1、设全集 UR，集合 Ax|x3，Bx|x6，则集合（UA）B（ ） Ax|3x6 Bx|3x6 Cx|3x6 Dx|3x6 2 （5 分）已知高一（1）班有 48 名学生，班主任将学生随机编号为 01，02，48，用 系统抽样方法，从中抽 8 人，若 05 号被抽到了，则下列编号的学生被抽到的是（ ） A16 B22 C29 D33 3 （5 分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 24，则输出 N 的值为 （ ） A0 B1 C2 D3 4 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的最大值为（ ） A3 B6 C7 D8 5 （5 分）在ABC 中，a，b1，
2、A，则B 等于（ ） A B C D 第 2 页（共 25 页） 6 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，其体积为（ ） A B C D 7 （5 分） “m0”是“x2+2x+m0 对任意 xR 恒成立”的（ ） A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）b 是区间上的随机数，直线 yx+b 与圆 x2+y21 有公共点的 概率为（ ） A B C D 9 （5 分）如图，在ABC 中，P 是 BN 上的一点，若m+，则实数 m 的值为（ ） A B C1 D3 10（5 分） 正项等比数列an中， 存在两项 am、 an使得4a1， 且 a6a
3、5+2a4， 则 的最小值是（ ） A B2 C D 第 3 页（共 25 页） 11 （5 分）已知双曲线1（a0，b0） ，过原点作一条倾斜角为直线分别交 双曲线左、 右两支P， Q两点， 以线段PQ为直径的圆过右焦点F， 则双曲线离心率为 （ ） A B C2 D 12 （5 分）已知函数，关于 x 的方程有三个不等的实根，则 m 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知复数（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模为 14 （5 分）已知，且 tan（+），则 tan 的
4、值为 15 （5 分）已知 a，则（x）5展开式中 x 1 项的系数为 16 （5 分）定义函数 f（x）maxx，x，xR，其中 0，符号 maxa，b表示数 a， b 中的较大者，给出以下命题： f（x）是奇函数； 若不等式 f（x1）+f（x2）1 对一切实数 x 恒成立，则 1 1 时，F（x）f（x）+f（x1）+f（x2）+f（x100）最小值是 2450 “xy0”是“f（x）+f（y）f（x+y） ”成立的充要条件 以上正确命题是 （写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答
5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知等差数列an的前四项和为 10，且 a2，a3，a7成等比数列 （1）求通项公式 an （2）设，求数列 bn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）已知函数 f（x）2cos2x+2sinxcosx （1）求函数 f（x）的单调递减区间 （2）将函数 f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原 来的倍，纵坐标不变，得到函数 yg（x）的图象求 g（x）在上的值域 19 （12 分） 九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 1 千多年在 第 4 页（共 25 页） 九章算术中，将底面为直角三角形，且
6、侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，阳马指 底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体如 图，在堑堵 ABCA1B1C1中，ACBC （）求证：四棱锥 BA1ACC1为阳马；并判断四面体 BA1CC1是否为鳖臑，若是， 请写出各个面的直角（只要求写出结论） （） 若 A1AAB2， 当阳马 BA1ACC1体积最大时， 求二面角 CA1BC1的余弦值 20 （12 分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟 退休年龄政策” 为了了解人们对 “延迟退休年龄政策” 的态度， 责成人社部进行调研 人 社部从网上年龄在 1565 岁的人群中随机调查
7、 100 人， 调査数据的频率分布直方图和支 持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下： 年龄 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 支持“延迟退 休”的人数 15 5 15 28 17 （1）由以上统计数据填 22 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下 认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异； 45 岁以下 45 岁以上 总计 支持 不支持 总计 （2）若以 45 岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取 8 人参 加某项活动现从这 8 人中随机抽 2 人 抽到 1 人是 45 岁以下时，
8、求抽到的另一人是 45 岁以上的概率 记抽到 45 岁以上的人数为 x，求随机变量 x 的分布列及数学期望 第 5 页（共 25 页） 21 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，过右焦点作垂直于椭 圆长轴的直线交椭圈于 M，N 两点，且|MN|1，O 为坐标原点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l：ykx+m 与椭圆 C 相交于 AB 两点，若 OAOB 求的值： 求AOB 的面积 S 的最小值 22 （12 分）设 kR，函数 f（x）lnxkx （1）若 k2，yf（x）极大值； （2）若 f（x）无零点，求实数 k 的取值范围； （3）若 f（x）有两个相异零点
9、x1，x2，求证：lnx1+lnx22 第 6 页（共 25 页） 2018-2019 学年湖南省益阳市桃江县高二 （下） 期末数学试卷 （理学年湖南省益阳市桃江县高二 （下） 期末数学试卷 （理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设全集 UR，集合 Ax|x3，Bx|x6，则集合（UA）B（ ） Ax|3x6 Bx|3x6 Cx|3x6 Dx|3x6 【
10、分析】求出UA，然后求解（UA）B 即可 【解答】解：全集 UR，集合 Ax|x3，Bx|x6，则集合UAx|x3， （UA）Bx|3x6 故选：C 【点评】本题考查集合的基本运算，基本知识的考查 2 （5 分）已知高一（1）班有 48 名学生，班主任将学生随机编号为 01，02，48，用 系统抽样方法，从中抽 8 人，若 05 号被抽到了，则下列编号的学生被抽到的是（ ） A16 B22 C29 D33 【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可 【解答】解：样本间隔为 48186，则抽到的号码为 5+6（k1）6k1， 当 k2 时，号码为 11， 当 k3 时，号码为 17， 当 k4
11、时，号码为 23， 当 k5 时，号码为 29， 故选：C 【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于简单题 3 （5 分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 24，则输出 N 的值为 （ ） 第 7 页（共 25 页） A0 B1 C2 D3 【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可 【解答】解：第一次 N24，能被 3 整除，N3 不成立， 第二次 N8，8 不能被 3 整除，N817，N73 不成立， 第三次 N7，不能被 3 整除，N716，N23 成立， 输出 N2， 故选：C 【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关 键 4
12、 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的最大值为（ ） A3 B6 C7 D8 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大 值 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） 由 zx+2y 得 yx+z， 平移直线 yx+z， 第 8 页（共 25 页） 由图象可知当直线 yx+z 经过点 A 时，直线 yx+z 的截距最大， 此时 z 最大 由，解得，即 A（1，3） ， 代入目标函数 zx+2y 得 z1+237 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行可以求目标函数的最大值和最小 值，利用数形结合是解决
13、线性规划问题中的基本方法 5 （5 分）在ABC 中，a，b1，A，则B 等于（ ） A B C D 【分析】由已知利用正弦定理可得 sinB，根据大边对大角可求 B 为锐角，根据特殊 角的三角函数值可求 B 的值 【解答】解：a，b1，A， 由正弦定理，可得：sinB， ba，可得 B 为锐角，可得 B 故选：D 【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的 应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 6 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，其体积为（ ） 第 9 页（共 25 页） A B C D 【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是直三棱柱剪去一
14、个角，其中ACB 为 等腰直角三角形，ACB90，AB2，BE2，AGEF1再由棱锥体积剪去棱锥 体积求解 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体是直三棱柱剪去一个角， 其中ACB 为等腰直角三角形， ACB90， AB2， BE2，AGEF1 该几何体的体积 V 故选：C 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 7 （5 分） “m0”是“x2+2x+m0 对任意 xR 恒成立”的（ ） A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合判别式的解法进行判断即可 第 10 页（共 25
15、 页） 【解答】解：x2+2x+m0 对任意 xR 恒成立0m1， m0 推不出 m1， m1m0， “m0”是“x2+2x+m0 对任意 xR 恒成立”的必要不充分条件 故选：C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据判别式的解法是解决本题的关 键 8 （5 分）b 是区间上的随机数，直线 yx+b 与圆 x2+y21 有公共点的 概率为（ ） A B C D 【分析】 利用圆心到直线的距离小于等半径可求出满足条件的 b， 最后根据几何概型的概 率公式可求出所求 【解答】解：b 是区间上的随机数即2，区间长度为 4， 由直线 yx+b 与圆 x2+y21 有公共点可得， ，区间长
16、度为 2， 直线 yx+b 与圆 x2+y21 有公共点的概率 P， 故选：C 【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，与长度有关的几何概型的求解 9 （5 分）如图，在ABC 中，P 是 BN 上的一点，若m+，则实数 m 的值为（ ） A B C1 D3 【分析】根据题意，设，将向量表示成向量、的一个线性组合，再结 合题中向量的等式，建立关于 m、 的方程组，解之即可得到实数 m 的值 第 11 页（共 25 页） 【解答】解：， 设， （0）得+ m且，解之得 8，m 故选：A 【点评】本题给出三角形的一边的三等分点，求某向量关于已知向量的线性关系式，着 重考查了向量的线性运算、平面向
17、量的基本定理及其意义等知识，属于中档题 10（5 分） 正项等比数列an中， 存在两项 am、 an使得4a1， 且 a6a5+2a4， 则 的最小值是（ ） A B2 C D 【分析】由 a6a5+2a4，求出公比 q，由4a1，确定 m，n 的关系，然后利用基 本不等式即可求出则的最小值 【解答】解：在等比数列中，a6a5+2a4， ， 即 q2q20， 解得 q2 或 q1（舍去） ， 4a1， ， 即 2m+n 21624， m+n24，即 m+n6， ， （）， 当且仅当，即 n2m 时取等号 故选：A 【点评】本题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，
18、第 12 页（共 25 页） 要求熟练掌握基本不等式成立的条件 11 （5 分）已知双曲线1（a0，b0） ，过原点作一条倾斜角为直线分别交 双曲线左、 右两支P， Q两点， 以线段PQ为直径的圆过右焦点F， 则双曲线离心率为 （ ） A B C2 D 【分析】设直线方程为 yx，联立双曲线方程，可得 Q 的坐标，由题意 PFQF，即 有PQF 为等边三角形，可得|OQ|OF|c，再由 a，b，c 和 e 的关系式，计算可得所 求值 【解答】解：设直线方程为 yx，联立双曲线方程可得： （b23a2）x2a2b2， 则 x2，y2， 可得|OQ|2x2+y2， 以线段 PQ 为直径的圆过右焦点
19、 F，可得 PFQF， 即有PQF 为等边三角形，可得|OQ|OF|c， c2a2+b2， 化为 b46a2b23a40， 解得 b2（32）a2， 由 b23a2，可得 b2（3+2）a2， 则 e1+ 故选：B 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查直径所对的圆周角 为直角，考查化简整理的运算能力，属于中档题 12 （5 分）已知函数，关于 x 的方程有三个不等的实根，则 m 的取值范围是（ ） A B C D 第 13 页（共 25 页） 【分析】由利用导数研究函数的单调性，最值可得：函数 f（x）在（0，e）为增函数， 在（e，+）为减函数，则 f（x）maxf（
20、e）， 由方程的解的个数与函数图象的交点个数的关系，结合数形结合的数学思想方法，作图 观察函数 tf（x）的图象与直线 tt1，tt2的交点个数之和即可得解 【解答】解：f（x）， 当 0xe 时，f（x）0，当 xe 时，f（x）0， 即函数 f（x）在（0，e）为增函数，在（e，+）为减函数， 则 f（x）maxf（e）， 则 f（x）的图象如图所示： 令 tf（x） ， 则可变形为 t， 即 t2mt10， 设方程 t2mt10 有两个根 t1，t2， 关于 x 的方程有三个不等的实根等价于 tf（x）的图象与直线 tt1，tt2的交点个数之和为 3， 由图可知 t2， 设 g（t）t2
21、mt1， 则 g（）0， 解得：m， 故选：B 第 14 页（共 25 页） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，最值及方程的解的个数与函数图象的 交点个数，数形结合的数学思想方法，属难度较大的题型 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知复数（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模为 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，再由复数模的公式计算得答案 【解答】解：， 则复数 z 的模为 故答案为： 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 14 （5 分）已知，
22、且 tan（+），则 tan 的值为 1 【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变型成正切函数，进一 步求出结果 【解答】解：已知， 转换为：， 整理得：， 解得：tan2， 由于 tan（+）， 所以：， 解得：tan1， 第 15 页（共 25 页） 故答案为：1 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，主要考察学生的运算能力和转 换能力，属于基础题型 15 （5 分）已知 a，则（x）5展开式中 x 1 项的系数为 80 【分析】，则二项式的展开式的通 项：x2r 5令 2r51，解得 r2继而写出系 数即可 【解答】解：， 则二项式的展开式的通项： x2r
23、5 令 2r51，解得 r2 展开式中 x 1 的系数80 故答案为：80 【点评】本题考查二项式定理，属于低档题 16 （5 分）定义函数 f（x）maxx，x，xR，其中 0，符号 maxa，b表示数 a， b 中的较大者，给出以下命题： f（x）是奇函数； 若不等式 f（x1）+f（x2）1 对一切实数 x 恒成立，则 1 1 时，F（x）f（x）+f（x1）+f（x2）+f（x100）最小值是 2450 “xy0”是“f（x）+f（y）f（x+y） ”成立的充要条件 以上正确命题是 （写出所有正确命题的序号） 【分析】依题意可得 f（x）|x| f（x）是偶函数； |x|+|x2|1；
24、 F（x）f（x）+f（x1）+f（x2）+f（x100）|x|+|x1|+|x2|+|x100| 由绝对值的意义可得 x50 时，F（x）有最小值； “xy0”是“f（x）+f（y）f（x+y） ”成立的充分不必要条件 第 16 页（共 25 页） 【解答】解：依题意可得 f（x）|x| f（x）是偶函数，故错； 若不等式 f（x1）+f（x2）1 对一切实数 x 恒成立|x|+|x2|1，故 正确； 1 时，F（x）f（x）+f（x1）+f（x2）+f（x100）|x|+|x1|+|x2|+ |x100| 由绝对值的意义可得 x50 时，F（x）有最小值是 2250，故错； “f（x）+f
25、（y）f（x+y） ”成立|x|+|y|x+y|成立， “xy0”是“f（x）+f（y）f（x+y） ”成立的充分不必要条件，故错， 故答案为： 【点评】本题考查了命题真假判定，涉及到了绝对值的性质，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知等差数列an的前四项和为 10，且 a2，a3，a7成等比数列 （1）求通项公式 an （2）设，求数列 bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）利用等差数列的通项公式分别表示出前四项和与 a2，a3，a7等
26、比数列关系 组成方程组求得 a1和 d，最后根据等差数列的通项公式求得 an （2）把（1）中求得的 an代入中，可知数列bn为等比数列，进而根据等比数 列的求和公式求得答案 【解答】解： （1）由题意知 所以 （2）当 an3n5 时，数列bn是首项为、公比为 8 的等比数列 所以 当时，所以 Snn 第 17 页（共 25 页） 综上，所以或 Snn 【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质考查了对数列通项公式和求和公 式等基本知识的灵活运用 18 （12 分）已知函数 f（x）2cos2x+2sinxcosx （1）求函数 f（x）的单调递减区间 （2）将函数 f（x）的图象向左平
27、移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原 来的倍，纵坐标不变，得到函数 yg（x）的图象求 g（x）在上的值域 【分析】 （1）利用二倍角的三角函数公式化简得 f（x），再由正弦 函数单调区间的公式解关于 x 的不等式，即可得出 f（x）的单调递减区间 （2）根据函数图象平移的公式，算出，再由 x利用 正弦函数的图象与性质，即可算出 g（x）在上的值域 【解答】解： （1）根据二倍角的三角函数公式， 化简可得， 令，可得 k+xk+，kZ 函数 f（x）的单调递减区间为：； （2） 将 f （x） 的图象向左平移个单位， 得到的图象， 再将横坐标缩短为原来的，得到的图象， ，可得， ，得
28、因此 g（x）在上的值域为 【点评】本题给出三角函数 f（x）的表达式，求它的单调递减区间与函数 g（x）在闭区 间上的值域着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质、函数值域的求法等知 识，属于中档题 19 （12 分） 九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 1 千多年在 第 18 页（共 25 页） 九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，阳马指 底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体如 图，在堑堵 ABCA1B1C1中，ACBC （）求证：四棱锥 BA1ACC1为阳马；并判断四面体 BA1CC1是否为鳖臑，若
29、是， 请写出各个面的直角（只要求写出结论） （） 若 A1AAB2， 当阳马 BA1ACC1体积最大时， 求二面角 CA1BC1的余弦值 【分析】 （） 由堑堵 ABCA1B1C1的性质得： 四边形 A1ACC1是矩形， 推导出 BCA1A， BCAC，从而 BC平面 A1ACC1，由此能证明四棱锥 BA1ACC1为阳马，四面体 B A1CC1是否为鳖臑，四个面的直角分别是A1CB，A1C1C，BCC1，A1C1B （） 阳马 BA1ACC1的体积：， 当且仅当 ACBC时，以 C 为原点，CB 为 x 轴，CA 为 y 轴，CC1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当阳马 BA1
30、ACC1体积最大时，二面角 C A1BC1的余弦值 【解答】证明： （）由堑堵 ABCA1B1C1的性质得：四边形 A1ACC1是矩形， A1A底面 ABC，BC平面 ABC， BCA1A，又 BCAC，A1AACA，A1A，AC平面 A1ACC1， BC平面 A1ACC1， 四棱锥 BA1ACC1为阳马， 四面体 BA1CC1是否为鳖臑， 四个面的直角分别是A1CB， A1C1C， BCC1， A1C1B 解： （）A1AAB2， 由（）知阳马 BA1ACC1的体积： ， 第 19 页（共 25 页） 当且仅当 ACBC时， 以 C 为原点，CB 为 x 轴，CA 为 y 轴，CC1为 z
31、轴，建立空间直角坐标系， 则 A1（0，2） ，B（，0，0） ，C1（0，0，2） ， （0，2） ，（，0，0） ，（0，0） ，（，0， 2） ， 设平面 CA1B 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y，得 （0，1） ， 设平面 C1A1B 的法向量 （a，b，c） ， 则，取 a，得 （，0，1） ， 设当阳马 BA1ACC1体积最大时，二面角 CA1BC1的平面角为 ， 则 cos， 当阳马 BA1ACC1体积最大时，二面角 CA1BC1的余弦值为 【点评】本题考查四棱锥是阳马的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的 点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间
32、的位置关系等基础知识，考 查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想， 是中档题 20 （12 分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟 退休年龄政策” 为了了解人们对 “延迟退休年龄政策” 的态度， 责成人社部进行调研 人 社部从网上年龄在 1565 岁的人群中随机调查 100 人， 调査数据的频率分布直方图和支 持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下： 第 20 页（共 25 页） 年龄 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 支持“延迟退 休”的人数 15 5 15 28 17 （1）由以上
33、统计数据填 22 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下 认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异； 45 岁以下 45 岁以上 总计 支持 不支持 总计 （2）若以 45 岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取 8 人参 加某项活动现从这 8 人中随机抽 2 人 抽到 1 人是 45 岁以下时，求抽到的另一人是 45 岁以上的概率 记抽到 45 岁以上的人数为 x，求随机变量 x 的分布列及数学期望 【分析】 （1）根据频率分布直方图得到 45 岁以下与 45 岁以上的人数，由此可得列联表， 求得 K2后在结合临界值表可得
34、结论； （2）结合条件概率的计算方法求解； 由题意可得 X 的可能取值为 0，1，2，分别求出对应的概率后可得分布列和期望 【解答】解： （1）由频率分布直方图知 45 岁以下与 45 岁以上各 50 人， 故可得 22 列联表如下： 45 岁以下 45 岁以上 总计 支持 35 45 80 不支持 15 5 20 总计 50 50 100 第 21 页（共 25 页） 由列联表可得 K26.253.841， 所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 45 岁为分界点的不同人群对 “延迟退休年龄政策”的支持度有差异； （2）设“抽到 1 人是 45 岁以下”为事件 A， “抽到的另一
35、人是 45 岁以上”为事件 B， 则 P（A）， P（AB）， P（B|A）， 即抽到 1 人是 45 岁以下时，求抽到的另一人是 45 岁以上的概率为； 从不支持“延迟退休”的人中抽取 8 人，则 45 岁以下的应抽 6 人，45 岁以上的应抽 2 人 由题意得 X 的可能取值为 0，1，2 P（X0），P（X1），P（X2）； 故随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 P 所以 E（X）0+1+2 【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期 望应用问题，是中档题 21 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，过右焦点作垂直于椭 圆长轴的直线交
36、椭圈于 M，N 两点，且|MN|1，O 为坐标原点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l：ykx+m 与椭圆 C 相交于 AB 两点，若 OAOB 第 22 页（共 25 页） 求的值： 求AOB 的面积 S 的最小值 【分析】 （1）由离心率 e 的值，得 a，c 的关系，由通径得 a，b，c 的关系式，联立即可 求出 a，b 的值； （2）联系直线关系式与椭圆方程，列出方程组消去 x，得到一个关于 y 的一元二次方程， 由韦达定理即弦长公式，然后列出 SAOB的等式，在通过这个等式求出最小值即可 【解答】（1） 解： 已知椭圆 C 的离心率为， 可知， 根据椭圆的通径长为，结合椭圆
37、中 a2b2+c2， 可解得， 故椭圆 C 的方程为 （2）解：已知直线 AB 的方程为 ykx+m，设 A（x1，y1）B（x2，y2） 与椭圆方程联立有，消去 y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m240， 所以， 因 OAOB，所以 即， 所以 整理得 5m24（k2+1） ， 所以 为 设直线 OA 的斜率为 k0 当 k00 时， 则的方程 OA 为 yk0x， OB 的方程为， 第 23 页（共 25 页） 联立 得，同理可求得， 故AOB 的面积为 S 令，则 S； 令 g（t），所以 4g（t） 所以，当 kk00 时，可求得 S1，故 S 的最小值为 【点评】本题考查了椭圆
38、方程的求法，直线与圆相交关系及直线与椭圆的相交关系等， 综合性较强，关键是利用韦达定理表示弦长与三角形的面积 22 （12 分）设 kR，函数 f（x）lnxkx （1）若 k2，yf（x）极大值； （2）若 f（x）无零点，求实数 k 的取值范围； （3）若 f（x）有两个相异零点 x1，x2，求证：lnx1+lnx22 【分析】 （1）求函数 f（x）的导数，当 k2 时，判断导函数的符号，然后求解函数的极 值； （2）当 k0 时，由 f（1） f（ek）0 可知函数有零点，不符合题意；当 k0 时，函数 f（x）lnx 有唯一零点 x1 有唯一零点，不符合题意；当 k0 时，由单调性可
39、知函数 有最大值，由函数的最大值小于零列出不等式，解之即可； （3）设 f（x）的两个相异零点为 x1，x2，设 x1x20，则 lnx1kx10，lnx2kx20， 两式作差可得， lnx1lnx2k （x1x2） 即 lnx1+lnx2k （x1+x2） ， 由 x1x2e2， 可得 lnx1+lnx2 2 即 k（x1+x2）2，即 ln，设 t1， 上式转化为 lnt（t1） ，构造函数 g（t）lnt，证 g（t）g（1） 0 即可 第 24 页（共 25 页） 【解答】 （1）解：函数的定义域为（0，+） ，当 k2 时，f（x），令0， 可得：x， 当 0x时，f（x）0，函数是
40、增函数，当 x时， f（x）0，函数是减函数，所以 x时，函数取得极大值，f（）ln21； （2）解：若 k0 时，则 f（x）0，f（x）是区间（0，+）上的增函数， f（1）k0，f（ek）kkeak（1ek）0， f（1） f（ek）0，函数 f（x）在区间（0，+）有唯一零点； 若 k0，f（x）lnx 有唯一零点 x1； 若 k0，令 f（x）0，得 x， 在区间（0，）上，f（x）0，函数 f（x）是增函数； 在区间（ ，+）上，f（x）0，函数 f（x）是减函数； 故在区间（0，+）上，f（x）的极大值为 f（ ）lnk1， 由于 f（x）无零点，须使 f（ ）lnk10，解得
41、k， 故所求实数 k 的取值范围是（ ，+） ； （3）证明：设 f（x）的两个相异零点为 x1，x2，设 x1x20， f（x1）0，f（x2）0，lnx1kx10，lnx2kx20， lnx1lnx2k（x1x2） ，lnx1+lnx2k（x1+x2） ， x1x2e2，故 lnx1+lnx22，故 k（x1+x2）2， 即，即 ln，设 t1， 上式转化为 lnt（t1） ， g（t）0， g（t）在（1，+）上单调递增， g（t）g（1）0，lnt， lnx1+lnx22 第 25 页（共 25 页） 【点评】本题考查导数的运用：函数的单调区间、极值和最值，考查分类讨论思想方法 和构造函数法，以及转化思想的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题