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2018-2019学年湖南省三湘名校教育联盟高二(上)期中数学试卷(理科)含详细解答

1、一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 Ax|x22x30,且 ABR,则集合 B 可以是( ) Ax|x3 Bx|x1 Cx|x3 Dx|1x3 2 (5 分)命题 p:x0,xsinx,则p( ) Ax0,xsinx Bx0,xsinx Cx0,xsinx Dx0,xsinx 3 (5 分)已知 , 均为单位向量,| + |,则(2 + ) ( )( ) A B C D 4 (5 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,S3+S627,则 a2+a4( ) A3 B6 C9 D12 5 (5 分)已知 E、F 分别为椭圆+1 的左、右焦点,倾斜角为 60的直线 l 过点 E, 且

2、与椭圆交于 A,B 两点,则FAB 的周长为( ) A10 B12 C16 D20 6 (5 分)已知数列an满足 a12,an+1,则 an( ) A2n Bn+1 C+1 D 7 (5 分)设 a、bR,原命题“若 x(a+b)2,则 xa2+b2” ,则关于其逆命题、否命 题、逆否命题的结论正确的是( ) A逆命题与否命题均为真命题 B逆命题为假命题,否命题为真命题 C逆命题为假命题,逆否命题为真命题 D否命题为假命题,道否命题为真命题 8 (5 分)下列函数中,最小周期为 且为偶函数的是( ) Af(x)sin|2x| 第 2 页(共 18 页) Bf(x)tan(x) Cf(x)|c

3、os2x| Df(x) 9 (5 分)要得到函数 f(x)cos2xsin(2x)的图象,只需将函数 g(x)cos2x 的图象( ) A向左平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位 10 (5 分)当 x(0,+)时,ax23x+a0 恒成立,则 a 的取值范围是( ) A (, B, C,+) D (,+) 11 (5 分)已知 P 是椭圆 E:+1(ab0)上异于点 A(a,0) ,B(a,0)的 一点,E 的离心率为,则直线 AP 与 BP 的斜率之积为( ) A B C D 12 (5 分)在ABC 中,若(3),则角 A 的最大值为( ) A B C D 二

4、、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,4,则 14 (5 分)已知向量 (2,sin) , (1,cos) ,且 ,则 sin()cos(+) tan() 15 (5 分)在ABC 中,|,BAC120,过点 A 作 AB 的垂线交 BC 于点 D, x+y,则 16 (5 分)如图,ABC 中,ACB 为钝角,AC10,BC6,过点 B 向ACB 的角平分 第 3 页(共 18 页) 线引垂线交于点 P,岩 AP6,则ABP 的面积为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应

5、写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分)ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知(2ba)cosCccosA (1)求角 C; (2)若 c7,ABC 的面积为 10,求ABC 的周长 18 (12 分)记 Sn为数列an的前 n 项和,已知,nN* (1)求数列an的通项公式; (2)设,求数列bn的前 n 项和 Tn 19 (12 分)已知 x,y 满足约束条件 (1)若 zmx+y 取得最小值的最优解有无数多个,求 m 的值; (2)求 zx2+y2的取值范围 20 (12 分)已知数列bn的前 n 项和为 Sn,Sn+

6、bn2等差数列an满足 b1a23,b1+a5 7 (1)求数列an,bn的通项公式; (2)证明:a1b2+a2b3+anbn+13 21 (12 分)设函数 f(x)cos(2x)+2sin(x)sin(x+) (1)求 f(x)的单调递减区间及其图象的对称轴方程; (2)若 f(x)在区间,a上的值域为,1,求实数 a 的取值范围 22 (12 分)已知椭圆 C:+1(ab0)的一个顶点为 A(3,0) ,且经过点(2, ) (1)求椭圆 C 的方程; 第 4 页(共 18 页) (2)过点 A 作斜率为 k(k0)的直线 l 交 C 于另一点 D,交 y 轴点 E,P 为线段 AD 的

7、 中点,O 为坐标原点,是否存在点 Q 满足对于任意的 k(k0)都有 OPEQ?若存在, 求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 第 5 页(共 18 页) 2018-2019 学年湖南省三湘名校教育联盟高二(上)期中数学试学年湖南省三湘名校教育联盟高二(上)期中数学试 卷(理科)卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 Ax|x22x30,且 ABR,则集合

8、 B 可以是( ) Ax|x3 Bx|x1 Cx|x3 Dx|1x3 【分析】可解出集合 Ax|x1,或 x3,并且 ABR 从而得出 B 可以是x|x 1 【解答】解:Ax|x1,或 x3,且 ABR; 符合条件的只有 B 故选:B 【点评】考查描述法的定义,以及并集的定义及运算 2 (5 分)命题 p:x0,xsinx,则p( ) Ax0,xsinx Bx0,xsinx Cx0,xsinx Dx0,xsinx 【分析】根据全称命题的否定方法,根据已知中的原命题,写出其否定形式,可得答案 【解答】解:命题 p:x0,xsinx,则p 为x0,xsinx, 故选:D 【点评】本题考查的知识点是

9、全称命题,命题的否定,熟练掌握全(特)称命题的否定 方法是解答的关键 3 (5 分)已知 , 均为单位向量,| + |,则(2 + ) ( )( ) A B C D 【分析】由已知结合向量数量积的性质可求,代入即可求解 【解答】解: , 均为单位向量,且| + |, 3, 第 6 页(共 18 页) , 则(2 + ) ( ), 故选:B 【点评】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用,属于基础试题 4 (5 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,S3+S627,则 a2+a4( ) A3 B6 C9 D12 【分析】根据等差数列的求和公式可得 a1+2d3,即可求出 【解答】解:

10、S3+S627, 3a1+d+6a1+d27, 即 9a1+18d27, a1+2d3, a2+a42(a1+2d)6, 故选:B 【点评】本题考查了等差数列的求和公式,属于基础题 5 (5 分)已知 E、F 分别为椭圆+1 的左、右焦点,倾斜角为 60的直线 l 过点 E, 且与椭圆交于 A,B 两点,则FAB 的周长为( ) A10 B12 C16 D20 【分析】利用椭圆的简单性质,椭圆的定义,转化求解三角形的周长即可 【解答】解:椭圆+1, 可得 a5, 三角形 AF2B 的周长|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|AF1|+|BF1|, 所以:周长|AF1|+|AF2|+|BF1

11、|+|BF2|, 由椭圆的第一定义,|AF1|+|AF2|BF1|+|BF2|2a10, 所以,周长4a20 故选:D 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的定义的应用,三角形的周长的求法, 属于基本知识的考查 第 7 页(共 18 页) 6 (5 分)已知数列an满足 a12,an+1,则 an( ) A2n Bn+1 C+1 D 【分析】利用数列的递推关系式,推出是等差数列,然后求解数列的通项公式 【解答】解:数列an满足 a12,an+1, 可得:,所以数列是等差数列,可得:, 可得 an, 故选:D 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用,数列的通项公式的求法,考查计算能力 7

12、(5 分)设 a、bR,原命题“若 x(a+b)2,则 xa2+b2” ,则关于其逆命题、否命 题、逆否命题的结论正确的是( ) A逆命题与否命题均为真命题 B逆命题为假命题,否命题为真命题 C逆命题为假命题,逆否命题为真命题 D否命题为假命题,道否命题为真命题 【分析】判断出原命题是假命题,从而原命题的逆否命题是假命题;再判断现原命题的 逆命题是真命题,从而原命题的否命题是真命题 【解答】解:原命题: “设 a、bR,原命题“若 x(a+b)2,则 xa2+b2” ,是假 命题, 原命题的逆否命题是假命题; 原命题的逆命题: “若 xa2+b2,则 x(a+b)2” ,是真命题, 原命题的否

13、命题是真命题 故选:A 【点评】本题考查命题真假的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力, 是基础题 8 (5 分)下列函数中,最小周期为 且为偶函数的是( ) 第 8 页(共 18 页) Af(x)sin|2x| Bf(x)tan(x) Cf(x)|cos2x| Df(x) 【分析】利用三角函数的奇偶性、周期性,逐一判断各个选项是否正确,从而得出结论 【解答】解:f(x)sin|2x|为偶函数,但它的最小正周期为,故排除 A; 由于 f(x)tan(x)为非奇非偶函数,故排除 B; f(x)|cos2x|为偶函数,但它的最小正周期为,故排除 C; f(x)cos2x 为偶函数,且

14、它的最小正周期为 ,故 D 满足条件, 故选:D 【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性,属于基础题 9 (5 分)要得到函数 f(x)cos2xsin(2x)的图象,只需将函数 g(x)cos2x 的图象( ) A向左平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位 【分析】利用诱导公式、函数 yAsin(x+)的图象变换规律,得出结论 【解答】解:函数 f(x)cos2xsin(2x)cos2x(cos2xsin2x) cos2x+sin2xcos(2x) , 故将函数 g(x)cos2x 的图象向右平移个单位,可得 f(x)的图象, 故选:D 【点评】本题主要考查诱

15、导公式的应用,函数 yAsin(x+)的图象变换规律,统一 这两个三角函数的名称,是解题的关键,属于基础题 10 (5 分)当 x(0,+)时,ax23x+a0 恒成立,则 a 的取值范围是( ) 第 9 页(共 18 页) A (, B, C,+) D (,+) 【分析】对x(0,+) ,不等式 ax23x+a0 恒成立通过 a0 以及 a0,利用二 次函数的性质即可得出 【解答】解:当 a0 时,不等式不恒成立, 由二次函数的性质可知:a0,且94a20,解得 a, a0 时,ax23x+a0 不恒成立, 综上 a,+) 故选:C 【点评】本题考查了恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性

16、质,考查了推理能力 与计算能力,属于基础题 11 (5 分)已知 P 是椭圆 E:+1(ab0)上异于点 A(a,0) ,B(a,0)的 一点,E 的离心率为,则直线 AP 与 BP 的斜率之积为( ) A B C D 【分析】利用点 P 与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积的不等式,建立等式,考查双曲 线的方程,即可确定 a,b 的关系,从而通过双曲线的离心率,求解即可 【解答】解:设 P(x,y) ,点 A(a,0) ,B(a,0) ,椭圆椭圆 E:+1,y2 b2() 椭圆的离心率为, ,则,所以, 点 P 与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为:, 故选:C 第 10 页(共 18 页) 【点

17、评】本题考查斜率的计算,考查双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于中 档题 12 (5 分)在ABC 中,若(3),则角 A 的最大值为( ) A B C D 【 分 析 】 根 据即 可 得 出, 从 而 得 出 , 进 而 得 出 ,从而可求出 A 的最大值 【解答】解:; ; ,且 0A; A 的最大值为 故选:A 【点评】考查向量数量积的运算及计算公式,向量垂直的充要条件,向量减法的几何意 义,以及 a2+b22ab 的应用 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,4,

18、则 3 【分析】根据题意,由等比数列的求和公式,求出公比,再根据通项公式即可求出 【解答】解:设等比数列的公比为 q,由4,可得1+q34,解得 q33, q33, 故答案为:3 【点评】本题考查了等比数列的定义和通项公式以及前 n 项和公式的应用问题,属于基 础题 第 11 页(共 18 页) 14 (5 分)已知向量 (2,sin) , (1,cos) ,且 ,则 sin()cos(+) tan() 【分析】由已知求得 tan,再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值 【解答】解:由 (2,sin) , (1,cos) ,且 , 得 2cossin0,即 tan2 sin()cos(+

19、)tan()sin (sin) tan() 故答案为: 【点评】本题考查平面向量共线的坐标运算,训练了利用诱导公式及同角三角函数基本 关系式化简求值,是基础题 15 (5 分)在ABC 中,|,BAC120,过点 A 作 AB 的垂线交 BC 于点 D, x+y,则 【分析】由题意,可得出 BD2AD2DC,由向量三角形法则可得出, 再结合x+y,根据平面向量基本定理,得出 x,y 的值,即可得出答案 【解答】解:在ABC 中,|, BAC120, 过点 A 作 AB 的垂线交 BC 于点 D, 如图 ABC30, BD2AD, 且ADB60, 所以 DCAD BD2AD2DC, 第 12 页

20、(共 18 页) 又x+y,x,y 故答案为 【点评】本题考查平面向量基本定理以及向量加法减法运算法则,属于向量基本题 16 (5 分)如图,ABC 中,ACB 为钝角,AC10,BC6,过点 B 向ACB 的角平分 线引垂线交于点 P,岩 AP6,则ABP 的面积为 4 【分析】设 CPx,ACPBCP,利用直角三角形的边角关系和余弦定理求得 x 和 cos 的值,再计算 sinACB 以及 SABC、SACP和 SBCP的值,从而求得ABP 的面 积 【解答】解:如图所示, 设 CPx,ACPBCP, 则 cos, 由余弦定理得,AP2AC2+x22xACcos, 解得 x2,cos; s

21、inACBsin22; SABC61020, SACP10, 第 13 页(共 18 页) SBCP626, SABPSABCSACPSBCP201064, 即ABP 的面积为 4 【点评】本题考查了解三角形的应用问题,也考查了三角形面积计算问题,是中档题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分)ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知(2ba)cosCccosA (1)求角 C; (2)若 c7,ABC 的面积为 10,求ABC 的周长 【分析】 (1)由正弦定理,两角和的正弦函数

22、公式化简已知等式可得 2sinBcosCsinB, 由 sinB0,可求 cosC,结合范围 C(0,) ,可求 C 的值 (2)由(1)及三角形面积公式可求 ab40,由余弦定理可求 a+b 的值, 即可解得ABC 的周长 【解答】 (本题满分为 10 分) 解: (1)(2ba)cosCccosA, 由正弦定理可得: (2sinBsinA)cosCsinCcosA, 可得:2sinBcosCsinAcosC+sinCcosAsin(A+C)sinB, sinB0, 解得:cosC, C(0,) , C(5 分) (2)由(1)及已知可得:ABC 的面积为 10ab,解得 ab40, 由余弦

23、定理可得:c2a2+b2ab,可得:49(a+b)23ab(a+b)2340,解 得:a+b13, 第 14 页(共 18 页) ABC 的周长 a+b+c13+720(10 分) 【点评】本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形面积公式,余弦定 理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题 18 (12 分)记 Sn为数列an的前 n 项和,已知,nN* (1)求数列an的通项公式; (2)设,求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 (1)根据数列的,nN*利用 anSnSn1求通项公式即可 (2)化简数列的通项公式,利用裂项消项法求解数列的和即可 【解答】解:

24、(1)由,得 当 n1 时,a1S13; 当 n2 时,anSnSn12n2+n2(n1)2+(n1)4n1 所以 an4n1 (2), 所以 【点评】本题主要考查数列通项公式和前 n 项和的求解,利用累加法和分组求和法是解 决本题的关键 19 (12 分)已知 x,y 满足约束条件 (1)若 zmx+y 取得最小值的最优解有无数多个,求 m 的值; (2)求 zx2+y2的取值范围 【分析】利用约束条件画出可行域, (1)利用目标函数的最优解求解即可 (2)利用目标函数的几何意义,转化求解即可 【解答】解:作出约束条件的可行域如图:由图形可知:A(3,1) ,B(7,9) ,C(1, 3)

25、; (1)zmx+y 取得最小值的最优解有无数多个,若 m0,则 m2;若 m0,则 m 1,故 m1; 所以 m1 或 m2 第 15 页(共 18 页) (2)zx2+y2的几何意义是可行域内的点与(0,0)的距离的平方, 由图可得:zmin8; zmax|OB|2130 8z130 【点评】本题考查线性规划的简单应用,判断目标函数的最值的求法,目标函数的几何 意义是解题的关键,考查数形结合以及计算能力 20 (12 分)已知数列bn的前 n 项和为 Sn,Sn+bn2等差数列an满足 b1a23,b1+a5 7 (1)求数列an,bn的通项公式; (2)证明:a1b2+a2b3+anbn

26、+13 【分析】 (1)由数列的递推式:n1 时,b1S1,n2 时,bnSnSn1,化简计算可 得 bn;再由等差数列的通项公式,可得首项和公差,即可得到 an; (2)由数列的错位相减法,结合等比数列的求和公式,以及不等式的性质,即可得证 【解答】解: (1)Sn+bn2, 可得 n1 时,b1S12b1,可得 b11; n2 时,bnSnSn12bn2+bn1, 即有 bnbn1, 可得 bn()n 1; 等差数列an的公差设为 d,b1a23,b1+a57, 即有 a1+d3,a1+4d6, 解得 a12,d1,可得 an2+n1n+1; 第 16 页(共 18 页) (2)证明:设

27、Tna1b2+a2b3+anbn+12+3 ()2+(n+1) ()n, Tn2 ()2+3 ()3+(n+1) ()n+1, 相减可得Tn1+()2+()3+()n(n+1) ()n+1 1+(n+1) ()n+1, 化简可得 a1b2+a2b3+anbn+13(n+3) ()n, 由(n+3) ()n0,可得 a1b2+a2b3+anbn+13 【点评】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用数列的递推式和等差数列的通项公 式,考查数列的错位相减法求和,以及不等式的性质,考查运算能力,属于中档题 21 (12 分)设函数 f(x)cos(2x)+2sin(x)sin(x+) (1)求 f(x

28、)的单调递减区间及其图象的对称轴方程; (2)若 f(x)在区间,a上的值域为,1,求实数 a 的取值范围 【分析】 (1)利用恒等变换公式将 f(x)化为 sin(2x) ,再利用正弦函数的单调递 减区间和对称轴可得; (2)利用正弦函数的图象可得 【解答】解: (1)f(x)cos2x+sin2x+(sinxcosx) (sinx+cosx) cos2x+sin2xcos2xsin(2x) , 令 2k+2x2k+,则 k+xk+,kZ f(x)的单调递减区间为k+,k+,kZ 由 2xk+(kZ)得 x+(kZ) f(x)图象的对称轴方程为 x+(kZ) (2)x,a,2x,2a 结合正

29、弦函数图象可知:2a,解得, 第 17 页(共 18 页) 实数 a 的取值范围是, 【点评】本题考查了正弦函数的单调性,属中档题 22 (12 分)已知椭圆 C:+1(ab0)的一个顶点为 A(3,0) ,且经过点(2, ) (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 A 作斜率为 k(k0)的直线 l 交 C 于另一点 D,交 y 轴点 E,P 为线段 AD 的 中点,O 为坐标原点,是否存在点 Q 满足对于任意的 k(k0)都有 OPEQ?若存在, 求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)由由题意可得,解得 a29,b25,由此能求出椭圆方程 (2)直线的方程为 yk(x+

30、3) ,与椭圆联立,得(5+9k2)x2+54k2x+81k2450,由此 利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质,结合已知条件能求出 定点 Q 的坐标 【解答】解: (1)由题意可得,解得 a29,b25, 则椭圆 C 的方程为+1, (2)直线的方程为 yk(x+3) ,得 E(0,3k) , 联立椭圆方程,消元化简得(5+9k2)x2+54k2x+81k2450, xA3, xD, yDk(xD+3), D(,) , 第 18 页(共 18 页) 又点 P 为 AD 的中点,P(,) , 则 kOP(k0) , 假设存在定点 Q(m,n) (m0)使得 OPEQ,则 kOPkEQ1, 即1 恒成立, k(9m+15)5n0 恒成立, ,即 m,n0, 因此定点 Q 的坐标为(,0) 【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查满足直线与直线垂直的定点是否存在的判断与 求法,解题时要认真审题,注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆 性质的合理运用,是中档题