1、单元测试(二) 二次函数(满分：120 分 考试时间：120 分钟)一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.下列各式中，y 是 x 的二次函数的是(B)Axyx 21 Bx 2y20 Cy 1x2Dy 24x32将二次函数 yx 22x3 化为 y(xh) 2k 的形式，结果为 (C)Ay(x1) 22 By(x1) 24Cy(x1) 22 Dy(x1) 243下列关于二次函数 y x2 图象的说法：图象是一条抛物线；开口向下；对称12轴是 y 轴；顶点坐标为(0， 0)其中正确的有(D)A1 个 B2 个 C3 个
2、 D4 个4将抛物线 y2(x4) 21 先向左平移 4 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为(A)Ay2x 21 By2x 23Cy2(x8) 21 Dy2(x8) 235二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象的对称轴是(B)A直线 x3 B直线 x2 C直线 x1 D直线 x06在求解一元二次方程 x22x20 的两个根 x1 和 x2 时，某同学使用电脑软件绘制了二次函数 yx 22x2 的图象，然后通过观察抛物线与 x 轴的交点，得出结果该同学采用的方法体现的数学思想是(C)A类比思想 B函
3、数思想 C数形结合思想 D公理化思想7当 ab0 时，函数 yax 2 与 yax b 的图象大致是(D)8向空中发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 米，且时间与高度的关系为yax 2bxc(a0)若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(B)A第 8 秒 B第 10 秒 C第 12 秒 D第 15 秒9在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 yax 2bxc(a0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是(D)Aa0 B 1 b2aCa bc0 的解集为 12；(4)若方程 ax2bxck 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为 ky2 的 x
4、 的取值范围解：(1)由图象可知：B(2，4) 在二次函数 y2ax 2 图象上，4a2 2.a1.则 y2x 2.又A( 1，n)在二次函数 y2x 2 图象上，n(1) 2.n1.则 A(1，1) 又A，B 两点在一次函数 y1kxb 图象上， 解得 则 y1x2.1 k b，4 2k b. ) k 1，b 2.)一次函数解析式为 y1x2，二次函数解析式为 y2x 2.(2)根据图象可知：当1y2.20(本题 8 分)如图，已知抛物线 ya(x1) 23(a0) 的图象与 y 轴交于点 A(0，2) ，顶点为 B.(1)试确定 a 的值，并写出 B 点的坐标；(2)试在 x 轴上求一点
5、P，使得 PAB 的周长取最小值解：(1)将 A(0，2)代入 ya(x1) 23，2a3，a 1.抛物线的解析式为 y(x 1)23.顶点 B(1，3)(2)设点 A 关于 x 轴对称的点为 C，C(0，2)设直线 CB 的解析式为 ymx n，直线 CB 与 x 轴交于点 P，此时PAB 的周长取最小值，把 C(0，2)和 B(1，3)代入 ymx n， 解得2 n， 3 m n，) m 5，n 2. )直线 CB 的解析式为 y5x2.令 y0，代入 y5x2，x .25点 P 的坐标为( ，0)2521(本题 10 分)在一次篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮已知球出手时离地面 m，20
6、9与篮圈中心的水平距离为 7 m，球出手后水平距离为 4 m 时达到最大高度 4 m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面 3 m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，对方队员乙在甲面前 1 m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 m，那么他能否获得成功？解：(1)由题意知，抛物线的顶点为(4 ，4)，经过点(0， )209设抛物线解析式为 ya(x4) 24，代入(0， )，解得 a ，209 19y (x4) 24.19当 x7 时，y (74) 243，一定能准确投中19(2)当 x1 时，y (1 4)2433.1，队员乙能够成功拦截1922(本题
7、 12 分)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x(1x90) 天的售价与销量的相关信息如下表：时间 x(天) 1x50 50x90售价(元/件) x40 90每天销量(件) 2002x已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元(1)求出 y 与 x 的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？解：(1)当 1x50 时，y(200 2x)(x4030)2x 2180x2 000.当 50x90 时，y(200 2x)(9030)120x12 000.综上所述：y 2x2 180x 2 000（1 x50）， 120x
8、 12 000（50 x 90）. )(2)当 1x50 时，二次函数图象开口向下，对称轴为直线 x45，当 x45 时，y 最大 245 2180452 0006 050.当 50x90 时，y 随 x 的增大而减小，当 x50 时，y 最大 6 000.6 0506 000，销售该商品第 45 天时，当天销售利润最大，最大利润是 6 050 元23(本题 12 分)综合与探究：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A(0，2) ，点 C(1，0)，如图所示，抛物线 yax 2ax2 经过点 B.(1)求点 B 的坐标；(2)求抛物线的解析
9、式；(3)在抛物线上是否还存在点 P(点 B 除外)，使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D.A(0 ，2)，C(1，0)，OA2，OC1.BCDACO90， ACOCAO90 ，BCDCAO.又BDCCOA 90， CBAC，BCD CAO(AAS)BDOC 1，CD OA2. 点 B 的坐标为(3，1) (2)抛物线 yax 2ax2 经过点 B(3，1)，则 19a3a2，解得 a ，12抛物线的解析式为 y x2 x2.12 12(3)假设存在点 P，使得ACP 仍然是以 AC
10、 为直角边的等腰直角三角形若以点 C 为直角顶点，则延长 BC 至点 P1，使得 P1CBC ，得到等腰直角三角形ACP1，过点 P1 作 P1Mx 轴，CP 1 BC，MCP 1BCD，P 1MCBDC 90 ，MP 1CDBC(AAS)CMCD 2 ，P 1MBD 1，P 1(1，1) 当 x1 时，y 1 121，符12 12合题意若以点 A 为直角顶点，则过点 A 作 AP2CA，且使得 AP2AC，得到等腰直角三角形ACP 2，过点 P2 作 P2Ny 轴，同理可证AP 2NCAO ，NP 2OA2，ANOC1，P 2(2，1)当 x2 时，y 4 221，符合题12 12意以 A 为直角顶点的等腰 RtACP 的顶点 P 有两种情况即过点 A 作直线 LAC，在直线 L 上截取 APAC 时，点 P 可能在 y 轴右侧，即点 P2；点 P 也可能在 y 轴左侧，即点P3.过 P3 作 P3Gy 轴于 G，同理：AGP 3CAO，GP 3OA2，AGOC1，P 3 为(2，3)当 x2 时，y 4 221 3，不符合题意12 12综上所述，存在点(1，1)与(2，1) ，使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形