1、函数 f（x）x2在区间1，2上的平均变化率为（ ） A1 B1 C2 D3 2 （5 分）设 p：x2，q：log2x1，则 p 是 q 成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）双曲线 C：的离心率是（ ） A3 B C2 D 4 （5 分）函数的单调增区间为（ ） A （0，1） B C （1，+） D 5 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1+a6+a821，则 S9（ ） A45 B54 C63 D72 6 （5 分）已知 x，y 满足，则 zx+2y 的最大值为（ ） A5 B6 C7 D8 7 （5
2、 分）设 aR，函数 f（x）ex+ae x 为奇函数，曲线 yf（x）的一条切线的切点的 纵坐标是 0，则该切线方程为（ ） A2xy0 B2x+y0 C4xy0 D4x+y0 8 （5 分）若函数 f（x）x+2sinx，则当 x0，时，f（x）的最大值为（ ） A B C D 9 （5 分）已知 m0，n0，若不等式 m+nx2+2x+a 对已知的 m，n 及任意 实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A8，+） B3，+） C （，3 D （，8 第 2 页（共 19 页） 10 （5 分）公差不为 0 的等差数列an的部分项，构成公比为 4 的等比 数列，且 k11，k2
3、2，则 k3（ ） A4 B6 C8 D22 11 （5 分）椭圆+1 的左焦点为 F，直线 xa 与椭圆相交于点 M、N，当FMN 的周长最大时，FMN 的面积是（ ） A B C D 12 （5 分）已知抛物线 y22x 的焦点为 F，点 P 是抛物线上一点，且满足，从点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，则MPF 的内切圆的周长为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）质点 M 按规律 s（t）（t1）2做直线运动（位移单位：m，时间单位：s） ， 则质点 M 在 t3s 时的瞬时速
4、度为 （单位：m/s） 14 （5 分） 15 （5 分）已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y22x 的焦点，直线 l：ym（2x1）与 抛物线 C 交于 A，B 两点，点 A 在第一象限，若|AF|2|BF|，则 m 的值为 16 （5 分）已知函数，令 g（x）f（x）kx+1，若函数 g（x） 有四个零点，则实数 k 的取值范围为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17 （10 分）已知函数 （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）求函数 f（x）
5、在区间上的值域 18 （12 分）如图，在三棱锥 CABP 中，平面 PAC平面 PAB，PAC、ABP 均为等边 三角形，O 为 PA 的中点，点 M 在 BC 上 （1）求证：平面 POM平面 BOC； 第 3 页（共 19 页） （2）若点 M 是线段 BC 的中点，求直线 PM 与平面 ABC 所成角的正弦值 19 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点在抛物线 C 上， 且|PF|3 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过焦点 F 的直线 l 与抛物线分别交于 A，B 两点，点 A，B 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ，O 为坐标原点，若，求直
6、线 l 的方程 20 （12 分）已知函数 f（x）x23xalnx 的一个极值点为 2 （1）求函数 f（x）的极值； （2）求证：函数 f（x）有两个零点 21 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，四个点， 中有 3 个点在椭圆 C：上 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点（A，B 不是椭圆 C 的顶点） ，点 D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M、N 两点，设直线 AM，AN 的斜率分 别为 k1，k2，证明：存在常数 使得 k1k2，并求出 的值 22 （12 分）已知函数 f（x）lnx2x，g
7、（x）ax2+ax2 （1）若曲线 yf（x）与 yg（x）在点（1，2）处有相同的切线，求函数 f（x）g （x）的极值； （2）若 a0 时，不等式 f（x）g（x）0 在（e 为自然对数的底数，e 2.71828）上恒成立，求实数 a 的取值范围 第 4 页（共 19 页） 2019-2020 学年河南省开封市五县联考高二（上）期末数学试卷学年河南省开封市五县联考高二（上）期末数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的
8、四个选项中，只有 一项是符合一项是符合题目要求的题目要求的. 1 （5 分）函数 f（x）x2在区间1，2上的平均变化率为（ ） A1 B1 C2 D3 【分析】直接根据平均变化率的定义即可求出 【解答】解： 故选：B 【点评】本题考查了平均变化率的问题，属于基础题 2 （5 分）设 p：x2，q：log2x1，则 p 是 q 成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】先求出关于 q 成立的 x 的范围，结合充分必要条件的性质，从而求出答案 【解答】解：p：x2， q：log2x1，解得：0x2， 则 p 是 q 成立必要不充分条件， 故
9、选：B 【点评】本题考查了充分必要条件，考查对数函数问题，是一道基础题 3 （5 分）双曲线 C：的离心率是（ ） A3 B C2 D 【分析】利用双曲线方程，化为标准形式，然后求解 a，c 得到离心率即可 【解答】解：双曲线 C：化为标准方程是， 其离心率是 第 5 页（共 19 页） 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 4 （5 分）函数的单调增区间为（ ） A （0，1） B C （1，+） D 【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解 【解答】解：函数的定义域（0，+） ， ， 故函数的单调递增区间（） 故选：D 【点评】本题主要
10、考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础试题 5 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1+a6+a821，则 S9（ ） A45 B54 C63 D72 【分析】由已知结合等差数列的通项公式可求 a5然后结合等差数列的求和公式即可求 解 【解答】解：设等差数列an的公差为 d 由 a1+a6+a821，得 a1+a1+5d+a1+7d21， 得 3（a1+4d）21，得 a1+4d7， 所以 a57 所以 故选：C 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题 6 （5 分）已知 x，y 满足，则 zx+2y 的最大值为（ ） A5 B6 C7
11、D8 【分析】画出满足条件的平面区域，结合图象求出 z 的最大值即可 【解答】解：画出满足条件的平面区域， 如图示：联立解得 A（1，2） 第 6 页（共 19 页） 显然直线过 A 时 z 最大， 故 zmax1+45， 故选：A 【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题 7 （5 分）设 aR，函数 f（x）ex+ae x 为奇函数，曲线 yf（x）的一条切线的切点的 纵坐标是 0，则该切线方程为（ ） A2xy0 B2x+y0 C4xy0 D4x+y0 【分析】由函数的奇偶性列式求得 a，得到函数解析式，求解切点的横坐标，再求函数在 切点处的导数，利用直线方程
12、的点斜式得答案 【解答】解：函数 f（x）ex+ae x 是奇函数， f（x）f（x）对一切 xR 恒成立，即 e x+aexexaex 对一切 xR 恒成立， 即（a+1） （exe x）0 对一切 xR 恒成立， a+10，解得 a1， 得 f（x）exe xf（x）ex+ex 曲线 yf（x）的一条切线的切点的纵坐标是 0， 令 f（x）exe x0，解得 x0 曲线 yf（x）的这条切线的切点的坐标为（0，0） ，切线的斜率为 f（0）e0+e 02 故曲线 yf（x）的这条切线方程为 y02（x0） ， 即 2xy0 故选：A 【点评】本题考查函数的性质及其应用，考查利用导数研究过曲
13、线上某点处的切线方程， 考查计算能力，是中档题 8 （5 分）若函数 f（x）x+2sinx，则当 x0，时，f（x）的最大值为（ ） 第 7 页（共 19 页） A B C D 【分析】利用导数分析出函数 f（x）的单调性，即可求出 f（x）的最大值 【解答】解：f（x）1+2cosx， 当时，f（x）0，f（x）是增函数；当时，f（x）0，f（x） 是减函数， f（x）最大值为， 故选：D 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，是基础题 9 （5 分）已知 m0，n0，若不等式 m+nx2+2x+a 对已知的 m，n 及任意 实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A8，
14、+） B3，+） C （，3 D （，8 【分析】先结合基本不等式求出 m+n 的范围；再根据不等式恒成立结合二次函数即可求 解 【解答】解：， 当且仅当时等号成立， x2+2x+a9， 即 ax22x+9（x1）2+8， a8 故选：D 【点评】本题主要考察二次函数以及基本不等式和恒成立问题；是对知识的综合考查 10 （5 分）公差不为 0 的等差数列an的部分项，构成公比为 4 的等比 数列，且 k11，k22，则 k3（ ） A4 B6 C8 D22 【分析】设等差数列an的公差为 d，d0，运用等比数列的通项公式和等差数列的通项 公式，解方程可得所求 【解答】解：设等差数列an的公差为
15、 d，d0， 因为等比数列的公比为 4，且 k11，k22， 第 8 页（共 19 页） 所以 a1，a2，构成公比为 4 的等比数列 所以 a24a1，所以 a1+d4a1，得 d3a1 所以 所以 a1+（k31）d16a1即 a1+（k31） 3a116a1， 解得 k36 故选：B 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和转化能力， 属于中档题 11 （5 分）椭圆+1 的左焦点为 F，直线 xa 与椭圆相交于点 M、N，当FMN 的周长最大时，FMN 的面积是（ ） A B C D 【分析】设右焦点为 F，连接 MF，NF，由于|MF|+|NF|MN|，可得
16、当直线 x a 过右焦点时，FMN 的周长最大c1把 c1 代入椭圆标准方程可得： 1，解得 y，即可得出此时FMN 的面积 S 【解答】解：设右焦点为 F，连接 MF，NF，|MF|+|NF|MN|， 当直线 xa 过右焦点时，FMN 的周长最大 由椭圆的定义可得：FMN 的周长的最大值4a4 c1 把 c1 代入椭圆标准方程可得：1，解得 y 此时FMN 的面积 S 故选：C 第 9 页（共 19 页） 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形的三边大小关系与三角形面 积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 12 （5 分）已知抛物线 y22x 的焦点为 F，点 P
17、是抛物线上一点，且满足，从点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，则MPF 的内切圆的周长为（ ） A B C D 【分析】不妨设点 P（x0，y0）在第一象限，则 x00，y00，求出 PM，利用MPF 的 面积为推出 设MPF的内切圆的半径为 r， 内心为点O， 通过 SOMF+SOFP+S OMPSPMF，转化求解即可 【解答】解：如图，不妨设点 P（x0，y0）在第一象限，则 x00，y00， ， 所以 x02，此时，所以|y0|2 从而MPF 的面积为 易知点，所以 设MPF 的内切圆的半径为 r，内心为点 O， 则由 SOMF+SOFP+SOMPSPMF，得， 解得 所以MPF 的
18、内切圆的周长为 故选：A 第 10 页（共 19 页） 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，圆与抛物线的综合应用，考查 数形结合以及转化思想的应用，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）质点 M 按规律 s（t）（t1）2做直线运动（位移单位：m，时间单位：s） ， 则质点 M 在 t3s 时的瞬时速度为 4 （单位：m/s） 【分析】根据导数的物理意义求函数的导数即可 【解答】解：由 s（t）2（t1） ，得 s（3）4 故答案为：4 【点评】本题主要考查导数的物理意义，要求熟练掌握导数
19、的基本运算，比较基础 14 （5 分） 2 【分析】根据定积分的计算法则计算即可 【解答】解：（x2x）（42）（11）2， 故答案为：2 【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题 15 （5 分）已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y22x 的焦点，直线 l：ym（2x1）与 抛物线 C 交于 A，B 两点，点 A 在第一象限，若|AF|2|BF|，则 m 的值为 【分析】求得抛物线的焦点坐标，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， （x10，y10） ，联立直 线 l 的方程和抛物线方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得 m 的值 【解答】解：y2
20、2x 的焦点 F（，0） ， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， （x10，y10） ， 直线 l：ym（2x1） （m0）与抛物线 y22x 联立，可得 4m2x2（2+4m2）x+m20， 第 11 页（共 19 页） 即有 x1x2，x1+x21+， 由题意可得2，即为x12（x2） ，即 x1+2x2， 由可得 x11，x2（x1x2舍去） ， 代入可得 1+1+，解得 m（负的舍去） ， 故答案为： 【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定 理，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题 16 （5 分）已知函数，令 g（x）f（x
21、）kx+1，若函数 g（x） 有四个零点，则实数 k 的取值范围为 （，1） 【分析】当 g（x）0 时，f（x）kx1，可理解为函数 f（x）与直线 ykx1 的交点 问题，令 h（x）（x1）3，有 h（x）3（x1）2，设切点 P 的坐标为（x0，y0） ， 求出切线方程，转化求解 k 的范围即可 【解答】解：当 g（x）0 时，f（x）kx1，可理解为函数 f（x）与直线 ykx1 的 交点问题（如图） 令 h（x）（x1）3，有 h（x）3（x1）2， 设切点 P 的坐标为 （x0， y0） ， 则过点 P 的切线方程为， 将点（0，1）坐标代入可得：， 整理为：， 解得：x00 或
22、，得 x00 或，故， 而（0，1） ， （2，1）两点之间的斜率为， 故 故答案为： （，1） 第 12 页（共 19 页） 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数与方程的应用，考查数形结合以及转化思想 的应用 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17 （10 分）已知函数 （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）求函数 f（x）在区间上的值域 【分析】 （1）利用导数即可求出函数 f（x）的单调区间； （2）由（1）的单调区间可知 f（x）在区间上的最小值为
23、 f（0）0，再利 用作差法比较，的大小即可 【解答】解： （1）由，令 f（x）0 可得 0x2， 故函数 f（x）的增区间为（0，2） ，减区间为（，0） ， （2，+） ； （2）由 f（0）0， 又由， 由 e2.75，可得 或利用，可得， 第 13 页（共 19 页） 又由当 x0 时， 故函数 f（x）在区间上的值域为 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题 18 （12 分）如图，在三棱锥 CABP 中，平面 PAC平面 PAB，PAC、ABP 均为等边 三角形，O 为 PA 的中点，点 M 在 BC 上 （1）求证：平面 POM平面 BOC； （2）若点
24、 M 是线段 BC 的中点，求直线 PM 与平面 ABC 所成角的正弦值 【分析】 （1）通过 AP平面 BOC，即 PO平面 BOC 证得：平面 POM平面 BOC； （2）以 OB，OP，OC 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设平面 ABC 的法向量为，则通过数量积的计算来解答 【解答】 （1）证明：因为PAC、ABP 均为等边三角形，O 为 PA 的中点，所以 AP CO，APBO 又 COBOO， 所以 AP平面 BOC，即 PO平面 BOC 又 PO平面 POM，所以平面 POM平面 BOC （2）解：因为平面 PAC平面 PAB，平面 PAC平面 PABPA，A
25、PCO， 所以 CO平面 APB 又 BO平面 APB，所以 COBO 所以 OB，OP，OC 两两互相垂直 故以 OB，OP，OC 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系如下图所示： 第 14 页（共 19 页） 不妨设 AP2，则， 则点 O（0，0，0） ，P（0，1，0） ， A（0，1，0） 则， 设平面 ABC 的法向量为，则， 取 x1，z1，则， ， 则直线 PM 与平面 ABC 所成角的正弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）已知抛物线 C
26、：y22px（p0）的焦点为 F，点在抛物线 C 上， 且|PF|3 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过焦点 F 的直线 l 与抛物线分别交于 A，B 两点，点 A，B 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ，O 为坐标原点，若，求直线 l 的方程 【分析】 （1）通过点在抛物线求出 p，推出抛物线方程 第 15 页（共 19 页） （2）设直线 l 的方程为：myx1，联立方程，消利用韦达定理以及 ，转化求解即可 【解答】解： （1）由点在抛物线 C 上，有，解得 x0p， 由抛物线定义有：，解：p2， 故抛物线 C 的方程为 y24x （2）设直线 l 的方程为：myx1，联
27、立方程，消去 x 得：y24my40， 故有：y1+y24m，y1y24， x1+x2（my1+1）+（my2+1）m（y1+y2）+2， 则，故 4m2+23，解得：， 所求直线 l 的方程为：y2x2 或 y22x 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计 算能力 20 （12 分）已知函数 f（x）x23xalnx 的一个极值点为 2 （1）求函数 f（x）的极值； （2）求证：函数 f（x）有两个零点 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值的关系即可求解， （2）结合导数与单调性关系及函数的零点判定定理可求 【解答】解： （1）解：
28、f（x）定义域为（0，+） ， 2 是 f（x）的极值点， ，a2， 0x2 时，f（x）0；x2 时，f（x）0，f（x）的单调减区间为（0，2） ，单 调增区间为（2，+） ， f（x）有极小值为 f（2）462ln222ln2，没有极大值 第 16 页（共 19 页） （2）证明：f（x）x23x2lnx， ，f（e2）e43e24（e2+1） （e24）（e2+1） （e+2） （e2）0 由（1）知 f（x）的单调减区间为（0，2，单调增区间为2，+） ，且 f（2）2ln2 0 f（x）有 1 个零点在区间内，有 1 个零点在区间（2，e2）内， f（x）只有两个零点 【点评】本题
29、主要考查了利用导数研究函数单调及极值，还考查了函数零点判定定理， 属于中档试题 21 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，四个点， 中有 3 个点在椭圆 C：上 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点（A，B 不是椭圆 C 的顶点） ，点 D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M、N 两点，设直线 AM，AN 的斜率分 别为 k1，k2，证明：存在常数 使得 k1k2，并求出 的值 【分析】 （1）根据对称性，可知，一定在椭圆上，分别将其两点 代入椭圆方程，即可求得椭圆方程； （2）设直线 AD 的方程，代入椭
30、圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，求得直线 BD 方程，即可求得 M 点坐标，同理求得 N 点坐标，由 k1k2，即可求得 的值 【解答】解： （1），关于 x 轴对称，这 2 个点在椭圆上， 当在椭圆上时， 由解得 a23，b21， 当在椭圆上时， 第 17 页（共 19 页） 由解得， 又 ab0，a23，b21， 椭圆 C 的方程为 （2）证明：设 A（x1，y1） （x1y10） ，D（x2，y2） ，则 B（x1，y1） 因为直线 AB 的斜率，又 ABAD，所以直线 AD 的斜率 设直线 AD 的方程为 ykx+m，由题意知 k0，m0 由可得（1+3k2）x2+6mkx+3m
31、230， 所以， 由题意知 x1x2，所以， 所以直线 BD 的方程为，令 y0，得 x2x1，即 M（2x1，0） ，可 得， 令 x0，得，即，可得， 所以，即，因此，存在常数使得结论成立 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜 率公式，考查计算能力，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）lnx2x，g（x）ax2+ax2 （1）若曲线 yf（x）与 yg（x）在点（1，2）处有相同的切线，求函数 f（x）g （x）的极值； （2）若 a0 时，不等式 f（x）g（x）0 在（e 为自然对数的底数，e 2.71828）上恒成立，求实数 a 的
32、取值范围 【分析】 （1）结合导数的几何意义可求 a，然后结合导数与单调性及极值的关系可求， （2）构造函数 （x）f（x）g（x） ，要使 f（x）g（x）0 在上恒成 第 18 页（共 19 页） 立，只需 （x）min0 在上恒成立，然后结合导数与单调性的关系及函数的性 质可求 【解答】解： （1），f（1）121，g（x）2ax+a，g（1） 2a+aa， 由题意知a1，a1， g（x）x2+x2， f（x）g（x）lnx+x23x+2， ， 或 x1 时，f（x）g（x）0，时，f（x）g（x）0， f（x）g（x）在上是增函数，在上是减函数，在1，+）上是增 函数， f（x）g（x
33、）的极大值，极小值为 f（1）g（1）0 （2）设 （x）f（x）g（x）ax2（a+2）x+lnx+2，定义域为（0，+） ， 要使 f（x）g（x）0 在上恒成立，只需 （x）min0 在上恒 成立， 因为， 由于 a0，所以由 （x）0，即，可得或， 当，即 ae，易知， 令 （x）min0，解得 a4（1ln2）2（22ln2）2（2ln4）2（2lne）2 e不满足条件； 当，即 2ae 时，则必须，由知，不满足条件； 当， 即 a2 时， 则必须， 解得 不 满足条件 第 19 页（共 19 页） 当， 即 1a2 时， 则必须， 解， 得，设，则， 可知 h（a）在区间（1，2）上单调递增，所以 h（a）h（1）1，所以不满足条件； 当，即 0a1 时，则必须，解得，而， 所以 0a1综上所述 a 的取值范围是（0，1 【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数及函数的性质求解不等式的 恒成立，体现了转化思想及分类讨论思想的应用