1、第 1 页（共 17 页） 2020 年上海市松江区高考数学模拟试卷（年上海市松江区高考数学模拟试卷（4 月份）月份） 一一.本试卷共本试卷共 21 题，第题，第 115 题每题题每题 6 分，第分，第 1621 题每题题每题 10 分，满分分，满分 150 分分 1 （6 分）若复数 z，则|z|（ ） A1 B C5 D5 2 （6 分）已知向量 （1，m） ， （2，5）若 ，则实数 m（ ） A1 B C D 3 （6 分）已知 Ax|x1，Bx|0，若 ABx|x2，则实数 a 的取值范围 是（ ） Aa2 Ba2 Ca1 Da1 4 （6 分）已知椭圆分别过点 A（2，0）和点，则
2、该椭 圆的焦距为（ ） A B2 C2 D2 5 （6 分）已知实数 a0，b0，且 ab2，则行列式的（ ） A最小值是 2 B最小值是 C最大值是 2 D最大值是 6 （6 分） “k1“是“直线 l1：kx+y+10 和直线 l2：x+ky+30 平行”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7 （6 分）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ABBC，ABBC2，则异面 直线 AC1与 A1B1所成的角为（ ） A30 B45 C60 D90 8 （6 分）样本中共有五个个体，其值分别是 a，1，2，3，4，若样本的平均数是 2，则样 本
3、的标准差是（ ） A1 B2 C4 D 9 （6 分）下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（ ） Ayx 1 By 第 2 页（共 17 页） Cyx|x| Dy2x+2 x 10 （6 分）给出以下四个命题：其中正确命题的个数是（ ） 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面； 依次首尾相接的四条线段必共面； 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； 垂直于同一直线的两条直线必平行 A0 B1 C2 D3 11 （6 分）已知 （1+x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，在 a0，a1，a2，a6这 7 个数中，从 中任取两数，则所取的两数之和为偶
4、数的概率为（ ） A B C D 12 （6 分）下列命题中是假命题的是（ ） A对任意的 R，函数 f（x）cos（2x+）都不是奇函数 B对任意的 a0，函数 f（x）log2xa 都有零点 C存在 、R，使得 sin（+）sin+sin D不存在 kR，使得幂函数在（0，+）上单调递减 13 （6 分）函数的大致图象为（ ） A B C 第 3 页（共 17 页） D 14 （6 分）如图，某景区欲在两山顶 A，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离已知山 高 AB1（km） ，CD3（km） ，在水平面上 E 处测得山顶 A 的仰角为 30，山顶 C 的 仰角为 60，BED120，则
5、两山顶 A、C 之间的距离为（ ） A2（km） B（km） C（km） D3（km） 15（6 分） 已知各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn， 且 a11， an+122Sn+n+1 （nN*） ， 设数列的前 n 项和为 Tn，则（ ） A0 B C1 D2 16（10 分） 在ABC 中， 已知 AB3， AC5， ABC 的外接圆圆心为 O， 则 （ ） A4 B8 C10 D16 17 （10 分）已知函数，若函数 F（x）f（x） 2 的所有零点依次记为 x1，x2，xn，且 x1x2xn，则 x1+2x2+2xn1+xn （ ） A2 B C4 D 18 （10 分）设
6、实系数一元二次方程 a2x2+a1x+a00（a20）在复数集 C 内的根为 x1、x2， 则由 a2（xx1） （xx2）a2x2a2（x1+x2）x+a2x1x20，可得 x1+x2 类比上述方法：设实系数一元三次方程 x3+2x2+3x+40 在复数集 C 内的根为 x1，x2，x3，则 x12+x22+x32的值为（ ） A2 B0 C2 D4 19 （10 分）已知函数关于点（0，12）对称，若对任意的 x1，1， 第 4 页（共 17 页） k2xf（2x）0 恒成立，则实数 k 的取值范围为（ ） Ak11 Bk11 Ck1 Dk11 20 （10 分）已知点 P（1，2）在抛物
7、线 C：y22px（p0）上，点 P 关于原点 O 的对称 点为点 Q，过点 Q 作不经过点 O 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点，则直线 PA 与 PB 的 斜率之积为（ ） A B1 C2 D2 21 （10 分）若数列bn的每一项都是数列an中的项，则称bn是an的子数列已知两 个无穷数列an、bn的各项均为正数，其中是各项和为的等比数 列，且bn是an的子数列，则满足条件的数列bn的个数为（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D无穷多个 第 5 页（共 17 页） 2020 年上海市松江区高考数学模拟试卷（年上海市松江区高考数学模拟试卷（4 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答
8、案与试题解析 一一.本试卷共本试卷共 21 题，第题，第 115 题每题题每题 6 分，第分，第 1621 题每题题每题 10 分，满分分，满分 150 分分 1 （6 分）若复数 z，则|z|（ ） A1 B C5 D5 【分析】先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可 【解答】解：复数 z2+i； |z|； 故选：B 【点评】本题主要考查复数的有关概念，比较基础 2 （6 分）已知向量 （1，m） ， （2，5）若 ，则实数 m（ ） A1 B C D 【分析】利用向量垂直的性质直接求解 【解答】解：向量 （1，m） ， （2，5） ， ， 2+5m0， 解得实数 m 故选：D 【
9、点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理能力与计 算能力，属于基础题 3 （6 分）已知 Ax|x1，Bx|0，若 ABx|x2，则实数 a 的取值范围 是（ ） Aa2 Ba2 Ca1 Da1 【分析】根据 ABx|x2即可得出 Bx|ax2，进而得出 a1 【解答】解：，ABx|x2， Bx|ax2， a1 第 6 页（共 17 页） 故选：D 【点评】本题考查了描述法的定义，分式不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计 算能力，属于基础题 4 （6 分）已知椭圆分别过点 A（2，0）和点，则该椭 圆的焦距为（ ） A B2 C2 D2 【分析】有题意将点的坐标代
10、入椭圆的方程求出 a，b 再由 a，b，c 之间的关系求出 c 的 值，再求焦距 2c 的值 【解答】解：有题意可得：a2，且+1，可得：a24，b21，c2a2b2 413，所以 c， 所以焦距 2c2， 故选：C 【点评】本题考查椭圆的定义，a，b，c 之间的关系，属于基础题 5 （6 分）已知实数 a0，b0，且 ab2，则行列式的（ ） A最小值是 2 B最小值是 C最大值是 2 D最大值是 【分析】 由实数a0， b0， 且ab2， 得到a+b， 由此能求出行列式 的最小值 【解答】解：实数 a0，b0，且 ab2， a+b2， 当且仅当 ab 时，取等号， 行列式的最小值是 2 故
11、选：B 【点评】本题考查行列式的最小值的求法，考查行列式展开法则和基本不等式的性质等 基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题 6 （6 分） “k1“是“直线 l1：kx+y+10 和直线 l2：x+ky+30 平行”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 第 7 页（共 17 页） 【分析】由 k210，解得 k，即可判断出关系 【解答】解：由 k210，解得 k1 经过验证，k1 都满足条件 “k1“是“直线 l1：kx+y+10 和直线 l2：x+ky+30 平行”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了平行线与斜率之间的关系、简
12、易逻辑的判定方法，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题 7 （6 分）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ABBC，ABBC2，则异面 直线 AC1与 A1B1所成的角为（ ） A30 B45 C60 D90 【分析】由题意画出图形，连接 AC1，BC1，可知BAC1为异面直线 AC1与 A1B1所成的 角然后求解三角形得答案 【解答】解：连接 AC1，BC1，可知BAC1为异面直线 AC1与 A1B1所成的角 ABC1为直角三角形，且 ABBC1，AB2， ，得BAC160 即异面直线 AC1与 A1B1所成的角为 60 故选：C 【点评】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能
13、力和运算求解能力，是基 础题 8 （6 分）样本中共有五个个体，其值分别是 a，1，2，3，4，若样本的平均数是 2，则样 本的标准差是（ ） A1 B2 C4 D 【分析】根据平均数求出 a 的值，再计算方差和标准差 第 8 页（共 17 页） 【解答】解：数据 a，1，2，3，4 的平均数是 （a+1+2+3+4）2， 解得 a0； 所以该组数据的方差是 s2（02）2+（12）2+（22）2+（32）2+（42）22， 标准差是 s 故选：D 【点评】本题考查了平均数和方差、标准差的计算问题，是基础题 9 （6 分）下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（ ） Ayx 1 By
14、 Cyx|x| Dy2x+2 x 【分析】结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断 【解答】解：A：yx 1 在定义域内（0，+）（，0）内不单调，不符合题意； B：y在定义域 R 上先减后增，不符合题意； C：yx|x|在定义域 R 上单调递增，且 f（x）x|x|x|x|f （x） ，为奇函数，符合题意； D：因为 y2x+2 x 为偶函数，不符合题意 故选：C 【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题 10 （6 分）给出以下四个命题：其中正确命题的个数是（ ） 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面； 依次首尾相接的四条线段必共面； 空间中如果一个
15、角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； 垂直于同一直线的两条直线必平行 A0 B1 C2 D3 【分析】直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果 第 9 页（共 17 页） 【解答】解：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用 直接得出正确； 依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误； 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以 是互补，故错误； 垂直于同一直线的两条直线必平行可以是异面直线，故错误 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：立体几何中的线面之间的判定和性质的应用，主要考查 学生的运算能力和
16、转换能力及思维能力，属于基础题型 11 （6 分）已知 （1+x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，在 a0，a1，a2，a6这 7 个数中，从 中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（ ） A B C D 【分析】先根据条件得到 a0，a1，a2，a6这 7 个数分别为：1，6， 15，20，15，6，1，4 个奇数，3 个偶数；进而求得其对应的概率 【解答】解：因为（1+x）6a0+a1x+a2x2+a6x6， a0，a1，a2，a6这 7 个数分别为：1，6，15，20，15， 6，1 4 个奇数，3 个偶数； 从中任取两数共有：21 种； 所取的两数之和为偶数的有：+9； 所取的
17、两数之和为偶数的概率为： 故选：B 【点评】本题主要考察二项式系数的性质，以及概率的应用，属于基础题目 12 （6 分）下列命题中是假命题的是（ ） A对任意的 R，函数 f（x）cos（2x+）都不是奇函数 B对任意的 a0，函数 f（x）log2xa 都有零点 C存在 、R，使得 sin（+）sin+sin 第 10 页（共 17 页） D不存在 kR，使得幂函数在（0，+）上单调递减 【分析】 直接利用函数的性质的应用， 三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果 【解答】解：对于选项 A：当 （kZ）时 f（x）sin2x，故函数为奇函数， 故该命题为假命题 对于选项 B：对任意的 a
18、0，函数 f（x）log2x 的值域为 R，所以无论 a 取任何大于 0 的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题 对于选项 C：当 0 时，使得 sin（+）sin+sin0，故该命题为真命题 对于选项 D：由于 k22k+3（k1）2+22，所以函数 yx在 x（0，+）单调 递增， 故不存在 kR，使得幂函数在（0，+）上单调递减， 所以故该命题为真命题 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，三角函数关系式的变换，主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 13 （6 分）函数的大致图象为（ ） A B C D 第 11 页（共 17 页） 【分析】根据
19、题意，分析可得 f（x）为奇函数，可以排除 A，进而分析 x+时，函数 图象的变化趋势，排除 BD，即可得答案 【解答】解：根据题意，有0，则有 x1，即函数的定 义域为x|x1， 又由 f（x）log2|log2|f（x） ，即函数为奇函数，排除 A； 又由当 x+时，|1，则 f（x）0，排除 BD； 故选：C 【点评】本题考查函数的图象变换，注意分析函数的奇偶性、特殊值，属于基础题 14 （6 分）如图，某景区欲在两山顶 A，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离已知山 高 AB1（km） ，CD3（km） ，在水平面上 E 处测得山顶 A 的仰角为 30，山顶 C 的 仰角为 60，B
20、ED120，则两山顶 A、C 之间的距离为（ ） A2（km） B（km） C（km） D3（km） 【分析】由直角三角形的边角关系求出 BE、DE，利用余弦定理求出 BD，再计算 AC 的 值 【解答】解：AB1，CD3， AEB30，CED60，AEC120， BE，DE； ACE 中，由余弦定理得： BD2BE2+DE22BEDEcosBED 3+32（） 9， 所以 BD3； 所以 AC， 第 12 页（共 17 页） 即两山顶 A，C 之间的距离为km 故选：C 【点评】本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基 础题 15（6 分） 已知各项均为正数的数列
21、an的前 n 项和为 Sn， 且 a11， an+122Sn+n+1 （nN*） ， 设数列的前 n 项和为 Tn，则（ ） A0 B C1 D2 【分析】本题由 an+122Sn+n+1，可得 an22Sn1+n， （n2）两式相减，进一步转化计 算可得 an+1an+1， 则数列an是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列， 即可计算出数列an 的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前 n 项 和 Tn，最后计算出极限的值 【解答】解：依题意，由 an+122Sn+n+1，可得： an22Sn1+n， （n2） 两式相减，可得： an+12an22Sn+n+12Sn1
22、n2an+1， an+12an2+2an+1（an+1）2， an+10，an+10， an+1an+1， 数列an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， an1+（n1） 1n，nN* ， 则 Tn+ 1+ 1 ， 则1 故选：C 第 13 页（共 17 页） 【点评】本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求和，以及数列极限的计算考 查了转化与化归思想，等差数列的基础知识，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能 力本题属中档题 16（10 分） 在ABC 中， 已知 AB3， AC5， ABC 的外接圆圆心为 O， 则 （ ） A4 B8 C10 D16 【分析】可画出图形，并将 O 和
23、 AC 中点 D 连接，O 和 AB 中点 E 连接，从而得到 OD AC，OEAB，根据数量积的计算公式及条件即可得出，从而便可得 出的值 【解答】解：如图，取 AC 中点 D，AB 中点 E， 并连接 OD，OE，则： ODAC，OEAB； ， ； （）8 故选：B 【点评】本题主要考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的 几何意义 17 （10 分）已知函数，若函数 F（x）f（x） 2 的所有零点依次记为 x1，x2，xn，且 x1x2xn，则 x1+2x2+2xn1+xn （ ） A2 B C4 D 【分析】求出 f（x）的对称轴，根据 f（x）的对称性得出任意两
24、相邻两零点的和，从而 得出答案 第 14 页（共 17 页） 【解答】解：令 2x+k 得 x+，kZ，即 f（x）的对称轴方程为 x +，kZ f（x）的最小正周期为 T，x0， f（x）在 x0，上有 5 条对称轴， 第一条是，最后一条是：； x1，x2关于对称，x2，x3关于对称 x1+x22，x2+x32，x3+x42，x4+x52， 将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+2xn1+xn2（+） 故选：D 【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题 18 （10 分）设实系数一元二次方程 a2x2+a1x+a00（a20）在复数集 C 内的根为 x1、x2，
25、 则由 a2（xx1） （xx2）a2x2a2（x1+x2）x+a2x1x20，可得 x1+x2 类比上述方法：设实系数一元三次方程 x3+2x2+3x+40 在复数集 C 内的根为 x1，x2，x3，则 x12+x22+x32的值为（ ） A2 B0 C2 D4 【分析】由 x3+2x2+3x+4（xx1） （xx2） （xx3）+a3 （x1x2+x1x3+x2x3） xa3x1x2x3， 利用对应系数相等知 x1+x2+x32， x1x2+x1x3+x2x33， 再由 x12+x22+x32（x1+x2+x3）22（x1x2+x1x3+x2x3） ，能求出结果 【解答】解：x3+2x2+
26、3x+4 （xx1） （xx2） （xx3） +（x1x2+x1x3+x2x3）xx1x2x3 +a3（x1x2+x1x3+x2x3） xa3x1x2x3， 由对应系数相等知： x1+x2+x32，x1x2+x1x3+x2x33， x12+x22+x32（x1+x2+x3）22（x1x2+x1x3+x2x3）462 第 15 页（共 17 页） 故选：A 【点评】本题考查代数式的值的求法，考查类比推理等基础知识，考查推理能力与计算 能力，属于中档题 19 （10 分）已知函数关于点（0，12）对称，若对任意的 x1，1， k2xf（2x）0 恒成立，则实数 k 的取值范围为（ ） Ak11 B
27、k11 Ck1 Dk11 【分析】运用 f（x）的图象关于（0，a）对称，求得 a12，由题意可得 k2x32x+ 12 在 x1，1恒成立，所以 k+3，令 t，运用指数函数的单调 性求得 t 的范围，设 h（t）8t212t+3，求得其最大值，可得 k 的范围 【解答】解：由 y3x+为奇函数，可得其图象关于（0，0）对称，可得 f（x）的图象 关于（0，a）对称， 函数关于点（0，12）对称，可得 a12， 对任意的 x1，1，k2xf（2x）0 恒成立，即 k2x32x+12 在 x1，1 恒成立， 所以 k+3，令 t，由 x1，1，可得 t，2， 设 h（t）8t212t+38（t
28、）2， 当 t2 时，h（t）取得最大值 11， 则 k 的取值范围是 k11， 故选：D 【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数的单调性、二 次函数的最值求法，考查运算求解能力，属于中档题 20 （10 分）已知点 P（1，2）在抛物线 C：y22px（p0）上，点 P 关于原点 O 的对称 点为点 Q，过点 Q 作不经过点 O 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点，则直线 PA 与 PB 的 斜率之积为（ ） A B1 C2 D2 【分析】把点 P 的坐标代入抛物线方程求出 p 的值，得到抛物线方程，设直线 AB 的方 程为 yk（x+1）2 （k0） ，与抛物
29、线方程联立，利用韦达定理结合点 A，B 在抛物 第 16 页（共 17 页） 线上化简 kPAkPB，即可得到 kPAkPB2 【解答】解：由点 P（1，2）在抛物线 C：y22px 上，可得 2p4， p2， 抛物线方程为：y24x， 由已知得 Q（1，2） ，设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由题意直线 AB 斜率存在且不为 0， 设直线 AB 的方程为 yk（x+1）2 （k0） ， 联立方程，消去 x 得：ky24y+4k80， ， 因为点 A，B 在抛物线 C 上，所以， ，kPB， kPAkPB2， 故选：C 【点评】本题主要考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，以
30、及斜率公式，是中档 题 21 （10 分）若数列bn的每一项都是数列an中的项，则称bn是an的子数列已知两 个无穷数列an、bn的各项均为正数，其中是各项和为的等比数 列，且bn是an的子数列，则满足条件的数列bn的个数为（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D无穷多个 【分析】由bn是的子数列，可设 b1，公比 q，又因 为 S可得 k，m 得关系，再有等比数列的通项公式得 通过 m 取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有 2 个 【解答】解：设（k1，kN+） ，公比 q（m0） ，则 b1qn. 第 17 页（共 17 页） （k，pN+） 对任意的 nN+都成立，故 m 是正奇数，又 S 存在，所以 m1 m3 时，S，此时 b1，即，成立 当 m5 时，S，此时 b1，不是数列an中的项，故不成立 m7 时，S，此时 b1，bn，成立 当 m9 时，1，由，得（1），得 k， 又因为 kN+，所以 k1，2，此时 b11 或， 分别代入 S，得到 q0 不合题意， 由此满足条件的数列只有两个，即 bn，或 bn， 故选：C 【点评】本题根据新定义子数列，结合等比数列的公式，寻找符合条件的数列，属于探 索性试题，方法思路不易，是道有难度试题