1、单元测试(一) 一元二次方程(满分：120 分 考试时间：120 分钟)一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.下列方程是关于 x 的一元二次方程的是(D)Aax 2bxc0 B. 21x2 1xCx 22xy 21 D3(x1) 22(x1)2如果 2 是方程 x23xk0 的一个根，那么常数 k 的值为(B)A1 B2 C1 D23一元二次方程 x22x10 的根的情况为(A)A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根4已知关于 x 的一元二次方程 x2bxc0 的两根分别为 x1
2、1，x 22，则 b 与 c 的值分别为(C)Ab1，c2 Bb1，c2Cb1，c 2 Db1，c25小强在解方程 3(x )22x(x )时，先将 x 看成一个整体，然后利用因式分解3 3 3的方法解答，这种解法体现的数学思想是(D)A转化思想 B函数思想 C类比思想 D整体思想6老师出示了小黑板上的题目(如图) 后，小敏回答：“方程有一根为 4”，小聪回答：“方程有一根为1” 你认为(C)已 知 方 程 x2 3x k 1 0，试 添 加 一 个 条 件 ，使 它 的 两 根 之 积 为 4.A只有小敏回答正确 B只有小聪回答正确C小敏、小聪回答都正确 D小敏、小聪回答都不正确7输入一组数
3、据，按下列程序进行计算，输出结果如表：x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9输出 13.75 8.04 2.31 3.44 9.21分析表格中的数据，估计方程(x8) 28260 的一个正数解 x 的大致范围为(C)A20.5x20.6 B20.6x20.7C20.7x20.8 D20.8x20.98将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 3 cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为 300 cm3，则原铁皮的边长为(A)A16 cm B14 cm C13 cm D10 cm9某校进行体操队列训练，原有 8 行 10 列，后增加 40 人，使得队伍增加的行数、列数相
4、同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了 x 行或列，则列方程得(D)A(8x)(10x)81040 B(8 x)(10 x)81040C(8x)(10x)81040 D(8 x)(10 x)8104010已知 ， 是关于 x 的一元二次方程 x2(2m3)xm 20 的两个不相等的实数根，且满足 1，则 m 的值是 (B)1 1A3 或1 B3 C1 D3 或 1二、填空题(本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分)11把方程 3x(x1)(x 2)(x2) 9 化成 ax2bxc 0 的形式为 2x23x5012解一元二次方程 x22x30 时，可转化为解两个一元一次方程，请写
5、出其中的一个一元一次方程：x30(或 x10) 13六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每名同学送一份小礼品，全班共互送 306份小礼品，则该班有 18 名同学14如图，小明家有一块长 150 cm，宽 100 cm 的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的 2 倍若设花色地毯的宽为 x cm，则根据题意列方程为 x2125x3_7500(化简为一般式)15已知关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0(a0)的系数满足 abc0.我们把这样的方程称为“凤凰方程” 已知凤凰方程 ax2bxc0 的一个根是另一个根的两倍，则这个方
6、程的两个根是 1，2 或 1， 12三、解答题(本大题共 8 个小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本大题共 2 个小题，每小题 5 分，共 10 分) 解方程：(1)x22x10解：a1，b2，c 1， (2) 241( 1)8，x ，2222即 x11 ，x 21 .2 2(2)(2x 3)2(x2) 2.解：(2x3) 2(x 2) 2，(2x3) 2(x 2) 20，(2x3x2)(2x 3x2)0，(3x1)(x 5)0，x 1 ，x 25.1317(本题 8 分)小明用下面的方法求出方程 2 30 的解，请你仿照他的方法求出下面x另外两个方程的解，并把你
7、的解答过程写在下面的表格中方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解2 30x令 tx则 2t30 t32t 032 ，x 32所以 x .94x2 30x 令 t，x t11，t 23 t110， 1，所以 x1.x则 t22t3 0 t230( 舍去 )x 40x 2令 t，x 2则 t2t2 0t11，t 22t110，t220( 舍去 )1，x 2所以 x2 1，x3.18(本题 6 分)定义新运算：对于任意实数 m，n 都有 mnm 2nn，等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算例如：32(3) 222 20.根据以上知识解决问题：若 2a 的值小于 0，请判断方程：2x 2b
8、xa0 的根的情况解：2a 的值小于 0，2 2aa5a 0.解得 a0.在方程 2x2bxa0 中，(b) 28a 8a0，方程 2x2bxa0 有两个不相等的实数根19(本题 8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2(t1)xt20.(1)求证：对于任意实数 t，方程都有实数根；(2)当 t 为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由解：(1)证明：在方程 x2(t1)x t 20 中， (t 1) 241(t2)t 26t9(t3) 20，对于任意实数 t，方程都有实数根(2)设方程的两根分别为 x1，x 2，方程的两个根互为相反数，x 1x 2t10.解得 t1.当 t1 时，方程
9、的两个根互为相反数20(本题 10 分)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为 4 万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第 1 年的可变成本为 2.6 万元，设可变成本平均每年增长的百分率为 x.(1)用含 x 的代数式表示第 3 年的可变成本为 2.6(1x) 2 万元；(2)如果该养殖户第 3 年的养殖成本为 7.146 万元，求可变成本平均每年增长的百分率 x.解：由题意，得 42.6(1x) 27.146，解得 x10.110%，x 22.1(不合题意，舍去)答：可变成本平均每年增长的百分率为 10%.21(本题 8 分)一张长为 30 cm，宽 20 cm
10、 的矩形纸片，如图 1 所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图 2 所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为 264 cm2，求剪掉的正方形纸片的边长解：设剪掉的正方形纸片的边长为 x cm.由题意，得(302x)(20 2x)264.整理，得 x225x840.解得 x14，x 221(不符合题意，舍去 )答：剪掉的正方形的边长为 4 cm.22(本题 12 分)古希腊数学家丢番图(公元 250 年前后) 在算术中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解在欧几里得的几何原本中，形如 x2a
11、xb 2(a0，b 0)的方程的图解法是：如图，以和 b 为两直角边作 RtABC，再在斜边上截取 BD ，则 AD 的长就是所求方程的解a2 a2(1)请用含字母 a，b 的代数式表示 AD 的长；(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处解：(1)C90，BC ，ACb，a2AB .b2 a24AD .b2 a24 a2 4b2 a2 a2(2)用求根公式求得：x 1 ；x 2 4b2 a2 a2 4b2 a2 a2正确性：AD 的长就是方程的正根遗憾之处：图解法不能表示方程的负根23(本题 13 分)某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨
12、水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共 400 千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的 7 倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为 100 千克，销售均价为 30 元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为 200 千克，销售均价为 20 元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了 2m%，但销售均价比去年减少了 m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求 m 的值解：(1)设该果农今年收获樱桃 x 千克根据题意，得400x7x.解得 x50.答：该果农今年收获樱桃至少 50 千克(2)由题意，得 100(1m%) 30200(1 2m%)20(1m%)1003020020.令 m%y，原方程可化为 3 000(1y) 4 000(12y)(1y) 7 000.整理，得 8y2y0.解得 y10，y 20.125.m 10(舍去)，m 212.5.答：m 的值为 12.5.