1、2020 年普通高等学校全国统一招生考试年普通高等学校全国统一招生考试(江苏卷江苏卷)押题卷押题卷 数学数学 I 参考公式: 1.样本数据 12 , n xxx的方差: 22 1 1 () , n i i sxx n 其中 1 1 n i i xx n ； 2.圆柱的体积 V= Sh,其中 S 是圆柱的底面圆面积,h 是高 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1. 已知集合 A= 0,1,2, B= -1,0, 则集合 AB=_. 2.已知复数 z 满足(2+i)z=5,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的模为_. 3.某工厂生产 A
2、, B, C 三种不同型号的产品,产量之比为 1:2:3. 现用分层抽样的方法抽取 1 个容量为 n 的样本, 若样本中 A 种型号的产品有 8 件,则样本容量 n 的值为. 4.执行如图所示的伪代码, 若输出的 y 的值是 18,则输入的 x 的值为_. 5.从 2 个白球,2 个红球,1 个黄球中随机取出 2 个球,则取出的 2 球中不含红球的概率是_. 6.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为2,则双曲线的两条渐近线方 程为. 7.已知2sincos() 6 则 tan 的值为. 8. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 x yxe
3、在 x=1 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为_. 9.已知 x, yR,且 x1,若(x-1)(y-2)=1,则(x+1)(y+6)的最小值为_. 10.已知等比数列 n a的公比不为 1,其前 n 项和为. n S若 246 4,3,2aaa成等差数列, 2 2,S 则 6 S的值为 . 11.在轴截面为正三角形的圆锥内有一个球,该球与圆锥的底面和母线均相切.记该球的体积为 1, V圆锥的体积 为 2, V则 1 2 V V 的值为. 12.在ABC 中,已知 AB=5, AC=4,且12.AB AC设 M,N 分别是边 AB, AC 上的两个动点,且 MN=2,则 AM AN的最大值为
4、. 13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 22 :(1)(2)10Cxy,直线 l:kx-y-2k+5=0.若在圆 C 上存在一点 P, 在直线 l 上存在一点 Q,使得 PQ 的中点恰为坐标原点 O,则实数 k 的取值范围是_. 14. 设 f(x)是定义在0,+)的函数,且 2 1,01 ( ) (1) 1,1 xx f x f xx ,若 af(x)+ kxb (kR)对任意的 x0,+) 恒成立,则 b-a 的最小值为_. 二解答题(本大题共 6 小题,计 90 分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡 的指定区域内) 15. (本小题满分 14 分)
5、在ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c.记ABC 的面积为 S,且 222 2.Sbca (1)求 tanA 的值; (2) 若 b=1, 3 B 求 S 的值 16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,对角线 AC 与 BD 交于点 O,VB=VD,E 是棱 VC 的中点 (1)求证:VA /平面 BDE; (2)求证:平面 VAC平面 BDE. 17. (本小题满分 14 分) 现有一张半径为1 m的圆形铁皮,从中裁剪出一块扇形铁皮(如图1阴影部分),并卷成一个深度为hm的圆锥筒, 如图 2. (1)若所裁剪的扇形铁
6、皮的圆心角为 2 rad, 3 求圆锥筒的容积; (2) 当 h 为多少时,圆锥筒的容积最大?并求出容积的最大值 18. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为 F,左右顶点分别为 12 ,A A 下顶点为 B,连结 BF 并延长交椭圆于点 P,连结 21 ,.PAAB记椭圆的离心率为 e. (1)若 1 1 ,7 2 eAB.求椭圆 C 的标准方程; (2) 若直线 PB 与直线 2 PA的斜率之积为 9 , 2 求 e 的值 19.(本小题满分 16 分) 已知数列 n a的前 n 项和 2 * ()
7、 2 n nn Sn N (1)求数列 n a的通项公式; (2)若集合 * |, 3 n n a nnN中恰有两个元素,求实数 的取值范围; (3)若 * 1 2(), nnn abbn N且 23 41,bb求证:数列 n b为等差数列 20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=(x-a)lnx (aR) (1)若对于任意的正数 x,f(x)0 恒成立,求实数 a 的值; (2)设函数 g(x)=2f(x)+x(a0) 求证:存在唯一实数 0 (0,),x 使得 0 ()0g x ； 若曲线 g(x)恒在 x 轴上方,对于中实数 0, x求证: 0 1 .xe e (其中( )g
8、 x 为 g(x)的导函数,e 为自然对数的底数) 数学 II (附加题) 21. 选做题本题包括AB C三小题,请选定其中两题并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题 评分.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤. A.选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知点 P(a, b),先对它作矩阵 13 22 31 22 M对应的变换,再作 20 02 N对应的变换,得到的点的坐标为 (4,4 3),求实数 a, b 的值. B.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程是sin()2 2, 4 圆 C 的极坐标方程是
9、=4cos , 求直线 l 被圆 C 截得的弦长. C.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=|x|+2|x- a|(a 0). (1) 当 a=1 时,解不等式 f(x)4; (2)若不等式 f(x)4 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 必做题第2223题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明证明过程或 演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 甲,乙,丙三个人去玩密室逃脱游戏,现有 A, B, C,D 这 4 个不同的游戏场景可供选择,且他们每个人都随机地从 四个场景中选一个闯关. (1)求他们分别选择了三个不同场景的概率; (2)设三人中选择场景 A 的人数为 X,求 X 的分布列与数学期望. 23. (本小题满分 10 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中, 2 2,ABBCPA=PB=PC=AC=4, O 为 AC 的中点. (1)证明: PO平面 ABC; (2)若点 M 在棱 BC 上,且 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 3 , 4 求二面角 M-PA-C 的大小.