1、若命题“pq”为假，且“p”为假，则（ ） Ap 或 q 为假 Bq 假 Cq 真 D不能判断 q 的真假 2 （3 分）某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时，错将其中一个数据 105 输入为 15， 那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（ ） A35 B3 C3 D0.5 3 （3 分）动点 P 到点 M（1，0）与点 N（3，0）的距离之差为 2，则点 P 的轨迹是（ ） A双曲线 B双曲线的一支 C两条射线 D一条射线 4 （3 分）从某鱼池中捕得 130 条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再 从池中捕得 100 条鱼，计算其中有记号的鱼为 10 条，试估计鱼池中
2、共有鱼的条数大约为 （ ） A1000 B1200 C130 D1300 5 （3 分）有五条线段长度分别为 1、3、5、7、9，从这 5 条线段中任取 3 条，则所取 3 条 线段能构成一个三角形的概率为（ ） A B C D 6 （3 分）已知随机变量 服从正态分布 N（2，2） ，且 P（4）0.8，则 P（02） 等于（ ） A0.6 B0.4 C0.3 D0.2 7 （3 分）已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 3， 3.5，则由该观 测数据算得的线性回归方程可能是（ ） A 0.4x+2.3 B 2x2.4 C 2x+9.5 D 0.3x+4.4 8 （3 分
3、）从装有 2 个红球和 2 个黒球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件 是（ ） A至少有一个黒球与都是红球 第 2 页（共 18 页） B至少有一个黒球与都是黒球 C恰有 1 个黒球与恰有 2 个黒球 D至少有一个黒球与至少有 1 个红球 9 （3 分）有下述说法： ab0 是 a2b2的充要条件 ab0 是的充要条件 ab0 是 a3b3的充要条件则其中正确的说法有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 10 （3 分）6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人 2 本，不同的分法种数为（ ） A6 B12 C60 D90 11 （3 分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了
4、两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互 独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮， 那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过 2 秒的概率是（ ） A B C D 12 （3 分）已知椭圆 E：+1（ab0）的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直 线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点，若|AF|+|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于， 则椭圆 E 的离心率的取值范围是（ ） A （0， B （0， C，1） D，1） 二、填空题二、填空题 13 （3 分）在 5 张卡片上分别写有数字 1、2、3、4、5，然后将它们混
5、合，再任意排列成一 行，则得到的数能被 2 或 5 整除的概率是 14 （3 分） 椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1， F2的连线互相垂直， 则PF1F2 的面积为 15 （3 分）若（2x1）na0+a1x+anxn，则 a1+a2+an 16 （3 分）已知 p： “x1，2，x2a0” ，q： “x0R，使 x02+2ax0+2a0” 若命题 “p 且 q”是真命题，则实数 a 的取值范围是 第 3 页（共 18 页） 三、解答题（三、解答题（6 个小题，共个小题，共 70 分）分） 17 （10 分）如图，从参加环保知识竞赛的 1200 名学生中抽出 60 名，将其成绩（均为整数
6、） 整理后画出的频率分布直方图如图：观察图形，回答下列问题： （1）79.589.5 这一组的频数、频率分别是多少？ （2）估计这次环保知识竞赛的及格率 （60 分及以上为及格） （3）若准备取成绩最好的 300 名发奖，则获奖的最低分数约为多少？ 18 （12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用 户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 6
7、5 81 74 56 54 76 65 79 （1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意 度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可） ； （2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件 C： “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级” ，假设两地区用户 的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率 第 4 页（共 18 页） 19 （12 分）已知命题 p
8、：方程 x2+mx+10 有两个不相等的实根；命题 q：方程 4x2+4（m 2）x+10 无实根，若 p 或 q 为真，而 p 且 q 为假，求实数 m 的取值范围 20 （12 分）已知（x2）n展开式中的二项式系数的和比（3a+2b）7展开式的二项式系 数的和大 128， （）求 n 的值； （）求（x2）n展开式中的系数最大的项和系数最小的项 21 （12 分）一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色卡片 4 张，编号分别为 1，2，3，4； 白 色卡片 3 张，编号分别为 2，3，4从盒子中任取 4 张卡片 （假设取到任何一张卡片的 可能性相同） （）求取出的 4 张卡片中，含有编号为
9、 3 的卡片的概率 （）在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 X，求随机变量 X 的分布列和 数学期望 22 （12 分）已知点 A（0，2） ，椭圆 E：+1（ab0）的离心率为，F 是 椭圆的右焦点，直线 AF 的斜率为，O 为坐标原点 （）求 E 的方程； （）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程 第 5 页（共 18 页） 2018-2019 学年湖南省常德市高二（下）期中数学试卷（理科）学年湖南省常德市高二（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）若命题“p
10、q”为假，且“p”为假，则（ ） Ap 或 q 为假 Bq 假 Cq 真 D不能判断 q 的真假 【分析】根据复合命题的真值表，先由“ p”为假，判断出 p 为真；再根据“pq”为 假，判断 q 为假 【解答】解：因为“ p”为假， 所以 p 为真； 又因为“pq”为假， 所以 q 为假 对于 A，p 或 q 为真， 对于 C，D，显然错， 故选：B 【点评】本题考查复合命题的真假与构成其两个简单命题的真假的关系： “pq”全真则 真； ： “pq”全假则假； “ p”与 p 真假相反 2 （3 分）某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时，错将其中一个数据 105 输入为 15， 那么由此
11、求出的平均数与实际平均数的差是（ ） A35 B3 C3 D0.5 【分析】 在输入的过程中错将其中一个数据 105 输入为 15 少输入 90， 在计算过程中共有 30 个数，所以少输入的 90 对于每一个数来说少 3，求出的平均数与实际平均数的差可以 求出 【解答】解：在输入的过程中错将其中一个数据 105 输入为 15 少输入 90， 而3 平均数少 3， 求出的平均数减去实际的平均数等于3 第 6 页（共 18 页） 故选：B 【点评】本题考查平均数的性质，求数据的平均值和方差是研究数据常做的，平均值反 映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，从两个方面可以准确的把握数据的情 况
12、3 （3 分）动点 P 到点 M（1，0）与点 N（3，0）的距离之差为 2，则点 P 的轨迹是（ ） A双曲线 B双曲线的一支 C两条射线 D一条射线 【分析】根据双曲线的定义：动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常 数时为双曲线；距离当等于两定点距离时为两条射线；距离当大于两定点的距离时无轨 迹 【解答】解：|PM|PN|2|MN|， 点 P 的轨迹为一条射线 故选：D 【点评】本题考查双曲线的定义中的条件：小于两定点间的距离时为双曲线 4 （3 分）从某鱼池中捕得 130 条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再 从池中捕得 100 条鱼，计算其中有记号的鱼为 1
13、0 条，试估计鱼池中共有鱼的条数大约为 （ ） A1000 B1200 C130 D1300 【分析】设鱼池中共有鱼的条数大约为 n，利用等可能事件概率计算公式列出方程，能求 出结果 【解答】解：设鱼池中共有鱼的条数大约为 n， 则，解得 n1300， 故选：D 【点评】本题考查鱼池中共有鱼的条数的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 5 （3 分）有五条线段长度分别为 1、3、5、7、9，从这 5 条线段中任取 3 条，则所取 3 条 线段能构成一个三角形的概率为（ ） A B C D 【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是从五条线段
14、中取三 第 7 页（共 18 页） 条共有 C53种结果，而满足条件的事件是 3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，根据 古典概型公式得到结果 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有 C53种结果， 而满足条件的事件是 3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果， 由古典概型公式得到 P， 故选：B 【点评】本题考查古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本 题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为 载体，主要考查的是另一个知识点 6 （3 分）已知随机变量 服从正态分布 N（2，
15、2） ，且 P（4）0.8，则 P（02） 等于（ ） A0.6 B0.4 C0.3 D0.2 【分析】据随机变量 X 服从正态分布 N（2，2） ，看出这组数据对应的正态曲线的对称 轴 x2，根据正态曲线的特点，得到 P（02）P（04） ，得到结果 【解答】解：随机变量 X 服从正态分布 N（2，2） ， 2，得对称轴是 x2 P（4）0.8 P（4）P（0）0.2， P（04）0.6 P（02）0.3 故选：C 第 8 页（共 18 页） 【点评】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟 形的曲线，其对称轴为 x，并在 x 时取最大值 从 x 点开始，曲线向正
16、负两个 方向递减延伸，不断逼近 x 轴，但永不与 x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以 x 轴为渐近线的 7 （3 分）已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 3， 3.5，则由该观 测数据算得的线性回归方程可能是（ ） A 0.4x+2.3 B 2x2.4 C 2x+9.5 D 0.3x+4.4 【分析】变量 x 与 y 正相关，可以排除 C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归 直线方程 【解答】解：变量 x 与 y 正相关， 可以排除 C，D； 样本平均数 3， 3.5，代入 A 符合，B 不符合， 故选：A 【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方
17、程恒过样本中心点是关键 8 （3 分）从装有 2 个红球和 2 个黒球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件 是（ ） A至少有一个黒球与都是红球 B至少有一个黒球与都是黒球 C恰有 1 个黒球与恰有 2 个黒球 D至少有一个黒球与至少有 1 个红球 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解 【解答】解：从装有 2 个红球和 2 个黒球的口袋内任取 2 个球， 在 A 中，至少有一个黒球与都是红球是对立事件，故 A 错误； 在 B 中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，不是互斥事件，故 B 错误； 在 C 中，恰有 1 个黒球与恰有 2 个黒球是互斥而不对立的两个事件，故 C
18、 正确； 在 D 中，至少有一个黒球与至少有 1 个红球能同时发生，不是互斥事件，故 D 错误 故选：C 【点评】本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基 第 9 页（共 18 页） 础题 9 （3 分）有下述说法： ab0 是 a2b2的充要条件 ab0 是的充要条件 ab0 是 a3b3的充要条件则其中正确的说法有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】 依次分析命题， ab0a2b2， 反之则不成立， 故错误； ab0， 反之则不成立，故错误；ab0a3b3，反之由不成立，故错误；综合可得答案 【解答】解：ab0a2b2，反之则不成立，故错误；
19、 ab0，反之则不成立，故错误； ab0a3b3，反之由不成立，故错误 故选：A 【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解 答，注意避免不必要错误的发生 10 （3 分）6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人 2 本，不同的分法种数为（ ） A6 B12 C60 D90 【分析】把 6 本书平均分给甲、乙、丙 3 个人，每人 2 本，分 3 步进行，先从 6 本书中 取出 2 本给甲，再从剩下的 4 本书中取出 2 本给乙，最后把剩下的 2 本书给丙，分别求 出其情况数目，进而由分步计数原理，可得结论； 【解答】解：把 6 本书平均分给甲、乙、丙 3 个人，
20、每人 2 本，分 3 步进行， 先从 6 本书中取出 2 本给甲，有 C62种取法， 再从剩下的 4 本书中取出 2 本给乙，有 C42种取法， 最后把剩下的 2 本书给丙，有 1 种情况， 则把 6 本书平均分给甲、乙、丙 3 个人，每人 2 本，有 C62C42190 种分法； 故选：D 【点评】本题考查分步计数原理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 11 （3 分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互 独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮， 那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过 2 秒
21、的概率是（ ） 第 10 页（共 18 页） A B C D 【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为 x，y，由题意可得 0x4，0y4，要 满足条件须|xy|2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案 【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为 x，y， 由题意可得 0x4，0y4， 它们第一次闪亮的时候相差不超过 2 秒，则|xy|2， 由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比， 由图可知所求的概率为： 故选：C 【点评】本题考查几何概型，涉及用一元二次方程组表示平面区域，属基础题 12 （3 分）已知椭圆 E：+1（ab0）的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直 线 l：
22、3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点，若|AF|+|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于， 则椭圆 E 的离心率的取值范围是（ ） A （0， B （0， C，1） D，1） 【分析】如图所示，设 F为椭圆的左焦点，连接 AF，BF，则四边形 AFBF是平 行四边形，可得 4|AF|+|BF|AF|+|BF|2a取 M（0，b） ，由点 M 到直线 l 的距离 不小于，可得，解得 b1再利用离心率计算公式 e即 可得出 第 11 页（共 18 页） 【解答】解：如图所示，设 F为椭圆的左焦点，连接 AF，BF，则四边形 AFBF 是平行四边形， 4|AF|+|BF|AF|+|AF|2
23、a，a2 取 M（0，b） ，点 M 到直线 l 的距离不小于，解得 b1 e 椭圆 E 的离心率的取值范围是 故选：A 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性 质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题二、填空题 13 （3 分）在 5 张卡片上分别写有数字 1、2、3、4、5，然后将它们混合，再任意排列成一 行，则得到的数能被 2 或 5 整除的概率是 【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是将五张卡片任意排列成 一行，满足条件的事件是末位是 2、4、5 三位数字的排列，根据古典概型概率公式得到 结果 【解答】解：由题意知本题
24、是一个古典概型， 试验发生的所有事件是将五张卡片任意排列成一行共有 A55120 种结果， 满足条件的事件是末位是 2、4、5 三位数字的排列共有 C31A4472， 根据古典概型概率公式得到 P， 故答案为： 【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题 中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏 第 12 页（共 18 页） 14 （3 分） 椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1， F2的连线互相垂直， 则PF1F2 的面积为 24 【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用点 P 与椭圆的两个焦点 F1，F2的连线 互相垂直以及
25、点 P 在椭圆上，求出点 P 的纵坐标，从而计算出PF1F2的面积 【解答】解：由题意得 a7，b2 ， c5，两个焦点 F1 （5，0） ，F2（5，0） ， 设点 P（m，n） ， 则 由题意得 1，+1， n2，n， 则PF1F2的面积为 2c|n|1024， 故答案为：24 【点评】本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、方程组的解法等基础知识， 考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题 15 （3 分）若（2x1）na0+a1x+anxn，则 a1+a2+an 【分析】令 x0 可得展开式中 a0；令 x1 可得展开式中各项系数和；二者相结合即可 求解 【解答】解：（2x
26、1）na0+a1x+anxn， 令 x0 可得展开式中 a0（1）n； 令 x1 可得：a0+a1+a2+an1n1； a1+a2+an1（1）n； 故答案为： 【点评】本题考查了二项式定理的展开式通项公式及其应用问题，也考查了推理与计算 能力，是基础题 16 （3 分）已知 p： “x1，2，x2a0” ，q： “x0R，使 x02+2ax0+2a0” 若命题 “p 且 q”是真命题，则实数 a 的取值范围是 a2，或 a1 第 13 页（共 18 页） 【分析】p 真：可得 a（x2）minq 真：0由命题“p 且 q”是真命题，可得 p 与 q 都为真命题 【解答】解：p： “x1，2，
27、x2a0” ，a（x2）min1，a1 q： “x0R，使 x02+2ax0+2a0” ，4a24（2a）0，解得 a1 或 a2 命题“p 且 q”是真命题，p 与 q 都为真命题 ，解得 a2 或 a1 则实数 a 的取值范围是 a2，或 a1 故答案为：a2，或 a1 【点评】本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 三、解答题（三、解答题（6 个小题，共个小题，共 70 分）分） 17 （10 分）如图，从参加环保知识竞赛的 1200 名学生中抽出 60 名，将其成绩（均为整数） 整理后画出的频率分布直方图如图：观察图形，回答下列问
28、题： （1）79.589.5 这一组的频数、频率分别是多少？ （2）估计这次环保知识竞赛的及格率 （60 分及以上为及格） （3）若准备取成绩最好的 300 名发奖，则获奖的最低分数约为多少？ 【分析】 （1）79.589.5 这一组的频率0.02510，进而可得频数 （2）利用频率计算公式可得估计这次环保知识竞赛的及格率 （3）79.599.5 分的人数（0.025+0.005）101200360其中 79.589.5 分的人 数0.025101200300.89.599.5 分的人数0.00510120060 因此 79.589.5 分的人数从高分到低分只需要 240 人，即可得出其获奖的
29、最低分数 【解答】解： （1）1）79.589.5 这一组的频率0.025100.25，频数600.2515 （2）估计这次环保知识竞赛的及格率（0.015+0.03+0.025+0.005）100.7575% （3）79.599.5 分的人数（0.025+0.005）101200360 第 14 页（共 18 页） 其中 79.589.5 分的人数0.025101200300.89.599.5 分的人数0.00510 120060 因此 79.589.5 分的人数从高分到低分只需要 240 人， 其获奖的最低分数约为10+79.582 若准备取成绩最好的 300 名发奖，则获奖的最低分数约为
30、 82 分 【点评】本题考查了频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 18 （12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用 户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意 度评分的平均值及分散程度
31、（不要求计算出具体值，给出结论即可） ； （2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件 C： “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级” ，假设两地区用户 的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率 【分析】 （1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可； （2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可 【解答】解： （1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下 第 15 页（共 18 页）
32、 通过茎叶图可以看出， A 地区用户满意评分的平均值高于 B 地区用户满意评分的平均值； A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散； （2）记 CA1表示事件“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意” ， 记 CA2表示事件“A 地区用户满意度等级为非常满意” ， 记 CB1表示事件“B 地区用户满意度等级为不满意” ， 记 CB2表示事件“B 地区用户满意度等级为满意” ， 则 CA1与 CB1独立，CA2与 CB2独立，CB1与 CB2互斥， 则 CCA1CB1CA2CB2， P（C）P（CA1CB1）+P（CA2CB2）P（CA1）P（CB1）+P（CA2）P（CB
33、2） ， 由所给的数据 CA1，CA2，CB1，CB2，发生的频率为， 所以 P（CA1），P（CA2），P（CB1），P（CB2）， 所以 P（C）+0.48 【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题 19 （12 分）已知命题 p：方程 x2+mx+10 有两个不相等的实根；命题 q：方程 4x2+4（m 2）x+10 无实根，若 p 或 q 为真，而 p 且 q 为假，求实数 m 的取值范围 【分析】当 pq 为真，pq 为假时，p，q 一真一假，进而得到答案 【解答】解：当 p 真时，m240，即 m2 或 m2（2 分） 当 q 真时，16（m2）21
34、60，即 1m3（4 分） 又当 pq 为真，pq 为假时，p，q 一真一假（5 分） 当 p 真 q 假时，m2 或 m3（8 分） 当 q 真 p 假时，1m2（9 分） 综上，m 的取值范围是（，2）（1，23，+） （10 分） 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，方程根的存在性及个 第 16 页（共 18 页） 数判断，难度中档 20 （12 分）已知（x2）n展开式中的二项式系数的和比（3a+2b）7展开式的二项式系 数的和大 128， （）求 n 的值； （）求（x2）n展开式中的系数最大的项和系数最小的项 【分析】 （）利用（x2）n展开式中的二项式系数的
35、和比（3a+2b）7展开式的二项 式系数的和大 128，建立方程，即可求得 n 的值； （）写出展开式的通项，即可确定展开式中的系数最大的项和系数最小的项 【解答】解： （）（x2）n展开式中的二项式系数的和比（3a+2b）7展开式的二 项式系数的和大 128， 2n27128 n8； （） （x2）8展开式的通项为 r4 时，展开式中的系数最大，即为展开式中的系数最大的项；r3 或 5 时，展开式中的系数最小，即，T656x 为展开式中的系数最小的项 【点评】本题考查二项式的系数，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键 21 （12 分）一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色卡片 4 张，
36、编号分别为 1，2，3，4； 白 色卡片 3 张，编号分别为 2，3，4从盒子中任取 4 张卡片 （假设取到任何一张卡片的 可能性相同） （）求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率 （）在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 X，求随机变量 X 的分布列和 数学期望 【分析】 （I）从 7 张卡片中取出 4 张的所有可能结果数有，然后求出取出的 4 张卡片 中，含有编号为 3 的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解 （II）先判断随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个 取值的概率，即可求解分布列及期望值 【解答】解： （I）设
37、取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片为事件 A，则 第 17 页（共 18 页） P（A） 所以，取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率为 （II）随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4 P（X1） P（X2） P（X3） P（X4） X 的分布列为 EX x 1 2 3 4 P 【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及 期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力 22 （12 分）已知点 A（0，2） ，椭圆 E：+1（ab0）的离心率为，F 是 椭圆的右焦点，直线 AF 的斜率为，O 为坐标原点 （）求 E 的方程；
38、（）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程 【分析】 （）通过离心率得到 a、c 关系，通过 A 求出 a，即可求 E 的方程； （）设直线 l：ykx2，设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2）将 ykx2 代入， 利用0，求出 k 的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出OPQ 的面积表达式，利 用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程 第 18 页（共 18 页） 【解答】解： （） 设 F（c，0） ，由条件知，得， 所以 a2b2a2c21，故 E 的方程 （5 分） （）依题意当 lx 轴不合题意，故设直线 l：ykx2，设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） 将 ykx2 代入，得（1+4k2）x216kx+120， 当16（4k23）0，即时， 从而 又点 O 到直线 PQ 的距离，所以OPQ 的面积 ， 设，则 t0， 当且仅当 t2，k等号成立，且满足0， 所以当OPQ 的面积最大时，l 的方程为：yx2 或 yx2（12 分） 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考 查转化思想以及计算能力