1、湖南省湘潭市湖南省湘潭市 2020 届高三第三次模拟考试文科数学试题届高三第三次模拟考试文科数学试题 本试题卷分为第卷选择题和第卷非选择题两部分，共 23 小题，时量 120 分钟，满分 150 分 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的 1设集合|50AxNx ， 2 |320Bx xx，则 AB （ ） A0,3,4 B0,3,4,5 C3,4 D3,4,5 2若复数|43 |(12 )ziai为纯虚数，则实数a （
2、 ） A5 B0 C5 D10 3已知直线a平面，则“平面平面是”是“直线a 平面”的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知数列 n a是公差为(0)d d 的等差数列，且 136 ,a a a成等比数列，则 1 a d （ ） A1 B2 C3 D4 5下表是鞋子的长度与对应码数的关系 长度()cm 25 25.5 26 26.5 27 27.5 码数 40 41 42 43 44 45 如果人的身高()y cm与脚板长()x cm呈线性相关且回归直线方程为77.6yx若某人的身高为180cm， 据此模型，估计其穿的鞋子的码数为（ ） A4
3、2 B43 C44 D45 6已知实数x，y满足约束条件 2 0, 250, 1, xy xy y 则3zxy 的最大值为（ ） A1 B4 C8 D10 7更相减损术出自九章算术 ，它原本是为约分而设计的，原文如下：可半者半之，不可半者，副置分 母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之如图所示的程序框图的算法思路就源于“更 相减损术”若执行该程序框图，则输出的a的值为（ ） A14 B12 C7 D6 8已知向量a，b是两个不共线的向量，且35OAab，47OBab，OCamb，若A，B， C三点共线，则m（ ） A1 B1 C2 D2 9函数(| 1)ln|yxx的图象大致为（
4、 ） A B C D 10已知函数( )2sin(0)f xx在 ,2(0)xaa上的最大值为 1 且单调递增，则2a的最大值为 （ ） A6 B7 C9 D8 11在直角坐标系xOy中， 1 F， 2 F分别是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，位于第一象 限上的点 00 ,P x y是双曲线C上的一点， 满足 12 0PF PF， 若点P的纵坐标 0 y的取值范围是 24 , 35 cc ， 则双曲线C的离心率的取值范围为（ ） A( 2,2) B(2,4) C(3,5) D( 3, 5) 12己知函数 2 ( )33 2 x ax f xxe是减函数，则
5、正数a （ ） A9 B 2 e C3 De 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13若直线240xym经过抛物线 2 2yx的焦点，则m_ 14函数 2 ( )254ln1 x f xxe的定义域为_ 15已知数列 n a是公比为 3 的等比数列，其前n项和 n S满足24 nn Sma，则 1 a _ 16 已 知三 棱锥PABC的 四个 顶点 都在 球O的 球面上 ，5PABC，15PBAC， 2 5PCAB，则球O的表面积为_ 三、解答题：本大题共三、解答题：
6、本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721 题题 为必考题，每个试题考生都必须作答第为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 如图，已知四棱锥PABCD的底面为矩形，PA 平面ABCD，3AB ，4ADAP，E为PD 的中点 （1）证明：AEPC （2）若M为线段BC上一点，且1BM ，求点M到平面PCD的距离 18ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知 22
7、2 sinsinsinsinsinABABC （1）求角C （2）设D为边AB的中点，ABC的面积为 2，求 2 CD的最小值 19 “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主 要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台。某单位共有党员 200 人（男女各 100 人） ，从 2019 年 1 月 1 日起在“学习强国”学习平台学习。现统计他们的学习积分，成绩分组区间为2,4)，4,6)，6,8)， 8,10)，10,12，得到如下女党员的频率分布直方图和男党员的频数分布表 女党员 男党员 积分（单位：千） 2,4) 4,6) 6,8) 8,10
8、) 10,12 人数（单位：人） 15 25 30 20 10 （1）已知女党员中积分不低于 6 千分的共有 72 人，求图中a与b的值； （2）估计女党员学习积分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）和女党员学习积分的 中位数（精确到 0.1 千分） ； （3）若将学习积分不低于 8 千分的党员视为学习带头人，完成下面22列联表，并判断能否有 95%的把 握认为该单位的学习带头人与性别有关 男党员 女党员 合计 带头人 非带头人 合计 100 100 200 相关公式及数据： 2 2 () () ()()()() n adbc Knabcd ab cdac bd 2 P Kk
9、0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 20 椭圆 22 22 :1(1) xy Eab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 椭圆E上两动点P，Q使得四边形 12 PFQF 为平行四边形，且平行四边形 12 PFQF的周长和最大面积分别为 8 和2 3 （1）求椭圆E的标准方程； （2）设直线 2 PF与椭圆E的另一交点为M，当点 1 F在以线段PM为直径的圆上时，求直线 2 PF的方程 21已知函数 2 ( ) x f xaex （1）若曲线( )f x存在与y轴垂直的切线，求a的取值范围 （2）当1a时，证明： 2 3 ( ) 1 2 f x
10、xx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2, 1 xt yt （t为参数） ，曲线 1 C的方程为 22 0xyx，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线l和曲线 1 C的极坐标系方程； （2）曲线 2: 0,0 2 C 分别交直线l和曲线 1 C于M，N，求 3 | | ON OM 的最大值 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |
11、1|f xx （1）求不等式( )|2|f xxx的解集； （2）设函数( )(3)yf xf x的最小值为m，已知 222 abcm，求abbc的最大值 2020 届高三模拟考试数学参考答案（文科）届高三模拟考试数学参考答案（文科） 1B 由题意0,1,2,3,4,5A，1,2B ，则0,3,4,5 AB 2A 由题可得52zaai ，又z为纯虚数，所以5a 3B 若直线a平面，平面平面，此时直线与平面可能平行、相交或a，所以充分性 不成立；若直线a平面，直线a 平面，则平面平面，所以必要性成立，故选 B 4D 由 136 ,a a a成等比数列，得 2 316 aaa，即 2 111 25
12、ada ad已知0d ，解得 1 4 a d 5C 由77.6180x，解得26.8x ，所以脚板长为26.8()cm，查表得，穿的鞋子的码数应为 44 6C 根据约束条件 2 0, 25 0, 1, xy xy y ，画出可行域，图中阴影部分为可行域 目标函数3zxy ， 3 z 表示直线30xyz与y的截距， 由图可知当30xyz经过点(1,3)P时截距最大，故z的最大值为 8 7A 196,126,1abi； 98,63,2;986335;633528abiab； 35287;28721;21 714;1477abbb 2aa，输出14a 8 A 由, ,A B C三点共线， 得(1)(
13、4)(72 )OCxOAx OBx ax b， 故 41 , 7 2, x xm 解得1m 9C 由题易知函数(| 1)ln|yxx为偶函数，排除 A 选项； 当01x时，ln | 0,| 10xx ，所以(| 1)ln| 0yxx，排除 B 选项； 当1x 时，(1)lnyxx， 1 ln0 x yx x ，所以函数(| 1)ln|yxx在(1,)上单调递增， 排除 D 选项 10D 由题意可知， ,2, 22 a ，(2)2sin21f，2 6 ， 12 ，则 min 6a ， max (2)8a 11D 由 12 0PF PF，可得 222 00 0xcy，又 22 00 22 1 xy
14、 ab ，解得 4 2 0 2 b y c ，由于 0 24 , 35 ycc ， 所以 2 2 24 35 b c ，即 2 214 1 35e ， 2 111 53e ，解得35e 12 C 由( )f x是减函数， 得对任意的xR， 都有( )330 x fxaxe 恒成立 设( )33 x g xaxe ( )3 x g xae，0a ， 当,ln 3 a x 时，( )0g x； 当l n , 3 a x 时，( )0g x， ( )g x 在,ln 3 a 上单调递增，在ln, 3 a 上单调递减，( )g x在ln 3 a x 处取得最大值 又(0)0g， 对任意的xR，( )(
15、0)g xg恒成立，即( )g x的最大值为(0)g，ln0 3 a ，解得3a 13 1 2 2 2yx可化为 2 1 2 xy，焦点坐标为 1 0, 8 ，故 1 2 m 14. 5 0, 2 因为函数 2 ( )254ln1 x f xxe有意义， 所以 2 2540, 10, x x e ，解得 55 , 22 0, x x 剟 所以 5 0 2 x ，所以( )f x的定义域为 5 0, 2 154 由已知24 nn Sma，可得 11 24 nn Sma ，两式相减得 11 2 nnn amama ，即 1 2 nn m aa m ，是3 2 m m ，又 11 234Sa， 1
16、4a 1630 如图，将三棱锥PABC补成长方体 球O为长方体的外接球，长、宽、高分别为, ,a b c， 则 22 22 22 25, 15, 20, ab ac bc 所以 222 30abc，所以球O的半径 30 2 R ， 则球O的表面积为 2 2 30 4430 2 SR 17 （1）证明：因为PA 平面ABCD，所以PACD， 因为底面ABCD为矩形，所以ADCD， 又PAADA，所以CD平面PAD，则AECD 因为4ADAP，E为PD的中点，所以AEPD， 且CDPDD，所以AE 平面PCD， 则AEPC. （2）解：因为PDCD，所以 1 6 2 2 PCD SPD CD ，
17、1 6 3 P CDMMCD VSPA 设点M到平面PCD的距离为h， 因为 M PCDP CDM VV ，所以 1 6 26 3 h，所以 3 2 2 h 18解： （1）由已知可得 222 sinsinsinsinsinABABC， 得 222 ababc， 所以 222 1 cos 22 abc C ab ，所以 3 C （2）由 1 sin 2 ABC SabC ，即 13 2 22 ab，所以 8 3 3 ab 由 1 () 2 CDCACB，所以 2221 2 4 CDCACBCA CB， 则 2 2222 111 2cos(2)2 3 444 CDbaabCbaababab，当且
18、仅当ab时取等号， 所以 2 CD的最小值为2 3 19解： （1）由女党员中积分不低于 6 千分的有 72 人，则低于 6 千分的有1007228人， 所以 28 0.075 220.28 100 a，解得0.065a ， 72 0.15 20.1222 100 b，解得0.09b （2）由频率分布直方图可知平均数为3 0.15 5 0.13 7 0.3 9 0.24 11 0.187.34 ， 所以女党员学习积分的平均数为 7.3 千分 设中位数为x， 因为在2,4)与4,6)上的频率为0.075 20.065 20.150.130.28 ， 所以0.15 (6)0.280.5x，解得 2
19、2 67.5 15 x 综上所述，平均数为 7.3，中位数为 7.5 （3）列联表如下： 男党员 女党员 合计 带头人 30 42 72 非带头人 70 58 128 合计 100 100 200 22 2 ()200(30 5870 42)28800 3.1253.841 ()()()()72 128 100 1009216 n adbc K ab cd ac bd ， 故没有 95%的把握认为该单位的学习带头人与性别有关 20解： （1）由平行四边形 12 PFQF的周长为 8，可知48a ，即2a 由平行四边形的最大面积为2 3，可知3bc ， 又1ab，解得3b ，1c 所以椭圆方程为
20、 22 1 43 xy （2）注意到直线 2 PF的斜率不为 0，且过定点 2(1,0) F 设 2 :1 PF lxmy， 11 ,P x y， 22 ,M xy， 由 22 1, 3412, xmy xy 消x得 22 34690mymy， 所以 12 2 12 2 6 , 34 9 . 34 m yy m y y m 因为 111 2,FPmyy， 122 2,FMmyy， 所以 2 1112121212 22124FP FMmymyy ymy ym yy 2 22 222 91 1279 4 343434 m mm mmm 因为点 1 F在以线段PM为直径的圆上，所以 11 0FP F
21、M，即 7 3 m ， 所以直线 2 PF的方程3730xy或3730xy 21 （1）解：由题可得，( )20 x fxaex在xR上有解， 则 2 x x a e ，令 2 ( ) x x g x e ， 22 ( ) x x g x e ， 当1x 时，( )0g x，( )g x单调递增； 当1x 时，( )0g x，( )g x单调递减 所以1x 是( )g x的最大值点，所以 2 a e （2）证明：由1 xx aaee厖，所以 2 ( ) x f xex， 要证明 2 3 ( ) 1 2 f xxx，只需证 22 3 1 2 x exxx，即证 2 1 1 0 2 x exx 记
22、 2 1 ( )1 2 x h xexx，( )1 x h xex，( )h x在R上单调递增，且(0)0 h ， 当0x 时，( )0h x，( )h x单调递减； 当0x 时，( )0h x，( )h x单调递增 所以0x 是( )h x的最小值点，( )(0)0h xh，则 2 1 1 0 2 x exx ， 故 2 3 ( ) 1 2 f xxx 22解： （1）由题可知直线l的普通方程为30xy， 直线l的极坐标方程为cossin30 曲线 1 C的普通方程为 22 xyx， 因为cos ,sinxy， 所以 1 C的极坐标方程为cos （2）直线l的极坐标方程为cossin30，令
23、， 则 3 | cossin OM ，所以 3 cossin |OM 又| cosON， 所以 3 | sin2cos5sin()(tan2) | ON OM ， 因为0 2 ，则 3 | | ON OM 的最大值为5 23解： （1）由已知不等式( )|2|f xxx，得|2|1|xxx ， 当2x 时，不等式为21xxx，解得3x ，所以2x ； 当12x 时，不等式为21xxx，解得 1 3 x ，所以 1 2 3 x； 当1x时，不等式为21xxx，解得3x ，此时无解 综上，原不等式的解集为 1 , 3 （2）因为( )(3) |1|2|12| 3f xf xxxxx ， 所以 222 3abc， 又 22 22222 22 22 bb abcacabbc， 则 3 2 2 abbc，所以abbc的最大值为 3 2 2