1、第一章一元二次方程单元测试一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.已知反比例函数 y=abx， 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，则关于 x 的方程 ax22x+b=0 的根的情况是（ ） A、有两个正根 B、有两个负根 C、有一个正根一个负根 D、没有实数根2.若 x1 ,x2 是一元二次方程 x27x+5 的两根，则 x1 +x2 的值是（ ） A、7 B、7 C、5 D、53. 已知三角形两边的长分别是 3 和 6，第三边的长是方程 x26x+8=0 的根，则这个三角形的周长等于（ ） A、13 B、11 C、11 或 13 D、12 或 154.方程 x2+ax+1=0 和
2、x2xa=0 有一个公共根，则 a 的值是（ ）A、0 B、1 C、2 D、35.（2015 长春）方程 x22x+3=0 的根的情况是（ ） A、有两个相等的实数根 ; B、只有一个实数根;C、没有实数根 D、有两个不相等的实数根6.已知一次函数 y=ax+c 的图象如图所示，那么一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的情况是（ ）A.方程有两个不相等的实数根 B.方程有两个相等的实数根C.方程没有实数根 D.无法判断7.关于 x 的方程 kx2+3x1=0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） A.k 94 B.k 94 且 k0 C.k 94 D.k 94 且 k08.一元二次方程 x
3、（x 2）=0 的解是（ ） A.x=0 B.x1=2 C.x1=0，x 2=2 D.x=29.已知函数 y=（k 3）x 2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ） A.k4 B.k4 C.k4 且 k3 D.k4 且 k310.奉节特产专卖店销售 2015 年良种夏季脐橙，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可增加 20千克若该专卖店销售这种脐橙要想平均每天获利 2240 元，为减少库存，每千克脐橙应降价多少元？（ ） A、4 元 B、6 元 C、4 元或 6 元 D
4、、5 元二、填空题（共 8 题；共 24 分）11.一元二次方程 x2=3x 的解是：_ 12.已知关于 x 的一元二次方程 3（x 1）（xm）=0 的两个根是 1 和 2，则 m 的值是_ 13.如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA 是秋千的静止状态，A 是踏板，CD 是地面，点 B 是推动两步后踏板的位置，弧 AB 是踏板移动的轨迹已知 AC=1 尺，CD=EB=10 尺，人的身高 BD=5 尺设绳索长 OA=OB=x 尺，则可列方程为 。14.将一元二次方程 x2+4x+1=0 化成（x +a） 2=b 的形式，其中 a，b 是常数，则 a+b=_ 15.若关于 x 的方程 x
5、2+3x+a=0 有一个根为1，则另一个根为 _ 16.已知 x=2 是方程 x2+mx6=0 的一个根，则方程的另一个根是 _ 17.若关于 x 的一元二次方程 x2+4xk=0 有实数根，则 k 的最小值为_ 18.已知 x=1 是方程 ax2+x6=0 的一个根，则 a=_ 三、解答题（共 6 题；共 46 分）19.试比较下列两个方程的异同， +2x3=0， +2x+3=0 20.利用一面墙（墙的长度不限），另三边用 58m 长的篱笆围成一个面积为 200m2 的矩形场地，求矩形的长和宽 21.已知：m 是方程 x2x1=0 的一个根，求代数式 5m25m+2018 的值 22.随着柴
6、静纪录片穹顶之下的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了 A，B 两种型号的空气净化器，已知一台 A 型空气净化器的进价比一台 B 型空气净化器的进价多 300 元，用 7500 元购进 A 型空气净化器和用 6000 元购进 B 型空气净化器的台数相同（1）求一台 A 型空气净化器和一台 B 型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A 型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎为了增大 B型空气净化器的销量，商社电器决定对 B 型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当 B 型空气净化器的售价为 1800 元时，每天可卖出 4 台
7、，在此基础上，售价每降低 50 元，每天将多售出 1台，如果每天商社电器销售 B 型空气净化器的利润为 3200 元，请问商社电器应将 B 型空气净化器的售价定为多少元？ 23.方程 17+15x=245，x503=x+705 ， 2（x+1.5x）=24 都只含有一个未知数，未知数的指数都是 1，它们是一元一次方程，方程 x2+3=4，x 2+2x+1=0，x+ y=5 是一元一次方程吗？若不是，它们各是几元几次方程？ 24.若方程（m1）x m +1+2mx3=0 是关于 x 的一元二次方程，求 m 的值 答案解析一、单选题1、【答案】C 【考点】根的判别式，根与系数的关系，反比例函数的图
8、象 【解析】【解答】因为反比例函数 y=abx ， 当 x0 时， y 随 x 的增大而增大，所以 ab0，所以=44ab 0，所以方程有两个实数根，再根据 x1x2=ba0，故方程有一个正根和一个负根故选 C【 分析 】 本题是对反比例函数的图象性质，一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系的综合考查，可以根据反比例函数的图象性质判断出 ab 的符号，从而得出解的个数，然后利用根与系数的关系求出两个根的符号关系本题重点考查了反比例函数的性质及一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目 2、【答案】A 【考点】根与系数的关系 【解析】【分析】由题意可得
9、 x1 x2 ， x1x2 ， 再化 1x1+1x2x2+x1x1x2 ， 即可求得结果.【解答】由题意得 x1 x2=7，x 1x2=5则 1x1+1x2=x2+x1x1x2=75故选 A. 3、【答案】A 【考点】解一元二次方程因式分解法，三角形三边关系 【解析】【分析】由方程 x26x+8=0 用十字交叉相乘法因式分解，得(x2)( x4)=0：解得 x1=2 或 x2=4，当第三边的长是 2 时，2+36，不能构成三角形，应舍去；当第三边的长是 4 时，三角形的周长为 4+3+6=13。故选 A。 4、【答案】C 【考点】一元二次方程的定义，一元二次方程的解 【解析】【解答】方程 x2
10、+ax+1=0 和 x2x a=0 有一个公共根，（ a+1）x+ a+1=0，解得 x=1，当 x=1 时， a=2，所以选 C【分析】因为方程有一个公共根，两方程联立，解得 x 与 a 的关系，故可以解得公共解 x ， 然后求出 a 5、【答案】C 【考点】根的判别式 【解析】【解答】a=1 ，b= 2，c=3，=b 24ac=（ 2） 2413=80，所以方程没有实数根故选 C【分析】把 a=1，b= 2，c=3 代入=b 24ac 进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况 6、【答案】A 【考点】根的判别式 【解析】【解答】解：由图象知：a0，c0，=b24ac0，一元二次方程 ax
11、2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，故选 A【分析】根据函数的图象得出 a、c 的取值，进而求得 b24ac 的取值，即可判定一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情况 7、【答案】C 【考点】根的判别式 【解析】【解答】解：当 k=0 时，方程为 3x1=0，有实数根， 当 k0 时，=b 24ac=324k（1）=9+4 k0，解得 k 94 综上可知，当 k 94 时，方程有实数根；故选 C【分析】关于 x 的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；当方程为一元一次方程时，k=0；是一元二次方程时，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足=b24a
12、c0 8、【答案】C 【考点】解一元二次方程因式分解法 【解析】【解答】解：方程 x（x 2）=0， 可得 x=0 或 x2=0，解得：x 1=0，x 2=2故选 C【分析】方程利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解 9、【答案】B 【考点】根的判别式，抛物线与 x 轴的交点，一次函数的性质 【解析】【解答】解：当 k30 时，（k 3）x 2+2x+1=0， =b24ac=224（k3）1=4k +160，k4；当 k3=0 时，y =2x+1，与 x 轴有交点故选 B【分析】分为两种情况：当 k30 时，（k 3）x 2+2x+1=0，求出=b 24a
13、c=4k+160 的解集即可；当 k3=0 时，得到一次函数 y=2x+1，与 x 轴有交点；即可得到答案 10、【答案】B 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【解答】解：设每千克橙降应降价 x 元 根据题意，得 （60x40）（100+ 20）=2240 化简，得 x210x+24=0 解得：x 1=4，x 2=6，为减少库存，每千克脐橙应降价 6 元故选：B【分析】设每千克脐橙降价 x 元，利用销售量每件利润=2240 元列出方程求解即可 二、填空题11、【答案】x 1=0，x 2=3 【考点】解一元二次方程因式分解法 【解析】【解答】由原方程，得x23x=0，则 x（x3）=0，解得
14、x1=0，x 2=3【分析】先移项，然后通过提取公因式 x 对等式的左边进行因式分解 12、【答案】2 【考点】一元二次方程的解 【解析】【解答】解：3（x1）（x m）=0，x1=0，xm=0，x1=1， x2=m，关于 x 的一元二次方程 3（x 1）（xm ）=0 的两个根是 1 和 2，m=2，故答案为：2【分析】根据已知方程即可得出 m=2，得出答案为即可 13、【答案】102+（x5+1）2=x2 【考点】一元二次方程的定义，一元二次方程的应用 【解析】【解答】解：设绳索长 OA=OB=x 尺，由题意得，10 2+（x5+1） 2=x2 故答案为：10 2+（x5+1） 2=x2
15、【分析】设绳索有 x 尺长，此时绳索长，向前推出的 10 尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理列出方程 14、【答案】5 【考点】解一元二次方程配方法 【解析】【解答】解：方程 x2+4x+1=0， 移项得：x 2+4x=1，配方得：x 2+4x+4=3，即（x +2） 2=3，a=2，b=3 ，则 a+b=5，故答案为：5【分析】方程配方得到结果，确定出 a 与 b 的值，即可求出 a+b 的值 15、【答案】2 【考点】根与系数的关系 【解析】【解答】解：设关于 x 的方程 x2+3x+a=0 的两根分别为 m、n， 由已知得： m+n=3m=1 ，解得：n=
16、 2故答案为：2【分析】设关于 x 的方程 x2+3x+a=0 的两根分别为 m、n，由根与系数的关系可得出 m+n=3，结合m=1，即可得出结论 16、【答案】3 【考点】根与系数的关系 【解析】【解答】解：设方程另一个根为 x1 ， 根据题意得2x 1=6， 所以 x1=3故答案为 3【分析】根据根与系数的关系得到2x 1=6，然后解一次方程即可 17、【答案】4 【考点】根的判别式 【解析】【解答】解：根据题意得=4 24（k）0，解得 k4，所以 k 的最小值为4故答案为4【分析】根据判别式的意义得到=4 24（k）0，然后解不等式确定 k 的范围，再找出 k 的最小值即可 18、【答
17、案】5 【考点】一元二次方程的解 【解析】【解答】解：把 x=1 代入方程得 a+16=0， 解得 a=5故答案为 5【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 x=1 代入方程得到关于 a 的一次方程，然后解一次方程即可 三、解答题19、【答案】相同点：都是一元二次方程；都化成了一元二次方程的一般形式；二次项系数均为 1；一次项系数均为 2；常数项的绝对值相等；都是整系数方程等不同点：常数项符号相反；前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解【考点】一元二次方程的定义 【解析】【解答】相同点：都是一元二次方程；都化成了一元二次方程的一般形式；二次项系数均为 1；一次项系数均为 2；常数项的绝
18、对值相等；都是整系数方程等不同点：常数项符号相反；前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解【分析】从一元二次方程的概念、系数等进行比较 20、【答案】解：设垂直于墙的一边为 x 米，得：x（582x）=200 解得：x 1=25，x 2=4另一边为 8 米或 50 米答：当矩形长为 25 米是宽为 8 米，当矩形长为 50 米是宽为 4 米 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】设垂直于墙的一边为 x 米，则邻边长为（582x），利用矩形的面积公式列出方程并解答 21、【答案】解：把 x=m 代入方程 x2x1=0 可得：m 2m1=0，即 m2m=1，所以 5m25m+2018=
19、5（m 2m）+2018=5+2018=2023 【考点】一元二次方程的解 【解析】【分析】由 m 是方程 x2x1=0 的一个根，将 x=m 代入方程得到关于 m 的等式，变形后即可求出所求式子的值 22、【答案】解：（1）设每台 B 型空气净化器为 x 元，A 型净化器为（x+300）元，由题意得， = ， 解得：x=1200，经检验 x=1200 是原方程的根，则 x+300=1500，答：每 B 型空气净化器、每台 A 型空气净化器的进价分别为 1200 元，1500 元；（2）设 B 型空气净化器的售价为 x 元，根据题意得；（x1200）（4+ ）=3200，解得：x=1600，答
20、：如果每天商社电器销售 B 型空气净化器的利润为 3200 元，请问商社电器应将 B 型空气净化器的售价定为 1600 元 【考点】一元二次方程的应用，分式方程的应用 【解析】【分析】（1）设每台 B 种空气净化器为 x 元，A 种净化器为（x+300）元，根据用 6000元购进 B 种空气净化器的数量与用 7500 元购进 A 种空气净化器的数量相同，列方程求解；（2）根据总利润=单件利润销量列出一元二次方程求解即可 23、【答案】解：方程 x2+3=4，x 2+2x+1=0，x+y=5 不是一元一次方程；x2+3=4 和 x2+2x+1=0 是一元二次方程；x+y=5 是二元一次方程 【考点】一元一次方程的定义，一元二次方程的定义 【解析】【分析】根据一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，二元一次方程的定义进行求解 24、【答案】解：由题意，得 m2+1=2 且 m10，解得 m=1 【考点】一元二次方程的定义 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案