【点评】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及 应用，考查分层抽样、古典概率、排列组合等基础知识，是中档题 20 （12 分） 已知菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 交于点 0， AB4， BAD120， 将ACD 沿 AC 折起，使点 D 到达点 P 位置，满足OPB 为等边三角形 （1）求证：ACPB； （2）求二面角 PBCA 的余弦值 【分析】 （1）由 ACPO，ACOB，得 AC平面 POB，由此能证明 ACP
35、B （2）取 OB 中点 M，连结 PM，则 PMOB，AC面 POB，得 ACPM，以 OC 为 x 轴， OB 为 y 轴，过点 O 作 MP 的平行线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二 面角 PBCA 的余弦值 【解答】证明： （1）由已知，翻折后 ACPO，ACOB，POOBO， 第 18 页（共 21 页） AC平面 POB， 又 PB平面 POB，ACPB 解： （2）在菱形 ABCD 中，ABAD4，BAD120， BD4，OB2， 取 OB 中点 M，连结 PM，则 PMOB， 又 AC面 POB，ACPM， 又 ACPOO，PM面 ABC，PM3， 以 OC
36、为 x 轴，OB 为 y 轴，过点 O 作 MP 的平行线为 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 P（0，） ，B（0，2，0） ，C（2，0，0） ， （2，2，0） ，（0，3） ， 设平面 PBC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 z1，得 （3，） ， 平面 ABC 的一个法向量 （0，0，1） ， cos， 二面角 PBCA 的平面角是锐角， 二面角 PBCA 的余弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）过抛物线 C：x22py（p0）的焦点 F
37、做直线 l 交抛物线于 A，B 两点，|AB| 的最小值为 2 第 19 页（共 21 页） （1）求抛物线 C 的标准方程； （2）过 A，B 分别做抛物线 C 的切线，两切线交于点 E，且直线 AE，BE 分别与 x 轴交 于点 P，Q，记EPQ 和0AB 的面积分别为 SEPQ和 SOAB，求证为定值 【分析】 （1）设直线 AB 的方程并代入抛物线方程，求得弦长 AB 的解析式，再求出最小 值与已知最小值相等，可得 （2）通过求导，利用导数的几何意义求得 A，B 两点处抛物线的切线方程，并联立解得 交点 E 的坐标，再根据面积公式求得两个面积再求比值可得 【解答】解： （1）由题意知直
38、线 AB 的斜率存在，设直线 AB：ykx+， A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立方程，得 x22pkxp20， （2pk）2+4p20，x1+x22pk，x1x2p2， y1+y2k（x1+x2）+p， |AB|y1+y2+p2pk2+2p2p（k2+1） ， 当 k20，|AB|最小，此时 2p2，所以 p1， 即抛物线的标准方程为 x22y （2）由 x22y 得 yx2，yx， kAEx1，kBEx2， 直线 AE：yx1（xx1） ，令 y0 得 P（x1，0） ； 直线 BE：yx2（xx2） ，令 y0 得 P（x2，0） ， 则联立两直线方程，消去 x 得 yE，
39、第 20 页（共 21 页） SEPQ|yF|xPxQ|x1x2|， SOAB|OF|x1x2|x1x2|， 所以，即为定值 【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）x2+2ax+2lnx（aR） （1）若 f（x）是单调函数，求 a 的取值范围； （2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，且 x2e，求|f（x1）f（x2）|的最小值 【分析】 （1）f（x）2x+2a+x（0，+） 由 f（x）是单调函 数，可得 f（x）在 x（0，+）上恒非负令 yx2+ax+1，则，或 0，即可得出 a 的取值范围 （2）f（x）的两个极值点 x1，x2是方程
40、 x2+ax+10 的两个实数根可得 x1+x2a，x1x2 1又 x2e，可得 0x11ex2f（x）在x1，x2上单调递减可得 |f（x1）f（x2）|f（x1）f（x2）+2a（x1x2）+2ln，把根与系数代入 化简可得：|f（x1）f（x2）|2ln设te2设 h（t）t2lnt ， 利用导数研究其单调性即可得出 【解答】解： （1）f（x）2x+2a+x（0，+） f（x）是单调函数，f（x）在 x（0，+）上恒非负 令 yx2+ax+1，则，或0， 解得 a2 a 的取值范围是2，+） （2）f（x）的两个极值点 x1，x2是方程 x2+ax+10 的两个实数根 x1+x2a，x1x21 第 21 页（共 21 页） 又 x2e，0x11ex2f（x）在x1，x2上单调递减 |f（x1）f（x2）|f（x1）f（x2）+2ax1+2lnx1+2ax2+2lnx2+2a （x1x2）+2ln 2（x1+x2） （x1x2）+2ln +2ln 2ln 设te2 设 h（t）t2lnt则 h（t）1+0 函数 h（t）在e2，+）上单调递增 h（t）h（e2）e24 |f（x1）f（x2）|的最小值为 e24 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、一元二次 方程的根与系数的关系、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题