1、在ABC 中，若 sin2Asin2Bsin2C，则ABC 的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 4 （5 分）双曲线 y23x29 的渐近线方程为（ ） Axy0 Bx3y0 Cxy0 D3xy0 5 （5 分）已知ABC 中，满足 a3，b2，B30，则这样的三角形有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D无数个 6 （5 分）已知两点 F1（2，0） 、F2（2，0） ，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点 P 的轨迹方程为（ ） A B C D 7 （5 分）抛物线的焦点坐标是（ ） A （0，4） B （0，2） C D 8
2、（5 分）实数 x，y 满足，则 z3xy 的最小值是（ ） A4 B2 C0 D4 9 （5 分）已知函数 f（x）的图象如图所示，那么函数 f（x）的导函数 f（x）的图象最有 第 2 页（共 20 页） 可能的是下图中的（ ） A B C D 10 （5 分）设 p：f（x）mlnx 在（0，1内单调递减，q：m对任意 x0 恒 成立，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 11 （5 分）已知 A、B 分别是椭圆 x2+1 的左顶点和上顶点，C 是该椭圆上的动点，则 ABC 面积的最大值为（ ） A1 B1+ C2 D2+ 12
3、 （5 分）对于函数 f（x），下列说法正确的有（ ） f（x）在 x1 处取得极大值；f（x）有两个不同的零点；f（4）f（）f（3） ； e22ex A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在数列an中，a11，an+1an+（nN*） ，则 an 14 （5 分）已知函数 f（x）x3+3ax2+3（a+2）x+1 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取 值范围是 第 3 页（共 20 页） 15 （5 分）某船在航行过程中开始看见灯塔在南偏东 30方向，后来船沿南偏东
4、75方向 航行 15 海里后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 海里 16 （5 分）设 F1，F2分别为椭圆 C1：1（a1b10）与双曲线 C2： 1（a20，b20）的公共焦点，它们在第一象限内交于点 M，F1MF290，若双曲 线 C2的离心率 e2，则椭圆 C1的离心率 e1的值为 三、解答题：本大題共三、解答题：本大題共 6 小题，共计小题，共计 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知 p：方程1 表示双曲线，q：x1，2，x2a0，若 pq 为真，pq 为假，求实数 a 的取值范围 18 （12 分
5、） 在ABC 中角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c， 且 （）求角 B； （）若ABC 的面积为，求边 b 的取值范围 19 （12 分）已知等差数列bn中，bn1og2（ann） ，nN*，且 a13，a311 （）求数列bn的通项公式； （）求数列an的通项公式及其前 n 项和 Sn 20 （12 分）2018 年是中国改革开放 40 周年，改革开放 40 年来，从开启新时期到跨入新世 纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历 史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌40 年来，我们始终坚持保护环境 和节约资源，坚持推进生态文明建设郑
6、州市政府也越来越重视生态系统的重建和维 护若已知市财政下拨一项专款 100（百万元） ，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态 维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金 x（单位：百万元）的 函数 M（单位：百万元） ，M（x），处理污染项目五年内带来的生态受益可表示 为投放资金 x（单位：百万元）的函数 N（单位：百万元） ，N（x）0.2x （1）设分配给植绿护绿项目的资金为 x（百万元） ，则两个生态项目五年内带来的收益总 和为 y，写出 y 关于 x 的函数解析式和定义域； （2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出 y 的最大值，并求
7、出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 21 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F 在直线 y 第 4 页（共 20 页） x1 上 （）求抛物线 C 的方程； （）过点（1，0）作互相垂直的两条直线 l1，l2，l1与曲线 C 交于 A，B 两点，l2与曲 线 C 交于 E，F 两点，线段 AB、EF 的中点分别为 M，N求证：直线 MN 过定点 P，并 求出定点 P 的坐标 22 （12 分）已知函数 f（x）x2+2alnx（a+2）x，aR （）当 a0 时，求函数 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）当 a0 时，讨论函
8、数 f（x）的单调性； （）是否存在实数 a，对任意的 x1，x2（0，+） ，且 x1x2有 （x2+x1）a 恒成立？若存在求出 a 的取值范围；若不存在；说明理由 第 5 页（共 20 页） 2018-2019 学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科）学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题所给出的四个选项中，分在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）命题“x0R，x x0
9、”的否定是（ ） Ax0R，x x0 BxR，x2x Cx0R，x x0 DxR，x2x 【分析】由特称命题的否定为全称命题，得解 【解答】解：命题“x0R，x x0”的否定为“ “xR，x2x” ， 故选：D 【点评】本题考查了特称命题与全称命题，属简单题 2 （5 分）已知数列an是等比数列，且每一项都是正数，若 a11，a20193，则 a1010的 值为（ ） A9 B C D3 【 分 析 】 由 数 列 an 是 等 比 数 列 ， 且 每 一 项 都 是 正 数 ， a1 1 ， a2019 3 ， ，由此由 a10101q1009，能求出结果 【解答】解：数列an是等比数列，且
10、每一项都是正数，a11，a20193， ， a10101q1009 故选：B 【点评】本题考查数列的第 1010 项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 3 （5 分）在ABC 中，若 sin2Asin2Bsin2C，则ABC 的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 第 6 页（共 20 页） 【分析】运用正弦定理可得 b2+c2a2，再由余弦定理，可得 cosA0，即可判断三角形 的形状 【解答】解：在ABC 中，若 sin2Asin2Bsin2C， 则由正弦定理可得 a2b2c2，即 b2+c2a2， 再由余弦定理可得，co
11、sA0， 即有 A 为钝角， 则三角形 ABC 为钝角三角形 故选：C 【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题 4 （5 分）双曲线 y23x29 的渐近线方程为（ ） Axy0 Bx3y0 Cxy0 D3xy0 【分析】由双曲线 y23x29 化为，可得 a29，b23，即可得出渐近线方 程为 【解答】解：由双曲线 y23x29 化为，可得 a29，b23， a3，b 渐近线方程为，即0 故选：C 【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题 5 （5 分）已知ABC 中，满足 a3，b2，B30，则这样的三角形有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D无数个
12、 【分析】利用正弦定理和三角形的边角关系，即可判断这样的三角形有 2 个 【解答】解：ABC 中，a3，b2，B30， 由正弦定理得， ， sinA，A（0，） ，且 ab， 这样的三角形有 2 个 第 7 页（共 20 页） 故选：C 【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题 6 （5 分）已知两点 F1（2，0） 、F2（2，0） ，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点 P 的轨迹方程为（ ） A B C D 【分析】根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，得到 2|F1F2|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2| 4，得到点 P 在以 F1，
13、F2为焦点的椭圆上，已知 a，c 的值，求出 b 的值，写出椭圆的 方程 【解答】解：F1（2，0） 、F2（2，0） ， |F1F2|4， |F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项， 2|F1F2|PF1|+|PF2|， 即|PF1|+|PF2|8， 点 P 在以 F1，F2为焦点的椭圆上， 2a8，a4 c2，b212， 椭圆的方程是： 故选：D 【点评】本题考查轨迹方程的求法，椭圆的方程，解题的关键是看清点所满足的条件， 本题是用定义法来求得轨迹，还有直接法和相关点法可以应用 7 （5 分）抛物线的焦点坐标是（ ） A （0，4） B （0，2） C D 【分析】把抛物线的方程化为
14、标准方程，求出 p 值，再根据开口方向求得焦点坐标 【解答】解：抛物线的标准方程为 x28y，p4，2，开口向下， 故焦点坐标为 （0，2） ， 第 8 页（共 20 页） 故选：B 【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准 方程是解题的关键 8 （5 分）实数 x，y 满足，则 z3xy 的最小值是（ ） A4 B2 C0 D4 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，结合数形结合即可得到结 论 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z3xy 得 y3xz 平移直线 y3xz 由图象可知当直线 y3xz 经过点 B 时，直线
15、y3xz 的截距最大， 此时 z 最小 由，解得， 即 A（1，1） ， 此时 z314， 故选：A 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题 的关键 9 （5 分）已知函数 f（x）的图象如图所示，那么函数 f（x）的导函数 f（x）的图象最有 第 9 页（共 20 页） 可能的是下图中的（ ） A B C D 【分析】由原函数图象可知，原函数在（，2）上为增函数，在（2，0）上为减 函数，在（0，+）上为增函数，再由原函数的单调性与导函数符号间的关系得答案 【解答】解：由原函数图象可知，原函数在（，2）上为增函数，在（2，0）上 为减函数，在（0，+
16、）上为增函数， 可得 f（x）在（，2）（0，+）上大于 0 恒成立，在（2，0）上小于 0 恒 成立， 则函数 f（x）的导函数 f（x）的图象最有可能的是 B 故选：B 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查原函数的单调性与导函数的关系， 是基础题 10 （5 分）设 p：f（x）mlnx 在（0，1内单调递减，q：m对任意 x0 恒 成立，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】用导数研究函数的单调性有：f（x），由 f（x）mlnx 在（0， 1内单调递减，得 m， 第 10 页（共 20 页） 由均值不等式求函
17、数最值得：2，即 m2，得解 【解答】解：f（x）， 由 f（x）mlnx 在（0，1内单调递减， 则 f（x）0，在 x（0，1恒成立， 易得；m在 x（0，1恒成立， 即 m， 即：p：m， 因为当 x0 时，2， 又 m对任意 x0 恒成立， 则 m2， 即 q：m2， 即 p 是 q 的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题考查了用导数研究函数的单调性、均值不等式求函数最值及充分必要条件， 属中档题 11 （5 分）已知 A、B 分别是椭圆 x2+1 的左顶点和上顶点，C 是该椭圆上的动点，则 ABC 面积的最大值为（ ） A1 B1+ C2 D2+ 【分析】由椭圆方程求得|AB|，
18、写出 AB 所在直线方程，设 C（cos，2sin） ，利用点到 直线的距离公式求出 C 到 AB 所在直线的距离，代入三角形面积公式，利用三角函数求 最值 【解答】解：A、B 分别是椭圆 x2+1 的左顶点和上顶点， A（1，0） ，B（0，2） ，|AB|， 第 11 页（共 20 页） 直线 AB 的方程为：2xy+20， C 是该椭圆上的动点， 设 C（cos，2sin） ， 则点 C 到直线 AB 的距离： d， 当 sin（）1 时，dmax， ABC 面积的最大值为（SABC）max|AB|dmax 故选：B 【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法，考查椭圆性质、椭圆的参数方程
19、、三角 函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数 与方程思想，是中档题 12 （5 分）对于函数 f（x），下列说法正确的有（ ） f（x）在 x1 处取得极大值；f（x）有两个不同的零点；f（4）f（）f（3） ； e22ex A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】求得 f（x）的导数，以及单调区间，可得 f（x）的极值，即可判断；由 f（x） 0 可判断； 由 f（x）在 x1 递减，可判断 【解答】解：函数 f（x），可得 f（x）的导数为 f（x）， 当 x1 时，f（x）0，f（x）递减；当 x1 时，f（x）0，f（x）递增 可得 f（
20、x）在 x1 处取得极大值，且为最大值，故正确； f（x）只有零点 0，故错误； 由 f（x）在 x1 递减，且 43， 可得 f（4）f（）f（3） ，故正确； 由 f（x）在 x1 递减，且 21， 可得，即 e22ex，故错误 第 12 页（共 20 页） 故选：B 【点评】本题考查函数的导数的运用：求单调性和极值，考查函数的零点和单调性的运 用，考查运算能力和推理能力，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在数列an中，a11，an+1an+（nN*） ，则 an 【分析】根据数列的递推关系，利
21、用累加法和裂项法即可得到结论 【解答】解：a11，an+1an+（nN*） ， an+1an， （nN*） ， 则 a2a11， a3a2， anan1， 等式两边同时相加得 ana11， 故 an， 故答案为： 【点评】本题主要考查数列项的求解，根据数列的递推关系，以及利用累加法和裂项法 是解决本题的关键 14 （5 分）已知函数 f（x）x3+3ax2+3（a+2）x+1 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取 值范围是 （，1）（2，+） 【分析】先对函数进行求导，根据函数 f（x）x3+3ax2+3（a+2）x+1 既有极大值又有极 小值，可以得到0，进而可解出 a 的范围 【解答】解
22、：f（x）x3+3ax2+3（a+2）x+1f（x）3x2+6ax+3（a+2） 函数 f（x）x3+3ax2+3（a+2）x+1 既有极大值又有极小值 （6a）2433（a+2）0 a2 或 a1 故答案为： （，1）（2，+） 第 13 页（共 20 页） 【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件属基础题 15 （5 分）某船在航行过程中开始看见灯塔在南偏东 30方向，后来船沿南偏东 75方向 航行 15 海里后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 5 海里 【分析】以 O 为原点建立直角坐标系，利用方向坐标和直角三角形的边角关系，即可求 得船与灯塔的距离 【解答】解：以 O
23、为原点建立直角坐标系，如图所示； 设南偏东 30方向为射线 OM， 船沿南偏东 75方向航行 15 海里后到达 A 点， 过 A 作 x 轴平行线，交 y 轴于 D 点，交 OM 于 B 点， 则DOA30+45，cosDOA， ODOAcos75， 又 sinDOA， ADOAsin75； 又DOB30，tanDOB， BDODtan30； 故答案为：5 【点评】本题考查了解三角形的实际模型应用问题，是基础题 16 （5 分）设 F1，F2分别为椭圆 C1：1（a1b10）与双曲线 C2： 第 14 页（共 20 页） 1（a20，b20）的公共焦点，它们在第一象限内交于点 M，F1MF29
24、0，若双曲 线 C2的离心率 e2，则椭圆 C1的离心率 e1的值为 【分析】利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理求解离心率即可 【解答】解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF1|+|MF2|2a1，|MF1|MF2|2a2， 所以|MF1|a1+a2，|MF2|a1a2 因为F1MF290， 所以|MF1|2+|MF2|24c2， 即（a1+a2）2+（a1a2）24c2， 即 a12+a222c2， 由 e1，e2， 即有+2， 因为 e2， 所以，可得 e1， 故答案为： 【点评】本题考查双曲线和椭圆的简单性质的应用：求离心率，注意定义法的运用，考 查计算能力，属于基础题 三、解答题
25、：本大題共三、解答题：本大題共 6 小题，共计小题，共计 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知 p：方程1 表示双曲线，q：x1，2，x2a0，若 pq 为真，pq 为假，求实数 a 的取值范围 【分析】由双曲线的定义得： （a+2） （a2）0，即2a2，由二次不等式恒成立得： x1，2，x2a0，则（x2a）min0，即 1a0，即 a1， 结合复合命题及其真假得：pq 为真，pq 为假，则 p、q 一真一假，再列不等式组解 即可 【解答】解：当 p 为真时，即方程1 表示双曲线，则（a+2） （a2）0， 第 15
26、 页（共 20 页） 即2a2， 当 q 为真时，即：x1，2，x2a0，则（x2a）min0，即 1a0，即 a1， 又 pq 为真，pq 为假，则 p、q 一真一假， 即或，解得：a2，或 1a2， 故答案为： （，2（1，2） 【点评】本题考查了双曲线的定义及二次不等式恒成立问题，复合命题及其真假，属简 单题 18 （12 分） 在ABC 中角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c， 且 （）求角 B； （）若ABC 的面积为，求边 b 的取值范围 【分析】 （）由正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 sinC 2cosBsinC，结合 sinC0，可求 co
27、sB结合范围 B（0，） ，可求 B 的值 （）由已知利用三角形面积公式可求 ac4，由余弦定理，基本不等式可求边 b 的取值 范围 【解答】解： （）， 由正弦定理，余弦定理可得：，可得：2bcosC+c2a， 2sinBcosC+sinC2sinA， 2sinBcosC+sinC2sin（B+C）2sinBcosC+2cosBsinC，可得：sinC2cosBsinC， sinC0， cosB B（0，） ， B （）B，ABC 的面积为acsinBac， ac4， 由余弦定理可得：b2a2+c2ac2acacac4，当且仅当 ac 时等号成立， b2可得边 b 的取值范围是：2，+） 第
28、 16 页（共 20 页） 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公 式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 19 （12 分）已知等差数列bn中，bn1og2（ann） ，nN*，且 a13，a311 （）求数列bn的通项公式； （）求数列an的通项公式及其前 n 项和 Sn 【分析】 （）设出公差为 d，运用等差数列的通项公式可得公差 d，即可得到所求通项； （）运用对数的运算性质可得 ann+2n，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比 数列的求和公式，计算可得所求和 【解答】解： （）等差数列bn的公差设为 d，b
29、n1og2（ann） ，nN*，且 a13，a3 11， 可得 b1log2（a11）1，b3log2（a33）3， 可得 d1， 则 bnb1+（n1）d1+n1n； （）由 bn1og2（ann）n， 可得 ann+2n， 则前 n 项和 Sn（1+2+n）+（2+4+2n） n（n+1）+ （n2+n）+2n+12 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和 方法：分组求和，考查化简运算能力，属于基础题 20 （12 分）2018 年是中国改革开放 40 周年，改革开放 40 年来，从开启新时期到跨入新世 纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就
30、了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历 史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌40 年来，我们始终坚持保护环境 和节约资源，坚持推进生态文明建设郑州市政府也越来越重视生态系统的重建和维 护若已知市财政下拨一项专款 100（百万元） ，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态 维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金 x（单位：百万元）的 函数 M（单位：百万元） ，M（x），处理污染项目五年内带来的生态受益可表示 为投放资金 x（单位：百万元）的函数 N（单位：百万元） ，N（x）0.2x 第 17 页（共 20 页） （1）设分配给植绿护绿项目的资金为 x（百万元） ，则两个生态项
31、目五年内带来的收益总 和为 y，写出 y 关于 x 的函数解析式和定义域； （2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出 y 的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 【分析】 （1）由题意可得 y 关于 x 的函数解析式和定义域； （2）由题意可得 y50+22，再利用基本不等式即可求出 【解答】解： （1）yM（x）+N（x）+0.2（100x） ，x0，100， （2）由（1）得到 y+0.2（10x+110）50+22 722722052 当且仅当取等号，即 x40 时，取等号 所以 y 的最大值为 52 万元，分别投资给植绿护绿和处理污染
32、两个生态维护项目 40 万和 60 万元 【点评】本题考查了函数模型的选择和应用，考查了基本不等式的应用，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 21 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F 在直线 y x1 上 （）求抛物线 C 的方程； （）过点（1，0）作互相垂直的两条直线 l1，l2，l1与曲线 C 交于 A，B 两点，l2与曲 线 C 交于 E，F 两点，线段 AB、EF 的中点分别为 M，N求证：直线 MN 过定点 P，并 求出定点 P 的坐标 【分析】 （）由题意可得 F（1，0） ，求得 p2，可得抛物线的方程； （）易知直线 l
33、1，l2的斜率存在且不为 0，设直线 l1的斜率为 k，A（x1，y1） ，B（x2， y2） ， 设出直线方程和抛物线的方程联立， 运用韦达定理和中点坐标公式， 可得 M 的坐标， 由垂直的条件，可将 k 换为，可得 N 的坐标，求得 MN 的方程，即可得到定点坐标 【解答】解： （）抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F 在直线 yx1 上， 可得 F（1，0） ，即有1，即 p2， 抛物线的方程为 y24x； 第 18 页（共 20 页） （）证明：易知直线 l1，l2的斜率存在且不为 0， 设直线 l1的斜率为 k，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则直线 l1：yk（x1）
34、 ，M（，） ， 由 y24x 和 yk（x1）得 k2x2（2k2+4）x+k20， （2k2+4）24k416k2+160， x1+x22+，y1+y2k（x1+x22）， M（1+，） ， 由垂直的条件，可将 k 换为， 同理得 N（1+2k2，2k） ， 当 k1 或 k1 时，直线 MN 的方程为 x3； 当 k1，k1 时，直线 MN 的斜率为， 直线 MN 的方程为 y+2k（x12k2） ，即（k21）y+（x3）k0， 直线 MN 过定点，其坐标为（3，0） 【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线 方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查直
35、线恒过定点的求法，考查化简整理的运算 能力，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）x2+2alnx（a+2）x，aR （）当 a0 时，求函数 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）当 a0 时，讨论函数 f（x）的单调性； （）是否存在实数 a，对任意的 x1，x2（0，+） ，且 x1x2有 （x2+x1）a 恒成立？若存在求出 a 的取值范围；若不存在；说明理由 【分析】 （）把 a0 代入函数解析式，求导后解出 f（1）1，再求得 f（1） ，利 用直线方程点斜式得答案； （）求出函数的导函数，根据 a 的不同取值对函数定义域分段，由函数导函数的符号 判断原函数在
36、各区间段内的单调性； 第 19 页（共 20 页） （） 假设存在实数 a 使得对任意的 x1， x2 （0， +） ， 且 x1x2， 有 （x2+x1）a 恒成立，把问题转化为 alnx2x2alnx1x1 恒成立，构造函数 g（x） alnxx，则需函数 g（x）在（0，+）上为减函数由 g（x）0 在（0，+）上恒 成立求解实数 a 的取值范围 【解答】解： （）函数 f（x）的定义域为（0，+） ， 由 f（x）x2+2alnx（a+2）x， 当 a0 时，f（x）x22x， f（x）x2， f（1），f（1）1， 函数 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y+， 即 2x
37、+2y+10； （）f（x） 当 0a2 时，若 x（0，a） ，f（x）0，f（x）为增函数； 若 x（a，2） ，f（x）0，f（x）为减函数； 若 x（2，+） ，f（x）0，f（x）为增函数 （2）当 a2 时，在（0，+）上 f（x）0，f（x）为增函数； （3）当 a2 时，若 x（0，2） ，f（x）0，f（x）为增函数； 若 x（2，a） ，f（x）0，f（x）为减函数； 若 x（a，+） ，f（x）0，f（x）为增函数 （）假设存在实数 a 使得对任意的 x1，x2（0，+） ，且 x1x2， 有（x2+x1）a 恒成立， 不妨设 0x1x2， 即 ， 也就是 alnx2x2alnx1x1 恒成立， 第 20 页（共 20 页） 构造函数 g（x）alnxx，则需函数 g（x）在（0，+）上为减函数 g（x）0 在（0，+）上恒成立 ax0 在（0，+）上恒成立，即 ax 在（0，+）上恒成立 a0 故存在实数 a （， 0， 对任意的 x1， x2 （0， +） ， 且 x1x2有 （x2+x1）a 恒成立 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值最小值中的应用， 考查了数学转化思想和分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法求参数的取值 范围，属难题