1、复数 1i 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）设直线的方程是 Ax+By0，从 1，2，3，4，5 这五个数中每次取两个不同的数 作为 A、B 的值，则所得不同直线的条数是（ ） A20 B19 C18 D16 3 （5 分）若随机变量 N（2，4） ，则 在区间（4，2上取值的概率等于 在下列 哪个区间上取值的概率（ ） A （2，4 B （0，2 C2，0） D （4，4 4 （5 分） （x+1）4的展开式中 x2的系数为（ ） A4 B6 C10 D20 5 （5 分）已知 f（x）（x+a）2，且 f（0.5）3，则 a 的值
2、为（ ） A1 B2 C1 D2 6 （5 分）设曲线 yaxln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y2x，则 a（ ） A0 B1 C2 D3 7 （5 分）定积分（ex2x）dx 的值为（ ） Ae2 Be1 Ce De+1 8 （5 分）一物体在力 F（x）3x22x+5（力单位：N，位移单位：m）作用下沿与力 F（x） 相同的方向由 x5m 直线运动到 x10m 所做的功是（ ） A925J B850J C825J D800J 9 （5 分）设函数 f（x）x3x2+2x，则（ ） A函数 f（x）无极值点 Bx1 为 f（x）的极小值点 Cx2 为 f（x）的极大值点 Dx2
3、为 f（x）的极小值点 10 （5 分）当 x 在（，+）上变化时，导函数 f（x）的符号变化如表： x （， 1） 1 （1，4） 4 （4，+） 第 2 页（共 15 页） f（x） 0 + 0 则函数 f（x）的图象的大致形状为（ ） A B C D 11 （5 分）已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）na 0+a1x+a2x2+anxn，若 a1+a2+an1 29n，那么自然数 n 的值为（ ） A3 B4 C5 D6 12 （5 分）安排 5 名学生去 3 个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区 至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（ ） A360 种
4、 B300 种 C150 种 D125 种 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知随机变量 B（36，p） ，且 E（）12，则 D（） 14 （5 分）数列 7，77，777，7777的一个通项公式是 15 （5 分）已知数列an的前 n 项和 Sn3+2n，则 an 16 （5 分）用数学归纳法证明“1+n（nN*，n1） ”时，由 nk（k 1）不等式成立，推证 nk+1 时，左边应增加的项数是 三、解答题（本小题共三、解答题（本小题共 70 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）分，解答应写出文
5、字说明证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知复数 z（2m23m2）+（m23m+2）i （）当实数 m 取什么值时，复数 z 是： 实数； 纯虚数； （）当 m0 时，化简 第 3 页（共 15 页） 18 （12 分）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为，都是 白子的概率是 ，求从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率 19 （12 分）对标有不同编号的 6 件正品和 4 件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出 2 件求在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率 20 （12 分）装有除颜色外完全相同的 6 个白球、4 个黑球和 2 个黄球的箱中随机地
6、取出两 个球，规定每取出 1 个黑球赢 2 元，而每取出 1 个白球输 1 元，取出黄球无输赢 （1）以 X 表示赢得的钱数，随机变量 X 可以取哪些值？求 X 的分布列； （2）求出赢钱（即 X0 时）的概率 21 （12 分）如果ABC 内接于半径为 R 的圆，且， 求ABC 的面积的最大值 22 （12 分）已知函数 f（x）ln（x+1）+（aR） （1）当 a1 时，求函数 f（x）的图象在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）讨论函数 f（x）的极值； 第 4 页（共 15 页） 2018-2019 学年河南省开封市、商丘市九校联考高二（下）期中学年河南省开封市、商丘市九校联考
7、高二（下）期中 数学试卷（理科）数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）复数 1i 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】先求出复数 1i 的在复平面内对应的点的坐标为（1，1） ，得到复数 1i 的 在复平面内对应的点位于第四象限 【解答】解：复数 1i 的在复平面内对应的点的坐标为（1，1） ， 因为10
8、，10， 所以（1，1）在第四象限， 所以复数 1i 的在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D 【点评】本题考查复数 za+bi（a，bR）与复平面的点（a，b）一一对应，属于基础 题 2 （5 分）设直线的方程是 Ax+By0，从 1，2，3，4，5 这五个数中每次取两个不同的数 作为 A、B 的值，则所得不同直线的条数是（ ） A20 B19 C18 D16 【分析】利用计数原理，从 5 个数取 2 个不同的数可用公式 c52算出，然后考虑到 A 与 B 的比值相等时直线重合，把重合的情况除过即可得到不同直线的条数 【解答】解：从 1，2，3，4，5 这五个数中每次取两个不同的数作为
9、A、B 的值，取法数 为 A52， 而当时所得直线重合， 则所得不同直线为 A52254218（条） 故选：C 【点评】考查学生会利用计数原理解决数学问题，掌握直线重合时满足的条件 3 （5 分）若随机变量 N（2，4） ，则 在区间（4，2上取值的概率等于 在下列 第 5 页（共 15 页） 哪个区间上取值的概率（ ） A （2，4 B （0，2 C2，0） D （4，4 【分析】由已知求得 ，可得正态分布曲线的对称轴，由对称性得答案 【解答】解：随机变量 N（2，4） ，则 2， 正态分布曲线关于直线 x2 对称， P（42）P（20） ， 故选：C 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲
10、线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题 4 （5 分） （x+1）4的展开式中 x2的系数为（ ） A4 B6 C10 D20 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 2 得展开式中 x2的系 数 【解答】解： （x+1）4的展开式的通项为 Tr+1C4rxr 令 r2 得 T3C42x26x 展开式中 x2的系数为 6 故选：B 【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具 5 （5 分）已知 f（x）（x+a）2，且 f（0.5）3，则 a 的值为（ ） A1 B2 C1 D2 【分析】根据题意，
11、将函数的解析式变形可得 f（x）（x+a）2x2+2ax+a2，求出其导 数，进而可得 f（0.5）1+2a3，解可得 a 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）（x+a）2x2+2ax+a2，其导数 f（x）2x+2a， 若 f（0.5）3，则 f（0.5）1+2a3， 解可得 a2； 故选：B 【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题 6 （5 分）设曲线 yaxln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y2x，则 a（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】根据导数的几何意义，即 f（x0）表示曲线 f（x）在 xx0处的切线斜率，再 第 6 页（共 1
12、5 页） 代入计算 【解答】解：， y（0）a12， a3 故选：D 【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的 内容，一般只要求导正确，就能够求解该题在高考中，导数作为一个非常好的研究工 具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以 大题的形式出现，学生在复习时要引起重视 7 （5 分）定积分（ex2x）dx 的值为（ ） Ae2 Be1 Ce De+1 【分析】根据定积分的运算求得原函数，代入即可求得定积分（ex2x）dx 的值 【解答】解：（ex2x）dx（exx2）（e1）（10）e2， （ex2x）dxe2， 故选：A
13、 【点评】本题考查定积分的运算，考查计算能力，属于基础题 8 （5 分）一物体在力 F（x）3x22x+5（力单位：N，位移单位：m）作用下沿与力 F（x） 相同的方向由 x5m 直线运动到 x10m 所做的功是（ ） A925J B850J C825J D800J 【分析】由功的意义转化为定积分来求即可 【解答】解：由题意知，所作的功 W（3x22x+5）dx （x3x2+5x）950125825 故选：C 【点评】本题为物理学科的题，体现了数理结合的思想方法，属基础题 9 （5 分）设函数 f（x）x3x2+2x，则（ ） A函数 f（x）无极值点 Bx1 为 f（x）的极小值点 Cx2
14、为 f（x）的极大值点 Dx2 为 f（x）的极小值点 第 7 页（共 15 页） 【分析】首先求出函数的导函数 f（x）3x22x+2，求得其单调区间，然后求极值 【解答】解：由函数 f（x）x3x2+2x 得到：f（x）3x22x+23（x）2+0， 函数 f（x）在 R 上单调递增 函数 f（x）x3x2+x 的单调递增区间为（，+） 函数 f（x）无极值点 故选：A 【点评】本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查熟练掌握导数法求极值的方法 步骤是解答的关键 10 （5 分）当 x 在（，+）上变化时，导函数 f（x）的符号变化如表： x （， 1） 1 （1，4） 4 （4，+） f
15、（x） 0 + 0 则函数 f（x）的图象的大致形状为（ ） A B C D 【分析】f（x）在（，1）上小于 0，在（1，4）上大于 0，故 f（0）是函数的极小 值，同理可得 f（4）是函数的极大值，由此得出结论 【解答】解：由图表可得函数 f（x）在（，1）上小于 0，在（1，4）上大于 0， 即函数 f（x）在（，1）上是减函数，在（1，4）上是增函数，故 f（0）是函数的极 小值 同理，由图表可得函数 f（x）在（1，4）上大于 0，在（1，4）上小于 0， 即函数 f（x）在（1，4）上是增函数，在（4，+）上是增函数，可得 f（4）是函数的 极大值， 第 8 页（共 15 页）
16、故选：C 【点评】本题考查函数零点的定义和判定定理，属于基础题 11 （5 分）已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）na 0+a1x+a2x2+anxn，若 a1+a2+an1 29n，那么自然数 n 的值为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】令等式中的 x1 求出展开式的各项系数和，令 x0 求出展开式的常数项；利 用二项展开式的通项公式求出 an；列出方程求出 n 【解答】解：令 x1 得 2+22+23+2na0+a1+a2+an 即 即 2n+12a0+a1+a2+an 令 x0 得 a01+1+1+1n an1 a1+a2+an12n+1n3 2n+1n329n 解得 n4
17、故选：B 【点评】本题考查在解决二项展开式的系数和问题时常用的方法是赋值法、考查解决展 开式的特定项问题是常用的方法是利用二项展开式的通项公式 12 （5 分）安排 5 名学生去 3 个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区 至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（ ） A360 种 B300 种 C150 种 D125 种 【分析】分 2 步分析：先将 5 名大学生分成 3 组，分 2 种情况分类讨论，再将分好的三 组全排列，对应三个城市，由分步计数原理计算可得答案； 【解答】解：分 2 步分析： 先将 5 名学生分成 3 组，由两种分组方法， 若分成 3、1、1 的三
18、组，有 C5310 种分组方法， 第 9 页（共 15 页） 若分成 1、2、2 的三组，有15 种分组方法， 则一共有 10+1525 种分组方法； 再将分好的三组全排列，对应三个社区，有 A336 种情况， 则有 256150 种不同的安排方式； 故选：C 【点评】本题考查排列、组合的应用，注意本题计算安排方式时用到分组涉及平均分组 与不平均分组，要用对公式 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知随机变量 B（36，p） ，且 E（）12，则 D（） 8 【分析】根据变量服从二项分布，用二项分布的期望和
19、方差公式，写出关于 n，p 的方程 组，解方程组是要把 np 的值直接代入，得到 p 的值，再代入方程得到要求的结果 【解答】解：随机变量 B（36，p） ， E36p，D36p（1p） ， E12，可得 p， 则 D368， 故答案为：8 【点评】本题考查二项分布与 n 次独立重复试验的模型，是一个基础题，解题时首先要 代入公式，得到方程组，解方程的思想要注意，是以整体代入的思想来解答 14 （5 分）数列 7，77，777，7777的一个通项公式是 an（10n1） 【分析】根据所给的这个数列的特点，先写出 9，99，999，9999 的通项是 10n1，再乘 以九分之七即可得 【解答】解
20、：先写出 9，99，999，9999 的通项是 10n1， 数列 7，77，777，7777的一个通项公式 an 故答案为：an 【点评】本题考查数列的概念及数列表示法，求解的关键是从数列的前几项中发现数列 各项变化的规律，利用此规律去寻找通项公式，属于基础题 第 10 页（共 15 页） 15 （5 分）已知数列an的前 n 项和 Sn3+2n，则 an 【分析】 这是数列中的知 Sn求 an型题目，解决的办法是对 n 分 n1 与 n2 两类讨论解 决 【解答】解：Sn3+2n， 当 n1 时，S1a13+25， 当 n2 时，anSnSn12n 1， 当 n1 时，不符合 n2 时的表达
21、式 an 故答案为：an 【点评】本题考查数列的函数特性，着重考查分类讨论思想在解决问题中的应用，属于 基础题 16 （5 分）用数学归纳法证明“1+n（nN*，n1） ”时，由 nk（k 1）不等式成立，推证 nk+1 时，左边应增加的项数是 2k 【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加 1，末项为 ，然后判断 n k+1 时增加的项数即可 【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加 1，末项为； 由 nk，末项为到 nk+1，末项为 ，应增加的项数为 2k 故答案为 2k 【点评】本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意 表达式的形式特点，找出规律是关键 三、
22、解答题（本小题共三、解答题（本小题共 70 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知复数 z（2m23m2）+（m23m+2）i （）当实数 m 取什么值时，复数 z 是： 实数； 纯虚数； 第 11 页（共 15 页） （）当 m0 时，化简 【分析】 （I）利用复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出 （II）当 m0 时，z2+2i，再利用复数的运算法则即可得出 【解答】解： （）当 m23m+20 时，即 m1 或 m2 时，复数 z 为实数 当时，解得， 即 m时，复数 z 为纯虚数 （）当 m0 时，z2+2i， 【点
23、评】本题考查了复数为实数、纯虚数的充要条件、复数的运算法则，属于基础题 18 （12 分）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为，都是 白子的概率是 ，求从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率 【分析】设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A， “从中取出 2 粒都是白子”为事件 B， “任意取出 2 粒恰好是同一色”为事件 C，则 CAB，且事件 A 与 B 互斥，由此能求 出任意取出 2 粒恰好是同一色的概率 【解答】解：设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A， “从中取出 2 粒都是白子”为事件 B， “任意取出 2 粒恰好是同一色”为事件 C，（2 分） 则
24、 CAB，且事件 A 与 B 互斥（4 分） 所以 P（C）P（A）+P（B） 即任意取出 2 粒恰好是同一色的概率为（10 分） 【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 19 （12 分）对标有不同编号的 6 件正品和 4 件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出 2 件求在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率 【分析】根据题意，设“第一次摸出正品”为事件 A， “第二次摸出正品”为事件 B，求 出 P（AB）与 P（A） ，由条件概率公式计算可得答案 第 12 页（共 15 页） 【解答】解：根据题意，设“第一次摸出正品”为事件
25、 A， “第二次摸出正品”为事件 B， 则事件 A 和事件 B 相互独立， 则 P（AB），P（A）， 则 P（B|A）； 故在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率 P 【点评】本题考查条件概率的求法，解答此题的关键是条件概率公式的灵活运用，属于 基础题 20 （12 分）装有除颜色外完全相同的 6 个白球、4 个黑球和 2 个黄球的箱中随机地取出两 个球，规定每取出 1 个黑球赢 2 元，而每取出 1 个白球输 1 元，取出黄球无输赢 （1）以 X 表示赢得的钱数，随机变量 X 可以取哪些值？求 X 的分布列； （2）求出赢钱（即 X0 时）的概率 【分析】 （1）从箱中取两个球的
26、情形有 6 种：2 个白球，1 个白球，1 个黄球，1 个 白球，1 个黑球，2 个黄球，1 个黑球，1 个黄球，2 个黑球当取到 2 个白球时， 随机变量 X2；当取到 1 个白球，1 个黄球时，随机变量 X1；当取到 1 个白球， 1 个黑球时，随机变量 X1；当取到 2 个黄球时，随机变量 X0；当取到 1 个黑球，1 个黄球时，随机变量 X2；当取到 2 个黑球时，随机变量 X4；所以随机变量 X 的可 能取值为2，1，0，1，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的概率分布列 （2）P（X0）P（X1）+P（X2）+P（X4） ，由此能求出赢钱（即 X0 时）的 概率 【解答】
27、解： （1）从箱中取两个球的情形有以下 6 种： 2 个白球，1 个白球，1 个黄球，1 个白球，1 个黑球，2 个黄球，1 个黑球，1 个黄球，2 个黑球 当取到 2 个白球时，随机变量 X2； 当取到 1 个白球，1 个黄球时，随机变量 X1； 当取到 1 个白球，1 个黑球时，随机变量 X1； 当取到 2 个黄球时，随机变量 X0； 当取到 1 个黑球，1 个黄球时，随机变量 X2； 第 13 页（共 15 页） 当取到 2 个黑球时，随机变量 X4； 所以随机变量 X 的可能取值为2，1，0，1，2，4（3 分） P（X2），P（X1）， P（X0），P（X1）， P（X2），P（X4
28、）（6 分） X 的概率分布列如下： X 2 1 0 1 2 4 P （8 分） （2）P（X0）P（X1）+P（X2）+P（X4）（12 分） 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查排列组合、列举法、 古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）如果ABC 内接于半径为 R 的圆，且， 求ABC 的面积的最大值 【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理得到 a2+b2c2ab，再利用余弦定理表 示出 cosC，将得出关系式代入求出 cosC 的值，利用特殊角的三角函数值求出 C 的度数， 利用正弦定理表示出 cR，代入 a2+b2c2ab，整理后利用
29、基本不等式求出 ab 的最大值，即可确定出三角形 ABC 面积的最大值 【解答】解：已知等式整理得：2RsinAsinA2RsinCsinC（ab）sinB， 即 asinAcsinC（ab）sinB， 利用正弦定理化简 a2c2abb2，即 a2+b2c2ab， cosC， C 为三角形内角，C45， 2R，c2RsinCR， a2+b22R2ab， 第 14 页（共 15 页） 2R2+aba2+b22ab，即 ab， 则 SabsinCab， 则 SmaxR2，此时 ab 取得等号 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，以及三角形面积公式，熟练 掌握定理及公式是解本题的关键
30、 22 （12 分）已知函数 f（x）ln（x+1）+（aR） （1）当 a1 时，求函数 f（x）的图象在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）讨论函数 f（x）的极值； 【分析】 （1）当 a1 时，化简函数 f（x）的表达式，求出函数的导数，求出切点坐标， 得到切线的斜率，然后求解图象在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）求出函数的导数，得到极值点，利用导函数的符号，判断函数 f（x）的极值； 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）ln（x+1）+， 所以 f（x）+， 所以 f（0）2又 f（0）0， 所以函数 f（x）的图象在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y2x（6 分） （2）f（x）， （x1） 令 x+1+a0，得 xa1 若a11，即 a0， 则 f（x）0 恒成立，此时 f（x）无极值 （8 分） 若a11 即 a0， 则当1xa1 时，f（x）0， 当 xa1 时，f（x）0，（10 分） 此时 f（x）在 xa1 处取得极小值，极小值为 ln（a）+a+1（12 分） 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，极值的判断，考查分类讨论思 想以及转化思想的应用