1、20202020 年高考数学二模试卷（文科）年高考数学二模试卷（文科） 一、选择题一、选择题 1.已知复数13zii（i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ） A.2 B.2i C.4 D.4i 2.已知集合 10Ax x ，Bx xa，若ABR，则实数 a 的值可以为（ ） A.2 B.1 C.0 D.2 3.命题 p：2m，命题 q：直线 1120mxym与直线230mxym垂直，则 p 是命题 q 成 立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若 2 log 3a ， 4 log 7b ， 4 0.7c ，则实数 a，b，c 的大小关
2、系为（ ） A.abc B.cab C.bac D.cba 5.已知数列 n a为等差数列， n S为其前 n 项和， 635 3aaa，则 7 S （ ） A.42 B.21 C.7 D.3 6.已知向量1a ， 1 , 2 bm ，若abab，则实数 m 的值为（ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 3 2 7.在正方体 1111 ABCDABC D中，E 为 1 BC的中点，则异面直线DE与 11 AB所成角的正切值为（ ） A. 6 2 B. 6 3 C. 2 2 D. 2 8.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 9.设
3、 F 为抛物线 2 2yx的焦点，A，B，C 为抛物线上三点，若 0FAFBFC ，则FAFBFC为 （ ） A.9 B.6 C.4 D.3 10.三国时期吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦 图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分 别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2勾股（股勾） 2 4朱实黄实弦实， 化简，得勾 2 股 2 弦 2 ，设勾股中勾股比为1: 3，若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉（大小忽略不计）， 则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（ ） （参考数据31.732，
4、 21.414 ） A.130 B.134 C.138 D.142 11.已知函数 3 f xxx，则曲线 yf x过点1,0的切线的条数为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 12.关于函数 cos sinf xxx有下述四个结论： f x的图象关于 y 轴对称； f x在, 有 3 个零点； f x的最小值为 2 ； f x在区间, 4 单调递减. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. B. C. D. 二、填空题二、填空题 13.在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 60A， 2 abc ，则sinsinBC _. 14.已知实数 x，y 满足 3 220 1 x
5、y xy y ，则目标函数31zxy的最大值为_. 15.直三棱柱 111 ABCABC的顶点都在同一球面上，若2ABAC， 1 3AA ，90BAC，则此球 的表面积等于_. 16.如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知点0,0O，4,0M ， 4,0N，0, 2P，0,2Q，4,2H. 线段OM上的动点 A 满足OA OM （0,1）；线段HN上的动点 B 满足HB HN .直线PA与 直线QB交于点 L， 设直线PA的斜率记为 k， 直线QB的斜率记为 k ， 则 k k 的值为_； 当变化时， 动点 L 一定在_（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上. 三、解答题：共三、解答
6、题：共 70 分分.解答题应该写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题应该写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1719 为必考题，每个试卷考生为必考题，每个试卷考生 都必须作答都必须作答.第第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题（一）必考题 17.如图，在三棱锥PABC中，PAC为正三角形，M 为棱PA的中点，ABAC ， 1 2 ACBC，平 面PAB 平面PAC. （1）求证：AB 平面PAC； （2）若2AC ，求三棱锥PBMC的体积. 18.等差数列 n a的公差为 2， 2 a， 4 a， 8 a分别等于等比数列 n b的第 2 项，第
7、 3 项，第 4 项. （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若数列 n c满足 12 1 12 n n n ccc b aaa ，求数列 n c的前 2020 项的和. 19.新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心.某市积极响应上级部门的号召，通过沿街 电子屏、微信公众号等各种渠道对此战“疫”进行了持续、深入的悬窗，帮助全体市民深入了解新冠状病毒， 增强战胜疫情的信心.为了检验大家对新冠状病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的知识问卷，随 机抽取了年龄在 1575 岁之间的 200 人进行调查，并按年龄绘制频率分布直方图如图所示，把年龄落在区 间15,35和3
8、5,75内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数比为 19:21.其中“青少年人”中有 40 人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和 不够全面的人数之比是2:1. （1）求图中 a，b 的值； （2）现采取分层抽样在25,35和45,55中随机抽取 8 名市民，从 8 人中任选 2 人，求 2 人中至少有 1 人是“中老年人”的概率是多少？ （3）根据已知条件，完成下面的2 2列联表，并根据统计结果判断：能否有99.9%的把握认为“中老年人” 比“青少年人”更加了解防控的相关知识？ 了解全面 了解不全面 合计 青少年人 中老
9、年人 合计 附表及公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd . P（ 2 Kk ） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20.已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （0ab）的左、右焦点分别是 1 F， 2 F，P 是椭圆上的一点，I 为 12 PFF 的内切圆圆心， 11 22 2 PIFIF FPIF SSS ，且 12 PFF的周长为 6. （1）求椭圆 C 的方程. （2）已知过点0,1的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点
10、，若23OPOAOB，求四边形OAPB面积的最 大值. 21.已知函数 e ln x f xxx x . （1）求 f x的最大值； （2）若 1 e1 x f xxbx x 恒成立，求实数 b 的取值范围. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在新中国成立 70 周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在 数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直
11、角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为1 sin （1 sinp ，0），M 为该曲线上的任意一点. （1）当 3 2 OM 时，求 M 点的极坐标； （2）将射线OM绕原点 O 逆时针旋转 2 与该曲线相交于点 N，求MN的最大值. 选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 0 分） 23.函数 21 1 4 f xx. （1）证明： 22f xf x； （2）若存在xR，且1x ，使得 2 1 1 4 f xmm f x 成立，求 m 取值范围. 参考答案参考答案 一、选择题：共一、选择题：共 12 个小题，每小题个小题，每
12、小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效. 1.已知复数13zi i（i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ） A.2 B.2i C.4 D.4i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解：133 1342ziiiii ， z 的虚部为 2， 故选：A. 2.已知集合 10Ax x ，Bx xa，若ABR，则实数 a 的值可以为（ ） A.2 B.1 C.0 D.2 【分析】可以求
13、出|1Ax x，根据ABR即可得出1a，从而得出 a 的值可以为2. 解：|1Ax x，Bx xa，且ABR， 1a， a 的值可以为2. 故选：D. 3.命题 p：2m，命题 q：直线 1120mxym与直线230mxym垂直，则 p 是命题 q 成 立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】先根据垂直求出参数，然后判断充要性. 解：直线1120mxym与直线230mxym垂直， 1120mm ，解之得1m，2m， 2m是1m，2m的充分不必要条件， 故选：A. 4.若 2 log 3a ， 4 log 7b ， 4 0.7c ，则实
14、数 a，b，c 的大小关系为（ ） A.abc B.cab C.bac D.cba 【分析】容易得出 42 log 7log7，而 22 log 3log71，且 4 0.71 ，从而得出 a，b，c 的大小关系. 解： 422 1log 7log7log 3， 4 0.71； abc. 故选：A. 5.已知数列 n a为等差数列， n S为其前 n 项和， 635 3aaa，则 7 S （ ） A.42 B.21 C.7 D.3 【分析】利用等差数列通项公式求出 1 33ad，再由 7171 7 73 2 Saaad，能求出结果. 解：数列 n a为等差数列， n S为其前 n 项和， 63
15、5 3aaa， 1111 52433adadadad， 7171 7 7321 2 Saaad. 故选：B. 6.已知向量1a ， 1 , 2 bm ，若abab，则实数 m 的值为（ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 3 2 【分析】 根据条件即可求出 2 1a ， 2 2 1 4 bm，而根据 abab即可得出 0abab， 从而求出 m 的值. 解： 2 1a ， 2 2 1 4 bm； abab； 22 2 1 10 4 abababm ； 解得 3 2 m . 故选：D. 7.在正方体 1111 ABCDABC D中，E 为 1 BC的中点，则异面直线DE与 11
16、AB所成角的正切值为（ ） A. 6 2 B. 6 3 C. 2 2 D. 2 【分析】如图所示，由 11 DCAB， 1 DCBC.可得：EDC为异面直线DE与 11 AB所成角.利用直角三 角形的边角关系即可得出. 解：如图所示， 11 DCAB， 1 DCBC. EDC为异面直线DE与 11 AB所成角. 1 1 2 2 tan 2 BC EC EDC DCDC . 故选：C. 8.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 【分析】直接利用程序框图的循环结构的应用求出结果. 解：根据程序框图， 在执行循环前：6n，1i ， 执行第一次循环：3n
17、 ，2i . 执行第二次循环时，4n，3i ， 由于执行第三次循环时，2n， 故输出：4i ， 故选：B. 9.设 F 为抛物线 2 2yx的焦点，A，B，C 为抛物线上三点，若 0FAFBFC ，则FAFBFC为 （ ） A.9 B.6 C.4 D.3 【分析】由 0FAFBFC 可得 F 为三角形ABC的重心，由三角形的重心公式可得 A，B，C 的横坐标 之和，再由抛物线的性质，大焦点的距离等于到准线的距离，可得所求的结果. 解：因为 0FAFBFC ，所以可得 F 为三角形ABC的重心，所以 3 ABC F xxx x 由抛物线的方程可得准线方程为： 1 2 x ，焦点坐标 1 ,0 2
18、 F ， 所以 3 2 ABC xxx 由抛物线的性质可得，FAFBFC为 A，B，C 到准线的距离之和， 所以 133 33 222 ABC FAFBFCxxx ， 故选：D. 10.三国时期吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦 图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分 别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2勾股（股勾） 2 4朱实黄实弦实， 化简，得勾 2 股 2 弦 2 ，设勾股中勾股比为1: 3，若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉（大小忽略不计）， 则落在黄色图形内的图钉颗数
19、大约为（ ） （参考数据31.732， 21.414 ） A.130 B.134 C.138 D.142 【分析】设勾为 a，则股为3a，弦为2a，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄 色图形内的概率，乘以 1000 得答案. 解：如图， 设勾为 a，则股为 3a，弦为2a， 则图中大四边形的面积为 2 4a，小四边形的面积为 2 22 3 142 3aa， 则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为 2 2 42 3 3 1 42 a a . 落在黄色图形内的图钉数大约为 3 1000 1134 2 . 故选：B. 11.已知函数 3 f xxx，则曲线 yf x过
20、点1,0的切线的条数为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 【分析】设出切点坐标，求出曲线在切点处的切线方程，代入点1,0，求解切点的横坐标，进而可得切线 方程，则答案可求. 解：设切点为 00 ,xy， 3 f xxx的导数为 2 31fxx， 则有切线的斜率为 2 0 31x ， 切线的方程为 32 0000 31yxxxxx， 代入1,0，可得 32 0000 31 1xxxx， 整理并解得： 0 1x 或 0 1 2 x ， 则过点1,0的切线方程为22yx或 11 44 yx ，共两条. 故选：B. 12.关于函数 cossinf xx x有下述四个结论： f x的图象关于 y 轴
21、对称； f x在, 有 3 个零点； f x的最小值为 2 ； f x在区间, 4 单调递减. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. B. C. D. 【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和关系式的恒等变换的应用求出结果. 解：关于函数 cossinf xxx有下述四个结论： 对于由于xR，且 fxf x，所以函数为偶函数，故 f x的图象关于 y 轴对称；故正确. 由于函数 f x为偶函数，所以当 3 4 x 时，函数的值为 0，所以在, 有 2 个零点；故错误. 函数 f x在x 时，函数的最小值1；故错误. 由于, 4 x ，所以 3 244 x ， 则 cossin2sin 4 f
22、xxxx 在区间, 4 单调递减.故正确. 故选：C. 二、填空题：共二、填空题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请将你的答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，请将你的答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置， 书写不清，模棱两可均不得分书写不清，模棱两可均不得分. 13.在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 60A， 2 abc ，则sinsinBC 3 4 . 【分析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值即可求解. 解：60A， 2 abc ， 由正弦定理可得 2 2 33 sinsinsin 24 BCA . 故答案为： 3 4
23、 . 14.已知实数 x，y 满足 3 220 1 xy xy y ，则目标函数31zxy的最大值为 6. 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线2zxy过点2,1时，z 最大值即可. 解：先实数 x，y 满足 3 220 1 xy xy y ，画出可行域， 然后平移直线03xy， 当直线31zxy过点2,1时，z 最大值为 6. 故答案为：6. 15.直三棱柱 111 ABCABC的顶点都在同一球面上，若2ABAC， 1 3AA ，90BAC，则此球 的表面积等于17. 【分析】设球的半径为 R，球心为 O，利用勾股定理即可得出 2 R ，可得球的表面积. 解：
24、设球点半径为 R，球心为 O， 则 2 2 2 317 2 24 R . 此球的表面积 2 417R . 故答案为：17. 16.如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知点0,0O，4,0M ， 4,0N，0, 2P，0,2Q，4,2H. 线段OM上的动点 A 满足OA OM （0,1）；线段HN上的动点 B 满足HB HN .直线PA与 直线QB交于点 L，设直线PA的斜率记为 k，直线QB的斜率记为 k ，则 k k 的值为 1 4 ；当变化时， 动点 L 一定在 22 1 416 yx （填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上. 【分析】根据向量关系得到 A，B 的坐标，再根据斜率
25、公式可得 1 4 kk ；设,P x y，根据斜率公式可得 P 点轨迹方程. 解：OA OM （0,1）；4 ,0A，又0, 2P， 21 42 k ； HB HN . 4,22B， 222 402 k ， 1 4 kk ， 设,L x y，则 2 0 y k x ， 2 0 y k x ， 2 2 224yyy kk xxx ， 2 2 41 4 y x ，即 22 1 416 yx . 故答案为： 1 4 ， 22 1 416 yx . 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答题应该写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题应该写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1719 为必考题，
26、每个试卷考生为必考题，每个试卷考生 都必须作答都必须作答.第第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题（一）必考题 17.如图，在三棱锥PABC中，PAC为正三角形，M 为棱PA的中点，ABAC ， 1 2 ACBC，平 面PAB 平面PAC. （1）求证：AB 平面PAC； （2）若2AC ，求三棱锥PBMC的体积. 【分析】（1）由已知证明CMAB，结合ABAC，利用线面垂直的判定可得AB 平面PAC； （2）由已知求得AB，再由等积法求三棱锥PBMC的体积. 【解答】（1）证明：在正三角形PAC中，M 为棱PA的中点，CMPA， 平面PAB 平面
27、PAC，平面PAB平面PACPA，CM 平面PAC， CM 平面PAB，得CMAB， 又ABAC，ACCMC，AB 平面PAC； （2）解：在RtBAC中，2AC ， 1 2 ACBC， 4BC ，则 22 422 3AB . 1 2 2 sin603 2 PAC S ， 13 2 31 32 P BMCB PMC VV . 18.等差数列 n a的公差为 2， 2 a， 4 a， 8 a分别等于等比数列 n b的第 2 项，第 3 项，第 4 项. （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若数列 n c满足 12 1 12 n n n ccc b aaa ，求数列 n c的前 20
28、20 项的和. 【分析】（1）由已知结合等比数列的性质及等差数列的通项公式求得 1 2a .则 n a可求.设等比数列 n b的 公比为 q，求得 q 与 2 b，则 n b的通项公式可求； （2）由（1）知，2 n an，2n n b .代入得 1 112 121 2n nn nn cccc aaaa ，即可求得数列 n cd 的通项公 式；数列 n c的前 2020 项的和 3420212342021 2020 82 23 22020 24 1 22 23 22020 2S .然后利用错位 相减法求解. 解：（1）依题意得： 2 324 bb b， 2 111 6214aaa， 22 11
29、11 12361628aaaa， 解得 1 2a . 2212 n ann. 设等比数列 n b的公比为 q， 34 22 8 2 4 ba q ba ， 又 22 4ba， 2 4 22 nn n b ； （2）由（1）知，2 n an，2n n b . 1 112 121 2n nn nn cccc aaaa ， 当2n时， 112 121 2n n n ccc aaa ， 由得， 2n n n c a ，即 1 2n n cn ， 又当1n 时， 3 11 2 2cab不满足上式， 1 8,1 2,2 n n n c nn ； 数列 n c的前 2020 项的和 342021234202
30、1 2020 82 23 22020 24 1 22 23 22020 2S . 设 23420202021 2020 1 22 23 22019 22020 2T ， 则 34520212022 2020 21 22 23 22019 22020 2T ， 由得： 23420212022 2020 22222020 2T 22020 20222022 2 1 2 2020 242019 2 1 2 . 2022 2020 2019 24T， 2022 20202020 42019 28ST. 19.新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心.某市积极响应上级部门的号召，通过沿街
31、电子屏、微信公众号等各种渠道对此战“疫”进行了持续、深入的悬窗，帮助全体市民深入了解新冠状病毒， 增强战胜疫情的信心.为了检验大家对新冠状病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的知识问卷，随 机抽取了年龄在 1575 岁之间的 200 人进行调查，并按年龄绘制频率分布直方图如图所示，把年龄落在区 间15,35和35,75内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数比为 19:21.其中“青少年人”中有 40 人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和 不够全面的人数之比是2:1. （1）求图中 a，b 的值； （2）现采取分层抽样
32、在25,35和45,55中随机抽取 8 名市民，从 8 人中任选 2 人，求 2 人中至少有 1 人是“中老年人”的概率是多少？ （3）根据已知条件，完成下面的2 2列联表，并根据统计结果判断：能否有99.9%的把握认为“中老年人” 比“青少年人”更加了解防控的相关知识？ 了解全面 了解不全面 合计 青少年人 中老年人 合计 附表及公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd . P（ 2 Kk ） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分
33、析】（1）由频率分布直方图以及“青少年人”和“中老年人”的人数比为19:21，列出关于 a 和 b 的方程 组，解之即可； （2） 根据频率分布直方图中的数据算出 8 人中属于“中老年人”的人数， 然后结合对立事件的概率求解即可； （3）先补充完整2 2列联表，然后根据 2 K 的公式计算即可. 解：（1）由频率分布直方图可知，0.030.01 0.0050.005101ab 即0.05ab， 因为“青少年人”和“中老年人”的人数比为19:21， 所以 0.0319 0.01 0.005 221 b a ， 由解得，0.0325a ，0.0175b. （2）年龄处于25,35和45,55的人数
34、比为 0.033 0.011 ， 所以随机抽取的 8 人中，处于45,55年龄段的人数为 1 82 4 人，即 8 人中有 2 人是“中老年人”， 故所求的概率为 2 6 2 8 C13 1 C28 . （3）200 人中属于“青少年人”的人数为2000.01750.031095人， 属于”中老年人“的人数为200 95105人， 又因为“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2:1， 所以了解全面的有 2 10570 3 ，了解不全面的有105 7035人， 补充完成的2 2列联表如下所示， 了解全面 了解不全面 合计 青少年人 40 55 95 中老年人 70 35 1
35、05 合计 110 90 200 所以 2 2 20040 3555 70 12.1610.828 95 105 110 90 K 故能够有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识. 20.已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （0ab）的左、右焦点分别是 1 F， 2 F，P 是椭圆上的一点，I 为 12 PFF 的内切圆圆心， 11 22 2 PIFIF FPIF SSS ，且 12 PFF的周长为 6. （1）求椭圆 C 的方程. （2）已知过点0,1的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，若23OPOAOB，求四边形OAPB面积的最 大值. 【分析】（1
36、）因为 11 22 2 PIFIF FPIF SSS ，所以 1212 2PFPFFF，即2ac，结合 12 PFF的 周长为 6，可算得 a，c，b，进而得出答案. （ 2 ） 设 直 线AB的 方 程 为1yk x， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 联 立 椭 圆 方 程 消 y 可 得 ， 22 34880kxkx， 利 用 韦 达 定 理 得 12 2 12 2 0 8 34 8 34 k xx k x x k ， 因 为23OPOAOB， 所 以 3 OABOAPB SS 四边形 从而可得 OAPB S四边形 面积表达式，逐步化简，求其最大值. 解：（1）因为 11 22
37、 2 PIFIF FPIF SSS ， 所以 1212 2PFPFFF，即2ac， 又因为 12 PFF的周长为 6， 所以 1212 6PFPFFF，即226ac， 由可得2a ，1c ，则 3b ， 所以椭圆的方程为 22 1 43 xy . （2）设直线AB的方程为1ykx， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 则由 22 1 1 43 ykx xy ，联立消 y 可得， 22 34880kxkx， 12 2 12 2 0 8 34 8 34 k xx k x x k ， 因为23OPOAOB， 所以 3 OABOAPB SS 四边形 ， 所以 2 2 12 22 16 126
38、336 6 21 223434 OAPB k k Sxx kk 四边形 ， 令 2 211kt ， 所以 2 2 1 2 t k ， 所以 2 6 66 6 1 21 2 OAPB t S t t t 四边形 ， 又因为 1 2yt t 在区间1,上单调递增， 所以3y ， 所以2 6 OAPB S 四边形 . 所以四边形OAPB的面积最大值为2 6. 21.已知函数 e ln x f xxx x . （1）求 f x的最大值； （2）若 1 e1 x f xxbx x 恒成立，求实数 b 的取值范围. 【分析】（1）求出函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的最值即可. （ 2 ） min
39、1eln1 e1 x x xxx f xxbxb xx ， 令 el n1 x xxx x x ， 2e ln x xx x x ，令 2e ln x h xxx， h x在0,单调递增， h x在0,1存在零点 0 x，即 0 2 000 eln0 x h xxx，推出 x在 0 0,x减，在 0, x 增，求出最小值得到2b. 解：（1） e ln x f xxx x ，定义域 0,， 22 1e e11 1 x x xx x fx xxx ， 由1 x exx ， f x在0,1增，在1,减， max 11f xfe . （2） 1ee 1lne1 xx xx f xxebxxxxbx
40、xxx min eln1eln1 lne10 xx x xxxxxx xxxbxbb xx ， 令 eln1 x xxx x x ， 2e ln x xx x x ， 令 2e ln x h xxx， h x在0,单调递增， 0x， h x ， 1e0h， h x在0,1存在零点 x0， 即 0 2 000 eln0 x h xxx， 000 1 ln 2 0 000 00 ln1 eln0elne xxx x xxx xx ， 由于exyx在0,单调递增，故 00 0 1 lnlnxx x ，即 0 0 1 ex x ， x在 0 0,x减，在 0, x 增， 0 00000 min 00
41、eln111 2 x xxxxx x xx ， 所以2b. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在新中国成立 70 周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在 数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为1 sin （1 sinp ，0），M 为
42、该曲线上的任意一点. （1）当 3 2 OM 时，求 M 点的极坐标； （2）将射线OM绕原点 O 逆时针旋转 2 与该曲线相交于点 N，求MN的最大值. 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. （2）利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果. 解：（1）设点 M 在极坐标系中的坐标 3 , 2 ， 由1 sin ，得 3 1 sin 2 ， 1 sin 2 ， 02， 7 6 或 11 6 所以点 M 的极坐标为 3 7 , 26 或 3 11 , 26 （1）由题意可设 1, M ， 2, 2 N . 由1 sin ，得 1 1 sin ， 2 1 sin1 cos 2 . 22 22 12 1 sin1 cos32 sincos32 2sin 4 MN