1、江西省吉安江西省吉安 抚州抚州 赣州市赣州市 2020 届高三一模届高三一模 数学数学(理理)试题试题 第 I 卷(选择题共 60 分) 一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知(1+i)z=i(i 为虚数单位),在复平面内,复数 z 的共轭复数z对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.全集 U=R,集合 |0, 4 x Ax x 集合 2 |log (1)2Bxx,图中阴影部分所表示的集合为 A. (-,04,5 B.(-,0(4, 5) C.(-,0)4,5 D.(-,4(5
2、, +) 3.已知抛物线 2 axy的焦点到准线的距离为 1 , 2 则实数 a 等于 A. 1 B. 2 1 . 4 C 1 . 2 D 4.已知 n a是等比数列 1 ,0,a ,前 n 项和为, n S则“ 879 2SSS”是“ n a为递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.千百年来,我国劳动人民在生产实践中根据云的形状走向速度厚度颜色等的变化,总结了丰富的“看云识 天气”的经验,并将这些经验编成谚语,如“天上钩钩云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”小波同学为了验证 “日落云里走,雨在半夜后”,观察了所在地区 A 的 1
3、00 天日落和夜晚天气,得到如下 2 2 列联表: 并计算得到 2 19.05K ,下列小波对地区 A 天气判断不正确的是 A.夜晚下雨的概率约为 1 2 B.未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为 5 14 C.有 99.9%的把握认为“日落云里走是否出现“与“当晚是否下雨“有关 D.出现“日落云里走”,有 99.9%的把握认为夜晚会下雨 6.圆 C 的半径为 5,圆心在 x 轴的负半轴上,且被直线 3x+4y+4=0 截得的弦长为 6,则圆 C 的方程为 22 .230Axyx 22 .16390B xxy 22 .16390C xxy 22 .40D xyx 1 3 23 7.2 ,lo
4、g 6,3log 2的大小关系是 1 3 23 .2log 63log 2A 1 3 32 .23log 2log 6B 1 3 32 .3log 22log 6C 1 3 32 .3log 2log 62D 8.在三角形 ABC 中,AB=8,AC=4,BAC=60 ,双曲线以 AB 为焦点,且经过点 C,则该双曲线的离心率为 . 2A . 3B . 21C . 31D 9.已知函数 3 lg ,1 ( ), ( ), lg(2),1 x x f xg xx x x 则方程 f(x)=g(x-1)所有根的和等于 A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图所示,直线 12 / / ,ll点A是
5、 12 ll、之间的一定点,并且点A到 12 ll、的距离分别为2， 4,过点A且夹角为 3 的两条射线分别与 12 ll、相交于 BC 两点,则ABC 面积的最小值是 .4 3A .6 3B .8 3C .12 3D 11.在三棱锥 P-ABC 中,底面 ABC 为正三角形,PCAC,PA=PB,且 PC+AC=4.若三棱锥 P-ABC 的每个顶点都在 球 O 的球面上,则球 O 的半径的最小值为 7 . 7 A 2 7 . 7 B 3 7 . 7 C 4 7 . 7 D 12.设 f(x)是在(0,+)上的可导函数,且 2 ( )( ),(1)4,(2)16fxf xff x ,则下列一定
6、不成立的是 3 . ( )8 2 A f B.f(3)=40 C.f(4)=72 D.f(5)=120 第 II 卷(非选择题共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两个部分.第1321题为必考题,每个考生都必须作答.第2223题为选考题,考生根据 要求作答. 二填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 25 13.(21)xx的展开式中 x 的系数是_. 14.设向量 a=(2cos,sin),向量 b=(1,-6),且 a b=0,则 2cossin cos3sin 等于_ 15.已知一个四棱柱的三视图如图(图中小正方形的边长为 1),则该四棱柱的全面积等于_ 16.已知数
7、列 n a的通项公式是2 , n n a 在和 1 a和 2 a之间插入 1 个数 11, x使 1112 ,a xa成等差数列;在 2 a和 3 a之间插入 2 个数 2122 ,xx使 221223 ,a xxa成等差数列;在 n a和 1n a 之间插入 n 个数 1, , nnnn xxx,使 121 , nnnnnn a xxxa 成等差数列.这样得到新数列 1112212233332341 :,., n xba xa xxaxax记数列 n b的前 n 项和为, n S有下列判断: 1 2106617255 32;3072;14337 n nnnn xxnabbSx 其中正确的判断
8、序号是_. 三解答题:解答应写出文字说明证明过程或演算步骤,共 70 分. 17.(本小题满分 12 分)已知点 O 是ABC 的外接圆的圆心,AB=3,2 2,. 4 ACBAC (1)求外接圆 O 的面积. (2)求.BO BC 18.( 本 小 题 满 分12分 ) 如 图 所 示 , 已 知 四 边 形ABCD是 菱 形 , 平 面AEFC 平 面 ABCD,EF/AC,AE=AB=AC=2EF=2. (1)求证:平面 BED平面 AEFC. (2)若,EAAC求二面角 B-FD-C 的余弦值. 19.(本小题满分 12 分)2020 年春节期间,全国人民都在抗击“新型冠状病毒肺炎”的
9、斗争中.当时武汉多家医院 的医用防护物资库存不足,某医院甚至面临断货危机,南昌某生产商现有一批库存的医用防护物资,得知消息后,立 即决定无偿捐赠这批医用防护物资,需要用A,B两辆汽车把物资从南昌紧急运至武汉已知从南昌到武汉有两条合 适路线选择,且选择两条路线所用的时间互不影响.据调查统计 2000 辆汽车,通过这两条路线从南昌到武汉所用时 间的频数分布表如下: 假设汽车 A 只能在约定交货时间的前 5 小时出发,汽车 B 只能在约定交货时间的前 6 小时出发(将频率视为概 率).为最大可能在约定时间送达这批物资,来确定这两车的路线. (1)汽车 A 和汽车 B 应如何选择各自的路线. (2)若
10、路线 1路线 2 的“一次性费用“分别为 3.2 万元1.6 万元,且每车医用物资生产成本为 40 万元(其他费用忽 略不计),以上费用均由生产商承担,为援助金额的一部分,根据这两辆车到达时间分别计分,具体规则如下(已知两辆 车到达时间相互独立,互不影响): 到达时间与约定时间的差 x(单位：小 时) x0 0x1 x1 该车得分 生产商准备根据运输车得分情况给出现金捐款,两车得分和为 0,捐款 40 万元,两车得分和每增加 1 分,捐款增 加 20 万元,若汽车 AB 用(1)中所选的路线运输物资,记该生产商在此次援助活动中援助总额为 Y(万元),求随机变 量 Y 的期望值.(援助总额=一次
11、性费用+生产成本+现金捐款总额) 20(本小题满分 12 分)已知离心率为 2 2 的椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 左顶点为 A,左焦点为 F,及点 P(-4,0),且|OF|,|OA|,|OP|成等比数列. (1)求椭圆 C 的方程. (2)斜率不为 0 的动直线 l 过点 P 且与椭圆 C 相交于 MN 两点,记,PMPN线段 MN 上的点 Q 满足 ,MQQN试求OPQ(O 为坐标原点)面积的取值范围. 21.(本小题满分 12 分)已知函数( ) x f xaxeb(其中 e 是自然对数的底数,a,bR)在点(1，f(1)处的切线方 程是 2ex-y-e=0. (1
12、)求函数 f(x)的单调区间. (2)设函数 2 ( ) ( )ln , f x g xmxx x 若 g(x)1 在 x(0,+)上恒成立,求实数 m 的取值范围. 请考生在 2223 两题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡.上将所 选题号后的方框涂黑 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 6cos 1 sin xt yt (t 为参数),在以坐标原点 O 为极点,x 轴非负半轴为 极轴建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为sin()20. 4 (1)求圆 C 的普通方程和
13、直线 l 的直角坐标方程. (2)设点 P 是圆 C 上任一点,求点 P 到直线 l 距离的最小值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|3x-a|+a,aR,g(x)=|3x+1|. (1)当 g(x)10 时,恒有 f(x)9,求 a 的最小值. (2)当 xR 时,恒有 f(x)+g(x)3,求 a 的取值范围. 2020 年高三质量监测理科数学参考答案 1.【答案】D 【解析】 ii(1 i)11 i 1 i222 z ,所以复数z的共轭复数z对应的点是 11 ( ,) 22 ，在第四象限. 2.【答案】C 【解析】集合5|,40|xxBxxA
14、，由 Venn 图可知阴影部分对应的集合为)(BACU， 其中540|xxxBA或，则5 , 4)0 ,()(BACU 3.【答案】A 【解析】抛物线yax 2 即y a x 1 2 中 11 2|2a ，则1a. 4.【答案】B 【解析】因为 n a是等比数列， 1 0a ，所以 879 2SSS 78 89 aaqq 7( 1)00q qq或1q ， n a为递增数列1q，所以是必要不充分条件. 5.【答案】D 6.【答案】B 解析： 设圆心为)0)(0 ,(aa， 由题意知圆心到直线0443 yx的距离为435 5 |43| 22 a d， 解得8a，则圆 C 的方程为25)8( 22
15、yx，即为03916 22 yxx. 7 【答案】B 【解析】 11 32 3 22 2 ， 33333 33 3log 2log 4,3log 2log 8log 92 22 ， 22 log 6log 42，所以 1 3 32 23log 2log 6 . 8 【答案】 【解析】在三角形ABC中， 0 84,60，ABACBAC，所以4 3CB 284cABc ，24 342 32aCBCAa， 所以离心率 2 31 3 1 c e a . 9.【答案】C. 【解析】通过图象可以知道函数( ),(1)yf xyg x图象都关于点(1,0)对称，并且两个函数图象有三个 交点，所以和为3. 1
16、0.【答案】C 【解析】设AB与垂线的夹角为，则 2 cos AB ， 4 2 cos() 3 AC ， 所以面积 2 38 38 3 2 3sin2cos21 coscos()2sin(2) 1 36 S ， 所以当2 62 ，即当 3 时，面积最小，最小值是8 3. 11.【答案】D 【解析】因为三棱锥 PABC 中，底面 ABC 为正三角形，则 ACBC，PA=PB，取边 AB 的中点 D，连接 PD， DC，则 ABPD，ABDC，AB面 PCD，则 ABPC， 且 PCAC， 则 PC面 ABC， 不妨设ACx， 则4PC-x， 则 2222 4-37 24 2312 x Rxxx（
17、） （）， 当 7 12 x时， 2 min 16 7 R ， 所以 7 74 min R . 12.【答案】A 【解析】设 2 )( )( x xf xg，则0 )(2)(2)()( )( 44 2 x xfxf xx x xxfxxf xg，则)(xg为单调递增 函数或常数函数，而 2 (1) (1)4 1 f g， 2 (2) (2)4 2 f g，所以)(xg在区间1,2 上是常数函数，则 3 ( ) 3 2 ( )4 9 2 4 f g，即 3 ( )9 2 f 而(3)4(3)36, (4)4(4)64, (5)4(5)100gfgfgf. （填空题按照高考细则，答案不完整，不给分
18、）（填空题按照高考细则，答案不完整，不给分） 13.【答案】5 【解析】 252 55142 5 (21)(1)2(1)(1)2xxxxxC xx, 所以x的系数为 14 5( 1) 5C . 14.【答案】 6 7 2 2 2 2 【解析】因为0ba，则0sin62cos，即 3 1 tan， 则 6 7 2 3 1 2 3tan1 tan2 sin3cos sincos2 . 15.【答案】16 8 2 【解析】该四棱柱的直观图如图，全面积等于 2 222 2 22 2 2 216 8 2 . 16.【答案】 【解析】 1 1 1 12 22 32 22 nn n nn nnnn aa x
19、xxnnn ； 10 a在数列 n b中是第10 1 2955 项，所以 1055 ab； 78126611 ,baba3072 2 22 22 1211 12117866 72 aabb b； 551210112122919299 () ()()Saaaxxxxxx 210018119 (222 )3(1 22 29 2 )(22)3 8 2114337 . 17 【解析】 （1）由余弦定理得： 222 2 3(2 2)2 3 2 25 2 BC 2 分 所以5BC ，因此 5 210 2 2 r ， 4 分 所以外接圆的面积为 2 105 () 22 S . 6 分 （2）设BC的中点为E
20、，则EOBC， 7 分 所以BCEOBCBEBCEOBEBCBO= 2 5 . 12 分 18 【解析】 （1）证明：菱形ABCD中，BDAC， 1 分 又因为平面AEFC平面ABCD，则AEFCBD平面， 3 分 O z y x F E D C B A BEDBD平面，所以平面BED平面AEFC； 5 分 （2） 设AC与BD交于点O， 连接FO， 因为2ACEF， 且/EFAC， 所以/FOEA， 因为EAAC ， 所以FOAC，而平面AEFC平面ABCD ，所以ABCDFO平面. 以O为坐标原点，以,OB OC OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则 ( 3 0
21、 0)B，0 0 2F （ ， ，），(0 1 0)C， ，(30 0)D ， 7 分 设平面DFC的法向量为( , , )nx y z， 因为(0,1, 2)FC ， (30)CD, , 1，所以 , 03 02 yx zy 令 x=2,3, 32, 2n 9 分 又平面BFD的法向量为(0,1,0)m ， 2 32 57 cos, 1914 123 m n ， 11 分 由题可知，二面角BFD C的余弦值为 2 57 19 . 12 分 19 【解析】 （1）频率分布表如下： 所用的时间（单位：小时） (3,4 (4,5 (5,6 (6,7 路线 1 的频率 0.2 0.4 0.2 0.2
22、 路线 2 的频率 0.1 0.4 0.4 0.1 设分别表示汽车 在约定交货时间前5小时出发选择路线 1、2 将物资运往武汉且在约定交货时间前到 达；、分别表示汽车 在约定交货前6小时出发选择路线 1、2 将物资运往武汉且在约定交货时间前到 达； 2 分 ， 3 分 ， 4 分 所以汽车 选择路线 1，汽车 选择路线 2 6 分 （2）设 1 x表示汽车 选择路线 1 时的得分，表示汽车 选择路线 2 时的得分， 1 x 2 x，的分布列分别是： 0 1 2 0.6 0.2 0.2 8 分 设 12 Xxx则X的分布列如下： 12 Xxx 0 1 2 3 0.54 0.24 0.2 0.02
23、 10 分 0 0.54 1 0.24 2 0.2 3 0.020.7EX ， 11 分 所以80 3.2 1.6 40 20138.8EYEX （万元） 所以援助总额的期望值为138.8. 12 分 20 【解析】 （1）依题意： 2 2 2 4 c a ac ，解得 2, 2 2 2 c b a ， 4 分 所以椭圆C的方程是 22 1 84 xy ； 5 分 （2）解法一： 设 112233 ( ,),(,),(,)M x yN xyQ x y，则 2222 1111 222222 2 2222 11 8484 1 8484 xyxy xyxy ， 相减得： 12121212 ()()(
24、)() 1 8(1)(1)4(1)(1) xxxxyyyy (*) 7 分 又由PMPN，知 12 4 1 xx ， 12 0 1 yy ， 由MQQN，知 12 3 1 xx x ， 12 3 1 yy y ， 9 分 0 1 0.9 0.1 代入(*)式得： 3 1 ( 4)01 8 x ，即 3 2x ， 10 分 又因为点Q在椭圆内，所以 22 3 3 ( 2) 10 |2 84 y y ， 11 分 所以OPQ 的面积 33 1 4| 2| (0,2 2) 2 Syy. 12 分 解法二：设 112233 ( ,),(,),(,)M x yN xyQ x y，则 12 12 4(4)
25、xx yy ， 12 3 1 yy y ， 7 分 设直线l的方程为4(0)xtyt，代入椭圆C的方程得： 22 (2)880tyty，由0得 2 2t ，| |2t . 8 分 所以 2 2 2 2 2 8 (1), 2 8 2 t y t y t ，消去 2 y得到 22 2 (1)8 2 t t ， 所以 2 3 222 228282 11(2)(1)(1)2 ytt y ttt , 11 分 因此 OPQ 的面积 3 14 4|(0,2 2) 2| | Sy t . 12 分 解法三：设直线l的方程为4(0)xtyt，代入椭圆C的方程得： 22 (2)880tyty，由0得 2 2t
26、，| |2t . 6 分 所以 12 2 12 2 8 , 2 8 2 t yy t y y t ， 2 12 |1|MNtyy， 7 分 2 2 111 PQPMMQMNMNMN ， 原点O到直线l的距离 2 4 1 d t 9 分 所以OPQ 的面积 2 12 2 2 124 1 | 2|1| 1 Styy t 12 2 4 | |1| yy , 又因为 1 12 2 y yy y ，所以 1 2 122 1 2 2 4 | |1| y y Syy y y 12 12 4 | y y yy 4 (0,2 2) | | t . 12 分 21 【解析】 （1）对函数( )exf xaxb求导
27、得( )(1)exfxax， 1 分 由条件可知(1)e+e,(1)(1 1)e2e,fabfa解得1,0ab， 所以( )exf xx. 3 分 ( )(1)exfxx.令0)( x f得1x，于是，当0)() 1,(xfx时，函数)(xf单调递减；当 0)(), 1(xfx时，函数)(xf单调递增. 故函数)(xf的单调递减区间为) 1,(，单调递增区间为), 1(. 5 分 （2）由（1）知 2 ( )eln x g xxmxx 解法 1 要使1)(xg在), 0( x上恒成立，只需1)( min xg即可. 因为 22 2 11 ( )(21)e,( )4(1)e0, xx g xxm
28、gxx xx 所以)(x g 在), 0( 上单调递增.因为当 0x时，)(xg，当x时，)(xg，所以，），在（0)(xg上存在唯一的零点 0 x， 满足 0 2 00 0 1 ()(21)e0 x g xxm x ， 所以 0 2 0 0 1 (21)e, x mx x 7 分 且)(xg在（ 0 , 0 x）上单调递减，在),( 0 x上单调递增， 于是 00 222 min000000 ( )()eln2eln1. xx g xg xxmxxxx 8 分 由 0ln21 0 22 0min 0 xexxg x 得，此时必有 0 22 00 ln2 , 10 0 xexx x ，两边同时
29、取自然对数，则有 ),lnln(ln)2ln(2 0000 xxxx即 0000 2ln(2)ln( ln)lnxxxx. 构造函数h(x)xln x(x0)，则 1 h (x)10 x ，所以函数h(x)0 在（ ，）上单调递增，又 00 h(2x )h( lnx )，所以 00 ln2xx，即 0 2 0 1 e x x . 11 分 故 2 00 000 111 (21)e(21)2, o x mxx xxx 于是实数m的取值范围是.2 ,( 12 分 解法 2： 要使1)(xg在), 0( x上恒成立，等价于 2 ln1 e(0,) x x mx x 在上恒成立.令 2 ln1 ( )
30、e(0) x x h xx x ，则只需 min )(xhm即可. 6 分 22 22 2 2eln ( ),H( )2eln (0) x x xx h xxxx x x 令，则 22 1 ( )4()e0 x H xxx x ，所以)(xH在 ), 0( 上单调递增，又 2 1e ( )2ln20,(1)2e0 48 HH，所以)(xH有唯一的零点 0 x，且 1 4 1 0 x，），在（ 0 0)(xxh上单调递减，在),( 0 x上单调递增. 8 分 因为0ln2 0 22 0 0 xex x ，两边同时取自然对数，则有),lnln(ln)2ln(2 0000 xxxx 即 0000 2
31、ln(2)ln( ln)lnxxxx. 构造函数s(x)xlnx(x0)，则 1 s (x)10 x ，所以函数s(x)0 在（ ，）上单调递增，又 00 s(2x )s( lnx )，所以 00 ln2xx，即 0 2 0 1 e x x . 11 分 所以 0 2 00 min0 000 ln1211 ( )()e2 x xx h xh x xxx . 于是实数 m 的取值范围是.2 ,( 12 分 解法 3：要使1)(xg在), 0( x上恒成立， 等价于 2 ln1 e(0,) x x mx x 在上恒成立. 先证明1ln tt， 令 11 ( )ln1(0),( )1 t Q ttt
32、tQ t tt 则， 于是， 当) 1 , 0(t时，0)( t Q，)(tQ 单调递减；当), 1 ( t时，0)( t Q，)(tQ单调递增，所以)(tQ0) 1 ( Q，故1ln tt（当且仅当 t=1 时取等号） 8 分 所以，当0x时，有 222 ln1 eln( e ) 1ln21,e2 xxx x xxxx xx 所以，即 2 ln1 e2 x x x ，当 且仅当 2 e1 x x时取等号，于是实数 m 的取值范围是.2 ,( 12 分 22 【解析】 （1）由 6cos 1 sin xt yt 消去参数t，得 22 6+11xy， 所以圆C的普通方程为 22 6+11xy.
33、.2 分 由sin()2=0 4 ，得sincos =2， .3 分 所以直线l的直角坐标方程为20xy. .5 分 （2）设点P的坐标为6cos , 1+sin tt，则点P到直线l的距离为 32cos 6cos +1 sin24 22 t tt d ， .8 分 当cos1 4 t 时，d取最小值， min 323 2 1 22 d. .10 分 23 【解析】 （1） 101310xxg或3110x 3 11 3xx或， 1 分 ( )9|3| 93f xxaax或 29 3 a x ， 3 分 依题意有： 2911 33 a ,即1a. 故a的最小值为1 . 5 分 （2）( )( ) |3|31|331|1|f xg xxaxaxaxaaa ， 7 分 当且仅当(3)(31)0xax时等号成立 解不等式|1|3aa ，得a的取值范围是1,) 10 分