1、命题“若 a，b 都是奇数，则 a+b 是偶数”的逆否命题是（ ） A若 a，b 都不是奇数，则 a+b 是偶数 B若 a+b 是偶数，则 a，b 都是奇数 C若 a+b 不是偶数，则 a，b 都不是奇数 D若 a+b 不是偶数，则 a，b 不都是奇数 3 （5 分）已知空间向量 （0，1，1） ， （x，0，1） ，则“x1”是“向量 与 的 夹角是”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S1，S3，S2成等差数列，则an的公比 q 等于 （ ） A1 B2 C D 5 （5 分）已知双曲线1
2、的左、右焦点分别为 F1，F2，若双曲线上一点 P 满足 F1PF260，则F1PF2的面积为（ ） A B9 C18 D16 6 （5 分）已知数列 an，令 Tna1a2an，若 Tn14，则 n 的最小值为（ ） A4 B5 C6 D7 7 （5 分）已知ABC 内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若（sin2A+sin2Csin2B） tanB sinAsinC，则 B（ ） A B C或 D或 第 2 页（共 22 页） 8 （5 分）已知点（x，y）满足，目标函数 zax+y 仅在点（1，0）处取得最小 值，则 a 的取值范围为（ ） A （1，2） B （2，1） C
3、（） D （） 9 （5 分）给出如下四个命题： 命题 p：x0R，x02+x010，则p：xR，x2+x10； 四个实数 a，b，c，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是 adbc； 函数 yx2+2+的最小值是 2； 在ABC 中，ab 是 cos2Acos2B 的充要条件 其中假命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 10 （5 分）已知双曲线 C：（a0，b0） ，过左焦点 F1的直线切圆 x2+y2a2 于点 P，交双曲线 C 右支于点 Q，若，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） Ayx By2x Cy Dy 11 （5 分） 九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西
4、方早一千多年，例 如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角 三角形的三棱锥如图，在堑堵 ABCA1B1C1中，ACB90，若 AB，AA12， 当鳖臑 A1ABC 体积最大时，直线 B1C 与平面 ABB1A1所成角的余弦值为（ ） A B C D 第 3 页（共 22 页） 12 （5 分）过原点的一条直线与椭圆1（ab0）交于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点 F2，若ABF2，则该椭圆离心率的取值范围 为（ ） A） B C） D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20
5、分分 13 （5 分）在等差数列an中，a4+a6+2a916，则 S13 14 （5 分） 为了计算不可直接测量的 A， B 两点间的距离， 另选一点 C， 测得 AC2， BAC 75，ACB60，则 AB 15 （ 5分 ） 化 简 ：+ + + 16 （5 分）已知 P 是抛物线 y24x 上一动点，F 为焦点，点 A 在圆（x4）2+（y+1）21 上运动，则|PA|+|PF|的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤 17 （10 分）已知命题
6、p：点（1，1）在不等式 x（m22m+4）y+60 表示的平面区域内； 命题 q：x2mx+10 对一切 x（0，+）恒成立，若“pq”为真， “pq”为假，求 实数 m 的取值范围 18 （12 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，点（an+1，Sn）在直线 xy10 上，且 a11 （1）求an的通项公式； （2）若 bn，且数列bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn 19 （12 分）在三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a2，c （1）若 cosB，求 sinC 的值； （2）求角 C 的取值范围 20 （12 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F
7、，斜率为 1 的一条直线与抛物线交于 A， B 两点，且线段 AB 中点的纵坐标为 2 （1）求抛物线的方程； 第 4 页（共 22 页） （2）在 x 轴正半轴上是否存在点 M（m，0） ，使得过点 M 与抛物线有两个交点 C，D 的 任一直线均满足CFD 为钝角？若存在，求出 m 的范围，若不存在，请说明理由 21 （12 分）四棱锥 PABCD 的底面是边长为 2 的正方形，PA平面 ABCD，E，F 分别为 线段 AB，BC 的中点 （1）线段 AP 上一点 M，满足，求证：EM平面 PDF； （2）若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45，求二面角 APDF 的余弦值 22 （1
8、2 分）已知椭圆 C：1（ab0） ，离心率为，F1，F2是椭圆 C 的左， 右焦点，且|F1F2|2，点 P 是直线 x2 上的动点，过点 P 作圆 O：x2+y2a2的两条切 线，切点分别为 M，N，直线 MN 与椭圆 C 交于 A，B 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）求F1AB 面积的最大值 第 5 页（共 22 页） 2018-2019 学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有
9、一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）抛物线 y4x2的焦点到准线的距离是（ ） A4 B2 C D 【分析】直接利用抛物线方程求解即可 【解答】解：抛物线 y4x2，即 x2y 的焦点到准线的距离为：p 故选：C 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查 2 （5 分）命题“若 a，b 都是奇数，则 a+b 是偶数”的逆否命题是（ ） A若 a，b 都不是奇数，则 a+b 是偶数 B若 a+b 是偶数，则 a，b 都是奇数 C若 a+b 不是偶数，则 a，b 都不是奇数 D若 a+b 不是偶数，则 a，b 不都是奇数 【分析
10、】根据逆否命题的定义即可得到结论 【解答】解：根据逆否命题的定义可知：命题的逆否命题为： 若 a+b 不是偶数，则 a，b 不都是奇数 故选：D 【点评】本题主要考查四种命题之间的关系，比较基础 3 （5 分）已知空间向量 （0，1，1） ， （x，0，1） ，则“x1”是“向量 与 的 夹角是”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据空间两向量的夹角大小求出 x 的值，再根据充分必要条件的定义即可判断 【解答】解：空间向量 （0，1，1） ， （x，0，1） ， 第 6 页（共 22 页） 则 0+0+1，| |，| |， cos ， c
11、os， 解得 x1， 故“x1”是“向量 与 的夹角是”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题考查了求空间两向量的夹角大小的应用问题和充分必要条件的判断，是基 础题目 4 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S1，S3，S2成等差数列，则an的公比 q 等于 （ ） A1 B2 C D 【分析】 由等差数列的中项性质可得 2S3S1+S2， 再由等比数列的通项公式解方程可得 q 【解答】解：S1，S3，S2成等差数列， 可得 2S3S1+S2， 即为 2（a1+a2+a3）a1+a1+a2， 即有 2a1（1+q+q2）a1（2+q） ， 化为 2q2+q0， 解得 q（q0
12、 舍去） ， 故选：D 【点评】本题考查等差数列中项的性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能 力，属于基础题 5 （5 分）已知双曲线1 的左、右焦点分别为 F1，F2，若双曲线上一点 P 满足 F1PF260，则F1PF2的面积为（ ） A B9 C18 D16 【分析】由题意可得 F2（5，0） ，F1 （5，0） ，余弦定理可得 PF1PF236，由 S PF1PF2sin60，即可求得F1PF2的面积 【解答】解：由题意可得 F2（5，0） ，F1 （5，0） ，由余弦定理可得 第 7 页（共 22 页） 100PF12+PF222PF1PF2cos60（PF1PF2）2+PF
13、1PF264+PF1PF2， PF1PF236 SF1PF2PF1PF2sin60369 故选：A 【点评】本题主要考察了双曲线的简单性质，属于基础题 6 （5 分）已知数列 an，令 Tna1a2an，若 Tn14，则 n 的最小值为（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】直接利用数列的通项公式和赋值法求出结果 【解答】解：数列 an， 令 Tna1a2an， 由于 Tn14， 则：， 故： （n+1） （n+2）28， 当 n4 时 563028， 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：数列的相消法求出和的关系式，赋值法的应用，主要考 查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 7 （5 分
14、）已知ABC 内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若（sin2A+sin2Csin2B） tanB sinAsinC，则 B（ ） A B C或 D或 【分析】由正弦定理，余弦定理化简已知等式可得 2cosBsinBcosB，解得 sinB， 结合范围 B（0，） ，可求 B 的值 【解答】解：（sin2A+sin2Csin2B） tanBsinAsinC， （sin2A+sin2Csin2B） sinBsinAsinCcosB， 由正弦定理可得： （a2+c2b2） sinBaccosB， 由余弦定理可得：2accosBsinBaccosB，可得：2cosBsinBcosB， co
15、sB0（舍去） ，或 sinB， 第 8 页（共 22 页） B（0，） ， B或 故选：C 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想， 属于基础题 8 （5 分）已知点（x，y）满足，目标函数 zax+y 仅在点（1，0）处取得最小 值，则 a 的取值范围为（ ） A （1，2） B （2，1） C （） D （） 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件， 即可求出 a 的取值范围 【解答】解：作出不等式对应的平面区域， 可行域为ABC， 由 zax+y 可得 yax+z，直线的斜率 ka kAC2，kAB1 若目标函数
16、 zax+y 仅在点 A（1，0）处取得最小值，则有 kABkkAC 即1a2 2a1， 即实数 a 的取值范围是（2，1） 故选：B 第 9 页（共 22 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方 法根据条件目标函数 zax+y 仅在点 A（1，0）处取得最小值，确定直线的位置是解决 本题的关键 9 （5 分）给出如下四个命题： 命题 p：x0R，x02+x010，则p：xR，x2+x10； 四个实数 a，b，c，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是 adbc； 函数 yx2+2+的最小值是 2； 在ABC 中，ab 是 cos2Acos2B 的充要
17、条件 其中假命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】由特称命题的否定为全称命题，可判断；由等比数列的性质和充分必要条件 的定义，可判断； 由对勾函数的单调性可判断；由三角形的边角关系和正弦定理，结合二倍角的余弦公 式，可判断 【解答】解：，命题 p：x0R，x02+x010，则p：xR，x2+x10，故正 确； ，四个实数 a，b，c，d 依次成等比数列可得 adbc， 但 adbc0，推不到 a，b，c，d 成等比数列，故正确； ，函数 yx2+2+，可令 tx2+2（t2） ，由 yt+在 t2 递增， 第 10 页（共 22 页） 可得函数 y 的最小值是 2，故错误； ，在
18、ABC 中，abABsinAsinBsin2Asin2B， 即 12sin2A12sin2B，即 cos2Acos2B，故错误 故选：C 【点评】本题考查命题的否定和充分必要条件的判断、函数的单调性和解三角形，考查 判断能力和推理能力，属于中档题 10 （5 分）已知双曲线 C：（a0，b0） ，过左焦点 F1的直线切圆 x2+y2a2 于点 P，交双曲线 C 右支于点 Q，若，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） Ayx By2x Cy Dy 【分析】由已知可得：丨 OP 丨a，设双曲线的右焦点为 F，由 P 为线段 FQ 的中点， 知|PF|2a，|QF|2b，由双曲线的定义知：2b2a2a
19、，由此能求出双曲线 C： （a0，b0）的渐近线方程 【解答】解：过双曲线 C：（a0，b0） ，左焦点 F 引圆 x2+y2a2 的切 线，切点为 P， 丨 OP 丨a， 设双曲线的右焦点为 F， P 为线段 FQ 的中点， |QF|2a，|QF|2b， 由双曲线的定义知：2b2a2a， b2a 双曲线 C：（a0，b0）的渐近线方程为 bxay0， 即 2axay0， 2xy0 故选：B 第 11 页（共 22 页） 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线 与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化，属于中档题 11 （5 分） 九章算术是我国
20、古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例 如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角 三角形的三棱锥如图，在堑堵 ABCA1B1C1中，ACB90，若 AB，AA12， 当鳖臑 A1ABC 体积最大时，直线 B1C 与平面 ABB1A1所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】当鳖臑 A1ABC 体积最大时，ACBC1，以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，CC1为 z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线 B1C 与平面 ABB1A1所成角的余 弦值 【解答】解：在堑堵 ABCA1B1C1中，ACB90，AB，AA12，当鳖
21、臑 A1 ABC 体积最大时，ACBC1， 以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，CC1为 z 轴，建立空间直角坐标系， B1（0，1，2） ，C（0，0，0） ，A（1，0，0） ，B（0，1，0） ， （0，1，2） ，（1，1，0） ，（0，0，2） ， 设平面 ABB1A1的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，1，0） ， 第 12 页（共 22 页） 设直线 B1C 与平面 ABB1A1所成角为 ， 则 sin， cos 直线 B1C 与平面 ABB1A1所成角的余弦值为 故选：A 【点评】本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置
22、关系 等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 12 （5 分）过原点的一条直线与椭圆1（ab0）交于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点 F2，若ABF2，则该椭圆离心率的取值范围 为（ ） A） B C） D 【分析】 由题意画出图形， 可得四边形 AF2BF1 为矩形， 则 ABF1F22c， 结合 AF2+BF2 2a，AF22csinABF2，BF22ccosABF2，列式可得 e 关于ABF2的三角函数， 利用辅助角公式化积后求解椭圆离心率的取值范围 【解答】解：如图， 第 13 页（共 22 页） 设椭圆的另一焦点为 F1，连接 AF1，AF2
23、，BF1， 则四边形 AF2BF1 为矩形，ABF1F22c， AF2+BF22a，AF22csinABF2，BF22ccosABF2， 2csinABF2+2ccosABF22a， 得 e ABF2， 则 则椭圆离心率的取值范围为 故选：B 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思 想方法，训练了三角函数最值的求法，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在等差数列an中，a4+a6+2a916，则 S13 52 【分析】由 a4+a6+2a916，及等差数列的性质
24、 可得 a1+a138，再根据求和公式即可求 出 【解答】解：设过程为 d，在等差数列an中，a4+a6+2a9a5d+a5+d+2a92（a5+a9） 16， a5+a98， a1+a138， 前 13 项和 S13（a1+a13）852， 故答案为：52 第 14 页（共 22 页） 【点评】本题考查等差数列的定义和性质，前 n 项和公式的应用，属于基础题 14 （5 分） 为了计算不可直接测量的 A， B 两点间的距离， 另选一点 C， 测得 AC2， BAC 75，ACB60，则 AB 【分析】直接利用三角形内角和定理和正弦定理的应用求出结果 【解答】解：在ABC 中，由于BAC75，
25、ACB60， 则：ABC45 利用正弦定理：， 解得： 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三角形内角和定理的应用，正弦定理的应用，主要考查 学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 15 （ 5分 ） 化 简 ：+ + + 1 【分析】由分母有理化求得，再 由裂项相消求和，化简可得所求和 【解答】解： ， 则+ 1+1 故答案为：1 【点评】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于基 础题 16 （5 分）已知 P 是抛物线 y24x 上一动点，F 为焦点，点 A 在圆（x4）2+（y+1）21 上运动，则|PA|+|PF|的最小值为 4 【分析】根据题意画出图形
26、，结合图形利用抛物线的定义与性质，转化求解|PA|+|PF|最小 值问题 第 15 页（共 22 页） 【解答】解：圆（x4）2+（y+1）21 的圆心为 C（4，1） ， 过点 C 作抛物线 y24x 准线 x1 的垂线，垂足为 N，如图所示： 由抛物线的定义可知：|PF|PN|， 当 P、A、N 经过圆 C 的圆心时，|PA|+|PF|取得最小值， 圆心（4，1） ，半径为 1，所以|PA|+|PF|最小值为： 4（1）14 故答案为：4 【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系应用问题，也考查了圆的方程应用问题， 是中档题 三、解答三、解答题：本大题共题：本大题共 6 个小题，共个小题，
27、共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤 17 （10 分）已知命题 p：点（1，1）在不等式 x（m22m+4）y+60 表示的平面区域内； 命题 q：x2mx+10 对一切 x（0，+）恒成立，若“pq”为真， “pq”为假，求 实数 m 的取值范围 【分析】先求出 p 和 q 为真时，m 的范围；再根据复合命题的真假得 p 和 q 为一真一假， 分两种情况列式得结果后相并即得 【解答】解：命题 p 真等价于：1（m22m+4）+60，即1m3； 命题 q 真等价于：m（x+）min2； “pq”为真， “pq”为假 等价于
28、p，q 一真一假； 等价于：或 解得 2m3 或 m1 第 16 页（共 22 页） 【点评】本题考查了复合命题及其真假，属基础题 18 （12 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，点（an+1，Sn）在直线 xy10 上，且 a11 （1）求an的通项公式； （2）若 bn，且数列bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn 【分析】 （1）由题意可得 Snan+11，由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可 得所求； （2）求得 bnn （）n 1，再由数列的错位相减法求和，结合 等比数列的求和公式，计算可得所求和 【解答】解： （1） （an+1，Sn）在直线 xy10 上， 可得 Snan
29、+11， n1 时，a21+S11+12， 当 n2 时，Sn1an1， 相减可得 anSnSn1an+1an， 即为 an+12an， 可得 an22n 22n1； （2）bnn （）n 1， 前 n 项和为 Tn1 （）0+2 （）1+n （）n 1， Tn1 （）+2 （）2+n （）n， 相减可得Tn1+（）+（）2+（）n 1n （ ）n n （）n， 化简可得 Tn4（n+2） （）n 1 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的错位相 减法求和，化简整理的运算能力，属于中档题 19 （12 分）在三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，
30、b，c，a2，c 第 17 页（共 22 页） （1）若 cosB，求 sinC 的值； （2）求角 C 的取值范围 【分析】 （1）利用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值，由余弦定理可得 b 的值，由 正弦定理可得 sinC 的值 （2）根据正弦定理，代入题中数据得 sinCsinA，结合 A 为三角形内角算出 sinC （0，根据正弦函数的图象，可得 C 的范围，注意到 ac 得 C 不是最大角，因此 得到满足题意 C 的范围 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （1）cosB， 可得：sinB， a 2 ， c 由 余 弦 定 理 可 得 ： b 3， 由正弦定理，可得：s
31、inC （2）ABC 中，a2，c， 由正弦定理，得， 由此可得 sinCsinA， A（0，） ，可得：0sinA1， sinC（0， 结合函数 ysinx 的图象，可得 C（0，） ， 又ac，可得角 C 是锐角， C（0， 【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦函数的定义 域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题 20 （12 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，斜率为 1 的一条直线与抛物线交于 A， B 两点，且线段 AB 中点的纵坐标为 2 第 18 页（共 22 页） （1）求抛物线的方程； （2）在 x 轴正半轴上是否存在点
32、M（m，0） ，使得过点 M 与抛物线有两个交点 C，D 的 任一直线均满足CFD 为钝角？若存在，求出 m 的范围，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）设点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，利用已知条件得出 y1+y24， 将 A、B 两点坐标代入抛物线的方程，并将两个等式作差，结合前面两个等式可求出 p 的值，进而得出抛物线的方程； （2）设直线 CD 的方程为 xty+m，设点 C（x3，y3） 、D（x4，y4） ，将直线 CD 的方程 与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，由CFD 为钝角得出，然后利用韦 达定理并结合向量数量积的坐标运算得出关于 m 的不等式，解出即可 【解
33、答】解： （1）设点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，则，所以，y1+y24 由于直线 AB 的斜率为 1，则 将点 A、B 的坐标代入抛物线的方程得， 将上述两式相减得，则（y1y2） （y1+y2）2p（x1x2） ， 所以，即，解得 p2 因此，抛物线的方程为 y24x； （2）设直线 CD 的方程为 xty+m，设点 C（x3，y3） 、D（x4，y4） 将直线 CD 的方程与抛物线的方程联立，消去 x 得，y24ty4m0 m0，16t2+16m0 恒成立，由韦达定理得 y3+y44t，y3y44m 由于CFD 为钝角，则， 且，同理可得 4m（t2+1）+4t2（m1）+（
34、m1）2 第 19 页（共 22 页） m26m+14t20， 即不等式 m26m+14t2对任意的实数 tR 恒成立，所以，m26m+10，解得 由于 m0，因此，实数 m 的取值范围为 所以，在 x 轴正半轴上是否存在点 M（m，0） ，使得过点 M 与抛物线有两个交点 C，D 的任一直线均满足CFD 为钝角，且实数 m 的取值范围是 【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查点差法以及韦达定理法在抛物线综合 问题中的应用，考查计算能力，属于中等题 21 （12 分）四棱锥 PABCD 的底面是边长为 2 的正方形，PA平面 ABCD，E，F 分别为 线段 AB，BC 的中点 （1）线段
35、 AP 上一点 M，满足，求证：EM平面 PDF； （2）若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45，求二面角 APDF 的余弦值 【分析】 （1）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能证明 EM平面 PDF （2）推导出平面 PDF 的法向量，平面 PAD 的法向量，由此能求出二面角 APDF 的 余弦值 【解答】证明： （1）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐 标系， A（0，0，0） ，设 PAa，则 M（0，0，） ，P（0，0，a） ，F（2，1，0） ，D（0，2，
36、0） ， E（1，0，0） ， （1，0，） ，（2，1，a） ，（0，2，a） ， 设平面 PDF 的法向量 （x，y，z） ， 第 20 页（共 22 页） 则，取 z2，得 （，a，2） ， 0，EM平面 PDF， EM平面 PDF 解： （2）PB 与平面 ABCD 所成的角为 45，PAAB2， P（0，0，2） ，D（0，2，0） ，F（2，1，0） ， （0，2，2） ，（2，1，0） ， 设平面 PDF 的法向量为 （x，y，z） ， 则，取 y1，得 （，1，1） ， 平面 PAD 的法向量 （1，0，0） ， 设二面角 APDF 的平面角为 ， 则 cos， 二面角 APD
37、F 的余弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 22 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0） ，离心率为，F1，F2是椭圆 C 的左， 右焦点，且|F1F2|2，点 P 是直线 x2 上的动点，过点 P 作圆 O：x2+y2a2的两条切 线，切点分别为 M，N，直线 MN 与椭圆 C 交于 A，B 两点 第 21 页（共 22 页） （1）求椭圆 C 的方程； （2）求F1AB 面积的最大值 【分析】 （1）由题意可得 c1，可得 a，即可求出椭圆方程； （2）根据两圆求
38、出直线 MN，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的 距离公式、基本不等式，结合已知条件能求出F1AB 的面积的最大值 【解答】解： （1）由题意可得 c1，可得 a， 则 b2a2c21， 椭圆方程为+y21， （2）设点 P（2，t） ，A（x1，y1） 、B（x2，y2） ， 以点 P 为圆心，MP 的长为半径的圆的方程为（x2）2+（yt）22+t2， 由已知圆的方程为 x2+y22， 由可得直线 MN 的方程为：2x+2t20， 直线 MN 恒过点（1，0） ，此点为椭圆的右焦点， 由，可得（t2+8）y24ty40， （4t）24（4）（t2+8）0， y1+y2，y1y2， F1AB 的面积 S|F1F2|y1y2|y1y2| 4 4 第 22 页（共 22 页） ， 当且仅当，即 t0 时等号成立， 故F1AB 面积的最大值 【点评】本题考查椭圆性质、根的判别式、韦达定理、弦长公式、基本不等式等基础知 识，考查考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化 归与转化思想，属于中档题